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eiReULO v elReUNFERENelA

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En capitulos anteriores se han estudiado los poligonos, y como se pueden construir poligonos regulares de 10, 50, 100, 100, 10 000 0 tantos lados como se requiera. A medida que aumenta el numero de lados, estos son cada vez mas cortos, hasta el punto de que, si se considera un poligono con un numero infinito de lados, estos acaban siendo puntos, y el poligono se convertirfa en una circunferencia, es decir, en la figura que encierra un cfrculo. En este capitulo se veran las caracterfsticas basic as y las posiciones relativas de una circunferencia respecto de una recta 0 de otra circunferencia.

Aunque a veces se confunden ambos conceptos, se debe distinguir con claridad que, desde el punto de vista de la geometria, la circunferencia es una linea, mientras que el cfrculo es una superficie. En el cfrculo tambien se definen los conceptos de centro y radio, los cuales coinciden con los de la circunferencia que 10 deterrnina.

Un radio de una circunferencia es un segmento que une el centro de esta con un punto cualquiera de sus puntos:

La circunferencia es una linea curva, cerrada y plana los puntos de la cual equidistan de otro punto, situado en su interior, denominado centro. Se llama circunferencia de centro 0 y radio r al conjunto de los puntos del plano que se encuentran a una distancia igual a r del centro O.

Por definicion, todos los radios de una circunferencia son iguales.

Se llama circulo al conjunto de los puntos del plano que distan del centro de una circunferencia una distancia igual 0 menor que la de su radio, es decir, al conjunto de los puntos interiores de la circunferencia:

En una circunferencia se dibujan dos cuerdas perpendiculares entre sf. Se conoce la medida de cad a uno de los cuatro segmentos formados por la intersecci6n de las cuerdas y la circunferencia. lCuanto mide el radio de la circunferencia?

Una cuerda es un segmento que une dos puntos cualesquiera de una circunferencia. Una cuerda divide a un circulo en dos areas, denominadas segmentos circulares, con colares distintos en la figura siguiente:

Si dos arcos son iguales, tambien 10son las cuerdas que unen sus extremos. En el caso de que dos arcos sean desiguales, a mayor arco Ie corresponde mayar cuerda, siempre que los arcos sean menares que la semicircunferencia. Un sector circular es la parte del cfrculo limitada por un arco y por los radios que corresponden a sus extremos:

Si una cuerda pasa par el centro del circulo, se llama dhimetro, y el circulo queda dividido en dos partes iguales, llamadas semicirculos. El diametro de una circunferencia es el doble del radio y es la cuerda mas larga posible. El diametro de la circunferencia divide a esta en dos partes iguales denominadas semicircunferencias:

Un cuadrante es un sector circular que equivale a una cuarta parte de un cfrculo. Se observa que esta limitado par dos radios perpendiculares entre sf:

Un arco es la parte de la circunferencia limitada por dos de sus puntos, denominados extremos del arco. Un arco se designa por las letras de sus extremos. Los extremos de un arco se pueden entre sf par medio de una cuerda: Se toman ocho monedas y se disponen, tangentes entre sl, en forma de « H». Se pide que se muevan para formar una letra « 0».

Se dice que dos arcos son iguales cuando al superponerlos coinciden punto par punto. Para que dos arcos puedan coincidir, es condici6n imprescindible que tengan los radios de la misma longitud, es decir, deben pertenecer a la misma circunferencia 0 a circunferencias iguales.

Las monedas se pueden deslizar de una en una, cambiando la posicion en que se encuentran, para ir a una nueva posicion en la cual queden tangentes a otras dos monedas, pero este contacto de be tener lugar siempre de forma ortogonal, en ningun caso en diagonal, como sucede en la figura siguiente:

Un segmento circular es la parte del circulo limitada por un arco y su cuerda:

En este caso, la distancia d de la recta al centro es mayor que el radio r:

Una sagita de un segmento circular 0 de un arco es aquel segmento que une el punto medio de la cuerda con el punto medio del arco correspondiente: La recta es tangente a la circunferencia cuando tienen un solo punto comun, y el radio que va a este punto es perpendicular a la tangente:

Posiciones relativas de una circunferencia y una recta: rectas secantes, tangentes y exteriores

Ademas de los segmentos antes definidos, propios de la circunferencia, en el plano pueden aparecer rectas en distintas posiciones respecto de una circunferencia: la pueden cortar en dos puntos, en uno solo o en ninguno. Para cada una de estas situaciones, la distancia entre la recta y el centro de la circunferencia adquiere distintos tipos de valores. En primer lugar, una recta s es exterior a la circunferencia cuando no tienen ningun punto comun: Por ultimo, la recta es secante cuando tiene dos puntos comunes con la circunferencia:

La distancia de una secante al centro es menor que el radio:

Dos circunferencias son tangentes exteriores cuando tienen un punto comun y la distancia entre 10scentros es igual a la suma de 10sradios:

Ademas de las posiciones relativas entre una recta y una circunferencia, tambien resulta de interes conocer las posiciones relativas entre dos circunferencias. Dos circunferencias son exteriores cuando no tienen ningun punto com un, de manera que la distancia d entre 10s centros es mayor que la suma de 10s dos radios, r y r':

Entre los avances de las matematicas de la Grecia c1asica, destaca el de que en el siglo III a.c., y contando con unos instrumentos de medicion muy elementales, Eratostenes de Cirene calculara el radio de la Tierra. EI proceso para este logro partio de dos conceptos defendidos por la escuela pitagorica: que la Tierra es redonda y que los rayos de luz que lIegan desde el Sol, debido a la gran distancia que separa ambos cuerpos celestes, pueden considerarse paralelos entre Sl. Siendo director de la biblioteca de Alejandria, Eratostenes tuvo acceso a una nueva informacion que fue la clave para su investigacion: que en la ciudad de Siena (hoy, Asuan), en Egipto, durante el mediodfa del solsticio de verano (el dfa 21 de junio), los rayos solares cafan en perpendicular a la superficie de la Tierra. Eratostenes cayo en la cuenta de que, en dichas condiciones, una estaca c1avada en el suelo no proyectaria ninguna sombra. Ademas, especulo que, si el mismo dfa y a la misma hora, se c1avaba una estaca en Alejandria, ciudad egipcia al Norte de Siena, al medir la sombra que proyectara, se podria calcular el angulo formado por la proyeccion de ambas estacas, que se cruzarian en el centro de la Tierra. Como esta inclinacion equivaldria ala inclinacion de la estaca colocada en Alejandria respecto a los rayos del sol, basta ria efectuar un calculo geometrico para determinar el radio de la Tierra. Realizado el experimento, los dlculos de Eratostenes Ie dieron un angulo de 7,r, es decir la cincuentava parte de una circunferencia completa (360°/50); en consecuencia, la distancia que separa a Siena de Alejandrfa debfa ser la cincuentava parte del perimetro del planeta. Como la distancia entre Alejandria y Siena era de 5000 estadios (un estadio es una antigua medida de longitud, equivalente a 160 m), Eratostenes calculo que la circunferencia completa medfa 50 X 5 000 = 250 000 estadios, que corresponden a 40000 km. Por tanto, el radio R de la Tierra mide, segun la determinacion de Eratostenes:

R

=

40 000 2IT

=

6 366 19 km '

Para calibrar la autentica magnitud de este logro, debe tenerse radio de la Tierra Ie asignan un valor de 6378 km.

en cuenta que las mediciones

actuales del

Dos circunferencias son secantes cuando tienen dos puntos en comun:

Los radios que forman los lados de un angulo central deterrninan un arco sobre la circunferencia, que se llama arco correspondiente al angulo central. Son tangentes interiores cuando tienen un punto comun y la distancia entre los respectivos centros es igual a la diferencia de los radios:

De forma recfproca, se denornina angulo central correspondiente a un arco al angulo que tiene el vertice en el centro de la circunferencia y sus lados son los lados que pasan por los extremos del arco. En la ~ siguiente figura, el arco AB es el correspondiente al ~ angulo central AOB, y el arco CD es el correspondiente al angulo central COD:

-

-----

Son interiores cuando no tienen ningun punto en comun y la distancia entre los respectivos centros es menor que la diferencia de los radios, pero no nula:

De las definiciones establecidas se deduce que, si dos arcos son iguales, sus angulos centrales correspondientes tambien son iguales y, a la recfproca, en una rnisma circunferencia 0 en circunferencias de un rnismo radio, a angulos centrales iguales les corresponden arcos iguales. Por ultimo, son concentricas cuando no tienen ningun punto comun y tienen el rnismo centro 0, 10 que es 10 rnismo, la distancia entre los centros es nula:

28.2

Los angulos centrales de una circunferencia son proporcionales a sus arcos correspondientes. As!, a un angulo central doble 0 triple de otro, Ie corresponde un arco el doble 0 el triple que el otro. Observese la siguiente figura:

ANGULOS CENTRAL E INSCRITO EN UNA CIRCUNFERENCIA

Se define un angulo central como el que tiene el vertice en el centro de la circunferencia y cuyos lados son dos radios:

-----

Supongase que el a~lo AOB = 2· COD. Para demostrar que el arco AB = 2· ED, se traza la bisectriz OR del angulo AOB, que queda as! dividido en

---

dos angulos iguales entre sf e iguales al angulo COD:

Como son angulos centrales, sus arcos correspondientes tambien son iguales, y pOl'tanto,

Aii'=AH+fiij=

CD+CD=2'CD

Un angulo inscrito es aquel que tiene el vertice en un punto de la circunferencia y los lados son cuerdas de esta:

Un angulo inscrito es igual a la mitad del angulo central correspondiente, es decir, al que tiene su vertice en el centro y cuyos lados pasan pOI'los mismos puntos de la circunferencia pOI'donde los lados del inscrito cortan a esta:

De este hecho se derivan dos consecuencias: en primer lugar, todos los angulos inscritos en un mismo arco son iguales, porque todos miden la mitad del mismo angulo central:

Otro angulo que merece la pena mencionar es el que se conoce como angulo semiinscrito. Se entiende pOI'angulo semiinscrito el que tiene el vertice en la circunferencia y sus lades son una cuerda y una tangente, como en la figura siguiente:

Se define el angulo semiinscrito en un arco de circunferencia dado al que tiene su vertice en uno de los extremos del arco y ademas, uno de sus lados pasa pOI'el otro extrema y el otro lade es tangente a la circunferencia, pOI'el vertice del angulo. En el dibujo siguiente, [';representa un angulo semiinscrito. A todo angulo semiinscrito en una circunferencia Ie corresponde un angulo central que tiene su vertice en el centro de dicha circunferencia y cuyos lades pasan pOI'los extremos del arco. En el dibujo siguiente, w es el angulo central que corresponde a [';:

Las propiedades de un angulo semiinscrito son: En segundo lugar, cualquier angulo inscrito en una semicircunferencia es recto, ya que mide la mitad del angulo plano que es el angulo central correspondiente. Dicho de otra manera, cualquier angulo inscrito que tenga sus extremos en los extremos de un diametro de una circunferencia, es un angulo recto:

a)

Todo angulo semiinscrito en un arco de circunferencia es igual a la mitad del angulo central correspondiente. Siendo [';el angulo semiinscrito, y w el angula central correspondiente, entonces, w [';= -

2

b) Un angulo inscrito y un angulo semiinscrito

mismo arco de circunferencia

en un

son iguales:

Para comprobarlo, se observa que, si a es el angulo inscrito en MQ, se sabe que a=~

y que si s es el angulo semiinscrito

= ~.

Esta propiedad se comprueba al verificar que, si s es el angulo semiinscrito en PR, y a tambien es un angulo semiinscrito en PR, entonces, por una de las propiedades anteriores de los angulos inscritos: s=~

2

ces s

c) Los angulos semiinscritos en un mismo arco de circunferencia son iguales entre sf:

en

Por tanto, se concluye que

MQ, entona = s.

f3 a=2

2

Entonces, como ambos tienen el mismo central, son iguales, es decir, a = s.

angulo

CiRCULO V CIRCUNFERENCIA

1 ;.Que figura resultarfa si se construyese un polfgono con un numero infinito de lados?

I

Un cfrculo, ya que los lados acabarfan siendo puntos.

2 Definir que es la circunferencia.

A continuaci6n, se toma el compas y se mide con la regIa la distancia r que se requiera:

La circunferencia es una linea curva, cerrada y plana los puntos de la cual equidistan de otro, situado en el mismo plano, Hamado centro.

3 ;.Que se conoce por circunferencia de centro 0 y radio r? El conjunto de puntos del plano que estan a una distancia igual a r del centro O.

4 Dibujar una circunferencia que tenga por centro 0 y radio r. El procedimiento que se sigue comienza por marcar con ellapiz un punto del plano, que sera el centro 0:

------) Se coloca la aguja del compas en el punto 0 y, con la abertura r establecida, se traza la circunferencia, para 10 cual se gira el compas teniendo cuidado de no alterar su abertura:

La curva descrita por el compas es la circunferencia deseada, y la figura resultante es la siguiente:

9 Los conceptos de circunferencia y circulo se pueden confundir con facilidad. l,Cual es su diferencia, desde el punto de vista de la geometrfa? Soluci6n: La cireunferencia es una linea. En eambio, el cireulo es una superficie

RECTAS Y SEGMENTOS EN LA CIRCUNFERENCIA

5 Definir que es el cireulo. Es el conjunto de puntos formado por una circunferencia y los puntos interiores a la misma, es decir, aquellos cuya distancia al centro de la circunferencia es menor que el radio de esta.

10 Definir el radio de una cireunferencia. ;,Coincide con el del cireulo eorrespondiente a la misma cireunferencia? El radio de una circunferencia es el segmento que une el centro de esta con un punto cualquiera de la misma. Coincide con el del cfrculo limitado por la propia circunferencia. 11 Definir el eoneepto de euerda.

6 l,Que nombre recibe el conjunto de puntos del cfrculo que equidistan del centro?

Una cuerda es el segmento que une dos puntos cualesquiera de una circunferencia. 12 ;,Que es un semicireulo?

7 Dibujar dos circunferencias, una de centro 0 y radio r, y otra de centro 0' y radio r', de manera que ocurra que r < r'.

Es una de las dos partes iguales en las cuales queda dividido un cfrculo por su diametro. 13 ;,Que relacion existe entre el diametro y el radio de una cireunferencia?

14 Si una cireunferencia tiene un radio de 3 em, ;,euanto medira su diametro? El diametro de una circunferencia es el doble de su radio; si el radio mide 3 cm, el diametro medira 6 cm. 15 Dibujar una cireunferencia que tenga un diametro de 6 em.

Una vez que se sabe dibujar circunferencias de un radio dado, para trazarla con un diametro determinado, basta con ealcular el radio eorrespondiente, que sera la mitad del diametro. Si el diametro de la circunferencia cuyo dibujo se pide mide 6 em, su radio sera la mitad, es decir, 3 em. En consecuencia, se toma el compas con una abertura de 3 em, y se coloca la punta de su aguja en un punto o arbitrario. Una vez se haya trazado la circunferencia, se comprueba con facilidad que tiene el diametro solicitado de 6 em:

la mitad del diametro, y aplicar la formula correspondiente. Si en el caso propuesto la longitud del diametro es de 10 em, el radio vale 5 em, y su longitud es L = 2n· 5 em = 31,4 cm. 19 Pedro quiere cruzar un lago que tiene forma circular, con un perimetro de 1 570 m. Para cruzarlo usara una barca. ;,Cuantos metros navegara en barca si pasa por el centro del lago y se desplaza en linea recta durante todo el trayecto? Si el lago tiene forma circular y Pedro 10 atraviesa por el centro, trazando una lfnea recta, entonces 10 hara siguiendo uno de sus diametros. Para saber los metros que hara en barca, se debe haliar la longitud del diametro. El dato que da el problema es el perimetro dellago, 0 10 que es 10 mismo, la longitud de la circunferencia. Si la formula que relaciona la longitud de la circunferencia con el diametro es L = n . d, la longitud del diametro se averiguara dividiendo la longitud de la circunferencia por n; es decir, se trata de resolver la ecuacion de primer grade 1 570 = n . d. Haciendo las operaciones pertinentes, resulta que d = 500 m; en consecuencia, pues, Pedro recorrera 500 m en barca. 20 Se quiere repartir un pastel de forma circular en ocho partes iguales, que se cortan desde el centro del pastel hasta su contorno. Si se sabe que este mide 47,1 em, indicar que medida tendra cada uno de los lados iguales de cada porcion. El dato que se pide calcular es el radio r del pastel, pues cada corte va del centro del pastel hasta su perimetro. Para hallar su valor, se utiliza la formula L = 2nr, que relaciona la longitud de la circunferencia con el radio. Sustituyendo el valor del contorno del pastel, se obtiene la siguiente ecuacion de primer grade: 47, 1 = 2nr. Tras realizar las operaciones correspondientes, se llega a despejar la variable r, cuyo valor es 7,5 cm. Por tanto, la longitud dellado igual de cada una de las porciones es de 7,5 cm.

17 Se debe recordar de capitulos anteriores que la longitud L de una circunferencia se calcula mediante la formula L = 21f r, donde 1f es una constante que tiene un valor aproximado de 3,14, y r representa el radio de la circunferencia. Sabido esto, determinar cmil es la longitud de una circunferencia que tiene por radio 2 em.

Es cada una de las dos partes iguales en las que queda dividida una circunferencia por su diametro.

En este ejercieio, se usa la formula L = 21fr. Sustituyendo valores, se tiene que L = 21f· 2 = 12,56 em.

22 ;,De que forma se define el arco de una circunferencia?

18 Calcular la longitud de una circunferencia de diametro 10 em.

Es la parte de la circunferencia limitada por dos puntos, que se denominan extremos del arco.

Para calcular la longitud de una circunferencia a partir de su diametro, basta con deducir que su radio es

23 Se conoce como arcos consecutivos a aquellos arcos que tienen el mismo radio, un extremo

21 Definir que es la semicircunferencia.

comun y los otros extremos a uno y otro lado del comun. Dibujar dos arcos consecutivos. ~ Se dibuja una circunferencia y uno de los arcos, AB: B

Para dibujar el segundo arco, se considera como primer extremo el punto B, y como segundo, un punto cualquiera C. De esta forma, el dibujo final resultante es el siguiente:

Los arcos AB y tiC son consecutivos. Si se une ahara el centro de la circunferencia con los extremos de los arcos, se obtiene 10 que se conoce como dos angulos consecutivos:

Lo primero que se debe eomprobar es si las dos circunferencias tienen el mismo radio. Para ello, se traza un radio en cada una de ellas y se comparan sus longitudes, con 10 que se comprueba que coinciden. A continuaci6n, se abre un compas de manera que sus puntas coineidan con los extremos de uno de los arcos, y con ello se tiene una medida de la amplitud de la cuerda.

Sin mover la abertura del compas, se situa una de sus puntas sobre uno de los extremos del segundo arco y se comprueba si la otra punta del compas coincide con el segundo extremo del arco. En caso afirmativo, los arcos eoinciden:

24 ;,Cmindo se dice que dos arcos son iguales? Cuando al superponerlos coinciden punto par punto. 25 Citar una condicion necesaria para que dos arcos sean iguales. Que ambos tengan el mismo radio, es decir, que las dos circunferencias de las cuales provienen tengan el mismo radio, 0 bien, que sean areos de una misma circunferencia.

En esta ocasi6n no coinciden, de manera que no son arcos iguales, sino desiguales. 27 ;,Cmil es la relacion que existe entre los arcos y las cuerdas que unen sus extremos?

A mayor arco Ie corresponde mayor cuerda, siempre a condici6n de que los arcos considerados sean me-

nares que la sernicircunferencia. 28 Dados los siguientes arcos, trazar sus cuerdas e indicar cmil de los arcos tiene mayor longitud: C

31 ;,Que es un cuadrante? Es un sector igual a una cuarta parte de un circulo. 32 ;,Cuantos cuadrantes hay en un circulo? Si se trazan las cuerdas de los arcos anteriores, se obtiene la siguiente figura:

Puesto que un cuadrante es una cuarta parte de un circulo, este tiene cuatro cuadrantes. 33 Dibujar los cuatro cuadrantes de un circulo. Se trazan dos rectas perpendiculares que se corten en el centro del circulo, tal como se muestra en la siguiente figura:

Con la ayuda de una regIa graduada, se miden las cuerdas, y se obtiene que la segunda cuerda tiene mayor longitud. Esto indica que, puesto que se trata de circunferencias del mismo radio, el segundo arco es mayor que el primero.

Para distinguir los cuadrantes, estos se nombran de la siguiente forma:

29 Definir que es el sector circular. Es la parte del circulo limitada par un arco y por los radios que correspond en a sus extremos. 30 Dado el siguiente arco, dibujar el sector circular tal que sus radios pasan por los dos extremos del arco:

34 ;,Que es un segmento circular? Es la parte del circulo que queda limitada por un arco y su cuerda.

Basta con trazar los dos radios que pasan por los extremos del arco, con 10 que se obtiene el sector circular correspondiente:

35 i,Que nombre recibe el segmento que une el punto medio de la cuerda con el punto medio del arco correspondiente?

41 Dibujar una cuerda en un cfrculo e indicar, con colores diferentes, los dos segmentos circulares en los cuales queda dividido.

37 Dibujar una circunferencia y dos radios. l,Son iguales?

42 l,Que nombre recibe una cuerda, si pasa por el centro de una circunferencia 0 de un cfrculo?

43 Una circunferencia tiene un radio de 8 cm. Decir cuanto medira su diametro.

44 El diametro de una circunferencia mide 20 em; indiear eual es la longitud del radio.

45 Calcular la Iongitud de una eireunfereneia tal que la longitud de su diametro es de 7 em.

39 Los diferentes radios que se pueden dibujar en un cfrculo, l,son todos iguales? 46 Indiear Ia Iongitud de una eireunferencia, si su radio mide 9 em.

47 Un pastel de cumpleanos de forma circular tiene un perfmetro de 50,24 cm. Calcular su diametro.

48 Marfa quiere partir un queso circular por la rnitad, de manera que las dos partes resultantes sean iguales. Si el contorno del queso rnide 62,8 cm, l,que longitud tendra el corte que baga Marfa?

49 Una isla tiene forma circular y un perfmetro de 500 km. Un naufrago se encuentra justo en el centro de la isla y necesita ir basta la costa para poder llegar basta una barca. Si desde el centro se dirige bacia la costa en linea recta, l,cuanto tendra que carninar?

50 Una plaza de toros circular tiene un contorno de 628 m. El toro se encuentra en el centro del ruedo y se dirige en linea recta bacia un torero, que se encuentra en una de las barreras del coso. l,Cuantos metros recoITera el toro antes de alcanzar al torero?

54 Relacionar los conceptos que se definen a continuaci6n con los nombres indicados en el dibujo:

a)

Linea curva ceITada, los puntos de la cual equidistan de un punto interior llamado centro.

b) Recta que divide la circunferencia en dos partes

l,Existe alguna cuerda con mayor longitud que un diametro?

iguales.

51

c) Superficie limitada por una circunferencia. d) Parte de una circunferencia que queda limitada

por una cuerda. Dibujar un arco de una circunferencia con extremosA y B. 52

e)

Recta que une el centro de la circunferencia con cualquier punto de ella.

f)

Recta que une dos puntos de la circunferencia sin pasar por el centro.

g) Punto interior de un cfrculo que equidista de todos los puntos que forman la circunferencia. Soluci6n: a) Circunferencia; c) Circulo;

e) Radio; g) Centro

53 Dibujar dos arcos en una misma circunferencia, de manera que los extremos del arco menor sean A y B, Ylos del arco mayor, C y D.

b) Dhimetro d) Arco 1) Cuerda

55 Cuando se unen los extremos de un arco, l,que se obtiene?

S6 Dibujar un arco y la cuerda que une sus dos extremos.

S8 Averiguar si los arcos dibujados en las circunferencias siguientes son iguales:

62 En el dibujo siguiente, (,como se denomina la parte coloreada? Dar su definicion.

Solucion: Es un semicirculo, que se define como una de las mitades iguales que se obtienen al cortar un circulo mediante una secante que pasa por el centro de este

66 Representar una recta tangente a una circunferencia. Para que la recta sea tangente a la circunferencia, solo debe cortarla en un punto. La siguiente figura muestra la situacion:

63 Dados los siguientes dibujos, indicar con que nombre se conocen las areas marcadas y dar su definicion.

Solucion: Son sectores circulares. Un sector circular es una porcion del circulo comprendida entre su circunferencia y dos de sus radios

Se puede observar que si se traza el radio que une el centro de la circunferencia con el punto en el cualla recta corta la circunferencia, resulta que el radio es perpendicular a la recta tangente:

64 i,Que concepto geometrico se aplica alas dos figuras siguientes?

67 Enunciar las diferentes posiciones relativas que pueden mantener dos circunferencias entre sf en un mismo plano. Dos circunferencias, pueden tener las posiciones relativas siguientes:

POSICIONES RELATIVAS DE UNA CIRCUNFERENCIA Y UNA RECTA: RECTAS SECANTES, TANGENTES Y EXTERIORES

a) Exteriores: cuando no tienen ningun punto en comun. b) Tangentes exteriores: cuando tienen un punto comun. c) Secantes: cuando tienen dos puntos comunes.

65 Enumerar las posiciones en que se puede encontrar una recta respecto a una circunferencia. Es exterior cuando no tienen ningun punto comun; tangente cuando tienen un solo punto comun; y secante cuando tienen dos puntos comunes.

d) Tangentes interiores: cuando tienen un punto comun. e) Interiores: cuando no tienen ningun punto en comun. f)

Concentricas: cuando no tienen ningun punto comun pero tienen el mismo centro.

68 Dibujar dos circunferencias exteriores y comparar la distancia existente entre los centros y los radios. La siguiente figura muestra dos circunferencias del tipo que se pide:

Si se mide la distancia entre los centros y se suman los dos radios, se advierte que son dos longitudes distintas, de forma que la distancia entre los centros es mayor que la suma de los radios.

71 En el caso de una recta exterior a una circunferencia, l,la distancia de la recta al centro es mayor que el radio? Hacer un dibujo que muestre la situaci6n. Soluci6n: 5i, la distancia d de la recta al centro es mayor que el radio r

72 En el caso de que una recta sea tangente a la circunferencia, l,a que es igualla distancia de la recta al centro de esta?

69 Decir en que posicion se encuentran las dos circunferencias representadas: 73 Dibujar la posici6n relativa de una circunferencia y una recta secante.

Son dos circunferencias tangentes interiores, ya que tienen un solo punto en comun y la distancia entre los centros es la diferencia de los radios. 74 Mostrar con un dibujo que cuando una circunferencia y una recta son secantes, la distancia de la recta al centro es menor que el radio.

Relacionar 10ssiguientes dibujos con el tennino correspondiente que 10sdefine: 7S

79 Cuando dos circunferencias son interiores, la distancia entre sus centros, l,es mayor 0 menor que la diferencia entre 10sradios?

Soluci6n: a) Recta exterior;

b) Tangente

c) Secante

76 Dibujar dos circunferencias tangentes exteriores e indicar a que es igualla distancia entre sus centros.

81 l,A que es igual la distancia entre 10scentros de dos circunferencias concentricas?

La distancia entre los centros es igual a la suma de los radios

82 Dibujar tres circunferencias, de manera que las tres sean exteriores entre sf.

o

o

78 l,En que posici6n relativa se encuentran las dos circunferencias siguientes?

83 Dibujar tres circunferencias tales que dos de ellas sean exteriores y la tercera sea seeante a una de estas dos.

o (,Que posicion relativa mantienen entre sf las siguientes circunferencias? 84

88 (,Que posicion presentan las tres circunferencias siguientes?

Solucion: Dos son secantes y la tercera es tangente exterior alas otras dos 85 Indicar la posicion relativa que guardan entre sf las siguientes circunferencias:

89 Dibujar tres circunferencias que sean tangentes dos ados.

o Solucion: Dos exteriores y una tangente;

0

bien,

dos tangentes y una exterior

90 Hacer la representacion de tres circunferencias que sean secantes dos ados.

86 Dibujar tres circunferencias, de manera que dos de ellas sean secantes y la tercera sea tangente interior a una cualquiera de las anteriores.

ANGULOS CENTRAL E INSCRITO EN UNA CIRCUNFERENCIA 87 Representar la siguiente situacion: tres circunferencias, tales que dos sean secantes y la tercera, tangente interior alas otras dos.

Es el que tiene el vertice en el centro de la circunferencia y sus lados son dos radios.

92 Dibujar el arco que define el siguiente angulo central:

Los extremos de los radios que forman los lados del angulo central determinan dos puntos sobre la circunferencia. El arco de esta comprendido entre dichos puntos es el arco que determina el angulo central, marc ado en rojo en el siguiente dibujo:

tengan dos arcos iguales, ;,como seran los angulos centrales correspondientes? Los angulos descritos seran asimismo iguales.

95 Supongase que se tienen dos arcos en una misma circunferencia, de manera que uno es el doble de grande que el otro. ;,Que ocurrira con los angulos centrales correspondientes? ;,Y si el primero es el triple del segundo? Los angulos centrales de una circunferencia son proporcionales a sus arcos correspondientes. As!, a un arco el doble de grande que otro Ie corresponded un angulo central el doble de grande que el otro angulo central. Segun el mismo razonamiento, si el primer arco es el triple de grande que el segundo de ellos, su angulo central tambien sera el triple de grande.

96 Se sabe que el angulo inscrito es igual a la mi· tad del angulo central que determinan las rectas que van desde el centro a los extremos del angu10 inscrito. Considerese un circulo con centro 0 que tiene inscrito un angulo de 30°. Determinar cuanto valdra el angulo central correspondiente. 93 Dado el siguiente arco, formar el angulo central que define:

Como el angulo inscrito es igual ala mitad del angu10 central correspondiente, si el angulo inscrito mide 30°, el lingulo central medira 60° .

97 Enunciar las dos consecuencias que se derivan del hecho de que el angulo inscrito sea la mitad del angulo central correspondiente de unir los extremos de los lados del angulo con el centro de la circunferencia. a) Todos los lingulos

Para formar el angulo central correspondiente al arco dado, se trazan los dos radios que unen el centro de la circunferencia con cada uno de los extremos del arco. El angulo a es el solicitado. A

94 En caso de que sobre una misma circunferencia, 0 sobre dos circunferencias de igual radio, se

inscritos en un mismo arco son iguales, porque todos miden la mitad del mismo lingulo central.

b) Cualquier angulo inscrito en una semicircunferencia es recto, ya que mide la mitad del angulo plano, el cual serfa el lingulo central correspondiente.

98 Se considera el angulo central correspondiente a un diametro, como muestra la figura:

Representar tres angulos inscritos que tengan a este angulo como angulo central. ~Cuanto mide cada uno de los angulos inscritos?

101 Trazar el angulo central correspondiente al siguiente angulo semiinscrito:

Los tres angulos inscritos pedidos se forman eligiendo arbitrariamente tres puntos de la circunferencia y uniendo cada uno de ellos con los dos extremos del angulo central:

A todo angulo semiinscrito Ie corresponde un angulo central, que pasa por el centro de la circunferencia y cuyos lados pasan por los extremos del arco, tal como en el caso siguiente:

99 ;,A que es igual la abertura de un angulo semiinscrito? A la mitad de la medida del arco comprendido entre sus lados. 100 Dibujar el angulo semiinscrito que define el siguiente arco de circunferencia: 102 Dado un angulo central de 60°, indicar cuantos grados medira el angulo semiinscrito correspondiente. Como el angulo semiinscrito mide la mitad del angu10 central que Ie corresponde, en este caso mide 30° . 103 Dado un arco de circunferencia, si se trazan tres angulos semiinscritos en el, ;,cuanto mide cada uno de ellos? Se define como angulo semiinscrito en un arco de circunferencia a aquel que tiene su vertice en uno de los extremos del arco, uno de sus lados pasa por el segundo extrema y el otro lado es tangente a la circunferencia por el vertice. Segun eso, el correspondiente al arco antes representado es el siguiente:

Los tres angulos serniinscritos son iguales, por ser todos pertenecientes al mismo arco de circunferencia.

104 Dibujar un angulo central en la circunferencia que se representa:

105 Dibujar el arco de circunferencia que determina el siguiente angulo central:

107 Dados dos angulos centrales iguales, l,c6mo seran los arcos correspondientes?

108 Dibujar el angulo central correspondiente a un arco que es el doble de grande que el mostrado en la siguiente figura.

106 Dibujar el angulo central que define el siguiente arco:

109 Dibujar el arco que corresponderfa a un angulo que fuese una tercera parte que el representado en la siguiente figura:

112 Representar el angulo semiinscrito correspondiente al siguiente arco de circunferencia: 110 Dibujar el angulo central correspondiente al siguiente angulo inscrito:

111 Dibujar cinco angulos inscritos, de manera que el angulo central correspondiente sea el representado a continuaci6n:

113 Dibujar el angulo semiinscrito que corresponde al siguiente angulo central:

116 Dado el arco de circunferencia que abajo se representa, dibujar el angulo serniinscrito y el angulo inscrito correspondientes.

114 Si un anguIo central rnide 45°, l,cuanto medira eI anguIo semiinscrito respectivo?

115 Si, dado un arco de circunferencia, se trazan eI anguIo serniinscrito y el angulo inscrito correspondientes, l,mediran 10 rnismo estos dos anguIos?

Ellado AB mide la mitad de la cuerda horizontal, es decir, 3,5 cm. Por otra parte, ellado BO mide la mitad de la cuerda vertical (5 -;- 2 = = 2,5 cm) menos el fragmento superior de la misma, es decir, 2-5 - 2 = 0,5 cm. (omo ambos lados son los catetos de un triangulo rectangulo, se puede determinar, mediante el teorema de Pitagoras, la longitud de la hipotenusa h, que coincide con el radio: h

= -V3,51 + 0,51 = vff[5 = 3,53 cm

CAMINO UNICO (pag. 549): EI esquema muestra el camino para esta transformaci6n: