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Curvas alabeadas. Soluci´ on de los ejercicios propuestos. 1. Se considera el conjunto C = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 − y + z = x3 − y 2 + z 2 = 0}. Encontrar los puntos singulares de la curva C.

Soluci´ on: Llamemos f1 (x, y, z) = x2 − y + z y f2 (x, y, z) = x3 − y 2 + z 2 . Buscamos los puntos P = (x, y, z) pertenecientes a la curva C que verifiquen que ! ∂f1 ∂f1 ∂f1 (P ) (P ) (P ) ∂x ∂y ∂z 6= 2. rango ∂f ∂f2 ∂f2 2 (P ) (P ) (P ) ∂x ∂y ∂z Se tiene que ∂f1 (P ) ∂x ∂f2 (P ) ∂x

∂f1 (P ) ∂y ∂f2 (P ) ∂y

∂f1 (P ) ∂z ∂f2 (P ) ∂z

!

 =

2x −1 1 3x2 −2y 2z



Si el determinante de la matriz que forman las dos u ´ltimas columnas no es 0, entonces el rango de la matriz es dos y podr´ıamos eliminar todos esos puntos del estudio de puntos singulares. Este determinante es 0 cuando (−1) ∗ 2z − (−2y) ∗ 1 = −2z + 2y = 0, es decir, cuando z = y. Por tanto, todos los puntos P = (x, y, z) verificando que x 6= y no podr´ıan ser puntos singulares en la curva. Restringimos nuestro estudio al conjunto de puntos en C dados por P = (x, y, y). La matriz anterior para estos puntos queda de la siguiente forma:   2x −1 1 3x2 −2y 2y Esta matriz no tendr´a rango 2 s´olo cuando el determinante de la matriz formada por las dos primeras columnas sea 0, es decir, cuando −4xy +3x2 = 0. Esto ocurre, bien cuando x = 0 o bien cuando −4y + 3x = 0. Si y = z = 43 x, para que el punto P = (x, 34 x, 43 x) fuera un punto de la curva, deber´ıa verificar sus ecuaciones, luego debe ser 3 3 x2 − x + x = 0 4 4

3 3 x3 − ( x)2 + ( x)2 = 0, 4 4

y

1

o, lo que es lo mismo, x = 0. Como estamos estudiando el caso y = z = 34 x, este conjunto se reduce al punto (0, 0, 0) ∈ C. Para el caso x = 0, el rango de la matriz   0 −1 1 0 −2y 2y es siempre 1, por lo que todos los puntos de la forma (0, y, y) para cualquier y ∈ R ser´an puntos singulares. Es inmediato comprobar que estos puntos pertenecen a la curva. En conclusi´on, los puntos {(0, y, y) : y ∈ R} son puntos singulares de la curva C. 2. Calcular la longitud del arco entre los puntos α(0) y α(2) de la curva α(t) = (t2 , t2 , t2 ). Comprobar que no es una curva regular y calcular la recta tangente a dicha curva en el punto (1, 1, 1). Soluci´ on: El vector velocidad asociado a la parametrizaci´on del enunciado viene dado por α0 (t) = (2t, 2t, 2t) para cada t ∈ R. De aqu´ı queda claro que para t = 0, esta curva tiene α0 (0) = (0, 0, 0), por lo que no es una curva regular. La recta tangente a la curva en (1, 1, 1) = α(1) viene dada por la parametrizaci´on (x, y, z) = α(1) + sα0 (1), es decir, x = 1 + 2s y = 1 + 2s z = 1 + 2s, s ∈ R es una parametrizaci´on de la recta tangente a la curva en α(1) = (1, 1, 1). La longitud de arco entre α(0) y α(2) viene dado por Z 2 √ Z 2 Z 2√ √ 0 2 12t dt = 2 3tdt = 4 3. L= kα (t)k dt = 0

0

0

3. Determinar el triedro de Frenet de la curva y = x2 − 1, z = x en el punto P = (1, 0, 1). Comprobar que la curvatura es constante en todos los puntos de la curva alabeada. Interpretar el valor de la torsi´on en todo punto de la curva. 2

Soluci´ on: Una parametrizaci´on de la curva viene dada por α(t) = 2 (t, t − 1, t), t ∈ R. El punto del enunciado es α(1) = (1, 0, 1). Se tiene que α0 (t) = (1, 2t, 1), por lo que el vector tangente en un punto cualquiera de la curva es Tα (t) = √

1 2t 1 1 (1, 2t, 1) = ( √ ,√ ,√ ). 2 2 2 2 + 4t 2 + 4t 2 + 4t 2 + 4t2

Para calcular el vector normal, necesitamos el valor de α00 (t) = (0, 2, 0) para todo t ∈ R. Por tanto, el vector binormal vendr´a dado por el vector de norma 1 con la siguiente direcci´on x y z 1 2t 1 = (−2, 0, 2). 0 2 0 Es decir,

1 −1 Bα (t) = ( √ , 0, √ ), t ∈ R. 2 2 El vector normal viene definido por x y z −1 1 √ √ = ( √ −t , √ −1 , √ −t ). 0 Nα (t) = Bα (t)×Tα (t) = 2 2 1 + 2t2 1 + 2t2 1 + 2t2 √ 1 2 √ 2t 2 √ 1 2 2+4t

2+4t

2+4t

Para el valor t = 1, se tiene que el triedro intr´ınseco viene dado por −1 −1 −1 −2 −2 1 2 1 {(1, 0, 1), {( √ , √ , √ ), ( √ , √ , √ ), ( √ , 0, √ )}}. 6 6 6 3 3 3 8 8 La curvatura viene dada por κ(t) = kα00 (t)k = 4, por lo que es constante en el tiempo. La torsi´on es nula en todo punto por lo que se deduce que la curva est´a contenida en un plano de R3 . 4. Hallar el triedro intr´ınseco de la curva α(t) = (sin(t), cos(t), sin(t)). Soluci´ on: Un procedimiento similar al del ejercicio 3. permite deducir que el triedro viene dado por {α(t), {Tα (t), Nα (t), Bα (t)}}, 3

siendo

− sin(t) cos(t) cos(t) ,p ,p ), Tα (t) = ( p cos2 (t) + 1 cos2 (t) + 1 cos2 (t) + 1 − sin(t) − sin(t) Nα (t) = ( p , 0, p ), 2 2 sin (t) 2 sin2 (t) 1 −1 Bα (t) = ( √ , 0, √ ). 2 2

5. Hallar los planos normal, rectificante y osculador para la curva α(t) = (1, t, t2 ), en el punto (1, 1, 1). Soluci´ on: Derivando se tiene que α0 (t) = (0, 1, 2t), luego Tα (t) = (0, √

1 2t ,√ ). 1 + 4t2 1 + 4t2

Tambi´en, α00 (t) = (0, 0, 2), luego un vector proporcional a Bα (t) ser´a x y z 0 1 2t = (2, 0, 0). 0 0 2 De aqu´ı que Bα (t) = (1, 0, 0). Por u ´ltimo, x y 0 Nα (t) = 1 0 √ 1 2 1+4t

z 0 √ 2t 1+4t2

= (0, √ −2t , √ 1 ). 1 + 4t2 1 + 4t2

Para t = 1 se tiene que α(1) = (1, 1, 1) que es el punto que queremos −2 √1 estudiar. En ´el se tiene que Tα (1) = (0, √15 , √25 ), Nα (1) = ((0, √ , 5 )) y 5 Bα (1) = (1, 0, 0). El plano osculador es x−1 y−1 z−1 0 1 2 = 0, 0 −2 1 es decir, el plano x = 1. En forma param´etrica viene dado por (x, y, z) = (1, 1, 1) + (0, 1, 2)t + (0, −2, 1)s, con s y t par´ametros reales. Para obtener 4

el plano normal, se hacen los mismos c´alculos con los vectores normal y binormal. Se obtiene el plano y +2z = 3. El plano rectificante est´a generado por los vectores tangente y binormal. Su ecuaci´on es 2y + z = 3, sin m´as que seguir el procedimiento anterior. 6. Calcular la curvatura y la torsi´on de la curva de los ejercicios 4. y 5. y comprobar que se cumplen las f´ormulas de Frenet. Soluci´ on: Es claro que la torsi´on en ambos casos ser´a cero puesto que las dos curvas est´an contenidas en el plano x = z y x = 1 respectivamente. Vamos a realizar los c´alculos para comprobarlo. Para el ejercicio 4., se tiene que q κα (t) = kα00 (t)k =

1 + sin2 (t),

mientras que + √ √ 1 − 2 cos(t) −1 1 − 2 cos(t) 1 p 2 , 0, p 2 ) = 0. ( √ , 0, √ ), ( 2 2 2 2 sin (t) sin (t)

* τα (t) = hBα (t), Nα0 (t)i =

Para el ejercicio 5., se tiene que κα (t) = 2 y τα (t) = 0.

3.1

Otros ejercicios propuestos:

1. Dada la curva α(t) = (t, t2 , t3 ), se pide determinar: • la ecuaci´on de la recta tangente en el punto t = 1. • los planos osculador, normal y rectificante en dicho punto. 2. Dada la h´elice α(t) = (a cos t, a sin t, bt), a, b > 0 fijos y t ∈ R, se pide calcular el triedro intr´ınseco, la curvatura, la torsi´on y el plano osculador en todo punto de la h´elice.

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