Apuntes de F´ısica II

2.8.

Curso 2014-2015

Ecuaciones de Maxwell del electromagnetismo

Para el caso de cargas en movimiento hemos de describir la fuerza mediante una ley de interacci´on carga-campo y no carga-carga como es el caso de la ley de Coulomb o de Newton. Esto es debido a que la acci´on entre carga y campo en las proximidades de la misma es inmediata, no necesitamos pues, tener en cuenta el tiempo de propagaci´on del campo desde unas cargas a otras, lejos de las primeras. Por otra parte la carga detecta el campo en sus proximidades, con independencia de la fuente que lo origina. ~ yB ~ fue un objetivo permanente La determinaci´on de las ecuaciones para los campos E 8 durante a˜ nos. En 1873 Maxwell public´o su c´elebre tratado donde sintetiz´o de forma magistral, en cuatro ecuaciones todas las leyes anteriores, que hoy se extraen de ellas. Las cuatro ecuaciones de Maxwell en forma diferencial son: ~ ~ = 0, ~ = − ∂B , ∇·B ∇∧E (2.71) ∂t ~ ~ = ρe , ~ = 1 ∂ E + µ0 J~, ∇·E ∇∧B ε0 c2 ∂t donde J est´a dado por la siguiente definici´on Definici´ on 2.8.1 (Densidad de corriente el´ ectrica) X qj ~vj J~ ≡ δv

(2.72)

(2.73)

δv

y se ha utilizado la siguiente notaci´ on µ0 ≡

1 ≡ 4π 10−7 m kg C −2 . ε0 c2

(2.74)

La constante µ0 se denomina constante magn´etica9 . Las Ec.(2.71) se llaman, en ocasiones primer par de ecuaciones de Maxwell y la Ec.(2.72) forman el segundo par de ecuaciones de Maxwell. Las Ec.(2.71, 2.72) representan el triunfo de las acci´on pr´ oxima frente a la antigua idea acci´on a distancia. El lector debe comprobar que la constante c en (2.72) tienen dimensiones de velocidad. Como se ver´a en la secci´on 2.19 c es la velocidad de propagaci´on de la ondas electromagn´eticas en el vac´ıo; velocidad de la luz. Su valor es por definici´on c ≡ 299 792 458 m/s ≈ 3 · 108 m/s, que junto con la definici´on de segundo determinan el valor de metro (ver secci´on B.1). Es interesante se˜ nalar las consecuencias de una velocidad c infinita. Si hacemos v/c → 0 en (2.72) tenemos: ~ = 0, ∇ ∧ B ~ = 0, por lo que por analog´ıa con la electrost´ ~ = 0. ∇·B atica nos lleva a B ~ = ρe /ε0 , ∇ ∧ E ~ = 0. El electromagnetismo se reducir´ıa a la electrost´ atica misma ∇ · E ~ igual que la fuerza de Coulomb. As´ı mismo la fuerza de Lorentz, en el l´ımite ser´ıa F~ = q E En este l´ımite desaparecer´ıa la dependencia en ~v en la fuerza (2.77). En definitiva el campo ~ y la dependencia F (~v ) en (2.77) son consecuencia de que c tiene un valor finito. B ~ on es introducido por Maxwell motivado por la idea El t´ermino c12 ∂∂tE de la cuarta ecuaci´ de conservaci´on de la carga el´ectrica como segu´ıdamente se explica. 8

James Clerk Maxwell. F´ısico y matem´ atico ingles (1831-1879). Profesor en distintas universidades. Organiz´ o el prestigioso Laboratorio de Cavendish. 9 Antes llamada permeabilidad magn´etica de vac´ıo.

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2.8.1.

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Ley de conservaci´ on local de la carga

Definici´ on 2.8.2 (Intensidad de corriente el´ ectrica I)R Se llama intensidad de corrien~ Su unidad, el Amperio, te el´ectrica al flujo de J~ a trav´es de una superficie S, I ≡ S J~ · dS es una de las siete unidades fundamentales del SI, seg´ un la definici´ on de la secci´ on B.1. Aplicando la divergencia a la segunda ecuaci´ on (2.72) y utilizando luego la primera tenemos ∂ρe + ∇ · J~ = 0 ∂t

(2.75)

o bien en forma integral

Z Z d ~ (2.76) ρe dv = − J~ · dS, dt v S que expresa la ley de conservaci´on local de la carga: si la carga contenida en un volumen v cambia de Q a Q + ∆Q en un intervalo de tiempo ∆t, una cantidad ∆Q ha atravesado la superficie S, frontera de v con el exterior, en el tiempo ∆t. Como sabemos, la primera ec. (2.72) indica que las l´ıneas de campo electrost´ atico nacen y mueren en las cargas el´ectricas. La ~ es la primera ecuaci´ ecuaci´on an´aloga para la inducci´on magn´etica B, on (2.71); la divergencia ~ ~ de B es nula, es decir, B es solenoidal y las l´ıneas de campo ni nacen y ni mueren. Esto indica que el flujo magn´etico a trav´es de una superficie cerrada es nulo y las l´ıneas del campo ~ pueden cerradas. La figura 2.2 muestra un caso en el que las l´ıneas cerradas del campo B ~ estan entrelazadas10 . Si bien est´ ~ han de B a muy extendida la idea de que las l´ıneas de B ser neces´ariamente cerradas, esto no es cierto en general. Actualmente se han encontrado ejemplos sencillos donde las l´ıneas de campo no son cerradas.11

Figura 2.2: L´ıneas de inducci´on magn´eticas entrelazadas10

2.9.

Fuerza de Lorentz

La interacci´on de los campos electromagn´eticos con la materia es descrita por la fuerza de Lorentz.12 Es la fuerza ejercida sobre una carga q por los campos electromagn´eticos en su proximidad ~ + ~v ∧ B] ~ F~ = q[E (2.77) ~ la fuerza depende de la posici´ on y la velocidad de q y queda determinada por los campos, E ~ (el´ectrico) y B (inducci´on magn´etica), que pueden variar con el tiempo. 10 FUENTE: Metastable plasma structures in knotted magnetic fields. Jos´e M. Donoso. Annales de la Fondation Louis de Broglie, 33 no 1-2, pp. 69-84, (2008) 11 Para una descripci´ on m´ as detallada puede verse: Campos magn´eticos ca´ oticos creados por cables de corriente continua. J. Aguirre y D. Peralta-Salas. Revista Iberoamericana de F´ısica. 7 pp. 20-25, (2011) 12 Antoon Hendrik Lorentz, f´ısico holand´es (1853-1928). Catedr´ atico de f´ısica en la universidad de Leiden.

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Como hemos visto en la asignatura de F´ısica I, seg´ un el Principio de Relatividad de Galileo (PRG) las leyes de la naturaleza son iguales para todo sistemas inercial y en consecuencia las fuerzas no pueden depender de ~v , a lo sumo depender´an de ~v − ~vo , siendo ~vo la velocidad del sistema de coordenadas inercial, relativa a otro sistema inercial respecto al cu´al se determin´o ~v (invarianza en tr´ansito). Claramente la fuerza de Lorentz contradice el PRG. En este sentido la ecuaci´on (2.77) marca el inicio de una nueva f´ısica; la F´ısica Relativista.

2.9.1.

Fuerza y momento de un campo magn´ etico sobre un conductor

Consideramos el efecto de la fuerza de Lorentz (2.77) sobre un elemento de volumen δv ~ en ausencia de E ~ con densidad de corriente J, X X ~ rj ) ≃ ( ~ r) ≃ Jδv ~ ∧ B. ~ δF~ = qj ~vj ∧ B(~ qj ~vj ) ∧ B(~ (2.78) Si se trata de un hilo conductor, (2.78) puede expresarse as´ı ~ δF~ = Iδ~l ∧ B.

(2.79)

siendo δ~l un elemento de longitud del hilo. Para un tramo de hilo desde el punto a hasta el punto b, la fuerza ejercida por el campo magn´etico ser´ a pues Z b ~ ~ ∧ d~l, F = −I B (2.80) a

y el momento mec´anico ejercido por dicho campo ser´ a Z b ~ ′ ∧ B) ~ = ~ M r~′ ∧ (I dr

(2.81)

a

o bien para un circuito cerrado tenemos ~ = −I F y ~ = M

2.9.2.

I

I

~ ∧ d~l. B

~ ′ ∧ B) ~ r~′ ∧ (I dr

(2.82)

(2.83)

Tipos de problemas de electromagnetismo

~ yB ~ en t´erminos de ρe y J, ~ El estudio de las ecuaciones de Maxwell, que determinan E junto con la aplicaci´on de la fuerza de Lorentz (2.77) a cada part´ıcula con carga qj y masa mj dv~j ~ rj , t) + ~vj ∧ B(~ ~ rj , t)], = qj [E(~ (2.84) mj dt ~ en t´erminos de E ~ y que determinan el movimiento de cada carga qj (y por tanto ρe y J) ~ constituyen la electrodin´ B, amica cl´asica. Existen problemas parciales, como seguidamente se explica que admiten alg´ un tipo de aproximaci´on que simplifica el estudio de la cinco ecuaciones (2.71, 2.72, 2.84). Hay situaciones en que unas cargas, las que contribuyen dominantemente a los valores de ~ y B, ~ tienen movimiento conocido. Esto permitir´ıa ρe y J~, y por tanto a generar los campos E Dr. Ezequiel del R´ıo – etsi aeron´ autica y del espacio – UPM

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~ y B ~ a partir de ρe y J~ y de las en principio resolver las Ecs. (2.71) y (2.72) y hallar E condiciones de contorno, de forma independiente de la (2.84). Posteriormente se tratar´ıa la ~ y de B ~ donde ya se conoce Ec. (2.84) para las cargas que apenas afectan al los valores de E el lado derecho de (2.84). ~ y B, ~ es particularmente sencillo en ciertos casos: Conocidos ρe (~r, t) y J~(~r, t) hallar E ~ 1. Si las cargas est´an en reposo se tiene J~ = 0, y se crean campos estacionarios, ∂ E/∂t = 0, ~ ∂ B/∂t = 0, por lo que se recobran las ecuaciones (2.24) y (2.23) de la electrost´atica: ~ = 0 ,∇·E ~ = ρe /ε0 y para el campo B ~ tenemos ∇ ∧ B ~ = 0, ∇ · B ~ =0→B ~ = 0. ∇∧E ~ 2. En las condiciones ρe = 0, y J~ = 6 0 e independiente del tiempo, se tiene ∂ B/∂t = 0, ~ = 0, y por tanto E ~ = 0, ∇·B (2.85) y

~ = µ0 J~ ∇∧B

(2.86)

Las Ecs.(2.85, 2.86) son la ecuaciones de la Magnetost´atica y definen campos magn´eticos independientes del tiempo que ser´ an estudiadas en la siguiente secci´ on. De (2.86) y de (2.7) se sigue que ∇ · J~ = 0.

2.10.

Magnetost´ atica

Las Ecs.(2.85, 2.86) guarda una cierta simetr´ıa con la Electrost´atica. De un modo seme~ se jante a la introducci´on del potencial (escalar) V , se introduce ahora el potencial vector A; ~ busca un campo vectorial A que cumpla la ecuaci´ on ~ = B. ~ ∇∧A

(2.87)

De (2.87) resulta, como (2.85) exig´ıa, ~ = ∇ · (∇ ∧ A) ~ =0 ∇·B

(2.88)

~ Aplicando el rotacional a (2.87) y utilizando (2.86) tenemos para todo campo A. ~ ~ = −µ0 J, ~ ≡ −∇(∇ · A) ~ + ∇2 A −∇ ∧ (∇ ∧ A)

(2.89)

~ r ) dado J(~ ~ r ). Supongamos que se conoce A ~ y que se tiene ∇· A ~ = 0; ecuaci´on que determina A(~ resulta entonces ∇2 Ax = −µ0 Jx , o en forma vectorial

∇2 Ay = −µ0 Jy

∇2 Az = −µ0 Jz

~ = −µ0 J~ ∇2 A

(2.90) (2.91)

~ ∇ ·(∇2 A)

~ obedecer´ıa la ecuaci´ De (2.86) se tiene ∇ · J~ = 0 por lo que ∇ · A on = = 0, ~ cuya soluci´on es ∇ · A = 0, como se supuso. Por otra parte, por analog´ıa con la Electrost´atica, comparando la ecuaci´on (2.91) con le Ec. (2.26) cuya soluci´ on est´ a dada por la Ec.( 2.28) se obtiene inmediatamente Z Z Z Jy (r~′ )dv ′ µ0 µ0 µ0 Jx (r~′ )dv ′ Jz (r~′ )dv ′ Ax (~r) = A (~ r ) = A (~ r ) = (2.92) y z 4π v | ~r − ~r′ | 4π v | ~r − ~r′ | 4π v | ~r − ~r′ | 50

~ ∇2 (∇ · A)

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o bien en forma vectorial

Z ~ ′ J(~r )dv ′ . r − ~r′ | v |~

~ r ) = µ0 A(~ 4π

(2.93)

~ toma finalmente la forma El campo iducci´on magn´etica B ~ r ) = µ0 ∇ ∧ B(~ 4π

Z ~ ′ J(~r )dv ′ r − ~r′ | v |~

(2.94)

y calculando el rotacional tenemos finalmente la ley de Biot-Savart13 ~ r ) = µ0 B(~ 4π

Z

~ r′) ∧ J(~

v

~r − ~r′ dv ′ , | ~r − ~r′ |3

(2.95)

que es por tanto la soluci´on de la Magnestost´ atica para corrientes dadas. Para una intensidad de corriente I por un hilo sobre una curva Γ las integrales de volumen (2.93) y (2.95) para ~ yB ~ quedan reducida a las siguientes integrales de l´ınea a lo largo del hilo los vectores S ~ r ) = µ0 I A(~ 4π y ~ r ) = − µ0 I B(~ 4π

Z

Z

Γ

Γ

d~r′ , | ~r − ~r′ |

~r − ~r′ ∧ d~r′ . | ~r − ~r′ |3

(2.96)

(2.97)

Usualmente las Ecs.(2.93, 2.95, 2.96, 2.97) son dif´ıciles de integrar para obtener los vectores ~ o B. ~ An´alogamente a ley de Gauss ya vista, existe en magnetost´ S atica una ley que, para ~ sin utilizar expl´ıcitamente la ley casos de simetr´ıa adecuada, permite calcular el campo B de Biot-Savart. En efecto, integrando la ecuaci´ on (2.86) sobre cualquier superficie abierta S, apoyada en una curva cerrada Γ, se obtiene Z Z ~ ~ ~ ∇ ∧ B · dS = µ0 J~ · dS (2.98) S

S

y usando el teorema de Stokes, se obtiene la ley de Ampere14 I ~ = µ0 IΓ ~ · dl B

(2.99)

Γ

donde IΓ es la intensidad de corriente encerrada por Γ (los sentidos de circulaci´on y normal ~ se asocian como en un triedro a derechas). a dS 13

Baptiste Jean Biot (1774-1862) y Felix Savart (1791-1841) f´ısicos franceses. Profesores en el Coll`ege de France. 14 En honor a Andr´e Marie Ampere (1775-1836). Fue profesor en la Escuela Polit´ecnica de Par´ıs e inspector general de las universidades francesas. Matem´ atico precoz,(a los trece a˜ nos escribi´ o un tratado sobre secciones c´ onicas). Notable experimentador en el campo del electromagnetismo. En 1814 formula la hip´ otesis de Avogadro (formulada por este tres a˜ nos antes sin que Ampere lo supiera (ver p´ agina 16)). Introduce gran vocabulario relacionado con la electricidad: solenoide, electrodin´ amica, corriente, tensi´ on, . . . . Se dedic´ o tambi´en a estudios de bot´ anica, poes´ıa, m´ usica y filosof´ıa. Al final de sus d´ıas emprendi´ o la clasificaci´ on de todos los conocimientos humanos, proyecto que dej´ o inacabado.

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2.10.1.

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Definici´ on de amperio

Utilizando la ley de Ampere se obtiene f´acilmente el campo de inducci´on magnetica creado por un hilo recto infinito, y con la ecuaci´ on (2.80) tenemos la la fuerza por unidad de longitud que se produce entre dos conductores infinitos y paralelos por los que circula una intensidad I: µ0 I 2 (2.100) F = 2π D donde D es la distancia que separa ambos conductores. La ecuaci´on (2.100) es la que se tiene en cuenta, junto con la definici´on de amperio (p´agina 94) para fijar de forma exacta el valor num´erico de µ0 ≡ 4π 10−7 N A−2 . Dado que tambi´en c est´ a definida de forma exacta, tenemos la expresi´ on exacta para ε0 ≡ 1/(µ0 c2 ).

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