4 3 / V E C T O R E S EN EL E S P A C I O

131

Vectores en el Espacio H e m o s visto q u ecualquier p u n t o e n u np l a n o se puede representar c o m o u n p a r o r d e n a d o d e números reales. Análogamente, c u a l q u i e r p u n t o e n e l e s p a c i o s e p u e d e r e p r e s e n t a r p o r u n a terna ordenada d e n ú m e r o s r e a l e s (a, b, c)

(1)

3

R está c o m p u e s t o d e v e c t o r e s d e l a f o r m a ( 1 ) . P a r a r e p r e s e n t a r u n p u n t o e n e l e s p a c i o e m p e z a m o s p o r e s c o g e r u n p u n t o e n I R . L l a m a m o s a e s t e p u n t o e l origen, d e n o t a d o 0 . L u e g o d i b u j a m o s t r e s e j e s m u t u a m e n t e p e r p e n d i c u l a r e s q u e l l a m a m o s e l eje x, e l eje . y y e l eje z. E s t o s e j e s s e p u e d e n s e l e c c i o n a r d e v a r i a s m a n e r a s , p e r o l a selección m á s c o m ú n e s c o n l o s e j e s x e y d i b u j a d o s h o r i z o n t a l m e n t e c o n e l e j e z v e r t i c a l . E n c a d a e j e e s c o g e m o s u n a dirección p o s i t i v a y m e d i m o s l ad i s t a n c i a a l o l a r g o d e esee j e c o m o e lnúmero d e u n i d a d e s e n esta dirección p o s i t i v a m e d i d a s d e s d e e l o r i g e n . 3

Figura 4.28

X

L o s d o s s i s t e m a s básicos d e r e p r e s e n t a r e s t o s e j e s s e v e n e n l a F i g u r a 4 . 2 8 . S i l o s e j e s s o n u b i c a d o s c o m o e n l a F i g u r a 4.28», e n t o n c e s s e d i c e q u e e l s i s t e m a e s d e mano derecha; s i s e c o l o c a n c o m o e n l a F i g u r a 4.28¿?, s e d i c e q u e e s d e mano izquierda. E nlasfiguras l a sflechas indican l a sdirecciones positivas d e l o s e j e s . L a justificación d e e s t o s términos e s l a q u e s i g u e : E n u n s i s t e m a d e m a n o d e r e c h a , s i p o n e m o s l a m a n o d e r e c h a d e f o r m a q u e e l d e d o índice a p u n t e e n l a d i r e c c i ó n p o s i t i v a d e l e j e x, m i e n t r a s q u e e l d e d o m e d i o a p u n t e e n l a d i r e c c i ó n p o s i t i v a d e l e j e y, e n t o n c e s e l p u l g a r a p u n t a e n l a d i r e c c i ó n p o s i t i v a d e l e j e z. E s t e c o n c e p t o s e i l u s t r a e n l a F i g u r a 4 . 2 9 . P a r a u n s i s t e m a d e m a n o i z q u i e r d a l a m i s m a r e g l a sea p l i c a p a r a l am a n o i z q u i e r d a . E nl oq u e resta d e este t e x t o s e g u i r e m o s l a práctica común y d i b u j a r e m o s l o s e j e s c o o r d e n a d o s u s a n do u nsistema de m a n o derecha. Figura 4 . 2 9

V S i a ú n así s e t i e n e n p r o b l e m a s p a r a v i s u a l i z a r l a l o c a l i z a c i ó n d e e s t o s e j e s , p r u e b e e l s i g u i e n t e e n f o q u e . M i r e m o s c u a l q u i e r rincón d e l p i s o d e l a h a b i t a -

132

4/VECTORES EN R

2

Y R

: i

ción e n d o n d e e s t a m o s . L l a m e m o s a l rincón e l o r i g e n . E n t o n c e s e l e j e x está e n d o n d e s e i n t e r s e c a n e l p i s o y l a p a r e d a l a i z q u i e r d a ; e l e j e y e n l a intersección d e l p i s o y l a p a r e d a l a d e r e c h a ; y e l e j e z e s l a intersección d e l a s d o s p a r e d e s . E s t o se ilustra e n l a F i g u r a 4.30. L o s t r e s e j e s e n n u e s t r o s i s t e m a d e t e r m i n a n t r e s planos coordenados que son l l a m a d o s e l p l a n o xy, e l yz y e l xz. E l p l a n o xy c o n t i e n e a l o s e j e s x e y y e s simplemente elplano con elcual hemos estado tratando e n l am a y o r parte de e s t e l i b r o . L o s p l a n o s xz e yz s e p u e d e n p e n s a r d e m a n e r a a n á l o g a . H a b i e n d o c o n s t r u i d o n u e s t r a e s t r u c t u r a d e ejes y p l a n o s c o o r d e n a d o s , p o d e m o s d e s c r i b i r c u a l q u i e r p u n t o P e n R e n f o r m a única: 3

(2)

d o n d e l a p r i m e r a c o o r d e n a d a x e s l a d i s t a n c i a d e l p l a n o yz a P ( m e d i d a e n l a d i r e c c i ó n p o s i t i v a d e l e j e x y a l o l a r g o d e u n a l i n e a p a r a l e l a a l e j e x), l a s e g u n d a c o o r d e n a d a y e s l a d i s t a n c i a d e l p l a n o xz a P ( m e d i d a e n l a d i r e c c i ó n p o s i t i v a d e l e j e y y a l o l a r g o d e u n a l í n e a p a r a l e l a a l e j e y) y l a t e r c e r a c o o r d e n a d a z e s l a d i s t a n c i a d e l p l a n o xy a P ( m e d i d a e n l a d i r e c c i ó n p o s i t i v a d e l e j e z y a l o l a r g o d e u n a l í n e a p a r a l e l a a l e j e z). A s í , p o r e j e m p l o , c u a l q u i e r p u n t o e n e l p l a n o xy t i e n e c o o r d e n a d a z = 0; c u a l q u i e r p u n t o e n e l p l a n o xz t i e n e c o o r d e n a d a y = 0 y c u a l q u i e r p u n t o e n e l p l a n o yz t i e n e c o o r d e n a d a x = 0 . A l g u n o s p u n tos representativos se dibujan e n l a F i g u r a 4 . 3 1 .

4 3 V E C T O R E S EN EL E S P A C I O

133

1

E n e s t e s i s t e m a l o s t r e s p l a n o s c o o r d e n a d o s d i v i d e n I R e n o c h o ociantes a l i g u a l q u e e n I R l o sd o s ejes c o o r d e n a d o s d i v i d e n e l p l a n o e n c u a t r o c u a d r a n t e s . E l p r i m e r o c t a n t e es s i e m p r e aquél e n e l q u e l a s t r e s c o o r d e n a d a s s o n p o s i tivas. 2

E l s i s t e m a c o o r d e n a d o así e s c o g i d o e s f r e c u e n t e m e n t e l l a m a d o e l sistema coordenado rectangular o e l sistema coordenado cartesiano. U n a vez q u e n o s f a m i l i a r i c e m o s c o n l a f o r m a d e describir u n p u n t o e n este sistema, p o d r e m o s generalizar varios conceptos d e l plano.

TEOREMA 1

S e a n P= (x¡, y¡, z>) y Q = (x , y , z ) d o s p u n t o s e n e l e s p a c i o . E n t o n c e s l a d i s t a n c i a PQ e n t r e P y Q e s t á d a d a p o r 2

=

PQ

Demostración

2

V(JC, -

2

2

2

x)

+ (y, - y ) + (z, - z )

2

2

2

(3)

2

L o s d o s p u n t o s están d i b u j a d o s e n l a F i g u r a 4 . 3 2 . D e l t e o r e m a d e Pitágoras, c o m o l o s s e g m e n t o s PR y RQ s o n p e r p e n d i c u l a r e s , e l t r i á n g u l o PQR e s u n triángulo rectángulo y 2

2

PR Figura 4 . 3 2

/>(.*„ y

u

2

t

= PS

+

(4)

2

SR

S ( . Y „ >•;._-,)

)

-A

P e r o , u s a n d o n u e v a m e n t e e l t e o r e m a d e Pitágoras, » 2

PQ

2

=

(5)

2

PR +RQ

Así, c o m b i n a n d o ( 4 ) y ( 5 ) o b t e n e m o s 2

2

PQ

= PS

2

+ SR

(6)

2

+

RQ

C o m o las coordenadas x y z de P y S son iguales. PS

2

Análogamente,

R S

y

R 0

= ( y - , ) 2

2

(7)

2

y

= (x -x,)

2

(8)

= (z -z,)

2

(9)

2

2

2

Así, u s a n d o ( 7 ) , ( 8 ) y ( 9 ) e n ( 6 ) t e n e m o s 2

PQ

= (x - x,) 2

l o q u e c o m p l e t a l a demostración.

2

2

+ (y - y,) + (z - z,) 2

2

2

134

4/VECTORES EN R

EJEMPLO

1

2

Y R

:l

Calcule l a distancia entre los puntos (3, - 1 ,

Solución

P Q = V [ 3- ( - 2 ) ]

2

6)y ( - 2 , 3, 5). 2

2

+ ( - 1 - 3 ) + (6 - 5 ) = V 4 2

E n l a s S e c c i o n e s 4 . 1 y 4 . 2 d i s c u t i m o s p r o p i e d a d e s geométricas d e l o s v e c t o res e n e lp l a n o . D e b i d o a q u e l o s sistemas c o o r d e n a d o s e n R y R s o n m u y sim i l a r e s , n o es s o r p r e n d e n t e q u el o s vectores e n I R y R , t e n g a n estructuras m u y similares. Discutiremos a h o r a e lconcepto de u nvector e n e lespacio. E l d e s a r r o l l o d e e s t e t e m a seguirá e s t r e c h a m e n t e e l d e s a r r o l l o d e l a s últimas d o s s e c c i o n e s y p o r t a n t o s e omitirán a l g u n o s d e t a l l e s . 2

2

3

3

3

S e a n P y Q d o s p u n t o s d i s t i n t o s e n R . E n t o n c e s e l segmento de recta dirigido PQ e s e l s e g m e n t o d e r e c t a q u e v a d e P a Q. D o s s e g m e n t o s d e r e c t a d i r i g i d o s s o n equivalentes s i t i e n e n l a m i s m a m a g n i t u d y d i r e c c i ó n . U n vector e n R es e l c o n j u n t o d e t o d o s l o s s e g m e n t o s d e r e c t a d i r i g i d o s e q u i v a l e n t e s a u n segm e n t o d e r e c t a d i r i g i d o d a d o y c u a l q u i e r s e g m e n t o d e r e c t a d i r i g i d o PQ e n e s e c o n j u n t o e s l l a m a d o u n representante del vector. 3

H a s t a aquí, l a s d e f i n i c i o n e s s o n idénticas. P o r c o n v e n i e n c i a e l e g i m o s P c o m o elorigen d e f o r m a q u ee lvector v = O Q s e pueda describir p o rlas coord e n a d a s (x, y, z) d e l p u n t o Q. E n t o n c e s l a m a g n i t u d d e v = |v| = V * + y + z (Teorema 1). 2

EJEMPLO

2 Solución

2

2

S e a v = ( l , 3 , - 2 ) . E n c u e n t r e |v|. |V| = V 1

2

2

+ 3 + ( - 2 ) = N/14.

S e a n u = (x¡, y¡, z , ) y v = ( x , y , z ) d o s v e c t o r e s y s e a a u n n ú m e r o r e a l ( e s calar). Entonces definimos 2

2

2

u + v = (x, + x , y, + y , z , f Z ) 2

y

2

2

au = ( a x , , a y , , a z , )

E s t a e s l a m i s m a definición d e s u m a d e v e c t o r e s y multiplicación p o r u n e s c a l a r q u e teníamos a n t e s y se i l u s t r a e n l a F i g u r a 4 . 3 3 . Figura 4.33

(a)

(c)

4.3/VECTORES EN EL ESPACIO

135

Figura 4.33 (continuación)

U n vector unitario u e s u n v e c t o r d e m a g n i t u d 1 . S i v e s c u a l q u i e r v e c t o r d i s t i n t o d e c e r o , e n t o n c e s u = v/|v| e s u n v e c t o r u n i t a r i o q u e t i e n e l a m i s m a d i r e c c i ó n q u e v.

EJEMPLO 3 Solución

E n c u e n t r e u n v e c t o r u n i t a r i o q u e t e n g a l a m i s m a d i r e c c i ó n q u e v = (2, 4, - 3 ) . C o m o |v | = V 2 + 4 + ( - 3 ) = 7 2 9 , t e n e m o s que u = ( 2 / 7 2 9 , 4 / 7 2 9 , 2

2

2

-3/729).

3

A h o r a p o d e m o s d e f i n i r f o r m a l m e n t e l a dirección d e u n v e c t o r e n I R . N o p o d e m o s d e f i n i r l a c o m o e l ángulo 9 q u e f o r m a e l v e c t o r c o n l a p a r t e p o s i t i v a d e l e j e x p u e s , p o r e j e m p l o , s i O < 0 < 7 r / 2 , e n t o n c e s e x i s t e u n número infinito de v e c t o r e s q u e f o r m a n e l ángulo 9 c o n l a p a r t e p o s i t i v a d e l e j e x y t o d o s e l l o s f o r m a n u n c o n o ( F i g u r a 4.34). Figura 4.34

DEFINICIÓN 1

L a dirección d e u n v e c t o r v d i s t i n t o d e c e r o e n I R , s e d e f i n e c o m o l a d i r e c c i ó n * d e l v e c t o r u n i t a r i o u = v/|v|. 3

Observación. P o d r í a m o s h a b e r d e f i n i d o l a d i r e c c i ó n d e u n v e c t o r v d e U d e e s t a f o r m a . S i u = v/|v|, e n t o n c e s u = ( e o s 9, s e n 9) d o n d e 6 e s l a d i r e c c i ó n d e v. 2

D e f i n i r e m o s l a dirección d e u n v e c t o r e n términos d e c i e r t o s ángulos. S e a v e l v e c t o r OP d e s c r i t o e n l a F i g u r a 4.35. D e f i n i m o s a c o m o e l á n g u l o e n t r e v y l a p a r t e p o s i t i v a d e l e j e x, /8 e l á n g u l o e n t r e v y l a p a r t e p o s i t i v a d e l e j e y y y e l á n g u l o e n t r e v y l a p a r t e p o s i t i v a d e l e j e z- L o s á n g u l o s a, ¡3 y y s e c o n o c e n c o m o l o s ángulos directores d e l v e c t o r v. E n t o n c e s , d e l a F i g u r a 4.35,

* H a s t a aquí s o l a m e n t e t e n e m o s u n a i d e a i n t u i t i v a d e l a "dirección" d e u n v e c t o r u n i t a r i o , d e f o r m a q u e e s t a definición n o e s matemáticamente p r e c i s a . C o m o v e r e m o s b r e v e m e n t e , s i n e m b a r g o , l a dirección d e u n v e c t o r u n i t a r i o s e d e t e r m i n a p o r l o s ángulos q u e f o r m a e l v e c t o r c o n l o s e j e s coordenados.

136

4/VECTORES EN U- Y

R'

Figura 4.35

S i v es u n i t a r i o e n t o n c e s

|v| = 1 y

eos a = x

0

e o s |3 = y

0

eosy = z

(11)

0

P o r d e f i n i c i ó n , c a d a u n o d e e s t o s t r e s á n g u l o s e s t á e n e l i n t e r v a l o [ 0 , ir]. L o s c o s e n o s d e e s t o s t r e s á n g u l o s s o n l l a m a d o s l o s cosenos directores d e l v e c t o r v. Notemos, de lasEcuaciones (10), q u e

2 eos

2n , 2 * 0 + y + Z o x l + y l + Z J a + e o s fi + e o s y = r-75 = —5 5 ; = i |v| X f . + Vo + Z , 0

2

(12)

2

S i a , /3 y y s o n t r e s n ú m e r o s c u a l e s q u i e r a e n t r e 0 y ir q u e s a t i s f a c e n l a c o n d i ción ( 1 2 ) , e n t o n c e s d e t e r m i n a n u n v e c t o r único d a d o p o r u = ( c o s a , e o s /3, eos 7). Observación. S i v = (a, b, c) y |v| f 1 , e n t o n c e s l o s n ú m e r o s a, b y c s e c o n o c e n c o m o l o s números directores d e l v e c t o r v.

EJEMPLO 4 Solución

EJEMPLO 5

Encuentre los cosenos

directores delvector v = (4, - 1, 6 ) .

L a d i r e c c i ó n d e v e s v/|v| = v / V 5 3 = ( 4 / V 5 3 , -1/V53, 6/V53). Entonces cosa =4/753^0.5494, e o s0 = - 1 / 7 5 3 = - 0 . 1 3 7 4 , y eos 7 = 6 / 7 5 3 = 0 . 8 2 4 2 . D e aquí, u s a n d o u n a t a b l a d e c o s e n o s o u n a c a l c u l a d o r a d e b o l s i l l o o b t e n e m o s a = 56.7° = 0 . 9 8 9 r a d , 0 = 9 7 . 9 ° = 1 . 7 1 r a d , y 7 = 34.5° = 0 . 6 0 2 r a d . E l v e c t o r , j u n t o c o n s u s á n g u l o s a, /3 y 7 , a p a r e c e e n l a F i g u r a 4 . 3 6 .

Encuentre u n vector v de m a g n i t u d 7 y cuyos cosenos 1/73, y 1 / 7 2 .

directores sean

l/Tó,

4 ) V E C T O R E S EN EL ESPACIO

Solución

137

S e a u = ( l / V ó , 1 / V 3 , 1 / V 2 ) . E n t o n c e s u e s u n v e c t o r u n i t a r i o p u e s |u| = 1 . A s í , l a d i r e c c i ó n d e v e s t á d a d o p o r u y v = |v| u = 7 u = (7/Vó, 7 / V 3 , 7 / V 2 ) . Nota. P o d e m o s r e s o l v e r e s t e p r o b l e m a p o r q u e ( 1 / n / 6 ) + ( 1 / 2

/ v

3) + (I/

/

2

v

2) = 1. 2

E s i n t e r e s a n t e n o t a r q u e s i v, u n v e c t o r e n I R , s e e s c r i b e v = ( e o s 0)\ + (sen d o n d e 6 e s l a d i r e c c i ó n d e v, e n t o n c e s e o s 6 y s e n 6 s o n l o s c o s e n o s d i r e c t o r e s d e v. A q u í a = 6 y d e f i n i m o s 0 c o m o e l á n g u l o q u e v f o r m a c o n e l e j e y. ( F i g u r a 4 . 3 7 } . E n t o n c e s (3 = (ir/2)-a y así e o s (5 = e o s ( 7 r / 2 - a ) = s e n a y v se p u e d e e s c r i b i r e n f o r m a d e c o s e n o s d i r e c t o r e s : 2

v = c o s a i + cos£¡ j Figura 4.37

y

0

r

1

*

E n l a Sección 4 . 1 v i m o s q u e c u a l q u i e r v e c t o r e n e l p l a n o s e p u e d e e s c r i b i r e n términos d e l o s v e c t o r e s básicos i y j . P a r a e x t e n d e r e s t a i d e a a definimos

i =(1,0,0)

j = (0,1,0)

k = (0,0,1)

(13)

A q u í , i, j y k s o n v e c t o r e s u n i t a r i o s . E l v e c t o r i e s t á s o b r e e l e j e x, j e n e l e j e y y k e n e l e j e z ( e s t á n d i b u j a d o s e n l a F i g u r a 4 . 3 8 ) . S i v = ( x , y, z) e s u n v e c t o r cualquiera e n R - \ entonces v = (x, y,z )= ( x , 0 , 0 ) + (0, y , 0 ) + ( 0 , 0 , z )= x i + y j + z k E s t o e s : Cualquier vector v en U* se puede de los vectores i, j y k. S e a n P=(a b c , ) y Q = (a , v e c t o r v = PQ s e p u e d e e s c r i b i r u

u

2

b , c ). 2

2

escribir

de forma

única en

(14) términos

E n t o n c e s , c o m o e n l a Sección 4 . 1 , e l

138

4/VECTORES EN R- Y

\ = (a -a )i 2

i

+ (b -b )j 2

+

l

(15)

(c -c )k 2

x

Figura 4.38 (0.0,

l)

j

(0. í . o ) (1,0,0)

L o s v e c t o r e s v y PQ e s t á n d i b u j a d o s e n l a F i g u r a 4.39. Figura 4.39

,Q(u .h ,c ) 2

2

2

v = ( o j - ,JJ + ( c " 2

EJEMPLO 6

Solución

2

E n c u e n t r e u n v e c t o r e n e l e s p a c i o q u ese p u e d a r e p r e s e n t a r r e c t a d i r i g i d o d e (2, — 1 , 4) a (5, 1, —3).

p o re l s e g m e n t o d e

v = (5 - 2)i + [1 - ( - l ) ] j + ( - 3 - 4)k = 3i + 2j - 7k

3

L a definición d e p r o d u c t o e s c a l a r e n U e s , d e s d e l u e g o , l a definición q u e d i m o s e n l a S e c c i ó n 2.2. N o t e m o s q u e i - i = l , j - j = l , k * k = l , i - j = 0, j»k = 0 , e i « k = 0 .

TEOREMA 2

S i ip d e n o t a e l m e n o r á n g u l o p o s i t i v o e n t r e d o s v e c t o r e s u y v d i s t i n t o s d e c e r o , tenemos q u e

Demostración

EJEMPLO 7

L a d e m o s t r a c i ó n e s c a s i i d é n t i c a a l a d e m o s t r a c i ó n d e l T e o r e m a 4.2.1 y s e d e j a c o m o e j e r c i c i o ( P r o b l e m a 62).

C a l c u l e e l c o s e n o d e l á n g u l o e n t r e u = 3i — j + 2k y v = 4i + 3j — k.

4.3/VECTORES EN EL E S P A C I O

Solución

u • v = 7, |u| = V l 4 , y

139

|v| = V 2 6 , d e m o d o q u e e o s

0.3669 y p « 6 8 . 5 ° = 1.2 r a d .

DEFINICION 2

D o s vectores u y v distintos de cero son: i. Paralelos, s i e l á n g u l o e n t r e e l l o s e s c e r o ó r, ii. Ortogonales ( o perpendiculares), s i e l ángulo e n t r e e l l o s e s 7r/2.

TEOREMA 3

i. S i u ^ O , e n t o n c e s u y v s o n p a r a l e l o s s i y s ó l o s i v = c v u p a r a a l g u n a ii.

Demostración

EJEMPLO

8

Solución

Figura 4.40

N u e v a m e n t e , l a d e m o s t r a c i ó n e s fácil y s e d e j a c o m o e j e r c i c i o ( P r o b l e m a 63).

M u e s t r e q u e l o s v e c t o r e s u = i + 3j - 4 k y v = — 2i - 6j + 8 k s o n p a r a l e l o s . u « v = - 5 2 , | u | = V 2 6 , y |v| = V 1 0 4 = 2 V 2 6 . A s í , u • v/|u| |v| = - 5 2 / ( V 2 6 - 2 V 2 6 ) = — 1 , d e m a n e r a q u e e o s 6 = — 1 , 0= i r y u y v s o n p a r a l e l o s ( p e r o d e d i r e c c i o n e s o p u e s t a s ) . O t r a f o r m a d e v e r e s t o e s n o t a n d o q u e v = — 2u y , p o r e l T e o r e m a 3, u y v s o n p a r a l e l o s ( F i g u r a 4 . 4 0 ) .

(-2.

-6.8)

(1.3,

EJEMPLO 9

Figura 4.41

cons-

tante a^O. S i u y v s o n d i s t i n t o s d e c e r o , e n t o n c e s u y v s o n o r t o g o n a l e s s i y sólo s i u«v = 0 .

-4)

E n c u e n t r e u n n ú m e r o a t a l q u e u = 8¡ - 2j + 4 k y v = 2i + 3j + « k s e a n o r t o g o n a l e s

140

4/VECTORES EN R-' Y R ' :

Solución

D e b e m o s m o s t r a r q u e 0 = u«v = 10 + 4a d e d o n d e a = — §. L o s v e c t o r e s u y v están d i b u j a d o s e n l a F i g u r a 4.41.

V o l v a m o s a h o r a a l a definición d e l a proyección d e u n v e c t o r s o b r e o t r o . P r i m e r o e s t a b l e c e r e m o s u n t e o r e m a a n á l o g o a l T e o r e m a 4.2.4 ( y q u e t i e n e idéntica demostración).

TEOREMA 4

S e a v u n v e c t o r d i s t i n t o d e c e r o . E n t o n c e s p a r a c u a l q u i e r o t r o v e c t o r u, u •v w = u--rrrv M e s o r t o g o n a l a v.

DEFINICION 3

S e a n u y v d o s v e c t o r e s d i s t i n t o s d e c e r o . E n t o n c e s l a proyección d e n o t a d a proy u, se define v

Solución

v,

d e u e n l a d i r e c c i ó n v e s t á d a d a p o r (u • v)/|v|.

L a componente

E J E M P L O 10

de u sobre

como

S e a n u = 2i + 3j + k y v = i + 2 j - 6 k . E n c u e n t r e

proy u. v

A q u í (u • v)/|v| = 2/41 y p r o y u = i M + a r J - í f k . L a c o m p o n e n t e d e u e n l a d i r e c c i ó n v e s (u • v)/|v| = 2 / V 4 1 . 2

v

N o t e m o s que, c o m o e n e l caso d e l p l a n o , p r o y u es u n vector q u e tiene l a m i s m a dirección q u e v s i u«v0 y dirección o p u e s t a q u e v s i u«v0. v

P R O B L E M A S 4.3

E n l o s P r o b l e m a s d e l 1 a l 9 d i b u j e e l p u n t o d a d o e n U\ 1. ( 1 , 4 , 2 ) 4.(8,-2,3) 7. ( - 2 , - 8 , 0 )

2. ( 3 , - 2 , 1 ) 5. (-2, 1,-2) 8. (0,4,7)

3. ( - 1 , 5 , 7 ) 6.(1,-2,1) 9. (1,3,0)

E n l o s P r o b l e m a s d e l 1 0 a l 13 e n c u e n t r e l a d i s t a n c i a e n t r e l o s d o s p u n t o s . 10. ( 8 , 1 . 6 ) ; ( 8 , 1 , 4 ) 12. ( 3 , - 4 , 7 ) ; ( 3 , - 4 , 9 )

11. ( 3 , - 4 , 3 ) ; ( 3 , 2 , 5 ) 13. ( - 2 , 1 , 3 ) ; ( 4 , 1 . 3 )

4 3/VECTORES EN EL E S P A C I O

141 2

14. T r e s p u n t o s P , Q y R s o n colineales s i están e n l a m i s m a r e c t a . M u e s t r e q u e e n R , P , Qy R s o n c o l i n e a l e s s i P R = P Q + Q R ó P Q = P R + R Q ó Q R = Q P + P R . U s e e s t e último h e c h o e n R p a r a m o s t r a r q u e l o s p u n t o s ( - 1 , - 1 , - 1 ) , (5, 8 , 2) y ( — 3 , — 4 , —2) s o n c o l i n e a l e s . 15. M u e s t r e q u e l o s p u n t o s (3, 0 , 1 ) y ( 0 , - 4 , 0 ) y ( 6 , 4, 2) s o n c o l i n e a l e s . * 1 6 . S e a n P = (x y z¡) y Q = ( x , y , Z )- M u e s t r e q u e e l p u n t o m e d i o d e P Q e s e l p u n t o R = ((*, + x )/2Ay +y /2.) ( z , + z ) / 2 ) . [Sugerencia: M u e s t r e q u e P , Q y R s o n colineales y q u e P R = R Q . ] 17. E n c u e n t r e e l p u n t o m e d i o d e l s e g m e n t o q u e u n e a l o s p u n t o s (2, - 1 , 4 ) y (5, 7, - 3 ) . 3

u u

2

2

]

2

2

2

2

E n l o s P r o b l e m a s d e l 18 a l 31 e n c u e n t r e l a m a g n i t u d y l o s c o s e n o s d i r e c t o r e s d e l v e c tor dado. 18. 21. 24. 27. 30. 32. 33. 34. 35. 36. 37. *38. 39. 40.

v = 3j 19. v = 3i 2 0 . v = 4i j v = i + 2k 22. v = i - j + k 23- v = i + j k v= -i + j+ k 25. v = i - j - k 26. v = i + j k v= -¡-j +k 28. v = - i - j - k 29. v = 2i + 5 j - 7 k v = - 3 i - 3 j + 8k 31. v = - 2 i - 3 j - 4 k L o s t r e s ángulos d i r e c t o r e s d e c i e r t o v e c t o r u n i t a r i o s o n l o s m i s m o s y están e n t r e 0 y 7 r / 2 . ¿Cuál e s e l v e c t o r ? E n c u e n t r e u n v e c t o r d e m a g n i t u d 12 q u e t e n g a l a m i s m a dirección q u e e l v e c t o r d e l P r o b l e m a 32. M u e s t r e q u e n o e x i s t e ningún v e c t o r u n i t a r i o c u y o s ángulos d i r e c t o r e s s e a n x / 6 , TT/3 y i r / 4 . S e a n P = ( 2 , 1 , 4) y Q = ( 3 , — 2 , 8). E n c u e n t r e u n v e c t o r u n i t a r i o e n l a d i r e c ción P Q . S e a n P = ( — 3 , l , 7 ) y 0 = ( 8 , 1 , 7). E n c u e n t r e u n v e c t o r u n i t a r i o c u y a dirección s e a la opuesta a l a de P Q . E n e l P r o b l e m a 36 e n c u e n t r e t o d o s l o s p u n t o s R t a l e s q u e P R X P Q . M u e s t r e q u e e l c o n j u n t o d e p u n t o s q u e s a t i s f a c e n l a condición d e l P r o b l e m a 37 y l a condición | P R | = 1 f o r m a u n círculo. S i u y v están e n R " \ m u e s t r e q u e | u + v | ^ | u | + | v | . ¿Bajo qué c i r c u n s t a n c i a s l a d e s i g u a l d a d d e l P r o b l e m a 39 s e p u e d e s u s t i t u i r p o r u n a igualdad?

E n l o s P r o b l e m a s d e l 4 1 a l 53 s e a n u = 2 i - 3 j + 4 k , y t = 3i + 4 j + 5 k . 41. 43. 45. 47. 49. 50. 51. 54.

v = - 2 i - 3j + 5k,

w = i- 7 j + 3k.

Calcule u + v. 42. C a l c u l e 2 u - 3 v . Calcule t+ 3 w - v . 44. C a l c u l e 2u-7w-i-5v. Calcule 2v + 7 t - w . 46. C a l c u l e u • v . Calcule |w|. 48. C a l c u l e u - w - w t . C a l c u l e e l ángulo e n t r e u y w . C a l c u l e e l ángulo e n t r e t y w . Calcule proy v. 52. C a l c u l e p r o y , w . 53. C a l c u l e p r o y , v . E n c u e n t r e l a d i s t a n c i a e n t r e e l p u n t o P = (2, 1 , 3) y l a r e c t a q u e p a s a p o r l o s p u n t o s Q = ( — 1 , l , 2 ) y R = ( 6 , 0 , 1 ) . [Sugerencia: V e a e l P r o b l e m a 4 . 2 . 4 2 ] . 55. E n c u e n t r e l a d i s t a n c i a d e l p u n t o P = ( l , 0 , 1 ) a l a r e c t a q u e p a s a p o r l o s p u n t o s Q = ( 2 , 3 , - 1 ) y R = (6, 1 , - 3 ) . 56. M u e s t r e q u e l o s p u n t o s P = ( 3 , 5, 6 ) , Q = ( l , 2 , 7) y R = ( 6 , 1 , 0 ) s o n l o s vértices d e u n triángulo rectángulo. u

142

4 / V E C T O R E S EN R- Y R

;i

57. M u e s t r e q u e l o s p u n t o s P = ( 3 , 2 , - l ) , y g = ( 4 , 1 , 6 ) , / ? = ( 7 , - 2 , 3 ) y S = ( 8 , - 3 , 1 0 ) s o n l o s vértices d e u n p a r a l e l o g r a m o . *58. U n a f i g u r a sólida e n e l e s p a c i o c o n e x a c t a m e n t e c u a t r o vértices, s e c o n o c e c o m o u n tetraedro ( F i g u r a 4 . 4 2 ) . P r e p r e s e n t a e l v e c t o r O P . Q e l v e c t o r O Q y así s u c e s i v a m e n t e . S e t r a z a u n a r e c t a d e c a d a vértice a l c e n t r o i d e * d e l l a d o o p u e s t o . M u e s t r e q u e e s t a s c u a t r o líneas se i n t e r s e c a n e n e l p u n t o f i n a l d e l v e c t o r \ = ( P + Q + R + S)/4.

59. U n a f u e r z a d e 3 N actúa e n l a dirección d e l v e c t o r c o n c o s e n o s d i r e c t o r e s ( 1 / V 6 , l / \ / 3 , l / \ / 2 ) - E n c u e n t r e el trabajo realizado a l m o v e r el objeto del p u n t o ( 1 , 2 , 3) a l p u n t o ( 2 , 8 , 1 1 ) , d o n d e l a s d i s t a n c i a s s e m i d e n e n m e t r o s . [Sugerencia: Ejemplo 4.2.10]. 60. E n c u e n t r e e l t r a b a j o r e a l i z a d o c u a n d o u n a f u e r z a d e 3 N a c t u a n d o e n l a dirección del vector v = i + j — k , m u e v e u no b j e t o desde ( — 1, 3 ,4 )a (3, 7 , — 2 ) . N u e v a m e n t e l a d i s t a n c i a se m i d e e n m e t r o s . 6 1 . D e m u e s t r e q u e l a fórmula ( 1 5 ) e s c o r r e c t a . [Sugerencia: Siga los pasos que llevan a l a fórmula ( 4 . 1 . 1 0 ) ] . 62. D e m u e s t r e e l T e o r e m a 2 . 63. D e m u e s t r e e l T e o r e m a 3 . 64. D e m u e s t r e e l T e o r e m a 4 . *65. S e a P Q R u n triángulo e n R ' . M u e s t r e q u e s i u n a f u e r z a d e TV N m u e v e u n o b j e t o a l r e d e d o r d e l triángulo, e n t o n c e s e l t r a b a j o r e a l i z a d o p o r l a f u e r z a es c e r o . *66. E n c u e n t r e e l ángulo f o r m a d o e n t r e l a d i a g o n a l d e u n c u b o y l a d i a g o n a l d e u n a d e sus caras.

^T.T"

El Producto Cruz de dos Vectores H a s t a aquí e l único p r o d u c t o d e v e c t o r e s q u e h e m o s c o n s i d e r a d o e s e l p r o d u c to escalar o p r o d u c t o p u n t o . D e f i n i m o s a h o r a u n n u e v o p r o d u c t o l l a m a d o producto cruz t ( o producto vectorial) q u e sólo está d e f i n i d o e n R \

DEFINICION 1

S e a u = a , Í + b,\ + c , k y v = a , i + b j + c j k . E n t o n c e s e l producto cruz (producto vectorial) d e u y v, d e n o t a d o u x v , e s u n n u e v o v e c t o r d e f i n i d o p o r

* E l c e n t r o i d e d e u n triángulo e s u n p u n t o e q u i d i s t a n t e d e l o s vértices. + Ñola histórica: E l p r o d u c t o q r u z f u e d e f i n i d o p o r H a m i l t o n e n u n o d e l o s artículos e n q u e discutía l o s c u a t e r n i o n e s , p u b l i c a d o s e n Philosophical M a g a z i n e e n t r e l o s años 1844 y 1850.

4.4/EL P R O D U C T O C R U Z DE DOS V E C T O R E S

u x v = (b c l

c , b ) ¡ + ( c a - a c )\

2

2

1

2

1

Observe que el resultado del producto del producto escalar es un escalar.

143

(1)

+ (a b -b a )k

2

1

2

l

2

cruz es un vector

mientras

el

resultado

Parecería q u ee l p r o d u c t o c r u z h a s i d o d e f i n i d o d e u n a m a n e r a u n t a n t o a r bitraria. Existen obviamente varias maneras de definir u n producto vectorial. ¿ P o r q u é s e escogió e s t a definición? R e s p o n d e r e m o s a e s t a p r e g u n t a e n e s t a sección d e m o s t r a n d o a l g u n a s d e l a s p r o p i e d a d e s d e l p r o d u c t o c r u z e i l u s t r a n d o algunos de sus usos.

EJEMPLO 1 Solución

S e a u = i - j + 2k y v = 2i + 3 j - 4 k . C a l c u l e w = u x v. U s a n d o l a fórmula ( 1 ) , w = [ ( - l ) ( - 4 ) - (2)(3)]i + [(2)(2) - ( l ) ( - 4 ) ] j + [(1)(3) - (- l)(2)]k = - 2 i + 8j + 5k Nota. E n e s t e e j e m p l o u • w = ( i - j + 2k) • ( - 2 i + 8j + 5k) = - 2 - 8 + 1 0 = 0. A n á l o g a m e n t e v»w = 0. E s t o e s , u x v e s o r t o g o n a l t a n t o a u c o m o a v. C o m o v e r e m o s e n b r e v e , e l p r o d u c t o c r u z d e u y v s i e m p r e e s o r t o g o n a l a u y a v.

A n t e s d e c o n t i n u a r n u e s t r a discusión d e l o s u s o s d e l p r o d u c t o c r u z o b s e r v e m o s q u e h a y u n a f o r m a fácil d e c a l c u l a r u x v c o n e l u s o d e d e t e r m i n a n t e s .

TEOREMA 1

i uxv =

Demostración

¡

J

k

a,

b,

c,

a

b

c

2

2

a,

&,

a

b

2

o. »2

*

k

j

c

2

c, -j

c

2

2

a¡

c,

a

c

2

+ k

2

a,

b,

a

b

2

2

2

= (b c x

2

c b )i l

2

+ (c a l

2

- aiC )j 2

+ (a¡b

2

-

b a )k t

2

l o q u e e s i g u a l a u X v d e a c u e r d o a l a Definición 1 . * E s t e n o e s r e a l m e n t e u n d e t e r m i n a n t e p u e s i , j y k n o s o n números. S i n e m b a r g o , u s a n d o n o t a ción d e d e t e r m i n a n t e s , e l T e o r e m a 1 n o s a y u d a a r e c o r d a r cómo s e c a l c u l a u n p r o d u c t o c r u z .

144

4/VECTORES EN R- Y R

EJEMPLO 2

C a l c u l e u x v , d o n d e u = 2i + 4 j - 5 k y v = - 3 i - 2 j + k.

Solución

í

j

2

U X v =

k = (4 - 10)i - (2 - 1 5 ) j + ( - 4 + 12)k

4 - 5

-3

-2

1 = - 6 i + l 3 j + 8k

E l siguiente t e o r e m a r e s u m e a l g u n a s d e l a s p r o p i e d a d e s d e lp r o d u c t o

TEOREMA 2

S e a n u, v y w v e c t o r e s e n U

3

iii.

Entonces:

0.

i. u x O = O x u = ii.

y sea a u n escalar.

cruz.

uxv = -(vxu) (propiedad a n t i c o n m u t a t i v a d e lp r o d u c t o vectorial). (au)xv = a(uxv).

iv. u x ( v + w) = ( u x v ) + ( u x w )

(propiedad distributiva delproducto

vec-

torial). v. (u x v) • w = u • (v x w ) . ( E s t o e s l l a m a d o e l triple producto escalar d e u , v yw). vi. u • (u x v) = v • (u x v) = 0. ( E s t o e s , u x v e s o r t o g o n a l t a n t o a u c o m o a v). vii. Demostración

S i u y v s o n p a r a l e l o s e n t o n c e s u X v = 0.

i. S e a u = fl,i + ¿ ? | j + c k . E n t o n c e s ]

u x O =

ii.

a,

o,

c,

0

0

0

Oi + Oj + O k =

0

A n á l o g a m e n t e 0 X u = 0. S e a v = a \ + bj + c k . E n t o n c e s 2

2

i

' a

j

2

b

c

c

a,

o,

c,

1»,

UXV = a

02

2

k

k

i

2

-(vxu)

2

2

d e b i d o a q u e a l i n t e r c a m b i a r los renglones d e u nd e t e r m i n a n t e se tiene e l e f e c t o d e m u l t i p l i c a r e l d e t e r m i n a n t e p o r — 1 ( P r o p i e d a d 3.2.4). i iii.

(au)Xv =

a

2

i

k

i

aa |

ac, 02

c

2

= a

i 0,

"2

k £•

;

a (u X v )

0:

L a s e g u n d a i g u a l d a d s e d e d u c e d e l a P r o p i e d a d 3.2.2. iv. S e a w - o,i + 6,j + c,k. E n t o n c e s

4.4/EL P R O D U C T O C R U Z DE D O S V E C T O R E S i

u x ( v + w)

:

145

k

i

ai

a + a 2

c + c

3



i

a,

b,

a

b

2

2

k

+ c

2

j

b

a

b

k

i

a,

x

3

2

3

c

3

3

= (uxv) + (uxw) Aquí h e m o s u s a d o l a P r o p i e d a d 3 . 2 . 3 . v. ( u x v ) • w = [ ( b c - c b ) i + ( c a - a c ) j + ( a , b - b a ) k ] 1

2

2

1

1

• [a i + b ] + 3

= bc a i

2

3

2

1

2

2

1

2

3

— cb a l

2

c k]

3

3

+ cab x

2

—acb

3

1

2

3

+ a- b c í

2

3

—

b- a c í

2

3

P o d e m o s m o s t r a r f á c i l m e n t e q u e u • (v x w) e s i g u a l a l a m i s m a e x p r e sión*. S a b e m o s q u e u»(u x v) = (u X v)«u ( p u e s e l p r o d u c t o e s c a l a r e s c o n m u t a t i v o ; v e a l a p a r t e (/'/') d e l T e o r e m a 2 . 2 . 1 ) . P e r o , d e l a s p a r t e s (ii) y ( v ) d e este t e o r e m a , ( u x v ) • u = u • ( v x u ) = u • ( - u x v ) = - u • ( u x v ) . Así, u«(uXv)= - U ' ( u x v ) , l o c u a l p u e d e o c u r r i r s o l a m e n t e s i u«(uxv) = 0 . U n cálculo s i m i l a r m u e s t r a q u e v«(uxv) = 0 .

vi.

vii.

S i u y v s o n paralelos entonces m a 4.3.3) de f o r m a q u e i UXV =

i

k

ab

ac,

x

a (Teore-

=0

a, aa

pues u n determinante dad 3.2.6).

v = au p a r a algún e s c a l a r

x

c o n dos renglones

proporcionales

es cero

(Propie-

H e m o s v i s t o q u e u x v e s u n v e c t o r o r t o g o n a l t a n t o a u c o m o a v ( p a r t e vi d e l ú l t i m o t e o r e m a ) . P e r o s i e m p r e e x i s t e n a l m e n o s dos v e c t o r e s u n i t a r i o s o r togonales a u y v (Figura 4.43). S u p o n g a m o s q u e l o s vectores n y - n s o n a m b o s o r t o g o n a l e s a u y a v. ¿ C u á l d e e l l o s e s t á e n l a d i r e c c i ó n d e u x v? L a r e s p u e s t a e s t á d a d a p o r l a regla de la mano derecha. S i l a m a n o d e r e c h a s e p o n e d e f o r m a q u e e l d e d o índice a p u n t e e n l a dirección d e u y e l d e d o m e d i o Figura 4.43

-

y

• P a r a u n a interpretación geométrica i n t e r e s a n t e d e l t r i p l e p r o d u c t o e s c a l a r v e a e l P r o b l e m a 3 7 .

146

4 / V E C T O R E S EN K- Y R ' :

a p u n t e e n l a dirección d e v e n t o n c e s e l d e d o p u l g a r a p u n t a e n l a dirección d e u x v ( F i g u r a 4.44). Figura 4.44

¿Qué s u c e d e c u a n d o t o m a m o s e l p r o d u c t o c r u z d e l o s v e c t o r e s básicos i , j y k? E s sencillo verificar l o siguiente:

(2)

ixi = jxj = kxk = 0 ixj =k

kxi =j

jxk = i

(3)

jxi = -k

ixk = -j

kxj = -¡

(4)

P a r a r e c o r d a r e s t o c o n s i d e r e m o s e l c í r c u l o d e l a F i g u r a 4.45. E l p r o d u c t o c r u z d e d o s v e c t o r e s c o n s e c u t i v o s e n l a dirección d e l a s m a n e c i l l a s d e l r e l o j es p o s i t i v o ; e l p r o d u c t o c r u z d e d o s v e c t o r e s c o n s e c u t i v o s e n l a dirección Figura 4.45

c o n t r a r i a a l a d e l a s m a n e c i l l a s d e lr e l o j es n e g a t i v o . N o t e m o s q u e l a s fórmul a s p r e c e d e n t e s m u e s t r a n q u e e l p r o d u c t o c r u z no es asociativo pues, p o r e j e m p l o , i x ( i x j ) = i x k = j m i e n t r a s q u e ( i x i ) x j = 0 x j = 0, d e f o r m a q u e i x ( i x j ) * ( i x i ) x j . E n general,

U X ( v X w ) 5¿ ( U X v ) X W

EJEMPLO 3

C a l c u l e (3¡ + 4 k ) x ( 2 i - 3 j ) .

(5)

4 4/EL P R O D U C T O C R U Z DE D O S V E C T O R E S

Solución

147

E s t e es u n b u e n e j e m p l o d e l a u t i l i d a d d e l T e o r e m a 2 y l a s fórmulas ( 2 ) , (3) y ( 4 ) . T e n e m o s (314- 4 k ) x ( 2 1 - 3 j ) = ( 3 - 2 ) ( i x i ) 4- ( 4 - 2 ) ( k x i ) + 3 ( - 3 ) ( i x j ) +4(-3)(kxj) = 0+ 8 j - 9 k + 1 2 i = 12i+ 8 j - 9 k

S a b e m o s q u e u X v es u nv e c t o r o r t o g o n a l t a n t o a u c o m o a v . E l siguiente r e sultado n o sd a su magnitud.

TEOREMA 3

Demostración

S i ¡p e s e l á n g u l o e n t r e u y v , e n t o n c e s

E s fácil m o s t r a r ( c o m p a r a n d o

2

2

( P r o b l e m a 31). Entonces, c o m o (u«v) = |uXv|

2

2

2

2

= |u| H -|u| |v| 2

= |u| |v|

2

2

componentes)

2

eos

|u| |v| 2

2

q u e | u xv | = |u| |v| 2

2

—( u • v )

c o s V (delT e o r e m a 4.3.2), 2

p = | u | H

2

(1-cos

2

0)

2

s e n p

y e l t e o r e m a q u e d a d e m o s t r a d o t o m a n d o l a raíz c u a d r a d a d e a m b o s

lados.

E x i s t e u n ainterpretación geométrica i n t e r e s a n t e d e l T e o r e m a 3 . L o s v e c t o r e s u y v están d i b u j a d o s e n l a F i g u r a 4 . 4 6 y s e l o s p u e d e i m a g i n a r c o m o l o s d o s

Figura 4.46

x

l a d o s a d y a c e n t e s d e u n p a r a l e l o g r a m o . E n t o n c e s , d e l a geometría e l e m e n t a l , vemos que

Á r e a d e l p a r a l e l o g r a m o = | u | | v | s e n p = | u x v |

(7)

2

148

4 / V E C T O R E S EN R

EJEMPLO 4

2

Y R

3

E n c u e n t r e e l á r e a d e l p a r a l e l o g r a m o c o n vértices c o n s e c u t i v o s e n P = ( l , 3, —2), Q = (2, l , 4 ) y / ? = ( - 3 , 1 , 6 ) .

Figura 4.47

K(-3,

1,6)

6(2, 1 , 4 )

P ( l , 3, - 2 )

Solución

E l p a r a l e l o g r a m o e s t á d i b u j a d o e n l a F i g u r a 4.47. T e n e m o s A r e a = | P C 5 x " Q R | = | ( i - 2 j + 6k) x ( - 5 i + 2k)| ¡

í

1

-2

-5

0

k| 6 = | - 4 i - 3 2 j - 10k| = V 1 1 4 0 u n i d a d e s

cuadradas

2

P o d e m o s u s a r l a discusión a n t e r i o r p a r a d a r u n a interpretación geométrica del d e t e r m i n a n t e . Sea A u n a m a t r i z d e2 x 2 y sean u y v d o svectores c o n d o s componentes. Sean u =

yv =

g u r a 4.48. E l área generada

j . E s t o s v e c t o r e s están d a d o s e n l a F i -

p o r u y v s e d e f i n e c o m o e l área d e l p a r a l e l o g r a m o

dado e nl a figura. Figura 4.48

P o d e m o s pensar e n u y v c o m o vectores de

en elplano

xy.

= |u,t) -

uv\

«A r

"2

0/

lo

«i

j W

«1

v

i Área g e n e r a d a

p o ru y v = l u x vi

• N o t e m o s q u e éste e s e l v a l o r a b s o l u t o d e l d e t

0

2

0

2

= \(u v y

k

2

u v )k\ 2

x

2

2

x

4 4 EL P R O D U C T O C R U Z DE D O S V E C T O R E S

A

a

/

H

AhoraseanA = 2l

(

a

^

V

l

\a v 2i

+

a

i

2

V

+

í

i z \ f

0,22'

\a y v ' =

a

2

\

A

t

A

*

c

, u ' = ^ u , y v ' =A\.

i

Entonces u =

/

a

l l " l +

149

a

U

12 2\

\a u¡+a u / 2l

22

2

¿Cuál e s e l área g e n e r a d a p o r u' y v ' ? S i g u i e n d o l o s

a v' 22

2

pasos anteriores calculamos

i

Área g e n e r a d a p o ru' y v ' =|u'xv'| =

a

+a u

2

au

1

+a u

2

0

2

av

1

+a v

2

0

1

12

12

= |(a,, u , + a

1 2

u )(a 2

2 1

ü ! + a t > ) - (a u 2 2

k

ant), + a v

l l

u

í

2

2l

l

21

21

22

+ a u ){a^v

22

22

2

x

+

a v )\ 12

2

C o n álgebra e l e m e n t a l p o d e m o s v e r i f i c a r q u e l a última expresión e s i g u a l a

| ( a a n

2

2

- a

1

2

a

2

1

) ( u , u - U ÜI)| = ± d e t A 2

2

(área g e n e r a d a p o r u y v ) .

A s í ( e n e s t e c o n t e x t o ) : El determinante tiene el efecto de multiplicar el área. E n el P r o b l e m a 4 1 se p i d e m o s t r a r q u e , e n c i e r t o s e n t i d o , u n d e t e r m i n a n t e d e 3 x 3 tiene el efecto d emultiplicar el volumen.

P R O B L E M A S 4.4

E n l o s P r o b l e m a s d e l 1 a l 20 e n c u e n t r e el p r o d u c t o c r u z u x v . u =i-2j; v = 3k 2. u = 3 i - 7 j ; v = i + k u =i - j ; v =j + k 4. u -7k; v = j + 2k u = - 2 i + 3j; v = 7i + 4 k 6 . u = a i + b j ; v = c\ + d\ u = a i + b k ; v = ci + dk 8. u = a j + b k ; v = c i + d k u = 2 i - 3 j + k ; v = i + 2j +k 10. u = 3 i - 4 j + 2 k ; v = 6 i - 3 j + 5 k u = - 3 i - 2 j + k ; v = 6i + 4 j - 2 k 12. u = i + 7 j - 3 k ; v = - i - 7 j + 3 k u =i - 7 j - 3 k ; v= - i + 7 j - 3 k 14. u = 2 i - 3 j + 5 k ; v = 3 i j - k u = 10i + 7 j - 3 k ; v = - 3 i + 4 j - 3 k 16. u = 2i + 4 j - 6 k ; v = - i - j + 3 k u = 2i—j + k ; v = 4i + 2j + 2 k 18. u = 3 i - j + 8 k ; v = i + j - 4 k u = a i + a j + a k ; \ = bi + b\ + bk 2 0 . 11 = a i + b j + c k ; v = a i + b j — c k E n c u e n t r e d o s vectores u n i t a r i o s o r t o g o n a l e s a u = 2 i - 3 j y a v = 4j + 3 k . Encuentre d o svectores unitarios ortogonales a u= i+j + k y a v = i — j — k . U t i l i c e e l p r o d u c t o c r u z p a r a e n c o n t r a r e l s e n o d e l ángulo

1. 3. 5. 7. 9. 11. 13. 15. 17. 19. 21. 22. 23.

2

E n l o s P r o b l e m a s d e l 25 a l 30 e n c u e n t r e e l área d e l p a r a l e l o g r a m o c o n l o s vértices a d y a centes dados.

150

4 / V E C T O R E S EN R - Y

R

3

25. (1,-2,3); (2,0,1); (0,4,0) 27. (-2,1,0); (1,4,2); (-3,1,5) 2 9 . (a, 0 , 0 ) ; ( 0 , b , 0 ) ; ( 0 , 0 , c ) 2

26. (-2,1,1); (2,2,3); ( - 1 , - 2 , 4 ) 28. (7, - 2 , - 3 ) ; ( - 4 , 1 , 6); (5, - 2 , 3) 3 0 . ( a , b , 0 ) ; ( a , O, 6 ) ; (O, a , b ) = | u | | v | - ( u « v ) . [Sugerencia: D e s a r r o l l e e n términos d e 2

2

2

31. M u e s t r e q u e | u x v | sus c o m p o n e n t e s ] . 32. M u e s t r e q u e e l área d e l triángulo P Q R está d a d a p o r A 33. U t i l i c e e l r e s u l t a d o d e l P r o b l e m a 3 2 p a a c a l c u l a r e l área ces e n ( 2 , 1 , - 4 ) , ( 1 , 7 , 2 ) y (3, - 2 , 3). 34. C a l c u l e e l área d e l triángulo c o n vértices e n ( 3 , 1 , 7 ) ( 2 , 35. C a l c u l e e l área d e l triángulo c o n vértices e n ( 1 , 0 , 0 ) , ( 0 , e s t e triángulo. 36. M u e s t r e q u e s i u = ( o , , b , , c , ) , v = ( a , b , c ) y w = ( a , b r

2

2

ai u • (v x w) =

a a

*37.

2

3

2

bi b b

3

3

= j|PQxQ~R|. d e l triángulo c o n vérti- 3 , 4 ) y (7, - 2 , 4 ) . 1 ,0 ) y (0, 0 , 1). D i b u j e 3

, c ), entonces 3

c, 2

c

2

c,

S e a n u , v y w t r e s v e c t o r e s q u e n o están e n e l m i s m o p l a n o . E n t o n c e s e l l o s f o r m a n l o s l a d o s d e u n paralelepípedo e n e l e s p a c i o ( F i g u r a 4 . 4 9 ) . D e m u e s t r e q u e e l v o l u m e n d e l paralelepípedo está d a d o p o r V = | ( u x v ) - w¡.* [Sugerencia: E l área d e l a base es | u x v | ] .

Figura 4.49

u 38. C a l c u l e e l v o l u m e n d e l paralelepípedo d e t e r m i n a d o p o r l o s v e c t o r e s u = 2 i — j + k , v = 3i + 2j - 2 k , y w = 3 i + 2j. 39. C a l c u l e e l v o l u m e n d e l paralelepípedo d e t e r m i n a d o p o r l o s v e c t o r e s i — j , 3 i + 2 k , - 7 j + 3k. 40. C a l c u l e e l v o l u m e n d e l paralelepípedo d e t e r m i n a d o p o r l o s v e c t o r e s P Q , P R , y PS, d o n d e P = ( 2 , 1 , - 1 ) , (? = ( - 3 , 1,4 ) , P = ( - 1 , 0 , 2 ) y S = ( - 3 , - 1 , 5 ) . * * 4 1 . E l v o l u m e n g e n e r a d o p o r t r e s v e c t o r e s u , v y w d e O? s e d e f i n e c o m o e l v o l u m e n d e l paralelepípedo c u y o s l a d o s s o n u , v y w ( F i g u r a 4 . 4 9 ) . S e a A u n a m a t r i z d e 3 x 3 y sean u, = A u , v, = A \ , y w, = A w . M u e s t r e que: 3

V o l u m e n generado p o r u,, v, yw , = (± det/4)(volumengenerado por u, v y w)

• E s t o s i g n i f i c a q u e e l v o l u m e n d e l p a r a l e l o g r a m o está d a d o p o r

V =

4 5 R E C T A S Y P L A N O S E S EL E S P A C I O

151

E s t o m u e s t r a que a l igual que el d e t e r m i n a n t e d e u n a m a t r i z d e 2 x 2 m u l t i p l i c a el área, e l d e t e r m i n a n t e d e u n a m a t r i z d e 3 x 3 m u l t i p l i c a e l v o l u m e n .

,2 14

\1 a. b. c. d.

, 5

3 Iv , 2v /! - 1 51, u = l - 1 ) , v= = | 0 j y w= ^ 3 j . 0 6/ \ 0/ \4>

C a l c u l e e l v o l u m e n g e n e r a d o p o r u, v y w. C a l c u l e e l v o l u m e n g e n e r a d o p o r A u , Av y Aw. Calcule el determinante de A . M u e s t r e q u e [ v o l u m e n e n l a p a r t e (b)] = ( ± d e b 4 ) x [ v o l u m e n e n l a p a r t e (a)].

Rectas y Planos en el Espacio 2

E n elplano U

p o d e m o s e n c o n t r a r l a ecuación d e u n a r e c t a d a d o s d o s p u n t o s 3

d e l a r e c t a o u n p u n t o y l a p e n d i e n t e d e l a r e c t a . E n U , n u e s t r a intuición n o s d i c e q u e l a s i d e a s básicas s o n l a s m i s m a s . C o m o d o s p u n t o s d e t e r m i n a n u n a r e c t a deberíamos d e s e r c a p a c e s d e c a l c u l a r l a ecuación d e u n a r e c t a e n e l e s p a cio s ic o n o c e m o s dos p u n t o s e n ella. D eo t r a f o r m a s ic o n o c e m o s u np u n t o y l a dirección d e l a r e c t a d e b e m o s también s e r c a p a c e s d e e n c o n t r a r s u ecuación. E m p e z a m o s c o n d o s p u n t o s P=(x¡,

y

z ) y Q=(x ,

u

x

y,

2

2

U n v e c t o r p a r a l e l o a L es u n v e c t o r c o n representante

Z) e n u n a recta L . 2

Pc5. A s í , d e l a F ó r m u -

la 4.3.15 v = ( x - x ) i + (y -y )j + (z -z )k 2

1

2

1

2

(1)

1

e s u n v e c t o r p a r a l e l o a L . A h o r a , s e a R = (x, y, z) o t r o p u n t o e n l a r e c t a . E n t o n c e s PR e s p a r a l e l o a PQ,

q u e a s u v e z e s p a r a l e l o a v y así, p o r e l T e o r e m a

4.3.3 (2)

PR=tv

p a r a a l g ú n n ú m e r o r e a l t. D e l a F i g u r a 4 . 5 0 t e n e m o s ( e n c a d a u n o d e l o s t r e s casos posibles)

Figura 4.50

X

(a)

X

X

(b)

(c)

152

4 / V E C T O R E S EN R Y 2

Y , c o m b i n a n d o (2) y (3) obtenemos PR=OR-OP=ty o

OR =

OP+1\

L a E c u a c i ó n ( 4 ) e s l l a m a d a l a ecuación

(4)

vectorial

d e l a r e c t a L . S i R está e n L

e n t o n c e s ( 4 ) e s s a t i s f e c h a p a r a a l g ú n n ú m e r o r e a l t. I n v e r s a m e n t e , s i ( 4 ) e s s a t i s f e c h a e n t o n c e s r e g r e s a n d o s o b r e n u e s t r o s p a s o s v e m o s q u eP R es p a r a l e l a a v l o q u e s i g n i f i c a q u e R está e n L . S i d e s a r r o l l a m o s e n c o m p o n e n t e s l a Ecuación ( 4 ) o b t e n e m o s x i + y i + z k= x i+ X2J + x k + í ( x - X | ) i + r ( y - y ) + 1

3

2

x = x + t(x

—

y = yi +

f ( y - y i ) 2

z = z +

t{z -z )

x

ó

2

2

x

1

l

2

(5)

x

paramétricas

F i n a l m e n t e , r e s o l v i e n d o p a r a t e n ( 5 ) y d e f i n i e n d o x -x 2

de u n a recta.

=a,

x

y —y 2

x

= b, y

= c, e n c o n t r a m o s q u e

z —Z| 2

x - x

t

y - y i

Z - Z l

b

c

a

L a s E c u a c i o n e s ( 6 ) s e c o n o c e n c o m o l a s ecuaciones a,byc

EJEMPLO 1

2

x)

L a s E c u a c i o n e s ( 5 ) s e c o n o c e n c o m o l a s ecuaciones

son

f(z -Zi)k

(6)

simétricas

d e l a r e c t a . Aquí

s o n l o s números d i r e c t o r e s del v e c t o r v . D e s d e l u e g o , las E c u a c i o n e s ( 6 )

válidas sólo s i o , b y c s o n d i s t i n t a s d e c e r o .

E n c u e n t r e u n a ecuación v e c t o r i a l , l a s e c u a c i o n e s paramétricas y las

ecuaciones

simétricas d e l a r e c t a L q u e p a s a p o r l o s p u n t o s P = ( 2 , - l , 6 ) y c 9 = ( 3 , 1 , — 2 ) . Solución

Primero calculamos

v = ( 3 - 2 ) i + [ l - ( - l ) ] j + ( - 2 - 6 ) k = i+ 2 j - 8 k .

c e s , d e ( 4 ) s i R = (x,

y,

z) e s t á e n l a l í n e a , o b t e n e m o s

O P + t v = 2 i - j+ 6k+t(i + 2 j - 8 k ) x = 2+ í

Enton-

OR = x i + y j + z k =

ó

y = -

l + 2í

z = 6 - 8 f

Finalmente, c o m o a = l , 6 = 2 y c = - 8 encontramos lasecuaciones

simétricas

4 5 R E C T A S Y PLANOS EN EL E S P A C I O

x ^

=

y ^ l

1

2

153

z - 6

=

-

1

8

P a r a verificar esto v e a m o s q u e (2, - 1 ,6 ) y (3, 1 , - 2 )

'

están r e a l m e n t e e n l a

r e c t a . T e n e m o s [después d e s u s t i t u i r e s t o s p u n t o s e n ( 7 ) ] 2 - 2 -

- 1 + 1 6 - 6

r

—

=

3 - 2 1

—

=

°

1 + 1 - 2 - 6 ~

2

"

_

- 8

1

Se pueden encontrar otros puntos d e l a recta. Si t = 3, por ejemplo, 3

_ x - 2 _ y + l 1

obtenemos

z - 6

2

que n o sd a el p u n t o (5, 5, - 1 8 ) .

EJEMPLO 2

Solución

E n c u e n t r e l a s e c u a c i o n e s simétricas d e l a r e c t a q u e p a s a p o r e l p u n t o ( 1 , - 2 , 4 ) y e s p a r a l e l a a l v e c t o r v = i + j —k. U s a m o s l a f ó r m u l a ( 6 ) c o n P=(x ,y , * , )= ( 1 , - 2 , 4 ) y v c o m o a r r i b a d e form a q u e a= 1 , b= 1 y c= - 1 . E s t o n o s d a l

l

x - l _ y + 2 _ 2 - 4

i

"

i

¿ Q u é s u c e d e s i u n o d e l o s n ú m e r o s d i r e c t o r e s a , fió c e s c e r o ?

EJEMPLO 3

Encuentre P=(3,

Solución

las ecuaciones

4, - 1 ) y Q = ( - 2 ,

simétricas d e l a r e c t a q u e c o n t i e n e a l o s p u n t o s 4, 6).

A q u í v = — 5 i + 7 k y cr = — 5 , ¿> = 0 y c = 7 . E n t o n c e s u n a r e p r e s e n t a c i ó n

para-

m é t r i c a d e l a l í n e a e s x = 3 - 5 r , y = 4, y z = — 1 + 7 / . R e s o l v i e n d o p a r a t, e n contramos que

x - 3 z + l —— = - 5 7

y '

y = 4 y

L a e c u a c i ó n y = 4 e s l a e c u a c i ó n d e u n p l a n o p a r a l e l o a l p l a n o xz y así

hemos

o b t e n i d o u n a ecuación d e u n a r e c t a e n e s e p l a n o .

EJEMPLO 4

E n c u e n t r e l a s e c u a c i o n e s s i m é t r i c a s d e l a r e c t a ( e n e l p l a n o xy) q u e p a s a p o r l o s p u n t o s ( x , , y¡,0)y

( x , y , 0 ) d o n d e x , =ÉX . :

2

2

154

4 / V E C T O R E S EN R

Solución

2

Y R

3

Aquí, v = ( x - x ) i + ( y - y ) j 1

2

2

y

1

obtenemos

y P o d e m o s escribir esto

Aquí

0 : - > ' ) / ( x ' - X i ) = m, 1

2

l

y = mx+

1

- y

como

y - y i

yf — [0'i—y)V(X2—x )]x

2

=

l a pendiente

de l a recta.

Cuando

x =0 y =

= b, l a i n t e r s e c c i ó n d e l a r e c t a c o n e l e j e y. E s t o e s ,

b, q u e e s l a f o r m a s i m p l i f i c a d a d e u n a r e c t a e n e l p l a n o xy. A s í v e m o s

q u e l a s e c u a c i o n e s simétricas d e u n a r e c t a e n e l e s p a c i o r e a l m e n t e s o n u n a g e neralización d e l a ecuación d e u n a r e c t a e n e l p l a n o .

¿Qué s u c e d e s i d o s d e l o s números d i r e c t o r e s s o n c e r o ?

EJEMPLO 5

Solución

E n c u e n t r e l a s e c u a c i o n e s simétricas d e l a r e c t a q u e p a s a p o r l o s p u n t o s ( 2 , 3, - 2 ) y Q = (2, - 1 , - 2 ) .

P=

A q u í v = — 4 j , d e m a n e r a q u e a = 0, b= —4 y c = 0. U n a r e p r e s e n t a c i ó n

para-

m é t r i c a d e l a r e c t a e s , p o r l a E c u a c i ó n (5), x-2;

4t; z= — 2 . S a b e m o s

y-2—

q u e x = 2 e s l a e c u a c i ó n d e u n p l a n o p a r a l e l o a l p l a n o yz m i e n t r a s q u e z = — 2 e s l a e c u a c i ó n d e u n p l a n o p a r a l e l o a l p l a n o xy. S u i n t e r s e c c i ó n e s l a l í n e a

x=2,

z = — 2, q u e e s p a r a l e l a a l e j e y. D e h e c h o , l a e c u a c i ó n y = 3 — 4t d i c e , e s e n c i a l m e n t e , q u e y p u e d e t o m a r c u a l q u i e r v a l o r ( m i e n t r a s xy

Advertencia. L a s e c u a c i o n e s

z permanecen

fijas).

p a r a m é t r i c a s o s i m é t r i c a s d e u n a r e c t a no s o n

únicas. P a r a v e r e s t o b a s t a e m p e z a r c o n o t r o s d o s p u n t o s d e l a r e c t a .

EJEMPLO 6

E n el Ejemplo

1 l a r e c t a contenía a l p u n t o

(5, 5,

—18). E s c o j a m o s

P—

(5, 5 , - 1 8 ) y (3 = ( 3 , 1, - 2 ) . E n c o n t r a m o s q u e v = - 2 i - 4 j + 16k, así q u e x=5

— 2t, y - 5 — 4t, y z=

— 1 8 + 1 6 ? . ( N o t e m o s q u e s i t = §, o b t e n e m o s

z ) = (2, — 1 , 6).) L a s e c u a c i o n e s

(x,y,

simétricas a h o r a s o n

x - 5 _ y - 5 _ z + 1 8 -2

~ -4

~

16

L a ecuación d e u n a r e c t a e n e l e s p a c i o s e o b t i e n e e s p e c i f i c a n d o u n p u n t o e n l a r e c t a y u n v e c t o r paralelo

a e s t a r e c t a . P o d e m o s d e d u c i r l a ecuación d e u n

plano e n elespacio especificando u np u n t o e nelplano y u nvector ortogonal a c a d a v e c t o r d e l p l a n o . E s t e v e c t o r o r t o g o n a l s e c o n o c e c o m o e l vector normal s e d e n o t a p o r n ( F i g u r a 4.51).

y

4 5 R E C T A S Y PLANOS EN EL E S P A C I O

155

Figura 4.51

DEFINICION 1

Sea P u n p u n t o e ne lespacio y sean u nvector d a d o distinto d e cero. E n t o n c e s e l c o n j u n t o d e t o d o s l o s p u n t o s Q p a r a l o s c u a l e s PQ • n = 0 f o r m a n u n plano en

Notación

U s u a l m e n t e d e n o t a m o s u n p l a n o p o r TT. S e a P=(x , _ y , z ) u n p u n t o f i j o e n u n p l a n o c o n v e c t o r n o r m a l n = a\ + bj + ck. S i Q = (x, y, z ) e s c u a l q u i e r o t r o p u n t o e n e l p l a n o e n t o n c e s PQ = (x-x )\ + (y-y )j + (z-z )k. C o m o PQ±n, t e n e m o s PQ>n =0. P e r o esto implica q u e 0

0

n

0

n

0

a(x-x„)

+ b(y - y „ ) + c ( z - z ) = 0 o

(8)

U n a f o r m a m á s c o m ú n d e e s c r i b i r l a ecuación d e u n p l a n o s e d e r i v a fácilmente de (8):

ax + by + cz = d

donde

EJEMPLO 7

d = ax + by + cz 0

0

0

(9)

= OP • n

E n c u e n t r e e lp l a n o x q u epasa p o re lp u n t o (2, 5 , I )y tiene p o rvector n o r m a l al

n=i - 2 j+ 3k.

Figura 4.52

Solución

D e (8)obtenemos inmediatamente ( x - 2 ) - 2 ( y - 5 ) + 3 ( z - 1)= 0 ó x - 2 y + 3 z = - 5

(10)

156

4 ' V E C T O R E S EN R

2

Y R< :

E s t e p l a n o está d i b u j a d o e n l a F i g u r a 4 . 5 2 . Observación. E l p l a n o s e d i b u j a f á c i l m e n t e h a c i e n d o x =y = 0 e n l a E c u a c i ó n ( 1 0 ) p a r a o b t e n e r ( 0 , 0 , - § ) , x = z = 0 p a r a o b t e n e r ( 0 , f, 0 ) ey=z=0 para o b t e n e r ( — 5 , 0 , 0 ) . E s t o s t r e s p u n t o s están e n e l p l a n o .

L o s tres planos coordenados

se representan c o m o

sigue:

i. E l plano xy p a s a p o r e l o r i g e n ( 0 , 0 , 0 ) y c u a l q u i e r v e c t o r e n e l e j e z e s n o r m a l a é l . D e t a l e s v e c t o r e s e l m á s s i m p l e e s k. A s í , d e ( 8 ) , o b t e n e m o s 0 ( x - 0) + ()(y - 0 ) + 1(z - 0 ) = 0 , l oq u e n o s lleva a z = 0 c o m o l a e c u a c i ó n d e l p l a n o xy. sorprendente). ii. E l plano xz t i e n e l a e c u a c i ó n

iii.

E l plano

(11) ( E s t e r e s u l t a d o n o debería s e r m u y

y =0

(12)

x=0

(13)

yz t i e n e l a e c u a c i ó n

Tres puntos n o colineales d e t e r m i n a n u n plano pues ellos d e t e r m i n a n d o s vectores n o paralelos q u e se intersecan e n u n p u n t o ( F i g u r a 4.53). Figura 4 . 5 3

EJEMPLO 8

Solución

z

E n c u e n t r e l a ecuación d e l p l a n o Q =< - 2 , 3, - 1 ) y/?(!,

A,,(-2)

l

5

1

f lo

0 1

1

5 7 5

l)

Asíy=^-Q)zyx=^(j)z. F i n a l m e n t e , h a c i e n d o z = t, o b t e n e m o s l a r e p r e y = 1 1 lt, s e n t a c i ó n p a r a m é t r i c a d e l a r e c t a d e i n t e r s e c c i ó n : x — 1 2f—^t, y z = t. =

1

C o n c l u i m o s e s t a sección m o s t r a n d o c ó m o s e p u e d e c a l c u l a r l a d i s t a n c i a d e u n p l a n o a u n p u n t o ( F i g u r a 4.5.6). S i Q e s e l p u n t o , e n t o n c e s l a d i s t a n c i a r e Figura 4.56

Q

q u e r i d a e s l a d i s t a n c i a m e d i d a a l o l a r g o d e u n a r e c t a o r t o g o n a l a ir. E s t o e s , l a mínima d i s t a n c i a se o b t i e n e t r a z a n d o u n a p e r p e n d i c u l a r d e l p u n t o a l p l a n o . E s t o se h a c e c a l c u l a n d o ( p a r a c u a l q u i e r p u n t o P d e l p l a n o )

IPD-B!

D=

E J E M P L O 11 Solución

E J E M P L O 12 Solución

Iproy.PC

E n c u e n t r e l a d i s t a n c i a ¿ e n t r e e l p l a n o 2x—y

+ 3 z = 6 y e l p u n t o Q = ( 3 , 5, - 7 ) .

U n p u n t o e n e l p l a n o es P = ( 3 , 0 , 0 ) y n = 2 i - j + 3 k . E n t o n c e s , PQ = 5 j - 7 k , \PQ • n[ = 26 y |n| = sf\A d e f o r m a q u e D = 26/v/l4.

E n c u e n t r e l a d i s t a n c i a d e l p l a n o ax + by + cz = d a l o r i g e n . S i a ^ O , u n p u n t o d e l p l a n o e s P = (d/a, 0 , 0 ) . ( S i o = 0 p e r o b*0, u n p u n t o e n e l j p l a n o e s ( 0 , d/b, 0 ) l l e g a n d o a l m i s m o r e s u l t a d o ) . E n t o n c e s n = ai + bj + c k y P Q = -(d/a)i d e m o d o q u e \OP-n\ = \d\, |n| = v V + b + c y 2

2