Electromagnetismo

2012/2013

Ecuaciones generales Modelo de Maxwell • Introducción • Fuentes de campo: – Carga eléctrica. Corriente eléctrica. – Ecuación de continuidad.

• Definición del campo electromagnético. • Ecuaciones de Maxwell. – Forma Integral. Forma diferencial.

• Ecuaciones de estado. – Influencia sobre los materiales. – Clasificación de medios. – Ley de Ohm. Constante de relajación.

• Condiciones en las interfases. • Linealidad de las ecuaciones de Maxwell. • Balance energético: Teorema de Poynting. J.L. Fernández Jambrina

Elmg 2a-1

Introducción • El modelo de Maxwell se compone de las denominadas ecuaciones de Maxwell junto con las ecuaciones de estado. • Es un modelo macroscópico: – Los materiales se consideran continuos. – En realidad son discretos, cuantificados, pero el elevado número de partículas elementales en los recintos habituales permite considerarlos continuos.

• Hay dos formas de expresar las ecuaciones de Maxwell: – Integral: » Flujos y circulaciones. – Diferencial: » Divergencias y rotacionales.

• Las fuentes del campo son las cargas y las corrientes. – Se suponen conocidos los conceptos de carga y corriente. – Se repasan los conceptos de densidades de carga y corriente. J.L. Fernández Jambrina

Grupo 25.1

Elmg 2a-2

1

Electromagnetismo

2012/2013

Carga eléctrica. • Se supone conocido el concepto de carga eléctrica. – El concepto de carga va unido siempre a un recinto: carácter integral. » Ejemplo: Carga contenida dentro de un volumen.

• Unidad: Culombio ó Coulomb (C) – Es una unidad muy grande. La carga de un esfera del tamaño de la tierra puesta a 1V es del orden de 0.7 mC

• Se puede considerar que los portadores de carga básicos son los protones, carga positiva, y los electrones, carga negativa. – En un cuerpo descargado la carga de unos y otros se cancela. – Los átomos no tienen por qué tener carga nula: iones. – En los metales existen electrones libres que se pueden desplazar entre una red de iones. – En los semiconductores existen ‘huecos’ y electrones.

J.L. Fernández Jambrina

Elmg 2a-3

Densidad de carga eléctrica volumétrica. • Magnitud diferencial o puntual asociada: Densidad de carga por unidad de volumen: – Definición: r ∆q dq ρ(r ) = lim = ∆ V → 0 ∆V dV

O

r r

dq dV

V

– Unidades: (C/m3) – Relación con la carga encerrada en un volumen:

r q = ∫∫∫ dq = ∫∫∫ ρ(r )dV V

J.L. Fernández Jambrina

Grupo 25.1

V

Elmg 2a-4

2

Electromagnetismo

2012/2013

Otros tipos de distribuciones de carga • Carga puntual: – Es el modelo simplificado de una carga contenida en un recinto de dimensiones muy pequeñas frente a la distancia de observación. – La densidad de carga volumétrica no está definida en el punto en que se encuentra la carga: » Por muy pequeño que sea el volumen siempre habrá una carga q en su interior: r ∆q q ρ(r ) = lim = lim =∞ ∆V → 0 ∆V ∆V → 0 ∆V » Su densidad se puede representar por una δ tridimensional: δ3 r r δ 3 (r ) = 0 ; r ≠ 0 r q 1 ; rq ∈ V r 3 r r ( ) δ r − r dV = r  r q ∫∫∫V q 0 ; rq ∉ V O r q ; rq ∈V r r r r q = ∫∫∫ ρ(r )dV =  ⇒ ρ(r ) = qδ3 (r − rq ) r V 0 ; r ∉ V q  J.L. Fernández Jambrina

V

Elmg 2a-5

Distribución superficial de carga. • Es un modelo simplificado de una distribución de carga tal que una de sus dimensiones es despreciable frente a la distancia de observación. – Caso típico: carga en la superficie de un conductor. O – Densidad de carga superficial:

r r

dS

S

dq

r ∆q dq ρ S (r ) = lim = C m2 ∆S → 0 ∆ S dS – Dificultad: la densidad de carga volumétrica no está definida en los puntos de la superficie. dV r r ∆S ∆q ρ(r ) = lim = lim ρ S (r ) =∞ ∆V → 0 ∆V ∆V → 0 ∆V dS ρS – Se puede representar por una δ. » si la superficie está definida por ui= uS : r r ρ(r ) = δ(un − uS )ρS (r ) J.L. Fernández Jambrina

Grupo 25.1

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Distribución lineal de carga • Es un modelo simplificado de una distribución de carga tal que dos de sus dimensiones son despreciables frente a la distancia al punto de observación. – Caso típico: carga de un hilo conductor. – Densidad de carga lineal: r ∆q dq ρ L (r ) = lim = C m ∆l → 0 ∆l dl

– Dificultad: la densidad de carga volumétrica no está definida en los puntos de la línea.

dl r r

O

dq C

r r ∆l ∆q ρ(r ) = lim = lim ρ L (r ) =∞ ∆V → 0 ∆ V ∆V → 0 ∆V

– Se puede representar por una δ2: » si la línea está definida por ui= ul,i y uj= ul,j : r r ρ(r ) = δ(ui − ul .i )δ(u j − ul . j )ρ L (r ) J.L. Fernández Jambrina

Elmg 2a-7

Corriente Eléctrica • La corriente eléctrica es la carga en movimiento. • La magnitud utilizada para la caracterización de la corriente eléctrica es la Intensidad de corriente que es la cantidad de carga que atraviesa una superficie S en la unidad de tiempo. (Magnitud integral) I=

dq A dt

– La unidad de intensidad de corriente es el Amperio, Ampère, que equivale a un flujo de 1 Coulomb en 1 segundo. – En un metal la velocidad de los electrones es variable, pero su velocidad media depende del campo eléctrico existente: – Aceleran hasta interactuar (chocar) con la red iónica fija y se frenan. – En un electrolito existen dos tipos de portadores, los iones positivos y negativos. » Sus velocidades medias dependen del campo eléctrico pero no tienen por qué coincidir. – Otro tanto se puede decir de los semiconductores. J.L. Fernández Jambrina

Grupo 25.1

Elmg 2a-8

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Densidad de corriente volumétrica • Caracteriza la corriente eléctrica punto a punto. • Definición: – Es un vector: » definición por componentes: r ∆I dI nˆ ⋅ J = lim = ∆S → 0 ∆S dS

n$

S

dS

dI

OjO

• Unidades: Amperio/metro2, es decir, A/m2 • Relación con la intensidad de corriente: r r r I = ∫∫ dI = ∫∫ J ⋅ nˆdS = ∫∫ J ⋅ dS S

S

S

• Debería hablarse de densidad superficial de corriente volumétrica. – Densidad superficial porque es la densidad de flujo de cargas a través de una superficie en la unidad de tiempo. – Corriente volumétrica porque las cargas se mueven dentro de un volumen. J.L. Fernández Jambrina

Elmg 2a-9

Densidad de corriente volumétrica (2) • Suponiendo un único tipo de portadores: » densidad de carga asociada: ρ r » Velocidad media de desplazamiento: v

• La carga ∆q que atraviesa una superficie arbitraria en un intervalo ∆t a partir de un instante t0, es la que en dicho instante está contenida en el volumen ∆V : r r r r ∆q ρ∆V ρv ⋅ nˆ dtdS J ⋅ nˆ = lim = lim = = ρv ⋅ nˆ ∆S → 0 ∆S∆t ∆S → 0 ∆S∆t dSdt

• Puesto que la superficie es arbitraria: r r J = ρv

• En el caso de varios tipos de portadores: r r r J = ∑ J i = ∑ ρi vi i

v ⋅ n$ ∆t

r v ∆t

n$

r v

ρ

∆S

i

• Unidades: A/m2

OjO J.L. Fernández Jambrina

Grupo 25.1

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Electromagnetismo

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Distribuciones de corriente superficial • La corriente superficial es una aproximación de una corriente que circula a través de un recinto de espesor despreciable frente al punto de observación. • La densidad de corriente superficial δ>0 dI caracteriza este tipo de distribuciones. r ∆I dI nˆ ⋅ J S = lim = ∆l → 0 ∆l dl r r r » l es la intersección de la superficie dI = J ⋅ dS = J ⋅ nˆδdl por la que circula la corriente con la que se utiliza para el cálculo de la intensidad. » n$ está contenido en la superficie por la que circula la corriente y δ=0 dI es normal a l OjO • Unidades: A/m r r – Amperios/(Unidad de anchura) dI = J S ⋅ dl • Relación con la intensidad: r I = ∫ dI = ∫ J S ⋅ nˆdl L

nˆ

dl

nˆ

dl

L

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Elmg 2a-11

Distribuciones filiformes. • Son una aproximación de las corrientes que circulan a lo largo de un recinto de dimensiones transversales despreciables frente a la distancia al punto de observación. – Ejemplo: corriente que circula por un hilo conductor.

• Se caracterizan por la intensidad de la corriente que circula, I, y el vector unitario lˆ . lˆ

I

lˆ

I

S

r r I = ∫∫ J ⋅ dS s

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Grupo 25.1

Elmg 2a-12

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Electromagnetismo

2012/2013

Ley de conservación de la carga: Ecuación de continuidad r J n$

• Ley de conservación de la carga: La carga no se crea ni se destruye. dq

– Ecuación de continuidad en forma integral. r dq dq r I =− ⇔ I+ =0 O dt dt

dV

V S

» Para cualquier volumen V la disminución de la carga encerrada es igual a la carga que fluye fuera de él, la corriente saliente. – Ecuación de continuidad en forma diferencial. » Si V permanece fijo en el tiempo: r r r  I = ∫∫ J ⋅ dS = ∫∫∫∇ ⋅ JdV r ∂ρ  S V dq   dq d dρ  ⇒ I + dt = ∫∫∫V  ∇ ⋅ J + ∂t dV = 0   q = ∫∫∫ ρdV ⇒ = ρdV = ∫∫∫ dV  V V dt dt dt ∫∫∫V  » Y como la integral debe ser nula para cualquier volumen: r ∂ρ ∇⋅J + =0 ∂t J.L. Fernández Jambrina

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Definición del campo electromagnético • La descripción del campo electromagnético requiere cuatro vectores: r – E : Intensidad de campo eléctrico (V/m) r – D : Densidad de flujo eléctrico, Inducción eléctrica ó Desplazamiento eléctrico (C/m2) r – B : Densidad de flujo magnético (T=wb/m2) r – H : Intensidad de campo magnético (A/m)

• La definición es la expresión conocida como fuerza de Lorentz.

r – Si una carga q se mueve a velocidad v en el seno de un campo electromagnético, entonces aparecerá sobre ella una fuerza de valor:

(

r r r r F =q E+v×B

)

• Fuerzas sobre distribuciones volumétricas:

r r r r F = ∫ Edq + ∫ v × Bdq = Q Q r r r r r r = ∫∫∫ ρEdV + ∫∫∫ v ρ × BdV = ∫∫∫ ρEdV + ∫∫∫ J × BdV V

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Grupo 25.1

V

V

V

Elmg 2a-14

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Electromagnetismo

2012/2013

Ecuaciones de Maxwell • Son cuatro. – A Maxwell se debe sólo un término de una de ellas.

• Ecuaciones de Maxwell Forma Integral r

r

∫∫ D ⋅ dS = q

Ley de Gauss

S

r

Ley de Faraday

r

∫ E ⋅ dl C

T. Gauss

r ∇⋅D =ρ

=−

r r r r ∂ B ⋅ dS T. Stokes ∇ × E = − ∂B ∫∫ S ∂t ∂t

r

r

∫∫ B ⋅ dS = 0

Flujo del campo Magnético

Forma Diferencial

T. Gauss

S

r ∇⋅ B = 0

r r r r r r r ∂D ∂ T. Stokes H d l I D d S ⋅ = + ⋅ ∇ × H = J + ∫C ∂t ∫∫S ∂t

Ley de Ampère

J.L. Fernández Jambrina

Elmg 2a-15

Ley de Gauss • Enunciado:

r – El flujo del vector de desplazamiento eléctrico, D , a través una superficie cerrada es igual a la carga contenida en su interior.

r

r

∫∫ D ⋅ dS = q

r D

dV dS

S

n$

V

S

• Es fácil pasar de su forma integral a la diferencial: – Para cualquier volumen que contenga únicamente puntos ordinarios:

r

r Gauss r  r = ∫∫∫∇ ⋅ DdV  V  ⇒ ∫∫∫V∇ ⋅ DdV = ∫∫∫V ρdV ⇒ q = ∫∫∫ ρdV  V

∫∫ D ⋅ dS S

r ∇⋅D = ρ r

• La densidad de carga es la fuente escalar del campo D : las líneas tienen su origen en regiones de carga positiva y su fin en regiones de carga negativa. J.L. Fernández Jambrina

Grupo 25.1

Elmg 2a-16

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Electromagnetismo

2012/2013

Ley de Faraday r

r

• Relaciona el campo E con la variación temporal del campo B .

r – La circulación del campo E a lo largo de un contorno C es igual a la r menos derivada con respecto al tiempo del flujo del campo B a través de una de las superficies limitadas por C. n$ r r r r ∂ dS ∫CE ⋅ dl = − ∂t ∫∫SB ⋅ dS S C – Si se supone que la superficie S permanece fija y que sólo contiene puntos ordinarios: r r Stokes r r  r r ∫CE ⋅ dl = ∫∫S∇ × E ⋅ dS  r r r ∂B ∂B r ∂S r ∇ × E ⋅ dS = − ∫∫ ⋅ dS ⇒ ∇ × E = − S ∂t r r ∂t = 0 ∂B r ∫∫S ∂t ∂  B ⋅ d S = ⋅ d S ∫∫S ∂t  ∂t ∫∫S r r – La variación temporal de B es fuente vectorial del campo E .

J.L. Fernández Jambrina

Elmg 2a-17

Ecuación del flujo del campo magnético • Las líneas de campo magnético son cerradas: – Para toda superficie: r

r

∫∫ B ⋅ dS = 0 S

– Y si sólo contiene puntos ordinarios: r

r

r

∫∫ B ⋅ dS = ∫∫∫ ∇ ⋅ BdV = 0 ⇒ S

V

r ∇⋅B = 0

– Equivale a negar la existencia de monopolos o cargas magnéticas.

J.L. Fernández Jambrina

Grupo 25.1

Elmg 2a-18

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Electromagnetismo

2012/2013

Ley de Ampère r

r

• Relaciona el campo H con la variación temporal del campo D y la corriente.

r – La circulación del campo H a lo largo de un contornor C es igual a la derivada con respecto al tiempo del flujo del campo D a través de una de las superficies limitadas por C más la corriente. n$ r r r r ∂ dS ∫CH ⋅ dl = I + ∂t ∫∫SD ⋅ dS S C – Si se supone que la superficie S permanece fija y que sólo contiene puntos ordinarios: r r Stokes r r ∫CH ⋅ dl = ∫∫S∇ × H ⋅ dS  ∂S r r r  r r ∂D r r ∂t = 0 ∂D r  r r  r ∂D  r ∂   ∇× H = J + D ⋅ dS = ∫∫ ⋅ dS  ⇒ ∫∫ ∇ × H ⋅ dS = ∫∫  J + ⋅ dS ⇒ S S S ∂t ∂t ∫∫S ∂t   r r ∂t  I = ∫∫ J ⋅ dS  S   r r • La variación temporal de r D y la densidad de corriente, J ,son fuentes vectoriales del campo H .

J.L. Fernández Jambrina

Elmg 2a-19

Ley de Ampère

(2)

r

• El término ∂D ∂t es la contribución de Maxwell. • Se puede justificar su necesidad: – Supongamos que el campo eléctrico es nulo fuera del condensador y escogamos una superficie que corte al conductor: r r r r I 0 = ∫ H ⋅ dl = ∫∫ J ⋅ dS C

S1

– Si con el mismo contorno se escoge una superficie que que pase entre las armaduras: r r r r I 0 = ∫ H ⋅ dl ≠ ∫∫ J ⋅ dS = 0

C S1

q+

I0

I0

nˆ

C I0

S2

q+

I0

nˆ – Considerando que la corriente del caso inicial provoca una acumulación de carga en el condensador es fácil obtener un término que conduce al resultado correcto: S = − S1 + S 2 r r ∂ r r ∂q I+ = 0 ⇒ ∫∫ J ⋅ dS + ∫∫ D ⋅ dS = 0 ⇒ ∂t ∂t S S C

S2

S = − S1 + S 2

⇒

J.L. Fernández Jambrina

Grupo 25.1

r r ∂ r r r r ∂ r r − ∫∫ J ⋅ dS + ∫∫ D ⋅ dS = 0 ⇒ I 0 = ∫∫ J ⋅ dS = ∫∫ D ⋅ dS ∂ t ∂ t S1 S2 S1 S2

Elmg 2a-20

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Electromagnetismo

2012/2013

Ley de Ampère

(3)

– trabajando un poco: r ∂ρ  r ∂ r ∇⋅J + = 0  r ∂ r ∂ t  ⇒ ∇ ⋅ J + ∇ ⋅ D = ∇ ⋅ J + D = 0 r ∂t ∂t   ∇ ⋅ D = ρ  r r – resulta que J y ∂D ∂t varían de forma que se compensan sus variaciones desde el punto de vista de cálculo de sus flujos. – Así pues es razonable pensar que se puede generalizar la ley de Ampère clásica de esta forma: r r r ∇ × Hr = J  ? r r ∂D r ∂D ⇒ ∇ × H = J +  J+ = cte ∂t ∂t  – Esta fue la aportación de Maxwell. – Esta aportación permitió la predicción de la propagación de ondas electromagnetismo y fue la confirmación experimental de la existencia de éstas (Hertz 1886) lo que confirmó la validez de este término.

J.L. Fernández Jambrina

Elmg 2a-21

Redundancia en las ecuaciones de Maxwell • Existe un cierto grado de redundancia si se consideran las ecuaciones de Maxwell junto a la ecuación de continuidad: – Calculando la divergencia de la Ley de Faraday: r r  ∇ ⋅ r∇ × E = 0  r r r ∂B  r  ⇒ ∂ ∇ ⋅ B = 0 ⇒ ∇ ⋅ B = cte ∇× E = − ⇒  ∂B ∂ ∇⋅ = ∇ ⋅ B  ∂t ∂t  ∂t ∂t  – Calculando la divergencia de la Ley de Ampère: r r   ∇ ⋅∇× H = 0 r r r ∂D  r r ∂ r Ec. ∂ r  ⇒ ∂D  ∇× H = J + ⇒   = ∇⋅ J + ∇⋅D = ∇⋅ J + −ρ+∇⋅D ∂t Cont . ∂t    ∂t  ∂t   r r ∂ ⇒ − ρ + ∇ ⋅ D = 0 ⇒ ∇ ⋅ D = ρ + cte ∂t – La experiencia dice que ambas constantes son nulas.

(

(

J.L. Fernández Jambrina

Grupo 25.1

)

)

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