Capítulo 2 Leyes básicas de la teoría electromagnética. Ondas electromagnéticas 2.1 2.1.1

Las ecuaciones de Maxwell en el espacio libre El espacio libre

Llamaremos «espacio libre» a todo medio que satisfaga las siguientes propiedades

Homogéneo: ε y µ toman los mismos valores en todos sus puntos  Isótropo: los valores de ε y µ no dependen de la dirección de los campos E  yB No conductor: σ = 0 y, en consecuencia, j = 0 Sin carga: ρ = 0 No dispersivo: los valores de ε y µ no dependen de la frecuencia de varia yB  ción de los campos E 3

4

2.1.2

CAPÍTULO 2. ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS

Ecuaciones de Maxwell en el espacio libre

En el espacio libre, las ecuaciones de Maxwell se escriben, en forma integral

S S





 dS  =0 E  dS  =0 B



 dl = − ∂ E ∂t C

 dS  B

S apoyada

 dl = µε ∂ B ∂t C



 dS  E

S apoyada

con las relaciones constitutivas  = εE  D  = µH  B

2.1.3

Condiciones de frontera

A partir de las ecuaciones de Maxwell se puede probar que en la frontera de dos medios que responden a la descripción del espacio libre se verifican las siguientes identidades     D2 − D1 · n ˆ=0   2−B 1 ·n B ˆ=0   2−E 1 ×n E ˆ=0    2−H  1 ×n H ˆ=0 dónde los subíndices 1 y 2 hacen referencia al primero y al segundo de los medios respectivamente. Las dos primeras de estas condiciones establecen la conservación de las componentes normales a la superficie de separación de los medios para los campos de desplazamiento eléctrico y de inducción magnética. Las dos últimas implican la igualdad de las componentes tangenciales de las intensidades de los campos eléctricos y magnéticos a ambos lados de la frontera.

2.2. ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS EN EL ESPACIO LIBRE

5

2.2

Ondas electromagnéticas en el espacio libre

2.2.1

Deducción de la ecuación de las ondas electromagnéticas planas en el espacio libre (repaso de Física 2)

Aplicando las ecuaciones de Maxwell en el espacio libre en superficies y caminos convenientemente elegidos se obtiene
⎫  dS  = 0 ⇒ ∂Ex = 0 ⎪ E ⎪ ⎪ ⎬ ∂x S las ondas electromagnéticas son transversales
⎪ ⎪ ∂B x ⎪  dS  =0⇒ B =0 ⎭ ∂x S y





 dl = − ∂ E ∂t C

 S apoyada

 dl = µε ∂ B ∂t C

 dS  ⇒ ∂Ey = − ∂Bz B ∂x ∂t

 S apoyada

 dS  ⇒ ∂Bz = −µε ∂Ey E ∂x ∂t

⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭

∂ 2 Ey ∂ 2 Ey = µε ∂x2 ∂t2 2 ∂ Bz ∂ 2 Bz = µε ∂x2 ∂t2 que es la ecuación de una onda electromagnética plana con su campo eléctrico polarizado según el eje y. La velocidad de propagación se determina fácilmente identificando las ecuaciones anteriores con la ecuación de onda genérica ∂2ψ 1 ∂2ψ = ∂x2 v2 ∂t2 y resulta µε =

1 1 ⇒v= √ 2 v µε

CAPÍTULO 2. ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS

6 En el vacío

m 1 1 v=√ =√ = 2.998 × 108 −2 s µ0 ε0 4π × 10−7 N A 8.854 × 10−12 F m−1 que coincide con la velocidad de la luz.

2.3


yB
de una Relación entre los campos E onda electromagnética

Consideremos una onda electromagnética armónica en la que el campo eléctrico sólo tiene componente y

2π Ey (x, t) = A cos (x − vt) λ En el desarrollo de la ecuación de la onda E.M. hemos obtenido que ∂Ey ∂Bz = −µε ∂x ∂t y sabemos, además, que 1 1 v = √ ⇔ µε = 2 µε v Para nuestra onda armónica



∂Ey 2π 2π = A v sin (x − vt) ∂t λ λ

y, por tanto, será ∂Ey ∂Bz = −µε ∂x ∂t

1 2π 2π (x − vt) = − 2 A v sin v λ λ

∂Bz 1 2π 2π = − A sin (x − vt) ∂x v λ λ Como ∂ ∂x





2π 2π 2π K cos (x − vt) = −K sin (x − vt) λ λ λ

2.4. ENERGÍA QUE TRANSPORTA UNA ONDA ELECTROMAGNÉTICA7 podemos concluir que

1 2π 1 Bz = A cos (x − vt) = Ey v λ v 1 Bz = Ey v Análogamente, para una onda electromagnética armónica cuyo campo eléctrico sólo tenga componente z se verifica 1 By = − Ez v Como una onda electromagnética genérica se puede descomponer en una serie de funciones armónicas, en general se verifica que 1 B= E v con



 E = E



 B = B

Así pues, los campos eléctrico y magnético de cualquier onda electromagnética en el espacio libre • son perpendiculares entre sí • oscilan con la misma frecuencia y fase • tienen amplitudes proporcionales

2.4 2.4.1

Energía que transporta una onda electromagnética Densidad de energía radiante

Es la suma de las densidades de energía asociadas a los campos eléctrico y magnético de la onda en cada punto del espacio.

CAPÍTULO 2. ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS

8

1 uE = εE 2 2

Campo eléctrico Campo magnético

1 B2 2 µ

uB =

Onda electromagnética u = uE + uB Como ya sabemos, B E = vB = √ µε con lo que resulta

2  B 1 1 B2 uE = ε √ = uB = ε 2 µε 2 µε

y, en consecuencia u = εE 2 =

2.4.2

B2 µ

Flujo de la energía electromagnética. Vector de Poynting

La energía neta que por unidad de tiempo (i.e. potencia) atraviesa la unidad de área perpendicular a la dirección de propagación de la onda E.M. es S=

uV u (v ∆t A) = ∆t A ∆t A

S=uv=

1 2 B v = εE 2 v µ

o, lo que es lo mismo, teniendo en cuenta que en una onda E.M. E = vB S=

1 EB = v 2 εEB µ

Como en los medios homogéneos e isótropos, como el espacio libre, es razonable suponer que la energía «fluye» en la dirección en que se propaga la onda, se da carácter vectorial a la densidad de flujo representado por S definiendo  = 1E  ×B  = v2 εE  ×B  S µ que se denomina vector de Poynting.

2.5. REPRESENTACIÓN DE LAS ONDAS MEDIANTE NÚMEROS COMPLEJOS9

2.4.3

Irradiancia

El módulo del vector de Poynting oscila con el doble de frecuencia que el campo de la onda electromagnética E = E0 cos (ωt − kx) B = B0 cos (ωt − kx) S = v2 εEB = v 2 εE0 B0 cos2 (ωt − kx) 1 S = v 2 εE0 B0 [1 + cos (2ωt − 2kx)] 2 Como los fotodetectores no son capaces de responder a frecuencias tan elevadas, la señal que proporcionan se corresponde con su media temporal. Así pues, se define la irradiancia de la onda E.M. en cada punto del espacio como el promedio temporal del módulo del vector de Poynting en ese punto   1 2 I = S = v εE0 B0 [1 + cos (2ωt − 2kx)] 2 1 I = v2 εE0 B0 2 que también se puede expresar, teniendo en cuenta que E = vB 1 1v 2 I = vεE02 = B 2 2µ 0   v  2 B I = vε E 2 = µ

2.5 2.5.1

Representación de las ondas mediante números complejos Ondas armónicas (repaso de Física 2)

Una onda escalar, armónica y unidimensional ψ (x, t) se puede expresar de varias formas equivalentes ψ (x, t) = A cos [k (vt − x)]

2π (vt − x) ψ (x, t) = A cos λ ψ (x, t) = A cos (ωt − kx) 

 x t − ψ (x, t) = A cos 2π T λ

CAPÍTULO 2. ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS

10

Los parámetros de la onda están relacionados entre si. Su nomenclatura, según la norma UNE 5-100-87 (equivalente a ISO 31/12 de 1987), es como sigue • Parámetros temporales — Periodo T =

1 2π λ = = f ω v

f=

ω v 1 = = T 2π λ

— Frecuencia

— Frecuencia angular, frecuencia circular o pulsación ω=

2π = 2πf T

• Parámetros espaciales — Longitud de onda (periodo espacial) λ = vT =

v v = 2π f ω

— Número de onda (frecuencia espacial) σ=

k f 1 = = λ 2π v

— Número de onda angular o número de propagación k=

2π = 2πσ λ

• Velocidad de propagación de la onda v = λf =

λ ω = T k

2.5. REPRESENTACIÓN DE LAS ONDAS MEDIANTE NÚMEROS COMPLEJOS11

2.5.2

Formas de representar los números complejos

Existen tres formas básicas de especificar un número complejo z ∈ C • Notación algebraica z = a + ib donde a = Re z es la parte real de z y b = Im z es su parte imaginaria. • Notación trigonométrica z = r (cos θ + i sin θ) donde r = |z| es el módulo de z y θ = arg z es su argumento. • Notación exponencial z = reiθ = r exp (iθ) donde r y θ son los mismos que en la notación trigonométrica. Las relaciones entre a, b, r y θ resultan obvias cuando el número complejo se representa en el plano mediante el diagrama de Argand: a y b son las coordenadas cartesianas del afijo (el punto de R2 que representa al número complejo) en tanto que r y θ son sus coordenadas polares. El paso de la notación trigonométrica a la exponencial se realiza entonces aplicando la fórmula de Euler eiz = cos z + i sin z

CAPÍTULO 2. ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS

12

Resumiendo, se tiene que z = a + ib = r (cos θ + i sin θ) = reiθ a = Re z = r cos θ b = Im z = r sin θ √ r = |z| = a2 + b2 θ = arg z = arctan

2.5.3

b a

Algunas propiedades de los números complejos

Se define el conjugado de un número complejo z = a+ib = r (cos θ + i sin θ) = reiθ ∈ C z ∗ = a − ib = r (cos θ − i sin θ) = re−iθ Operaciones aritméticas con números complejos z1 , z2 ∈ C • Suma z1 + z2 = (Re z1 + Re z2 ) + i (Im z1 + Im z2 ) = (a1 + a2 ) + i (b1 + b2 ) • Resta z1 − z2 = (Re z1 − Re z2 ) + i (Im z1 − Im z2 ) = (a1 − a2 ) + i (b1 − b2 ) • Producto z1 z2 = |z1 | |z2 | exp [i (arg z1 + arg z2 )] = r1 r2 ei(θ1 +θ2 ) • Cociente z1 |z1 | r1 = exp [i (arg z1 − arg z2 )] = ei(θ1 −θ2 ) z2 |z2 | r2 • Función exponencial exp (a + ib) = ea+ib = ea eib = exp a exp (ib) • Módulo 1

|z| = (z z ∗ ) 2

2.5. REPRESENTACIÓN DE LAS ONDAS MEDIANTE NÚMEROS COMPLEJOS13 • Parte real Re z =

1 (z + z ∗ ) 2

Im z =

1 (z − z ∗ ) 2

• Parte imaginaria

• Exponenciales ei2π = 1 eiπ = −1  π π = ei 2 = i exp i  2 3π 3π = ei 2 = −i exp i 2

2.5.4

Representación de una onda armónica mediante un número complejo

Las ondas armónicas se suelen representar mediante números complejos para evitar, en lo posible, el manejo de senos y cosenos en los cálculos y simplificar así tanto la notación como los cálculos. Sea un onda armónica escalar y unidimensional genérica ψ (x, t) = A cos (ωt − kx) si tomamos r=A θ = − (ωt − kx) se tiene que   ψ (x, t) = Re Ae−i(ωt−kx) Se escribe entonces ψ (x, t) = Ae−i(ωt−kx) sobreentendiendo que la función de la onda se corresponde con la parte real del número complejo.

CAPÍTULO 2. ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS

14

2.5.5

Desfase inicial. Amplitud compleja

Si la onda tiene un desfase (retardo) inicial φ, es ψ (x, t) = Ae−i(ωt−kx−φ) = Aei(kx+φ) e−iωt se escribe entonces ψ (x, t) = Ae−iωt donde A = Aei(kx+φ) es la amplitud compleja de la onda, que engloba la amplitud (real) y los desfases inicial φ y de propagación kx.

2.6 2.6.1

Ondas electromagnéticas en tres dimensiones Vector de propagación
k

Se llama vector de propagación o vector de onda (angular) en un punto del espacio al vector que tiene la dirección y sentido de propagación de la onda en ese punto y módulo igual al número de propagación o número de onda (angular) k. k = k u ˆ ı + ky jˆ + kz k ˆk = kxˆ





k = kx2 + ky2 + kz2 = k El retraso de fase que la onda experimenta a medida que se propaga es k · r = k u ˆk · r y la ecuación de los frentes de onda, esto es, de las superficies que en cada instante tienen la misma fase k · r = C con C una constante cualquiera.

2.6. ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS EN TRES DIMENSIONES

2.6.2

15

Representación compleja de una onda armónica escalar en el espacio de tres dimensiones 



ψ (r , t) = Ae−i(ωt−k·r −φ) = Aei(k·r +φ) e−iωt ψ (r , t) = A (r ) e−iωt 

A (r ) = Aei(k·r +φ) = Aei(kx x+ky y+kz z+φ)

2.6.3

Representación compleja de una onda electromagnética armónica en el espacio libre de tres dimensiones

Las ondas electromagnéticas se suelen representar mediante su campo eléctrico, que para las ondas luminosas se denomina campo óptico. El campo eléctrico es un vector de R3 que tiene tres componentes escalares. En una onda electromagnética, cada una de estas tres componentes se comporta como una onda, todas ellas con la misma frecuencia y la misma velocidad de propagación, pero con diferentes amplitudes E0i y desfases iniciales φi . Se puede escribir, por lo tanto  (r , t) = E  (r ) e−iωt E donde  (r , t) = Ex (r , t) ˆ ˆ E ı + Ey (r , t) jˆ + Ez (r , t) k  (r) es un vector de amplitudes complejas yE  (r ) = Ex (r ) ˆ ˆ ı + Ey (r) jˆ + Ez (r ) k E    ˆ = E0x ei(k·r +φx ) ˆ ı + E0y ei(k·r +φy ) jˆ + E0z ei(k·r +φz ) k