TEMA 21 VECTORES EN EL PLANO Y EN EL ESPACIO Aunque en el tema 8º nos referimos brevemente a los vectores, en el tema actual vamos a profundizar en los mismos.

Vector: Llamamos vector a un segmento (parte de una recta) que está orientado. Los vectores representados a continuación ves que son flechas que nos indican la dirección y el sentido. Utilizamos papel cuadriculado porque nos facilita el trabajo.

Es suficiente anotar las coordenadas de comienzo y fin de cada vector. En todo vector hay tener en cuenta: 1) El módulo, tamaño o longitud. 2) Orientación 3) Sentido 1

Los cuatro vectores que tienes en la figura son diferentes en cuanto a módulo (miden diferente) y tienen direcciones distintas. A simple vista quizá te parezcan que los vectores a y d tienen la misma dirección y sentidos opuestos, pero si les aproximas, notarás que no tienen la misma dirección:

21.1 ¿Cuánto vale el módulo del vector a? Respuesta: módulo = 5,83 Solución El inicio del vector es como si se hallara en el origen de coordenadas, el punto (0,0). Una de las ventajas de utilizar papel cuadriculado es la de que podemos evitar estar trazando el eje de coordenadas. Si te fijas en el vector a su final se halla en el punto (x =3, y=5). Si al vector le consideras la hipotenusa de un triángulo rectángulo, los catetos x eje de abscisas e y eje de ordenadas valen 3 y 5 respectivamente. El módulo será = 32  52  34  5,83 21.2 ¿Cuánto vale el módulo del vector b? Respuesta: módulo = 7,2 Solución El extremo final del vector se encuentra en el punto (–6,4). Debes tener en cuenta que el inicio del vector se halla en el (0,0) del eje de coordenadas. El vector hace de hipotenusa de los catetos –6 y 4. El módulo es el valor de la hipotenusa que será:

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módulo  (6)2  42  36  16  52  7, 21

21.3 ¿Cuánto vale el módulo del vector c? Respuesta: módulo = 3,6 21.4 ¿Cuánto vale el módulo del vector d? Respuesta: módulo = 6,4 En lo sucesivo no escribiremos los valores de inicio y final de vector. Sumar vectores: Podemos servirnos del paralelogramo que consiste en colocar los dos vectores de modo que sus orígenes coincidan siendo los otros dos lados del paralelogramo las paralelas a cada uno de ellos: Siendo a y b los vectores a sumar los unimos por sus orígenes y trazamos paralelas (color magenta) a cada uno de ellos creando un paralelogramo.

La diagonal (color negro) será el valor de la suma de dichos vectores.

3

Otro método, disponiendo de papel cuadriculado es colocar un vector (b) a continuación del otro (a) y después, unir el origen de a con el final de b.

Segundo ejemplo:

Sumar más vectores no ofrece ninguna dificultad, es suficiente colocar el inicio del segundo vector a continuación del final del primero, inicio del tercero a partir del final del segundo y así, sucesivamente:

Restar vectores: Para realizar esta operación basta sumar el primero con el opuesto del segundo.

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En la última figura tienes los vectores a y su vector opuesto -a lo mismo que el vector c y su opuesto –c. Recuerda que el opuesto del número 8 es -8. En el caso de los vectores basta cambiarles el sentido. Para restar sumas al primer vector el opuesto del segundo:

Otro ejemplo:

21.5 Suma los vectores siguientes:

Respuestas:

5

21.6 Realiza las dos restas de los siguientes pares de vectores:

Respuestas:

Comprobar los resultados: Cada vez que queramos comprobar si las operaciones con vectores las hemos hecho bien, no tenemos más que realizar la operación correspondiente (sumar, restar, multiplicar,…) las coordenadas de cada uno de los vectores y ver si estas coordenadas coinciden con las del vector respuesta. Ejemplo: Tomamos los dos primeros vectores del ejercicio 21.6: Si observas, las coordenadas del vector a son ( – 3, 4) y las del vector b (4,2). Restamos ( – 3, 4) + (–4, –2) = (– 3–4, 4–2) = (–7,2) que son las coordenadas del vector diferencia. 21.8 Comprueba si el 2º resultado del 21.6 es correcto.

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Respuesta: (-3,7) Solución Las coordenadas del vector a son (3,5) y las del vector b (6, – 2) La diferencia será ( 3 – 6, 5 – (– 2)) = (– 3,7) Tanto en la suma como en la resta de vectores, el resultado también es un vector. Multiplicar un vector por un número Cuando nos referimos al precio de las patatas decimos el kilo vale 0,33 € y sabemos lo que necesitamos. Si digo, tengo un amigo que pesa 100 kilos, lo entendemos. Si digo la intensidad de una fuerza es de 20 kilos, en este caso necesito conocer, la dirección, el sentido y el lugar donde aplico la fuerza. En el primer caso me refiero a magnitudes escalares, en el segundo, a magnitudes vectoriales. Podemos multiplicar las coordenadas de un vector por un escalar: 4(5, 2)  (20, 8)

En la figura siguiente tienes el vector a que lo multiplicamos 3:

3

= 3(2,2)

= (3  2, 3  2 )= (6,6) =

21.8 Calcula y comprueba el producto que tienes a continuación:

Respuesta:

7

La comprobación consistiría en multiplicar por 3 las coordenadas de a y ver si son iguales a las del vector respuesta: 3(2,3)  (3  2,3  3)  (6,9) Al coincidir los valores damos por buena la respuesta.

Más adelante volveremos sobre el producto de vectores. Dividir un vector por un número En realidad es algo tan simple que se reduce a un producto. En primer lugar debes recordar que entendemos por inverso de un número. 1 El inverso del número 4 es: 4 1 1 El inverso de 6   6 6 21.9 Divide entre 2 el vector siguiente:

Respuesta:

8

Solución Multiplicamos a las coordenadas del final del vector (12,10) por 1 el inverso de 2: (12,10)  (6,5) 2 21.10 Divide el vector (2,1) entre 0,2.

Respuesta:

Solución Debes tener en cuenta que 0,2 puedes escribir como 1 1 5 1 5 1  5 El inverso de es:  1  1 1 11 1 5 5 5

1 . 5

Es como si hubieses multiplicado por 5 a las coordenadas (2,1) del vector: 5(2,1)  (5  (2),5  1)  (10,5) .

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Dependiendo del factor, podemos hacer mayor a un vector al dividirlo. BASE CANÓNICA La palabra canónica se refiere que está sometida a un canon, a una regla, a una norma o a un modelo. Observa el siguiente vector:

Las medidas para fijarlo en el plano nos hemos basado en el valor de las medidas de cada cuadrícula. En el eje x hemos tomado seis cuadrículas y en el eje y 5. Esto significa que al lado de cada cuadrícula le hemos asignado el valor 1 tal como queda reflejado en la figura siguiente:

  Los vectores i y j tienen por módulo 1, la longitud del lado de   la cuadrícula. Las coordenadas de i y j son respectivamente:   i  (1,0) y las de j =(0,1). En ambos casos sus módulos valen:

  2 i  1  0  1  1 y j  0  12  1  1 .

Más adelante nos referiremos a estos vectores unitarios.

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No importa en la medida del lado de cada cuadrícula, en  también  el dibujo siguiente las coordenadas de los vectores i y j :

 tienen las mismas coordenadas, el vector i tiene por coordenadas (1,0) y el vector j a las coordenadas (0,1).   Fíjate bien que los vectores i y j son perpendiculares.

  Verás que las coordenadas de los vectores i y j no pueden ser más sencillas. Esta es la base, modelo o regla en la que nos fundamentamos para trazar un vector cualquiera y la llamamos base canónica.

Aclaremos un poco más.  Si te fijas en la figura siguiente, las coordenadas del vector u

vienen dadas por los vectores de la base canónica que las podemos representar:

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  21.11 En función de i y j dibuja las coordenadas del vector:    a = 3i+ j

Respuesta:   21.12 En función de i y j dibuja y escribe las coordenadas del  vector b .

   Respuesta: b = 4 j ; b = (0, 4)   21.13 En función de i y j dibuja y escribe las coordenadas del  vector c .

   Respuesta: c = 4i ; c = (4,0)

  21.14 En función de i y j indica las coordenadas del vector

 d. 12

   Respuesta: d  4i  2 j  (4, 2)

VECTORES UNITARIOS EN ELPLANO Hemos estudiado los vectores i y j a los que llamamos unitarios porque sus módulos valen 1. En la figura siguiente:

  i  (1, 0) y si calculas su módulo: i  12  0  1  1   j  (0,1) su módulo vale: j  0  12  1  1

Vector unitario es el que su módulo vale 1.

Teniendo en cuenta la definición de vector unitario podemos decir que las coordenadas de un vector unitario pueden ser distintas a cero y a 1. Lo único que debes tener en cuenta es que su módulo valga 1.  u a partir Anteriormente estudiamos que para calcular el vector   de los vectores perpendiculares i y j multiplicamos a sus módulos (de valor 1 cada uno) por los valores de las coordenadas de x e y:

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Es lógico que para hallar el vector unitario a partir de un vector cualquiera tengamos que dividir a sus coordenadas por su módulo. Ejemplo:  En la figura anterior las coordenadas de u son (5,4).  El módulo vale: u  52  42  41

Si divido a las coordenadas (5,4) por 41 obtendré un nuevo vector cuyas coordenadas serán el cociente de 5 y 4 entre 41 ,   5 4  , es decir, n   .  41 41   Comprobamos si el módulo del vector n vale 1: 2

2

 25 16 41  5   4  n        1 1    41 41 41  41   41   Efectivamente el vector n es unitario y tiene la misma dirección y  sentido que el vector u .  21.15 ¿Es unitario el vector n  (0.5, 0.866) ? ¿Por qué?

Respuesta: Sí, porque su módulo vale 1 Solución

 n  (0,5) 2  (0,866) 2  0, 25  0,75  1  1  21.16 ¿Es unitario el vector c  (0.7, 0.714) ? ¿Por qué?

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Respuesta: Sí, porque su módulo vale 1. Solución  c  0, 7 2  0, 7142  0, 49  0,51  1  1  21.17 Las coordenadas del vector m son (3, 4) ¿cuáles son las coordenadas de un vector unitario con la misma dirección y  sentido que m .  3 4 Respuesta: v =  ,  5 5 Solución Para calcular las coordenadas de un vector unitario con la misma dirección y sentido al que nos proponen (recordamos lo que hemos dicho anteriormente), es la de dividir las coordenadas del vector dado entre el valor de su módulo:

 Por ejemplo, las coordenadas del vector m son (3, 4) ¿cuáles son las coordenadas de un vector unitario con la misma dirección y  sentido que m .

  Calculo el módulo de m : m  (3)2  (4) 2  25  5  Ahora divido las coordenadas de m que son (3,4) entre el módulo que acabo de calcularlo que es 5.

Las coordenadas del vector unitario con la misma dirección y   sentido que m será (llamándole v al vector unitario):  3 4 v ,  5 5 Lo comprobamos: 2

2

9 16 25  3 4 3  4 v  ,          1 5 5 5 5 25 25 25        3 4 Vemos que el vector v   ,  es unitario. 5 5

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 21.18 Supongamos el vector a = (7, 3) que lo referimos a la base canónica. Calcula un vector con la misma dirección y sentido  que tiene a pero que sea unitario.

-3    -7 Respuesta: v =  ,   58 58  Solución  Después de calcular el módulo del vector a :  2 2 a   7    3  49  9  58 2

2

49 9 58   7   3  v       58  58  58  1  1  58   58 

COORDENADAS CARTESIANAS DE UN VECTOR RESPECTO A LA BASE CANÓNICA Las coordenadas cartesianas, es decir, con relación al eje de abscisas o eje X y con relación al eje de las ordenadas o eje Y las expresamos (x,y). De este modo fijamos un punto en el eje de coordenadas.  Las coordenadas cartesianas de cualquier vector a teniendo en cuenta los vectores unitarios podemos escribir:    a= xi + y j

A x e y le podemos dar cualquier valor y deeste modo  obtendremos vectores diferentes: a = 3 i + j    b = 7i– 3 j A partir de lo que acabas de estudiar realizamos el producto escalar de dos vectores en función de los vectores unitarios.

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Es decir, calculamos del ejemplo anterior el producto de los dos vectores:    a = 4i+ j    b = 7i– 3 j      a  b = 28i 2 + 7ij -12ji - 3j 2   El producto ij o j i vale 0 porque si multiplicas las coordenadas    de i  (1,0) por las de j  (0,1), ij =  (1  0  0  1)  0 2 2    De momento, el producto vale: a  b  28i  3 j porque ij y  j i valen cero.   2 2 Como i y j valen 1 cada uno de ellos, i y j serán iguales a 1.     Vemos que 3i  j 7 i  3 j  21  3  18







    21.19 ¿Cuánto vale el producto: 4i  2 j 7 i  3 j







Respuesta: 34 Solución     4i  2 j 7 i  3 j  28  6  34







PRODUCTO ESCALAR DE DOS VECTORES El resultado tiene valor escalar.   Hasta ahora hemos considerado que los vectores unitarios i y j son perpendiculares. Pasamos a estudiar cuando entre ellos no hay 90º. Procura entender bien lo siguiente: En física, cuando aplicamos una fuerza a un cuerpo y éste se mueve decimos que hacemos un trabajo.

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Sobre un suelo horizontal con un fuerza F trasladamos un peso de 100 kilos a una distancia d. El producto F  d nos da el valor del trabajo (T). T = Fd Esto quiere decir que: Cuanto más fuerza tenemos que hacer, el trabajo será mayor. Cuanto mayor sea la distancia a la que hemos desplazado el cuerpo, mayor será el trabajo que hemos hecho. Entendemos como trabajo, en Física (mecánica), como el producto de una Fuerza por la Distancia que recorre un cuerpo al que le hemos aplicado la fuerza. La distancia que recorre es una magnitud vectorial porque tiene una medida –módulo-, una dirección y un sentido. Lo mismo sucede con la fuerza que hacemos sobre el objeto. Tenemos que indicar de cuanto es el valor de la misma, su dirección y sentido, incluso podemos hablar de su punto de aplicación. La fuerza la puedes aplicar en el mismo sentido que el desplazamiento. Tal como aparece en la última figura.

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Pero el ángulo que forma la fuerza con el desplazamiento puede variar entre un ángulo de 0º a 90º:

En el primer caso, el ángulo entre F y d es de 0º. En el segundo caso, el ángulo entre F y d es de 22º. En el tercer caso, el ángulo entre F y d es de 90º. ¿Puede influir el ángulo en la cantidad de trabajo que tenemos que hacer? La respuesta es sí. ¿Por qué? No es lo mismo hacer una fuerza en una dirección distinta a la del desplazamiento. El valor de la fuerza que actúa sobre el sólido en este caso, no tiene el mismo valor que si las direcciones de la fuerza y desplazamiento coincidieran. Cuando existe un ángulo entre F y d, tenemos que calcular la fuerza (f) que actúa en el sólido en la misma dirección que su desplazamiento:

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Como f es el cateto contiguo, hallamos el coseno de 45º: f cos45º = ; f = F  cos45º F

La verdadera fuerza que actúa sobre el sólido es f. Es la fuerza que tiene la misma dirección que el desplazamiento. La fórmula completa del trabajo será:

El coseno de 30º vale 0, 8660. El coseno de 45º vale 0, 7071. El coseno de 70º vale 0, 3421. El coseno de 90º vale 0, 0000. Ves que a medida que aumenta el valor del ángulo, el valor del cos α disminuye, lo que quiere decir que también el valor del trabajo será menor. Volvemos al origen del tema que estamos tratando. Producto escalar de dos vectores.

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Según vemos, el producto de dos vectores F y d siendo α el ángulo entre ellos es un valor escalar que procede de multiplicar los valores escalares de dichos vectores por el coseno del ángulo. A partir de ahora, tenemos en cuenta que dos vectores no sean perpendiculares tal como lo hemos considerado hasta ahora. A los vectores los representamos con letras minúsculas y con una   pequeña flecha sobre ellas indicando dirección y sentido: u, v .   Sus valores escalares o módulos los representamos: u , v El valor escalar del vector:

 es decir, u  32  52  34  5,83 .   Al coseno del ángulo que forman los vectores u y v lo   representamos por: cos(u, v) .     Ten en cuenta que u , v y cos(u, v) son números reales o   escalares. En cambio, u, v son vectores y los representamos:

  El producto escalar de los dos vectores- u, v -es:       u  v  u  v  cos(u, v)

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Como verás, en la fórmula del Trabajo decíamos que: T  F  d  cos(F, d)

y lo que hemos hecho aplicar lo anteriormente explicado.  21.20 Calcula el ángulo formado por los vectores u = (3,4) y  v  (2,5)

Respuesta 31º Solución       Tomamos la fórmula: u  v  u  v  cos(u, v)   y despejamos: cos(u, v)   uv   cos(u, v)    uv   Recuerda que los módulos u , v valen:   u  32  42 y v  (2) 2  52 Sustituyendo los datos conocidos:   cos(u, v) 

3  (2)  4  5 32  42  (2) 2  52



6  20 25  29



14 26,92582404

  cos(u, v)  0,51 que corresponde a un ángulo de 31º  21.21 Calcula el ángulo formado por los vectores u = (2,3) y  v  (1,5)

Respuesta: 22º       21.22 ¿Qué ángulo forman los vectores u  3i  j y v  7i  3 j ?

Respuesta: 42º 22

Solución   cos(u, v) 

3  7  1   3 32  12  7 2   3

2



21  3 10  58



18  0, 74 24,08

  cos(u, v)  0, 74 que corresponde a un ángulo de 42º

DOS MODOS DE CALCULAR EL PRODUCTO ESCALAR DE DOS VECTORES: Hemos estudiado que el producto escalar de dos vectores:   u  (4, 2) y v  (3, 6) podemos hacerlo: 4  3  2  6  24 De donde obtenemos:   u  v  24 También sabemos que podemos calcular el producto de dos vectores conociendo el ángulo que forman dichos vectores:     u  v  u  v  cos α

(I)

 Calculamos: u  42  22  20  4, 47  v  32  62  45  6, 71 cos 37º = 0,8

Sustituimos los valores hallados en la fórmula (I):   u  v  4, 47  6, 71  0,8  24

Vemos que obtenemos los mismos resultados.

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PRODUCTO ESCALAR DE DOS VECTORES PARTIR DE LA PROYECCIÓN DE UN VECTOR SOBRE OTRO   Nos fijamos en los dos vectores u y v de la figura siguiente:

  Vamos a proyectar el vector v sobre el vector u pero antes recordemos que:

Proyectar un punto A sobre una recta (r) es trazar una perpendicular desde el punto a la recta. El punto A’ en la recta es la proyección. La proyección de un segmento sobre una recta es el segmento AB sobre ésta limitada por las proyecciones de los puntos que lo determinan A’B’. En el caso de que el segmento tuviese un punto en común con la recta (A) tendríamos que proyectar solamente el otro extremo de dicho segmento (B):

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Ejemplos

Volvemos al tema.    Proyectamos el vector v sobre el vector u , y lo señalamos con v' :

 v' Si observas en la figura, el cos α =  . Haciendo operaciones v   vemos que v' = v  cos α .       Sabemos que u  v  u  v  cos(u, v) y en esta fórmula   sustituimos v  cos α por v' y nos queda:     u  v = u  v'    Ahora proyectamos u sobre v y llamamos u ' a la proyección.

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Hallamos el coseno del ángulo α:

 u' cos α =  u

  Haciendo operaciones: u' = u  cos α

      Reemplazando este valor en: u  v  u  v  cos(u, v)     uv = v  u'

El producto escalar de dos vectores es igual al módulo de uno de ellos por la proyección del otro sobre aquél.

Para saber el valor de una proyección nos basta con despejarla de la fórmula que nos interese:     Tomamos la fórmula u  v = v  u ' y de ella despejamos el valor    de la proyección de u sobre v , es decir, u ' :   uv  u'   v  21.23 Halla la proyección del vector u = (3,4) sobre el vector  v =(4, – 5). Dibuja.

Respuesta: – 1,25 Solución Fijamos los puntos.

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Comprobamos que tenemos dificultad aparente para trazar la    proyección de u sobre v . Prolongamos la línea del vector v y   ahora sí encontramos la recta para proyectar u sobre v .   uv  Aplicamos la fórmula: u '   v 3  4  4  (5) 8 8  u'     1, 25 2 2 6, 4 41 4   5   21.24 Halla la proyección del vector u = (–3, –4) sobre el  vector v = (4, – 5). Dibuja

Respuesta: 1,25    21.25 Tenemos el vector: u = (3i + kj) . Calcula el valor de k  para que sea u  1 (vector unitario).

Respuesta: 8 Solución Para que sean unitarios los módulos de ambos vectores han de valer 1.  u = 1 = 32  k 2 ;1  9  k 2 27

Elevamos los dos miembros de la igualdad al cuadrado: 1  9  k2 8  k 2 k  8

Comprobamos:  u = 1 = 32  k 2 ;1  9  k 2 sustituimos el valor de k por :  u = 1 = 32  ( 8) 2 ;1  9  8  1  1

8

    21.26 Tienes el vector: v = (-2i + hj) . Calcula h para que v sea igual a 1.

Respuesta: h = 3 21.27 ¿Cuánto vale el producto escalar de los vectores   u  (3, 4) y v  (5,6) ? Respuesta: 39 21.28 ¿Cuánto vale el ángulo formado por los vectores anteriores? Respuesta: 3º(aproximadamente)

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VECTORES EN EL ESPACIO Nuestra vida se desarrolla generalmente en espacios abiertos o cerrados. Es en estos últimos donde fijamos nuestra atención. En la siguiente figura vemos representado el espacio, con sus tres dimensiones:

Cualquier punto en el espacio de esta habitación la podemos referir a los valores de ancho (x), largo (y) y alto (z). En la figura que tienes a continuación, el punto K queda definido por los valores a, b y c.

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El vector que une el punto K con el origen de coordenadas O, lo representamos como queda reflejado en la figura:

Ves que el valor de K depende de los que tengan a, b y c. Cualquier punto P en el espacio queda determinado por las distancias correspondientes a las distancias o medidas de los 3 ejes que ves en la figura siguiente:

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 A la distancia OP le llamamos vector v que depende de los  valores que tengan x, y, z, luego v = (x, y, z)  21.29 Representa gráficamente v = (9,5,0)

Respuesta:

 21.30 Representa gráficamente v = (0,7,9)

Respuesta: Cuando una de las coordenadas es cero, el vector quedará representado en un plano de dos dimensiones:    v = x  y;v = x  z;v = y  z .

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DIAGONAL EN EL ESPACIO: La diagonal espacial o en el espacio de una figura geométrica como el ortoedro, es la línea que une dos vértices opuestos:

La diagonal h2 es la diagonal espacial. Si observas en el plano inferior tienes un rectángulo de 4  2 . Calculamos la diagonal de este plano h1 que es la hipotenusa (teorema de Pitágoras), cuyo valor será : h1= 2 2 + 4 2 = 20 = 4,4721 m

Este valor calculado es la medida de un cateto cuya hipotenusa es h2 y el otro cateto 3: h2 = 4,47212 + 32 = 29 = 5,3851 m.

Si calculo directamente h2 aceptando como catetos las 3 medidas tengo: h2 = 22 + 4 2 + 32 = 29 = 5,3851 m. Obtengo el mismo resultado. Hasta ahora venimos considerando los valores positivos de las componentes de los vectores. (Decimos las componentes y no los componentes por referirnos a las coordenadas).

32

Veamos un eje de coordenadas con valores negativos de sus componentes (2, 3, 4) :

En color verde los ejes cuyos valores son negativos.

21.31 Toma papel, lapicero y regla y veamos como dibujas el  vector v = (– 2,2,–4). Respuesta:

33

 21.32 ¿Cuánto vale el módulo del vector v = (2,3,4)?  Respuesta: v =5,38 Solución   v = (2,3,4); v  22  32  42  29  5,38

VECTORES UNITARIOS Son los que su módulo vale 1.

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Con respecto a lo estudiado anteriormente, ahora, añadimos la tercera dimensión k para el eje Z.

 Recordamos que las componentes del vector i son: (1,0,0) las componentes del vector j son: (0,1,0)  las componentes del vector k son: (0,0,1)  En los tres casos el módulo vale 1: i  12  0  0  1  j  0  12  0  1  k  0  0  12  1

Las coordenadas o también llamadas componentes de un vector podemos escribirlas:  v = (vx ,v y ,vz ) También podemos escribir:     v = 5i + 2j - 3k OPERACIONES CON LOS VECTORES Suma:   Sean a y b dos vectores cuyos valores son :     a = ax i + a y j + az k     b = bx i + by j + bz k La suma de los vectores es :      a + b = i(ax + bx )+ j(a y + by )+ k(az + bz )     21.33 Halla la suma de los vectores: v = 5i + 2j - 3k y     u = -6i + j + 5k      Respuesta: u + v = -i + 3j + 2k

35

Resta: Tomando los vectores anteriores nos basta sumar el primero con el opuesto del 2º o sustraendo: La resta de los vectores es :      a + b = i(ax - bx )+ j(a y - by )+ k(az - bz )     21.34 Halla la resta de los vectores: u = -6i + j + 5k menos     v = 5i + 2j - 3k      Respuesta: u - v = -11i - j + 8k Solución          -6i + j + 5k + (-5)i +(-2)j +(+3)k = -11i - j + 8k

Multiplicación: Hemos de considerar los casos siguientes: a) Multiplicar un escalar por un vector: El resultado es un valor escalar. Analicemos paso a paso.     Sea el vector a = ax i + a y j + az k multiplicamos por el número g a ambos miembros de la igualdad :     g.a = g  ax i + g  a y j + g  az k Vemos que el producto de un vector por un número se obtiene multiplicando cada componente del vector por dicho número.

Comprobamos:  Si v = (2,3,4) Multiplicamos por 2 a ambos miembros de la igualdad:

36

  2  v  2(2,3, 4); 2v  (4, 6,8)  Hallamos el módulo: 2v =

42  62  82  116  10, 76

  El módulo de v = (2,3,4) vale v = 22  32  42  29  5,38  donde comprobamos que 2  v  2  5,38  10, 76  21.35 Si las coordenadas de v son (2,– 4,3). ¿Cuáles son las  coord5nadas de 3 v ?

Respuesta: (6, – 12,9) b) Producto de dos vectores: Vamos a considerarlos de las dos formas como lo hicimos cuando estudiamos los vectores en el plano: 1) Suponemos que los vectores pertenecen a la base ortogonal (forman entre ellos 90º):

  Sean a y b dos vectores cuyos valores son :     a = ax i + a y j + az k     b = bx i + by j + bz k donde ax , a y ,az y bx , by ,bz son los coeficientes de x, y, z en este caso y en el futuro.

Multiplicamos los vectores:              a  b = ax i(bx i + by j + bz k)+ a y j(bx i + by j + bz k)+ az k(bx i + by j + bz k)

37

Quitamos paréntesis:         a  b = ax bx i 2  ax by ij + ax bz ik + a y bx ij + a y by j 2  by bz jk + 2   + az bx ik + az by jk + az bz k

Recuerda:   Los vectores unitarios i, j y k al ser ortogonales tienen por coordenadas:    i = (1,0,0), j = (0,1,0) y k = (0,0,1) Para multiplicar las coordenadas de un vector por las de otro, siempre que sean ortogonales, como veremos un poco más adelante, se multiplica el primer valor del primer vector por su correspondiente en cada uno de los otros dos vectores sumando los valores obtenidos de los productos. Tienes que tener en cuenta que:   i  j = 10 = 0  i  k = 10 = 0   j  k = 10 = 0 2 i  11  1 2 j  11  1 k 2  11  1

Si estos valores los llevas a: 2    2    a  b = ax bx i  ax by ij + ax bz ik + a y bx ij + a y by j  by bz jk + 2   + az bx ik + az by jk + az bz k

Todos los términos que contienen productos unitarios de ejes perpendiculares son iguales a cero, por lo que podemos escribir: 38

    a  b = ax bx i 2  0 +0 +0 + a y by j 2  0  0 +0 + az bz   ax bx  a y by  az bz

El resultado es un escalar que puede ser positivo, negativo o cero. También se le conoce a este producto con el nombre producto interno o producto punto (debido al signo de multiplicar que estamos utilizando).

21.36 Calcula el producto escalar de los vectores:   u = (1,2,3), v = (4,5,6)

Respuesta: 32 Solución   u  v  1  4  2  5  3  6  4  10  18  32 2) Lo estudiamos en Vectores en el Plano. Recordamos, el valor del producto escalar de dos vectores conociendo el ángulo que forman:       u  v  u  v  cos(u, v) Lo único que cambia respecto a lo estudiado en el producto escalar de dos vectores en el plano, es el número de componentes de cada vector que en el espacio son 3 : Ejemplo: Tenemos dos vectores con sus correspondientes componentes:   u  (u1 , u 2 , u 3 ) y v  (v1 , v 2 , v3 )   cuyo producto u  v  u1  v1  u 2  v 2  u 3  v3 Los módulos valdrán:

 u  u12  u 2 2  u 32

y

 v  v12  v 2 2  v32

      En u  v  u  v  cos(u, v) despejamos el coseno del ángulo que forman los dos vectores:

39

  cos(u, v) =

u1  v1  u 2  v 2  u 3  v3 u12  u 2 2  u 32  v12  v 2 2  v32

  21.37 Tenemos los vectores u = (1,2,3), v = (6,2,4) ¿Cuánto vale el ángulo que forman estos vectores?

Respuesta: 38º aproximadamente. Solución u1  v1  u 2  v 2  u 3  v3   En cos(u, v) = sustituimos los 2 2 2 2 2 2 u1  u 2  u 3  v1  v 2  v3 valores conocidos: 1 6  2  2  3  4 22 22   cos(u, v) =    0, 78 2 2 2 2 2 2 28 14 56  1 2 3  6 2 4 Si miras en las tablas trigonométricas o en la Hoja de Cálculo o una calculadora verás que corresponde al coseno de 38º aproximadamente.   21.38 Tenemos los vectores u = (1,2,3), v = (-5,-1,6) ¿Cuánto vale el ángulo que forman estos vectores?

Respuesta: 68º aproximadamente.   21.39 Si los vectores valen u = (1,2,3), v = (3,6,9) ¿Cuánto vale el ángulo que forman estos vectores?

Respuesta: 0º Solución   En I tenemos el vector u = (1,2,3) y en II, el vector v = (3,6,9) :

40

El segundo vector ves que es el resultado de multiplicar por dos las coordenadas del 1º.   Aplicando cos(u, v) =

u1  v1  u 2  v 2  u 3  v3 u12  u 2 2  u 32  v12  v 2 2  v32

tenemos:   cos(u, v) =

1 2  2  4  3  6 12  22  32  22  42  62



28 14  56



28 1 28

Como sabemos que el coseno de 0º vale 1 quiere decir que el   ángulo formado por los dos vectores cos(u, v) = 0.

21.40 Toma papel, bolígrafo y regla para representar el vector que tiene por coordenadas (3,4,4) y el origen en (1,1,1). Respuesta:

41

  21.41 Los vectores u  (3, 4, 2) y v  (4, 2, 2) ¿puedes asegurar que son perpendiculares?¿Por qué?

Respuesta: Sí, porque su producto escalar vale 0. Solución   u  v  3  4  4  (2)  2  (2)  12  8  4  12  12  0  21.42 ¿Cuánto tiene que valer h en el u  (3, h, 2) para que sea  ortogonal a v  (4, 2, 2) ?

Respuesta: h = 4 unidades. (En adelante, a las unidades las representaremos con una u) Solución Basta   que el producto escalar de ambos vectores valga cero: u  v  3  4  h  (2)  2  (2)  0;12  2h  4  0; 2h  8; h  4  21.43 ¿Son perpendiculares los vectores u  (2,3,5) y  v  (3,1, 2) ? ¿Por qué?

Respuesta: No, porque su producto escalar no es 0.

42

PRODUCTO VECTORIAL DE DOS VECTORES Es ahora, al referirnos al producto vectorial, cuando al signo de multiplicar lo representamos con el aspa o cruz de ahí que también llamemos producto cruz.   El producto vectorial de dos vectores produce un vector u  v perpendicular a los dos vectores.

En la siguiente figura, el producto vectorial de los dos vectores    situados en el plano: a y b es un nuevo vector c .

   Este vector u  v o c tienes las siguientes características: 

Características del vector u × v o c : Todo vector tiene sus propias particularidades como son: su módulo, su dirección y su sentido.

43

  Vamos a estudiar el valor del módulo del vector u × v , su dirección y sentido.

Módulo:

En la figura siguiente tenemos un plano donde hemos dibujado   los vectores u y v :

El senα será igual al cateto opuesto al ángulo dividido por la hipotenusa: AA' senα =  v Podemos escribir también: AA'   sen(u, v) =  v    de donde vemos que AA '  v  sen(u, v)

Si multiplicamos a los dos miembros de la igualdad por el módulo  de u tenemos:      u  AA '  u  v  sen(u, v)  El producto u  AA ' equivale a la superficie del paralelogramo OABC:

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 La base es u y la altura AA ' . También podemos expresar la superficie del paralelogramo OABC con el producto:     u  v  sen(u, v)   Como hemos dicho que a u  v equivale a:       u  v = u  v  sen(u, v) = Superficie del paralelogramo.

Según vemos en la línea anterior, el módulo del producto vectorial equivale al área del paralelogramo que está definido por los dos vectores:

  Superficie del paralelogramo = u× v       Vamos a analizar la igualdad: u  v = u  v  sen(u, v) :   El valor del módulo u  v depende de los valores de:    u,v y del sen( u,v)   Esto quiere decir que el valor de u  v aumentará o disminuirá si     lo hacen u , v o sen( u,v) que los tenemos en el plano.

Comprobemos:

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Disponemos de los datos siguientes:   u = 4,38, v = 2,46 y sen52º = 0,78 u.   Aplicando estos valores en: u  v = 4,38  2,46  0,78 = 8,39 u2

En resumen, vemos que el producto vectorial de dos vectores     u y v es otro vector que escribimos u  v , perpendicular al plano que los contiene cuyo módulo vale 8,39 u2 .   El vector u  v tiene un módulo que vale:       u  v = u  v  sen(u, v)

21.44 Según los datos de la figura siguiente, calcula el valor del   módulo del vector u  v :

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Respuesta: 8,13 u2. Dirección:   La dirección del vector u  v es la línea perpendicular al plano   que contiene los vectores u y v . Sentido:   El sentido de u  v o lo que es lo mismo, hacia dónde señala la punta de flecha de este vector nos lo da el dedo pulgar extendido de la mano derecha, un tirafondo, un sacacorchos,… tal como lo vamos a ver a continuación.

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  Si tomas el vector u  v con la mano derecha tal como ves en la figura, cerrando los dedos excepto el pulgar que lo mantienes extendido hacia arriba y giras la mano en el sentido inverso a la   marcha de las agujas de un reloj, de u a v por el camino más   corto el sentido del vector u  v lo señala el pulgar, en este caso hacia arriba o positivo.

Consideramos siempre el movimiento del primer vector hacia el encuentro con el segundo vector recorriendo el menor de los ángulos que forman los dos vectores.

Veamos el ejemplo del tirafondo. Aplicando la punta del mismo en el punto común de los tres vectores tal como lo tienes en la figura siguiente:

Para avanzar el tirafondo harías el mismo giro del que tendrías   que hacer para de ir de u a v por el camino más corto. El movimiento de giro lo haces en sentido contrario de la marcha de las agujas de un reloj. Exactamente sucede con el sacacorchos, si queremos introducir en  el corcho tendremos que girar de modo que el vector u llegue al  vector v por el camino más corto (sentido positivo):

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¿Qué sucedería cuando el giro lo tenemos que hacer para ir del   vector u al v coincidiendo con la marcha de las agujas de un reloj, el sentido será opuesto (negativo) al estudiado anteriormente. Veamos este caso, teniendo en cuenta la siguiente figura:

  Vemos que para ir del vector u al v por el camino más corto, el sentido de giro es contrario al que acabamos de estudiar. Ahora, el sentido del giro es contrario u opuesto al que estudiamos y coincide con la marcha de las agujas de un reloj.   ¿Por qué este cambio de sentido del vector u  v ?

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 Sucede que, ahora, el vector u ocupa un lugar negativo. Lo vemos cuando dibujamos un eje de coordenadas con las 3 dimensiones:

En color gris tenemos las prolongaciones de cada uno de los ejes referidos a cada una de las coordenadas correspondientes a los valores negativos de cada uno de ellos.   Volviendo a ( I ), para que el vector u encuentre al vector v por el camino más corto debe cambiar el sentido de giro. Ahora, tendrá que ser el opuesto al estudiado anteriormente, es decir, en este caso, coincidirá con el de la marcha de las agujas de un reloj.

Dicho de otro modo, para mantener el sentido de giro: mano  derecha, tirafondo, sacacorchos,… debe ir del vector v al vector  u. En este caso, y recordando que el opuesto de 5 es – 5 podemos     escribir v  u cuyo sentido es opuesto al de u  v y si son opuestos establecemos la igualdad:     u  v = – ( v  u ).

Podemos comprobar que no existe la propiedad conmutativa en     el producto de vectores, no es lo mismo u  v que v  u , son opuestos.   21.45 Calcula el valor del módulo del vector u  v sabiendo que

50

  el módulo del vector u = 3, el módulo del vector v = 3,93 y el   ángulo que forman los dos vectores: (u, v) = 60º. Estos datos los tienes en la siguiente figura:

Respuesta: 10,1 u2. aproximadamente Solución:       Sabemos que u  v = u  v  sen(u, v) ; sustituyendo por los valores conocidos:   u  v = 3  3,93  sen60º  3  3,93  0,86  10,1   21.46 Calcula el valor del módulo del vector u  v de la figura siguiente e indica, dibujando, su sentido:

51

Respuesta: 13,3 u2 con el sentido que indica la figura siguiente:

21.47 Calcula el producto vectorial de los vectores que ves en la   figura siguiente siendo u  6 y v  3,90 :

Respuesta: 20,2 u2 aproximadamente el valor de

  v u .

Por lo que acabamos de estudiar podemos decir que el producto vectorial de dos vectores no tiene propiedad conmutativa porque         no es lo mismo u  v que v  u , podemos escribir: u  v  v  u     pero sí podemos afirmar que u  v  (v  u) . Recuerda que en el producto vectorial de dos vectores SÍ es preciso saber el orden que multiplicamos los vectores. Cuanto acabamos de decir queda reflejado en las figuras siguientes:

52

Observamos en (1) que el producto de los vectores    a  b  sen(α)  c . En el caso de que el ángulo que formen los   vectores a y b fuese igual a 90º, es decir, si son perpendiculares podemos decir, que:    c  a  b porque sen 90º vale 1. En la figura (II) vemos que el sentido del vector c ha cambiado:

En este caso, al valor del vector c, para distinguirlo del (I), le asignamos el valor negativo.

Debe quedarte claro que, el producto vectorial de dos vectores    a  b produce un nuevo vector c cuyo módulo equivale al

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  producto de los módulos de a y b por el seno del ángulo que forman éstos.   Su dirección es perpendicular al plano donde se hallan a y b .  El sentido de c es el que tendría el avance de un tirafondos – con giro a la derecha, contrario a la marcha de las agujas de un reloj  – llevando el primer vector a sobre el segundo b por el camino más corto (el menor de los ángulos).

Según lo estudiado hasta ahora y teniendo en cuenta la figura última podemos decir que:  ×  

¿Qué en el caso de que el camino más corto fuese ir  sucedería  de b a a siguiendo el sentido de la mano derecha, tirafondo o sacacorchos ?

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 Compruebo que el sentido del giro para ir desde el vector b al    vector a es opuesto al sentido de ir del vector a al b , luego:  ×



 ×



 ×  o



 ×





Nota: Podemos prescindir de los paréntesis porque para multiplicar un producto indicado por un número, en este caso, por -1, basta con multiplicar este número por uno de los factores.

 × 21.48 ¿Es correcta la igualdad





? ¿Por qué?

   Respuesta: Sí, porque si en la igualdad × , multiplicamos ambos de la misma por el signo  miembros   menos nos queda:× .

DUDAS Es posible que cuando tengamos que representar un vector o su módulo surjan dudas respecto a la utilización del signo menos. ¿Podemos representar a un vector con el signo menos? Sí y significa el sentido del mismo, contrario u opuesto al de otro vector que tiene el mismo módulo o medida o magnitud, la misma dirección pero su sentido es opuesto por ejemplo:

¿Puede ser negativo el módulo de un vector? No, el módulo es la medida, la longitud o si quieres, la distancia entre dos puntos del vector. Estos dos puntos son el origen, A y el final, B que los ves en la figura siguiente.

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La medida de estos vectores es la misma. La distancia entre Almería y Ávila será la misma que entre Ávila y Almería siempre que hayamos tomado la misma ruta o dirección. Únicamente ha cambiado el sentido. Por otra parte, al escribir el valor del módulo de un vector entre   barras: v , u significa el valor absoluto de cada uno de ellos y sabemos que el valor absoluto de un número es el valor que tiene sin tener en cuenta su signo. Los valores absolutos de 4 y 4 son iguales a 4. ¿Pueden ser negativas las componentes de un módulo? Sí. Puedes comprobarlo en la figura siguiente:

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 En la figura ves al vector v = (–5, 3, 4). El valor correspondiente al eje x es – 5, 3 el correspondiente a al eje y 4 al eje z.

En la figura, en color rojo los valores negativos pertenecientes a cada uno de los ejes. Ves que los tres vectores determinan un volumen. El orden de los ejes los establecemos como mejor nos parezca aunque casi siempre destinamos el vertical para z cuando tratamos las tres dimensiones. Posiblemente hayas pensado que todo esto ya lo sabías y que se trata de una repetición. No te olvides (los romanos lo decían): La repetición es la madre de la sabiduría. VECTORES UNITARIOS EN EL ESPACIO Recordamos lo estudiado de los vectores unitarios en el plano.

   Los vectores i , j y k son: a) unitarios porque su módulo vale 1. b) independientes porque cada uno ocupa un eje del sistema de coordenadas.

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c) crean un espacio vectorial donde cualquier vector que se encuentre dentro   del mismo, es una combinación de esos valores  como v  2i  3 j  4k d) determinan la base canónica porque los ejes, además porque además de ser unitarios son ortonormales, que quiere decir, por un lado, ortogonales (perpendiculares) y de norma (canon, regla) 1.        21.49 Si el vector u  3i  j  2k y el vector v  2i  3 j  4k   ¿Cuánto vale u  v ?     Respuesta: u  v = 5i  4 j  2k Solución Sumamos del modo siguiente:  u  3i  j  2k     v  2i  3 j  4k sumando ambos miembros de la igualdad:     u  v = 5i  4 j  2k        21.50 Si el vector u  3i  j  2k y el vector v  2i  3 j  4k   ¿Cuánto vale u  v ?

Respuesta: 1 u. Solución        u  v = (3i  j  2k)  (2i  3 j  4k) , multiplicando cada término del multiplicador por cada uno de los del multiplicando tenemos:            u  v = (6i 2  9ij  12ik  2ij  3 j 2  4k i  4ik  6ik  8k 2 )

Sabemos que       i  j = 1  0 = 0;i  k = 1  0 = 0; j  k = 1  0 = 0; i  k = 1  0 = 0   i 2  1  1  1; j 2  1  1  1; k 2  1  1  1 Sustituyendo valores:   u  v = 6 +3 – 8 = 1 58

 21.51 ¿Cuánto vale el producto escalar de u  (1, 2,3) por  v  (1, 0, 2) ?

Respuesta: – 5 u. Solución   u  v =1  1  2  0  3  (2)  1  6  5 21.52 ¿Qué ángulo – aproximado – forman los vectores   u  (1,1,3) y v  (3,3, 2) ? Respuesta: 41º Solución Haciendo uso del producto escalar de dos vectores:       u  v  u  v  cos(u, v) sustituyendo por los valores numéricos que conocemos:   (1,1,3)  (3,3, 2)  3,316  4,795  cos(u, v)   12  15,9  cos(u, v) 12   cos(u, v)   0,75 15,9 Haciendo uso de las tablas trigonométricas compruebo que el ángulo de 41º vale 0,75 aproximadamente.

PRODUCTO VECTORIAL DE DOS VECTORES REFERIDOS A LA BASE CANÓNICA. Lo vamos a hacer como lo estudiado en el producto escalar de dos vectores:   Sean a y b dos vectores cuyos valores son :     a = ax i + a y j + az k     b = bx i + by j + bz k

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Multiplicamos los vectores:              a  b = ax i(bx i + by j + bz k)+ a y j(bx i + by j + bz k)+ az k(bx i + by j + bz k)

Hacemos operaciones:             a  b = ax bx i 2  ax by (i  j)+ ax bz (i  k)+ a y bx (j  i)+ a y by j 2 + a y bz (j  k)+     2 + az bx (k  i)+ az by (k  j)+ az bz k

Recuerda:    a  b=c . El producto vectorial de dos vectores ortogonales es:     Hemos estudiado que a  b = – b  a , es decir, no hay propiedad conmutativa en el producto vectorial. Hemos de tener en cuenta si el desplazamiento del primer vector sobre el segundo, por el camino más corto, coincide con el sentido contrario al de la marcha de las agujas de un reloj para conocer el signo del vector resultante del producto y este aspecto, posiblemente te lo aclare la figura siguiente:

   El producto vectorial i  j será igual a k porque el giro del   vector i sobre el j , por el camino más corto coincide con el sentido del tirafondo o sacacorchos.

   El producto vectorial j  k será igual a i porque el giro del   vector j sobre el k , por el camino más corto coincide con el sentido del tirafondo o sacacorchos.

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   El producto vectorial k  i será igual a j porque el giro del   vector k sobre el vector i , por el camino más corto, coincide con el sentido del tirafondo o del sacacorchos.    El producto vectorial j  i será igual a  k porque el giro del   vector j sobre el vector i , por el camino más corto, NO coincide con el sentido del tirafondo o sacacorchos, es opuesto.    El producto vectorial k  j será igual a i porque el giro del   vector k sobre el vector j , por el camino más corto NO coincide con el sentido del tirafondo o sacacorchos, es opuesto.    El producto vectorial i  k será igual a  j porque el giro del   vector i sobre el vector k , por el camino más corto NO coincide con el sentido del tirafondo o sacacorchos.

  Podemos preguntarnos ¿cuánto vale i  i o cualquier vector por sí mismo? Vale 0 porque se trata de vectores iguales con el mismo módulo (si el módulo de uno fuese diferente, no dejarían de ser paralelos), dirección y sentido y el ángulo entre ellos sería 0 y sabemos que el sen 0º = 0 En los recuadros siguientes puedes comprobar las diferencias entre el producto escalar y el producto vectorial de vectores unitarios: PRODUCTO ESCALAR DE DOS VECTORES UNITARIOS      i  j = 1  0 = 0;i  k = 1  0 = 0; j  k = 1  0 = 0 2 2 i  1  1  1; j  1  1  1; k 2  1  1  1

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PRODUCTO VECTORIAL DE DOS VECTORES UNITARIOS   2   2   2 i  i = i  0; j  j = j  0; k  k = k  0         i  j = k; j  k = i;k  i = j         j  i   k;k  j = i;i  k =  j

Si estos valores los llevas a:             a × b = a x bx i 2 + a x b y (i × j) + a x bz (i × k) + a y bx (j × i) + a y b y j 2 + a y bz (j × k) +      + a z bx (k × i) + a z by (k × j) + a z bz k 2

Eliminando los términos que contengan algún factor elevado al cuadrado nos quedará:           a × b = a x b y (i × j) + a x bz (i × k) + a y bx (j × i) + a y bz (j × k) +     + a z bx (k × i) + a z b y (k × j)

Sustituyendo el producto vectorial de los vectores entre paréntesis con sus correspondientes signos obtenemos:         a × b = a x b y k  a x bz j  a y bx k + a y bz i + a z bx j  a z b y i

Ordenamos a los términos con el mismo eje:         a × b = a y bz i  a z b y i + a z bx j  a x bz j + a x b y k  a y bx k

  Sacamos factores comunes a i, j y k :      a × b = (a y bz  a z b y )i + (a z bx  a x bz )j + (a x by  a y bx )k

62

Sucede que este modo de hacer el cálculo de un producto vectorial, pocos lo utilizan. Casi siempre se utiliza el determinante siguiente que es fácil de recordar y resolver para llegar exactamente al mismo resultado:  i   a  b  ax bx

 j ay by

 k az bz

Resolvemos el determinante escribiéndolo:

Las diagonales principales las tienes en color azul y en rojo las secundarias. El resultado será:

        a ×b = iaybz - kaybx + jazbx - iazby + kaxby - jaxbz Sacando factores comunes: 

   a ×b = i(aybz - azby )+ j(azbx - axbz )+k(axby - aybx )

Coincide con lo obtenido anteriormente:      a × b = (a y bz  a z b y )i + (a z bx  a x bz )j + (a x by  a y bx )k

Ejemplo:

63

  21.53 Calcula el valor del módulo del vector  producto a  b , si  las componentes de a = (2, 3, 4) y las de b  (3,1, 2) .

Respuesta: 117 u 2 Solución

          6i + 12j + 2k - 4j - 4i - 9k = 2i + 8j - 7k

  a  b  22  82  (7) 2  4  64  49  117 Otro modo de resolución del producto vectorial de dos vectores. MENOR COMPLEMENTARIO: El determinante anterior lo podemos resolver de otro modo:  Hacemos uso del menor complementario de los elementos

 k:

i, j

y

 Cuidado con el cofactor de j que por corresponder al lugar que ocupa, donde el número de fila vale 1 y el número de columna vale 2, la suma de ambos valores es 1 + 2 = 3 que al ser impar, el  signo de j será negativo.

Resolvemos el determinante anterior:

64

Finalmente nos queda:

Sustituimos los valores que conocemos:

Resolvemos:

Finalmente obtenemos:

Probablemente es éste, el modo de resolución más utilizado.  a = (1, 3,5) y las de 21.54 Sabiendo que las componentes   b  (3, 4, 6) calcula su producto vectorial o a  b :

65

Respuesta: – 2i + 9j – 5k  21.55 Calcula el producto vectorial de los vectores u = (1, 2, 3) y  v = (3. – 2, 1). Utilizas el modo de resolución que prefieras.

Respuesta: 8i + 8j + 8k    21.56 Halla el valor del producto u  v sabiendo que u = (– 3, 1,  3) y v = (2, 2, 2).

Respuesta: – 4i + 12 j – 8k 21.57 Si cambiamos el orden de los factores anteriores variaría el resultado? Comprueba el resultado. Respuesta: Sí, ahora los valores son : 4i – 12 j + 8k  21.58 Si las componentes de los dos vectores son: u = (1, 2, 3) y  v = (2, 4, 6) ¿podrías decir su resultado sin hacer uso de fórmula alguna? ¿Por qué?

Respuesta: 0i, 0j, 0k. Porque los vectores son paralelos (las componentes del 2º vector las obtenemos multiplicando por 2 a las del primer vector) y el ángulo al valer 0, el sen 0º = 0º.  21.59 Si las componentes de dos vectores son: u = (1, 2, 3) y  v = (2, 4, 6) ¿podrías hallar su resultado haciendo uso del producto vectorial?

Respuesta: Nula porque los vectores son proporcionales (el segundo vector es dependiente)    i j k 2 3 1 3 1 2   -j ab  1 2 3  i k 4 6 2 6 2 4 2 4 6

66

Resolviendo:    i j k      a  b  1 2 3  i(12 - 12) - j(6 - 6)  k(4 - 4) 2 4 6  21.60 Si las componentes de dos vectores son: u = (1, 2, 3) y  v = (2, 4, 6) ¿podrías decir el valor del ángulo que forman dichos vectores: 1º de memoria y 2º haciendo uso del producto escalar?

Respuesta: 1º Vemos que se tratan de dos vectores cuyas componentes son proporcionales, luego su ángulo vale 0º. 2º Recordamos que el producto escalar de dos vectores lo calculamos del modo siguiente:       u  v  u  v  cos(u, v)   Despejando cos(u, v) y sustituyendo valores conocidos:   uv 1 2  2  4  3  6   cos(u, v)      2 2 2 2 2 2 uv 1 2 3  2 4 6 2  8  18 28 28    1 14  28 3, 74  7, 48 28   Si el cos(u, v) es igual a 1, el ángulo que forman los dos vectores vale 0º  21.61 ¿Cuál es el ángulo que forman los vectores u = (2, 3, 4) y  v = (3,1,2)?

67

Respuesta: 32º aproximadamente. Solución Hacemos uso de:   uv 2  3  3 1  4  2   cos(u, v)      2 2 2 2 2 2 uv 2  3  4  3 1  2 

638 29  14



17 17   0,8437 5,3851  3, 7416 20,1494

Ahora tenemos que calcular el valor del ángulo cuyo coseno vale 0,8437 y para ello hacemos uso de la Hoja de Cálculo Excel. La función ACOS, es la que nos proporciona el resultado. Recuerda que el Excel trabaja con radianes y queremos pasar a grados por lo que escribiremos en la Hoja de Cálculo: =ACOS(0,8437)*180/PI() Obtenemos 32º como resultado, tomando solamente la parte entera. HALLAR EL ÁREA DE UN PARALELOGRAMO CONOCIENDO LOS VECTORES QUE FORMAN SUS LADOS El área de un paralelogramo puedes calcular a partir del valor de los módulos de los vectores de sus lados:

h     Vemos que sen α =  ; h = v • sen α = v • sen( u v ) v

68

    El área del paralelogramo lo calculamos = u  v  sen(u, v) , o   bien, hacemos uso del módulo del vector producto u  v .

Veamos: 21.62 Calcula el área del paralelogramo que determinan los   vectores u = (2, 3, 4) y v = (3,1,2): Respuesta: 10,8 u2 Solución Calculamos el área del paralelogramo de la figura que tienes a continuación (redondeamos los decimales):

    Área del paralelogramo = u  v  sen(u, v)       u   v  sen(u, v) ; u  22  32  42 ; v = 32  12  22   u = 29 = 5,3851 ; v = 14 = 3,7416 Calculamos la altura del paralelogramo: h sen32º   ;h  14  sen32º  3,7416  0,536  2 v  Conocemos la base del paralelogramo, u = 29 = 5, 4 y la altura

que es 2, el área será: 5, 4  2  10,8u 2 21.63 Calcula el área del mismo paralelogramo anterior   haciendo uso del módulo del vector producto u  v . Respuesta: 10,8 u2 Solución 69

  Calculo el vector u  v :    i j k 3 4 2 4 2 3   -j uv  2 3 4  i k 3 2 1 2 3 1 3 1 2    i j k 3 4 2 4 2 3   -j uv  2 3 4  i k 1 2 1 2 3 1 3 1 2      u  v  i(6 - 4) - j(4 - 12)  k(2 - 9)      u  v  2i + 8j - 7k     El módulo del vector u  v es: u  v  2 2 + 8 2 + (-7)2 = 117  10,8u 2

21.64 Calcula el área de un paralelogramo cuyos lados lo   componen los vectores u = (2, 4, 6) y v = (1,3, 5). Hazlo haciendo uso de:     1º) Área del paralelogramo = u  v  sen(u, v)   2º) Área del paralelogramo = u  v Respuesta: 4,9 u2 ÁREA DE UN TRIÁNGULO A PARTIR DEL MÓDULO PRODUCTO VECTORIAL DE DOS VECTORES Calcular el área de un triángulo a partir del paralelogramo es muy sencillo debido a que la mitad de aquél equivale a un triángulo. Comprobemos: 21.65 Calcula el área de un triángulo conociendo los vectores 70

  a = ( 4, 1,– 2) y b = (3,– 4 , 2):

Respuesta: 12,17 u2 Solución Calculamos primeramente el vector producto:   i j   ab  4 1 3 -4    a  b  i(2 - 8) -

 k  1 -2  4 -2  4 1 k -2  i -j -4 2 3 2 3 -4 2   j(8 + 6)  k(-16 - 3) = -6i - 14j - 19k

Ahora calculamos el módulo de este vector:   a  b  (6) 2  (14) 2  (19) 2 = 593 = 24,35 u2 Como la mitad de un paralelogramo equivale al triángulo 24,35  12,17u 2 tendremos que el área será: 2   21.66 Conociendo los vectores u  (1,1,3) y v  (3,3, 2) halla el área del triángulo que determinan:

Respuesta:

98 9,9 = = 4,95u 2 2 2

71

CÁLCULO DEL ÁREA DE UN TRIÁNGULO DADAS LAS COORDENADAS DE SUS TRES VÉRTICES Podemos calcular el área de un triángulo (en color verde) conociendo las coordenadas de los vértices del modo siguiente:

Sabiendo las coordenadas de los vértices podemos hallar los valores de los vectores.   Distancia AB  (8  2, 2  1, 6  3); u  (6,1,3) .   Distancia AC  (4  2, 7  1,5  3); v  (2, 6, 2) .   Conociendo los vectores u y v hallamos el área del triángulo:    i j k 1 3 6 3 6 1   uv = 6 1 3  i k -j 6 2 2 2 2 6 2 6 2         u  v = i(2 - 18) - j(12 - 6) + k(36 - 2) = -16i - 6j + 34k   Calculamos el módulo de u  v :   u  v  (16) 2  (6) 2  342  1448  38, 05 u 2

El área del triángulo valdrá la mitad:

38, 05  19, 025 u 2 2

72

21.67 Un triángulo tiene sus vértices en los puntos que se indican en la figura siguiente:

Calcula su área. Respuesta: 6, 22u 2 PRODUCTO MIXTO DE TRES VECTORES Hablamos de producto mixto porque intervienen el producto escalar y el producto vectorial y esto ya nos orienta a que deben intervenir 3 vectores.

Se trata del producto escalar de uno de ellos por el producto vectorial de los otros dos, obteniendo un resultado numérico como el procedente del cálculo del volumen de un paralelepípedo (poliedro cuyas caras son paralelogramos).       Sean u , v y w los vectores. El producto u  (v  w) es el producto mixto de tres vectores. El resultado no varía en el caso de que permutemos los factores en el mismo sentido de giro:

En realidad, estamos multiplicando escalarmente, un vector por el producto vectorial de dos vectores, que sería como decir:

73

multiplicamos el área de la base por la altura que equivale al volumen de un paralelepípedo. Sirviéndonos de lo ya estudiado tendríamos, suponiendo las coordenadas de los vectores:  u  ux  uy  uz  v  vx  v y  vz  w  wx  wy  wz ux    u  (v  w)  v x wx

uy vy wy

uz vz  u x v y w z  vz w y  u y v x w z  vz w x  u z vx w y  v y w x wz

La respuesta siempre debes darla con su valor absoluto. 21.68 El volumen de un ortoedro, como la de cualquier otro paralelepípedo se obtiene multiplicando el área de la base por la altura. Sabiendo que  los vectores que forman la base v  (2, 1, 4) y las componentes de la altura corresponden a:  w  (2, 4,3)  son: u  1,3,5 . ¿Cuál es el valor de este ortoedro? Respuesta: 37u 2 Solución Dibujamos la figura y colocamos los datos que conocemos:

Lo resolvemos: 74

1 3 5    u  (v  w)  2 1 4  1(3  16)  3(6  8)  5(8  2)  19  6  50  37 2

4

3

21.69 Tenemos tres vectores cuyas componentes son:    u  (2, 1,1) , v  (3, 2,5) y w  (3,5,1) .    Responde, tras comprobar, si el valor escalar de u  (v  w) es       igual a v  (w  u) y a w  (u  v) : Respuesta: Sí, son iguales a -45 Solución 2 1 1 3 2 5 3 5 1          u  (v  w)  3 2 5  v  (w  u)  3 5 1  w  (u  v)  2 1 1  45 3 5 1 2 1 1 3 2 5

La permutación exige que el factor que tomamos lo coloquemos por detrás “empujando” hacia la izquierda a los otros dos. Si no se respeta el sentido del giro produciremos un error. VOLUMEN DE UN TETRAEDRO A PARTIR DEL PRODUCTO MIXTO DE TRES VECTORES Seguramente estudiaste la obtención del volumen del tetraedro a partir de su arista:

En la figura anterior tienes un tetraedro en el que el dato conocido es la arista (a) del mismo. El volumen es: 75

2 × a3 V= 12 Sin embargo, podemos calcular el volumen de un tetraedro sirviéndonos del producto mixto de tres vectores. Sabemos que la base de un tetraedro es un triángulo y si conocemos dos vectores podemos hallar su área tal a partir del módulo del vector producto de dos vectores como estudiamos últimamente: 1   A = u×v 2 Para calcular el volumen de un sólido, la regla general es, área de la base por la altura, pero esto tiene unas limitaciones. Cuando las figuras geométricas son prismas, cuerpos geométricos limitados por dos polígonos paralelos e iguales que son sus bases, y tantos rectángulos como lados tiene cada una de estas bases, la regla general anterior se cumple. En el caso de las pirámides que son cuerpos geométricos cuyas bases son polígonos y sus caras triángulos, tantos como lados tiene el polígono de la base, has de tener en cuenta que, de un prisma triangular puedes obtener 3 pirámides de base triangular o tres tetraedros de igual volumen. Esto quiere decir que el volumen de un prisma triangular equivale al volumen de TRES TETRAEDROS. Por eso, el volumen de un tetraedro equivale a la tercera parte del volumen del prisma. A continuación tienes una secuencia de figuras geométricas en la que puedes ver:

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1º.- Prisma triangular. 2º.- En dos de las caras del prisma trazamos una diagonal y en (a) puedes apreciar la pirámide con el número 1. 3º.- La figura geométrica (a) la hemos separado en dos partes tal como puedes ver en (b). La primera pirámide o tetraedro (en el caso de que todas las caras fuesen triángulos equiláteros) está señalada con el 1 y el resto de la figura geométrica con el 2. 4º.- Tomamos la figura correspondiente al número 2 y trazamos una diagonal en la cara que de cuatro lados (c). Señalamos con el 3 al resto de la figura. 5º.- Separamos las figuras 2 y 3 (d) comprobando que son pirámides triangulares, y en el caso de que tuvieran caras formadas por triángulos equiláteros, serían tetraedros. De aquí deducimos que el volumen de un tetraedro es igual a la tercera parte del volumen de un prisma regular triangular.

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Pasemos a la práctica. Tenemos un tetraedro cuyos vectores indicamos:

El volumen de este tetraedro tras lo estudiado hasta ahora teniendo en cuenta el producto mixto será: 11     1    V   w uv   w uv 3 2  6 Aplicación:    Sean los vectores u = (1, 2, -1), v = (-2, -3, 2) y w = (2, -1, 3) 1 2 1    u  (v  w)  2 3 2  1(9  2)  2(6  4)  1(2  6)  7  20  8  5 2 1 3

1   1 5 V  w  u  v   5  u3 6 6 6 21.70 Calcula el volumen del tetraedro que determinan los    vectores: u = (2, 2, 1), v = (3, -1, -1) y w = (-1, 3, 2) Respuesta:

1 3 u 6

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VOLUMEN DEL TETRAEDRO CONOCIENDO LAS COORDENADAS DE LOS VÉRTICES Un tetraedro tiene 4 vértices. En cada uno concurren 3 caras que son triángulos equiláteros. Si conocemos las coordenadas de los vértices podemos hallar los vectores y a partir de ellos haciendo uso del producto mixto de vectores, su volumen. Ejemplo:

Conocemos las coordenadas de los vértices: A = ( 2, 2, 1); B = ( 3, 2, 1); C = ( 2, 4, 1); D = (5, 2, 2)    Hallamos los valores de los vectores u , v y w :   AB  (3  2,2  2,1  1);u  (1,0,0)   AC  (2  2, 4  2,1  1); v  (0, 2,0)   AD  (5  2,2  2, 2  1); w  (3,0,1)

Calculamos:

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1 0 0    u  (v  w)  0 2 0  1(2  0)  0(0  0)  0(0  6)  2 3 0 1

Aplicando el producto mixto la fórmula del volumen del 2 1 tetraedro: V   u 3 6 3 21.71 Conociendo los valores de los vértices de un tetraedro: A(4,3, 2);B(2, 4,5);C(8,0,3);D(1,1, 4) . Halla el volumen de dicho sólido. Ten en cuenta que los resultados se dan en valores absolutos. Respuesta: 9 u3

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