3 – MECANICA Y FLUIDOS : Determinación de densidades

CONTENIDOS Definiciones. Densidad Absoluta y Relativa. Volúmen y Peso específico. Densidad de Líquidos Biológicos. Densidad de Sólidos Regulares. Picnometría. Cálculo de Errores. Principio de Arquímedes. OBJETIVOS
Explicar los conceptos de densidad absoluta, densidad relativa, volumen y peso específico.
Identificar los diferentes métodos que se utilizan en la determinación de densidades
Interpretar el fundamento de la picnometría y el cálculo de errores.
Explicar el principio de Arquímedes y aplicarlo a situaciones problemáticas.

III.1

FUNDAMENTOS TEÓRICOS

DEFINICIONES III.1.1

Densidad Absoluta La densidad absoluta de una sustancia se define como su masa por unidad de

volumen. Para precisar la densidad en un punto, se divide la masa de una sustancia entre un pequeño volumen que rodea al punto y se toma el límite conforme se aproxima a un valor ε3, donde ε es aún suficientemente grande comparado con la distancia media entre las moléculas de la sustancia, esto es:

ρ = lim 3 ∆v→ ε

∆m ∆v

III.1.2

Densidad Relativa A menudo se suele considerar a la densidad de una sustancia con respecto a otra que se considera de referencia, por ejemplo agua o aire. Así la densidad relativa de cualquier sustancia puede definirse como el cociente entre dos densidades absolutas, esto es:

ρ relativa =

ρ ρ0

donde: ρ = Densidad absoluta de la sustancia. ρ0= Densidad absoluta de la sustancia de referencia.

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Obsérvese que la densidad relativa es una magnitud adimensional. Además, para que la expresión anterior tenga sentido ambas densidades deberán considerarse a la misma temperatura y presión.

III.1.3

Volumen Específico El volumen específico Vs es el recíproco de la densidad, es decir, el volumen ocupado por unidad de masa de la sustancia esto es:

Vs = III.1.4

1 ρ

Peso Especifico El peso específico γ de una sustancia es el peso por unidad de volumen, esto es:

γ =

III.1.5 III.1.6

m. g = ρ. g v

DENSIDAD DE LOS LIQUIDOS BIOLOGICOS Sangre

Está formada aproximadamente por partes iguales de plasma y glóbulos, presenta una densidad de 1,060 g/cm3, correspondiendo un valor de 1,030 g/cm3 al plasma y de 1,090 g/cm3 a los glóbulos. Los picnómetros permiten determinaciones de hasta 1 ml de sangre. Se pueden registrar aumentos de la densidad toda vez que aumenten los elementos sólidos de la sangre, o disminuya la cantidad de agua, aumente la cantidad de glucosa, aumente la cantidad de urea, etc. Igualmente se pueden presentar disminuciones en anemias, hemodiluciones, etc. III.1.7

Orina

Los valores normales de la densidad de la orina en los seres humanos varían de acuerdo a la edad del paciente, así por ej. tenemos:

PERIODO DE EDAD Recién nacido Lactantes Adultos Adultos (con ingesta normal de líquidos)

DENSIDAD 1,012 g/cm3 1,002 - 1,006 g/cm3 1,001 - 1,035 g/cm3 1,016 - 1,022 g/cm3

Los solutos contenidos en la orina normal influyen mucho en la densidad de la misma (urea 20%, cloruros 25%, fosfatos 25%); Así como también el contenido de proteínas y de glucosa de la misma.

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III.1.7 Líquido cefaloraquídeo Tiene una densidad de alrededor de 1,006 g/cm3.

III.1.8 III.1.8.1

DETERMINACION DE LA DENSIDAD DE LÍQUIDOS Densímetros

Sí disponemos de una cantidad suficiente de un líquido de densidad desconocida, esta puede determinarse directamente mediante un instrumento llamado densímetro. Los densímetros son intrumentos de vidrio que tienen un vástago convenientemente graduado y un bulbo con lastre. Su funcionamiento se basa en el principio de Arquímedes.(Ver Apéndice 2) El densímetro se sumerge en el líquido cuidando de que el mismo no toque las paredes del recipiente que contiene el líquido. Sobre el densímetro sumergido se ejerce una fuerza denominada empuje, desde abajo hacia arriba que es igual al peso del volumen de líquido desalojado. Cuando el peso de densímetro se equilibra con el empuje, este flota dejándo sumergido un cierto volumen mientras que otro pequeño volumen (el del vástago) queda por encima de la superficie libre del líquido sin sumergirse y en donde puede leerse directamente la densidad mediante una escala graduada. Cabe acotar, que como el volumen del aparato no varía, los diferentes empujes que reciba dependerá directamente de la densidad del líquido en cuestión.

III.1.8.2

Tiras Reactivas

Existen en el comercio, tiras reactivas para medir la densidad urinaria. La prueba se basa en el cambio de pKa de ciertos polielectrolitos pretratados en relación con la concentración iónica; en consecuencia, con este procedimiento se mide en realidad la concentración iónica de la orina, lo cual está relacionado con la densidad. Es ideal para volúmenes pequeños de orina, p. Ej. Neonatos y lactantes. Los colores del área reactiva varían desde el azul verdoso intenso en orinas de baja densidad al amarillo verdoso en orinas de mayor densidad. Los bloques de color tienen incrementos de 0,005 para lecturas de densidad entre 1 y 1,030.

III.1.8.3

Picnómetros

Este es un método de determinación de densidades muy utilizado en el laboratorio, ya que permite determinar la densidad tanto de sólidos como de líquidos, utilizando una pequeña muestra de la sustancia en cuestión.

19

PARTE A DETERMINACION DE DENSIDAD DE SÓLIDOS REGULARES Sí se tiene un cuerpo sólido homogéneo y de forma regular, la densidad del mismo puede calcularse midiendo las dimensiones del cuerpo con algún instrumento adecuado para determinar su volumen, el cuál dependerá de la geometría del cuerpo. De está manera puede determinarse su densidad si se conoce su masa, como el cociente entre su masa y su volumen. Sí el cuerpo no es homogéneo, es decir, si no tiene la misma estructura en toda su extensión, la relación anterior define la densidad promedio del cuerpo. La temperatura afecta a la densidad, porque si bien la masa no varía, el volumen sí; y cuando aumenta la temperatura el cuerpo se dilata aumentando su volumen, por lo tanto, la densidad disminuye. La presión también influye, pero su incidencia es muy baja en sólidos y líquidos, siendo muy importante en gases. Especificar los valores de densidad sin nombrar la temperatura y presión a las que fueron medidas no posee ningún valor físico.

III.2 .A

PROCEDIMIENTOS

Determinación de Densidad de Cuerpos Sólidos Regulares En este trabajo el procedimiento se basa en pesar el cuerpo para determinar su masa, medir sus dimensiones, y con la fórmula geométrica correspondiente determinar su volumen. Con esos datos se calcula por último la densidad. Se trabajará con los siguientes cuerpos regulares: • Prisma • Cilindro • Esfera • Cilindro semihueco En cada uno de los casos se deberá determinar la masa y el volumen y verificar si la temperatura no varía en un rango muy amplio. No se tendrá en cuenta para este práctico la influencia de la presión.

Determinación de la masa Para ello se utilizará una balanza eléctrica, teniendo en cuenta que el peso del cuerpo se halle comprendido en el rango de medición de la misma. Debido a que este instrumento posee una gran precisión no será necesaria la realización de un número de determinaciones. Se efectuarán cinco (5) pesadas que deberán corregirse con la recta de calibración de la balanza. Aquí se pueden presentar dos (2) casos: 20

1) Que todos los valores obtenidos sean iguales, o sea que no se detecten errores casuales; por lo tanto, el error de apreciación es mayor que los errores casuales. Lo anterior equivale a decir que: µM = M ± ∆M Donde ∆M viene dado por el error de apreciación de la balanza. 2) Tener valores diferentes de las pesadas. En este caso debe aplicarse la teoría de los errores casuales. Se utilizará el Modelo de Student debido a su mayor exactitud. Se elige un nivel de confianza del 95% (NC = 95%). Los valores obtenidos se registran en un cuadro:

i

Pi

Zi

1 2 3 4 5=n I.

Se calculan los Zi = a + b*Pi

III.

Mi n Se halla el desvío standard de la masa:

IV.

Se cuantifica el error casual:

II.

V.

Se halla el valor medio:

M =

∑

DSM

∆M = t 95% (n-1)

DS M n

Se expresa M como: µM = M ± ∆M

Determinación del volumen Para determinar el volumen de un cuerpo sólido regular (cilindro, prisma, etc.) se mide la longitud de sus magnitudes y se aplica las fórmulas del cálculo geométrico. Hacer esto, implica suponer que el cuerpo es geométricamente perfecto. Como ningún cuerpo es perfecto, tal suposición hace cometer un error de tipo sistemático debido al método. La manera práctica de disminuir tal error, consiste en hacer más de una medición de cada magnitud, en diferentes lugares de la misma, para promediar imperfecciones. Se realizarán diez (10) mediciones de cada magnitud en distintos lugares del cuerpo. Si alguna magnitud del cuerpo se encuentra elevada a una potencia mayor que la unidad; se debe utilizar un instrumento con menor error de apreciación para esas magnitudes, y así lograr que cuando se realiza la propagación de errores, todos los términos sean del mismo orden de magnitud.

Prisma Vprisma = L1 * L2 * H Como todas las magnitudes están elevadas a la primer potencia, se utilizará el mismo instrumento de medición para todas. 21

Se llevan los valores a un cuadro: i

L1

H

L2

1 2 . . 10=n Se calculan: L1 ; L 2 ; H ; DSL1; DSL2; DSH Se calcula el desvío standard del volumen del prisma:

I. II.

∂V ∂V ∂V 2 2 2 = DS L1 + DS L 2 + DS H ∂H ∂L1 ∂L 2 2

DSV

2

DSV = III.

2

2

L 2 * H DS L1 + L1 * H DS L 2 + L1 * L 2 DS H 2

2

2

2

V = L1 * L 2 * H DS ∆V = t95% (n-1) V n µV prisma = V ± ∆V

Se calcula el volumen medio del prisma:

IV. Se cuantifica el error casual: V.

2

2

Se expresa finalmente como:

Cilindro D2 *H 4 Como el diámetro está elevado a la segunda potencia y la altura a la primera, se utilizará un instrumento de menor error de apreciación para la medición del diámetro. Vcilindro = π *

Se llevan los valores a un cuadro: D

i

H

1 2 . . 10=n

I. II.

Se calculan: D , H , DSD, DSH Se calcula el desvío standard del volumen del cilindro:

DSV

2

∂V ∂V 2 2 = DS D + DS H ∂H ∂D 2

2

2

DSV =

2

1 D2 2 2 π * D * H DS D + π * DS H 2 4 2

III.

Se calcula el volumen medio del cilindro:

22

V =π*

D *H 4

IV.

Se cuantifica el error casual:

V.

Se expresa finalmente como:

DSV n = V ± ∆V

∆V = t95% (n-1)

µVcilindro

Esfera Vesfera = π *

D3 6

Como la fórmula contiene una sola variable, el diámetro, éste puede ser medido indistintamente con el calibre o el tornillo micrométrico. Se llevan los valores a un cuadro: D

i 1 2 . . 10=n I. II.

Se calculan: D , DSD Se calcula el desvío standard del volumen de la esfera: ∂V 2 = DS D ; ∂D 2

DSV

2

DSV =

1 π * D 2 * DS D 2

III.

Se calcula el volumen medio de la esfera:

IV.

Se cuantifica el error casual:

V.

Se expresa finalmente como:

V =π*

D3 6

DSV n = V ± ∆V

∆V = t95% (n-1)

µVesfera

Cilindro semi hueco Vcilindro semihueco = Vexterno- Vinterno 2

Vcilindro semihueco

2

D D = ( π * e * He) - ( π * i * Hi) 4 4

Como los diámetros están elevados a la segunda potencia y las alturas a la primera, se utilizará un instrumento de menor error de apreciación para la medición de los diámetros. Se llevan los valores a un cuadro:

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i 1 2 . . 10=n

I. II.

De

He

Di

Hi

Se calculan: D e , H e , D i , H i ,DSDe, DSHe, DSDi, DSHi Se calcula el desvío standard del volumen del cilindro semihueco: 2

DSV

2

2

2

2

∂V ∂V ∂V ∂V 2 2 2 2 = DS D e + DS He + DS D i + DS Hi ∂H e ∂H i ∂De ∂Di

1 1 1 1 2 2 ( πDe H e DS De ) 2 + ( πDe DS He ) 2 + ( π Di H i DS Di ) 2 + ( πDi DS Hi ) 2 2 4 2 4

DSV =

2

III.

Se calcula el volumen medio del cilindro semihueco:V (π *

= (π *

De *He) – 4

2

Di *Hi) 4

IV.

Se cuantifica el error casual:

V.

Se expresa finalmente como:

DSV n µVcilindrosemihueco = V ± ∆V

∆V = t95% (n-1)

Determinación de la densidad De cada uno de los cuerpos estudiados se tiene la masa y el volumen, por lo tanto, sólo queda aplicar la fórmula para el cálculo de la densidad y su error.

d = ∆d =

∂d ∂d ∆M + ∆V ∂M ∂V

M V

∆d =

M 1 ∆M + ∆V V V2

donde: a) ∆V = t95% (n-1) DSV n

b) ∆M puede ser: • El error de apreciación de la balanza en el caso de una sola pesada, o cuando todos los valores obtenidos sean iguales. DS M • ∆M = t 95% (n-1) en el caso que los valores obtenidos difieran. n Lo anterior es correcto si la variación de temperatura no ha sido superior a los 1,5ºC. Finalmente se expresa la densidad como:

µd = d ± ∆d 24

PARTE B MÈTODO DEL PICNOMETRO El picnómetro es un frasco de vidrio de dimensiones reducidas, con un tapón esmerilado y hueco. Existe una marca de enrase que permite medir siempre el mismo volumen, siendo su capacidad igual a el volumen de agua a 20º C, expresado en cm3, contenido en el picnómetro cuando se lo llena hasta la parte superior del orificio del tapón. Hay una gran diversidad de modelos y se clasifican según su forma; por ejemplo el de Gay - Lussac son utilizados para líquidos y el de Hubbart para sólidos y líquidos particularmente viscosos.

Figura 4: Diversos tipos de picnómetros

La constante en este instrumento, es su volumen (V) a una cierta temperatura. Existen dos métodos principales de medición: •

Método del picnómetro para líquidos

•

Método del picnómetro para sólidos Estos métodos se explican brevemente a continuación.

Método del Picnómetro para Líquidos Para la determinación de la densidad de un líquido utilizando el método del picnómetro, es necesario realizar las siguientes tres (3) pesadas: • Picnómetro vacío (PP) • Picnómetro lleno de agua tridestilada y desmineralizada (PA) • Picnómetro lleno del líquido cuya densidad se desconoce (PL) 25

Con estos tres pesajes se puede calcular la densidad relativa bruta del líquido desconocido (Y) respecto al agua, a la temperatura de la medición, con la relación:

ML V M P − PP DL = L = L = L Y = D A M A M A PA − PP VA

(I)

Donde: Y: densidad relativa bruta del líquido. Se obtiene de las tres (3) pesadas DL: es la densidad bruta del líquido DA: densidad del agua ML: masa de líquido contenida en el picnómetro MA: masa de agua contenida en el picnómetro Además, es VL = VA = V pues el volumen del picnómetro es constante. La relación (I) permite estimar la densidad bruta del líquido desconocido como: DL = Y * DA (II) Se debe efectuar una corrección a la misma. El supuesto de que el picnómetro está “vacío” es en realidad falsa, ya que se encuentra lleno de aire, que es un fluido como el agua, sólo que menos denso. La corrección de este error sistemático, debido al método, se lleva a cabo utilizando la ecuación (III) (Ver Apéndice 1): DL* = Y (DA – da) + da

(III)

Donde: DL*: es la densidad corregida del líquido desconocido al eliminar el efecto de la masa de aire ocupante. d a:

es la densidad del aire promedio (0,001293 g/cm3).

Ahora bien, si sólo se realiza una medición con una buena balanza, el resultado final deberá ser expresado con una relación como la (IV) empleando el concepto de error de apreciación. Así, el valor verdadero de la densidad del líquido desconocido µD L * se debería encontrar en algún punto del intervalo dado por:

µDL * = (DL* ± ∆ DL*)

(IV)

Para obtener el error ∆ DL* hay que aplicar la fórmula general de propagación del error, a la ecuación (III) obteniendo: ∆ DL* = (DA – da) ∆ Y

26

(V)

Para obtener el error

∆ Y hay que aplicar nuevamente propagación de

error a (I):

∆Y =

∂Y ∂Y ∂Y ∆PL + ∆PA + ∆PP ∂PL ∂PA ∂PP

(VI)

Pero como las tres pesadas se efectúan con la misma balanza, todos los errores de apreciación son iguales, por lo que ∆PL = ∆PA = ∆PP = ∆P . Entonces, resolviendo la ecuación (VI) se tiene:

∆Y =

PA + PL − 2 PP * 2 ∆P ( PA − PP ) 2

(VII)

Método del Picnómetro para Sólidos En el caso de determinación de densidad de sólidos, se deben hacer cuatro (4) pesadas: • • • •

Picnómetro vacío (PP) Picnómetro con el cuerpo sólido (PS) Picnómetro lleno de agua tridestilada y desmineralizada (PA) Picnómetro con el cuerpo sólido adentro y lleno de agua tridestilada y desmineralizada hasta el enrase (PSA)

Debe tenerse en cuenta que cuando el sólido pueda disolverse en agua (azúcar, sal, etc.) hay que emplear otro líquido en lugar de agua. Para emplear este método no interesa la forma del cuerpo sólido, sino que basta un pequeño trozo del mismo. Otra vez el concepto básico es sencillo. La densidad relativa bruta del sólido, respecto del agua a la temperatura de trabajo, se obtiene con la ecuación:

MS D V PS − PP Z = S = S´ = DA M A PA + PS − PP − PSA ´ VA

(VIII)

Donde: Z: densidad relativa bruta del sólido. Se obtiene de las cuatro (4) pesadas DS: densidad bruta del sólido DA: densidad del agua. Se obtiene de tablas para la temperatura de trabajo MS: masa de sólido MÁ: masa del volumen del líquido desalojado por el sólido al ser introducido en el picnómetro lleno de agua. VS: volumen del sólido VÁ: volumen de agua desalojado

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Se puede ver que VS = VÁ Para obtener la densidad bruta del cuerpo introducido, basta entonces calcular: DS = Z * DA

(IX)

Se obtiene la densidad del sólido desconocido aplicando la corrección por masa de aire ocupante (Apéndice 1) DS* = Z (DA – da) + da

(X)

Ecuación enteramente similar a la vista para el caso de los líquidos. Si se efectúa una sola medición por cada magnitud, los resultados deben ser expresados mediante relaciones como la siguiente:

µDS = DS* ± ∆DS* *

(XI)

Lo que significa que el valor verdadero de la densidad del sólido µDS * está en algún lugar dentro del intervalo dado por (XI). El error de esta estimación ∆D S* debe ser obtenido por la propagación de los errores de apreciación, como se muestra a continuación, aplicando la fórmula general de propagación a la ecuación (X): ∆ DS* = (DA – da) ∆ Z

(XII)

Para obtener el error ∆ Z hay que aplicar nuevamente propagación de errores a la (VIII):

∆Z =

∂Z ∂Z ∂Z ∂Z ∆PS + ∆PA + ∆PP + ∆PSA ∂PS ∂PA ∂PP ∂PSA

(XIII)

Como también en este caso se usa la misma balanza para las cuatro pesadas, el error de apreciación será el mismo para todas ellas: ∆ PS = ∆ PA = ∆ PP = ∆ PSA = ∆ P. La resolución de la fórmula anterior muestra que:

 2 * [ PS − PP + PA − PSA ] * ∆P ∆Z =  2   (PA + PS − PP − PSA ) 

28

(XIV)

III.2 B

PROCEDIMIENTOS

Determinación de la densidad de líquidos y de sólidos utilizando el Picnómetro Procedimiento 1. Se equilibra y se hace el ajuste de cero de la balanza. 2. Se coloca el picnómetro bien seco y limpio, con su correspondiente tapón, en el platillo de la balanza. Se lo pesa y se obtiene el valor de PP. A este valor hay que corregirlo empleando la curva de calibración de la balanza. Se coloca el cuerpo dentro del picnómetro, se tapa y se vuelve a pesar. El valor obtenido se corrige con la curva de calibración y así se obtiene el valor PS. Análogamente si hay más cuerpos diferentes. 3. Se llena el picnómetro con agua tridestilada y desmineralizada hasta el enrase, pero manteniendo adentro al cuerpo. Tal preparado se pesa y al valor se lo corrige con la curva de calibración. Se obtiene así PSA. Análogamente si hay más sólidos. 4. Se saca el cuerpo del picnómetro, se enjuaga, y se vuelve a llenar con agua pero esta vez sin dejar el cuerpo adentro. Se pesa el picnómetro lleno de agua, se corrige con la curva de calibración y se obtiene el valor de PA. 5. Se efectúan los cálculos para la obtención de la densidad del sólido incógnita. 6. Para obtener la densidad de líquidos es necesario efectuar una medición extra, para cada líquido cuya densidad se desea conocer. Se pesa el picnómetro lleno hasta el enrase del líquido en cuestión. Para ello, previamente se vacía el picnómetro lleno de agua, se lo seca y limpia muy bien, y luego se le coloca el líquido incógnita. Es importante, el lavado y secado del picnómetro antes de cambiar de líquido para evitar errores sistemáticos. La pesada que se realiza, corregida con la curva de calibración, permite tener el valor de PL. 7. Se realizan los cálculos para obtener la densidad del líquido incógnita. 8. Los resultados finales se deben expresar según se muestra en las ecuaciones (IV) y (XI) para líquidos y sólidos respectivamente. 9. Elaborar un informe de la experiencia, prestando particular atención a la

discusión final de los resultados. Nota: Si la temperatura se mantiene constante durante las pesadas efectuadas, no es necesario efectuar corrección por variación de temperatura que dilata ó contrae el picnómetro y hace variar la densidad.

29

Ejemplo 1 Cálculo de la densidad de un líquido desconocido Se ha empleado el método del picnómetro para calcular la densidad de un líquido desconocido, midiéndose una sola vez cada magnitud con una balanza eléctrica con un error de apreciación de ∆P = 10-4 g, Los valores medidos a 25ºC son: •

PA: 58,3523 g

•

PP: 33,6543 g

•

PL: 52,2143 g

Se pide calcular la densidad relativa bruta, bruta y la corregida del líquido. Densidad relativa bruta Y =

PL − PP 52,2143 − 33,6543 18,5600 = 0,75148 = = PA − PP 58,3523 − 33,6543 24,6980

∆Y =

(I)

PA + PL − 2 PP 52,2143 + 58,3523 − (2 * 33,6543) * 2 * 10 −4 * 2∆P = 2 (58,3523 − 33,6543) 2 ( PA − PP ) ∆Y = 0,142*10-4

Finalmente la densidad relativa bruta del líquido a 25ºC es:

µY = (0,75148 ± 0,00001) Densidad bruta De tablas se obtiene la densidad del agua a 25ºC, DA: 0,9971 g/cm3 DL = Y DA = (0,75148) * 0,9971 g/cm3 = 0,74930 g/cm3

(II)

∆DL = ∆Y * D A = (0,00001) * 0,9971 g/cm3 = 0,00001 g/cm3 Por lo tanto la densidad bruta del líquido a 25ºC es:

µDL = (0,74930 ± 0,00001) g/cm3 Densidad corregida DL* =Y (DA – da) + da = (0,75148 (0,9971 – 0,001293) + 0,001293) g/cm3 DL* =0,74962 g/cm3 ∆ DL*

(III)

= (DA – da) ∆ Y = (0,9971 – 0,001293) * 0,142*10-4

∆ DL*= 0,1414*10-4 g/cm3

(V)

Lo que permite expresar el resultado final como:

µDL*= (DL* ± ∆DL*) = (0,74962 ± 0,1414*10-4) g/cm3

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(IV)

Ejemplo 2 Cálculo de la densidad de un sólido desconocido Empleando el mismo picnómetro y balanza que en el ejemplo anterior, ahora se desea conocer la densidad relativa bruta, bruta y corregida de un sólido desconocido. Se pesa el picnómetro con el sólido dentro y es PS = 46,7523 g. Luego se llena con agua pura hasta el enrase, dejando el cuerpo adentro y se obtiene PSA = 69,7223 g (todo a 25ºC). Densidad relativa bruta PS − PP 46,7523 − 33,6543 = PA + PS − PP − PSA 58,3523 + 46,7523 − 33,6543 − 69,7223 13,0980 Z= = 7,57986 (VIII) 1,7280

Z=

 2 * [ PS − PP + PA − PSA ] ∆Z =  * ∆P 2   (PA + PS − PP − PSA )   2 * [13,098 + 58,3523 − 69,7223 ] -3 −4 ∆Z =   * 10 = 1,64 * 10 (XIV) 2 (1,7280)   Finalmente la densidad relativa bruta del sólido a 25ºC es:

µZ = (7,57986 ± 1,64 * 10-3) Densidad bruta De tablas se obtiene la densidad del agua a 25ºC, DA: 0,9971 g/cm3 DS = Z DA = (7,57986) * 0,9971 g/cm3 = 7,5579 g/cm3

(IX)

∆Ds= ∆Z * DA = (1,64 * 10-3) * 0,9971 g/cm3 = 1,635 * 10-3 g/cm3 Por lo tanto la densidad bruta del sólido a 25ºC es:

µDs =(7,5579 ± 1,635 * 10-3) g/ cm3 Densidad corregida DS* = Z (DA – da) + da DS* = (7,57986 (0,9971 – 0,001293) + 0,001293) g/cm3 = 7,5494g/cm3 ∆DS* = (DA – da) ∆ Z = (0,9971 – 0,001293) * 1,64 * 10-3 g/cm3 ∆DS* = 1,63 * 10-3 g/cm3 (XII) Lo que permite expresar el resultado final como: *

µDS = (DS* ± ∆ DS*) = (7,5494 ± 1,63 * 10-3) g/cm3

31

(XI)

(X)

APENDICE 1 Corrección por masa de aire Método del picnómetro para líquidos El método del picnómetro para la determinación de la densidad de líquidos, establece que la densidad relativa bruta se puede calcular con la relación (I) efectuando las tres pesadas allí indicadas. ML DL V M P − PP = L = L = L (I) Y = M DA M A PA − PP A VA Por comodidad puede llamarse a la diferencia de pesadas como: XL = PL – PP XA = PA – PP Por lo que la relación (I) se reduce a: Y = XL / XA Ahora bien, cuando se pesa el picnómetro sin nada adentro, en realidad no está vacío, sino que está lleno de aire cuya densidad es da= 0,001293 g/cm3, es decir un 0,13% de la densidad del agua. Si se desprecia la pequeña cantidad de aire contenida en el picnómetro, se comete un error sistemático debido al método. Para evitarlo, habrá que cambiar el método. Si se llama PV a la masa del picnómetro vacío de aire, y ma a la masa de aire contenido en él; puede notarse que el valor pesado será PP = PV + ma. Luego la densidad del líquido, sea este desconocido, o sea el agua, habría que calcularla como sigue: ML = PL - PV = PL - (PP - ma ) = PL - PP + ma Siendo ML la masa de líquido dentro del picnómetro, y V, el volumen del picnómetro, se sigue que: ML = XL + da V

o sea:

XL = ML - da V Y análogamente para el agua: X A = M A - da V Reemplazando estas dos últimas expresiones, en la ecuación (I) resulta: M − d aV D L − d a X Y= L = L = X A M A − d aV D A − d a El último miembro, se obtiene dividiendo ambos miembros por V, efectuando los despejes se calcula: DL* =Y (DA – da) + da (III)

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Método del picnómetro para sólidos El método del picnómetro para la determinación de la densidad de sólidos, establece que la densidad relativa bruta se puede calcular con la relación (VIII), efectuando cuatro pesadas. MS D V PS − PP (VIII) Z = S = S´ = DA M A PA + PS − PP − PSA VA

´

Por comodidad, conviene definir las diferencias de pesadas de numerador y denominador de la fórmula (VIII) como sigue: XS = PS – PP XV = PA + PS – PP – PSA Por lo que la relación (I) se reduce a: Z = XS / XV Aquí el error sistemático debido al método es considerar al picnómetro vacío, en lugar de lleno de aire como es la realidad. El procedimiento para corregir tal error es enteramente similar al descripto anteriormente. Con la misma nomenclatura que se empleó allí, se tiene: PP = PV + ma. Ahora bien, cuando se pesa el cuerpo dentro del picnómetro, en realidad se debe considerar que se desaloja, un volumen de aire Va igual al volumen del cuerpo VS. Entonces la relación queda: PS = PV + MS +ma´ = (PP-ma) + MS + ma´ = PP + MS – (ma-ma´) = PP + MS – da VS MS = PS - PP + da VS = XS + da VS o bien XS = MS – da VS Dividiendo esta última expresión por el volumen del cuerpo quedará: XS = (DS* – da) VS Como: XV = PA + XS - PSA = PA + (DS* – da) VS - PSA = PA - PSA + (MS – da VS) y PA - (PSA - MS) = VS DA, es la masa del volumen del líquido desalojado. Reemplazando en la anterior resulta: XV = VS (DA – da) ;

Z = XS / XV = (DS* – da)/(DA – da)

De esta expresión se despeja: DS* =Z (DA – da) + da

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(X)

APENDICE 2 Principio de Arquímedes Cualquier persona que esté familiarizada con los deportes acuáticos como la natación, ha observado que los objetos parecen perder peso cuando se sumergen en agua. En realidad el objeto puede incluso flotar en la superficie debido a la presión hacia arriba ejercida por el agua. Un antiguo matemático griego, Arquímedes (287-212 A.C) fue el primero que estudió el empuje vertical hacia arriba ejercido por los fluidos. El principio de Arquímedes se enuncia de la siguiente manera: Un objeto que se encuentra parcial o totalmente sumergido en un fluido experimenta una fuerza ascendente (empuje) igual al peso del fluido desalojado. FB = V δ g = m g EMPUJE = PESO DEL FLUIDO

Al aplicar este resultado debemos recordar que la ecuación nos permite calcular únicamente el empuje ocasionado por la diferencia de presiones. No representa en realidad la fuerza resultante. 1. Un cuerpo se sumergirá si el peso del fluido que desaloja (el empuje) es menor que el peso de dicho cuerpo. 2. Si el peso del fluido desalojado es exactamente igual al peso del cuerpo sumergido, éste ni se hunde ni se va hasta arriba. En este caso el cuerpo está en equilibrio. 3. Si el peso del fluido desalojado excede el peso del cuerpo sumergido, el cuerpo se elevará hasta la superficie y flotará. Cuando el cuerpo flota y alcanza el equilibrio en la superficie, desplazará su propio peso de líquido. Podemos deducir el principio de Arquímedes a partir de las leyes de Newton, considerando las fuerzas que actúan sobre una porción de un fluido y observando que, cuando está en equilibrio estático, la fuerza neta sobre la misma debe ser nula. Arquímedes encontró lo que constituye un procedimiento simple y exacto para determinar la densidad específica de un cuerpo. La densidad específica de un cuerpo es el peso del mismo en aire dividido por el peso de un volumen igual de agua

densidad específica =

peso del cuerpo en el aire peso de un volumen igual de agua

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Pero, de acuerdo con el principio de Arquímedes, el peso de un mismo volumen de agua es igual a la fuerza ascensional sobre el cuerpo cuando está sumergido en dicho líquido. Por consiguiente, es igual a la pérdida de peso del cuerpo cuando está sumergido en agua.

densidad específica =

peso de objeto en el aire pérdida de peso cuando sumergido en agua

Como hemos visto el principio de Arquímedes proporciona un método para la determinación de pesos específicos y densidades. Por ejemplo utilizando:
Balanza hidrostática: se determina primero el peso del cuerpo en el aire, y luego se lo pesa sumergido en agua, la diferencia de ambos pesos es el valor del empuje, o sea el peso del líquido desalojado. Con estos datos se aplica la ecuación anterior.
Método del dinamómetro: Para determinaciones rápidas se puede emplear un simple dinamómetro, que da directamente los pesos del cuerpo en el aire y sumergido. Luego se aplica la misma fórmula
Balanza de Mohr: Se utiliza para densidades de líquidos con respecto al agua y se aplica el principio de Arquímedes. La explicación de su funcionamiento se tratará en otro práctico.
Método del picnómetro: Para determinación de densidades de sólidos y líquidos. Se tiene en cuenta el principio de Arquímedes.
Densímetros: Son flotadores de vidrio convenientemente lastrados. El volumen de la parte sumergida se modifica de acuerdo con el peso específico del líquido en que se los coloca. Una escala en el tubo vertical da directamente ese peso específico, por lectura al nivel libre del líquido. Para casos especiales se construyen densímetros con escala arbitraria (pesa leche, pesa alcoholes, etc.)
Areómetros: Se suelen utilizar los llamados Beaumé, cuya escala es diferente según que se trate de líquidos más o menos densos que el agua, y se ha establecido sobre la base de las densidades de soluciones de sal común en agua.

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