MECANICA DE FLUIDOS. GENERALIDADES ECUACION CONSTITUTIVA. Por medio de experiencia, se sabe que un fluido en reposo o en movimiento uniforme, no se producen tensiones cortantes. Así, en un fluido en reposo o a velocidad uniforme, la máxima tensión de corte es cerro y el estado e tensión es puramente hidrostática: T = − p 0 .I 6.3.1  T  Donde p 0 es la presión estática  − kk 3  donde barra superior se 



coloco para diferenciar de la presión termodinámica, p, y el subíndice cero es para indicar que es reposo o flujo uniforme: En termodinámica, la presión estática en un fluido esta relacionado con la densidad y con la temperatura absoluta ρ, θ. F( p 0 , ρ, θ) = 0

(F, funcional), en un estado de equilibrio termodinámico. En Mecánica de fluidos, definiremos la “presión termodinámica”, p, como la cantidad que surge de la misma relación funcional con ρ y θ que da p0 en equilibrio, esto es: F(p, ρ, θ) = 0 6.3.2.a que es una “ecuación de estado”, específicamente, la ecuación cinética de estado que debe diferenciarse de la “ecuación caloría de estado” u = u (θ, ρ) 6.3.2.b con “u” energía interna. La ecuación cinética de estado, expresa la dependencia de la presión termodinámica -p con relación a las variables de estado (ejemplo τ j = τ j (θ, υi ) , ya vista). En esta definición de p, no hay ninguna seguridad que sea igual a  − Tkk   3  y veremos que comúnmente es lo que ocurre. De hecho, 

un ejemplo sencillo de ecuación de estado es la de un gas perfecto:

- -

1

p = ρ.R.θ

6.3.3 Con R constante para un cierto gas. Vemos que la presión termodinámica no surge de una ecuación constitutiva involucrando a deformaciones, sino que surge como resultado del estado físico del gas pero por supuesto deberá formar parte del tensor de tensiones. Si no se agregan al tensor ningún otro tipo de tensiones provenientes de las deformaciones por cargas, la presión termodinámica y la estática coincidirán (mas adelante se aclara). Un flujo barotrópico es definido a aquel que fluye satisfaciendo el funcional: f ( p, ρ) = 0 6.3.4 con independencia de la θ. Este tipo de flujo admite una formulación usando variables mecánicas solamente. Bajo condiciones especiales, un fluido con una ecuación de estado como lo numero 2 puede satisfacer una ecuación barotrópica como la 4, pero necesita una forma especial del funcional “f”. Un ejemplo es el flujo isotérmico con θ constante, en la ecuación 2. Otro ejemplo es el flujo reversible adiabático (flujo isentrópico) de un gas que satisface la ecuación 3. Se puede demostrar que los cambios reversibles y adiabáticos en un gas perfecto están gobernados por una relación barotrópica ρ = cte ργ

6.3.5

γ = 1,4 en aire seco.

Un fluido ideal incompresible, se gobierna por una ecuación barotrópica especial: ρ=cte. 6.3.6 Se verá que en este caso p = p , y si bien no depende de ρ, si depende de otras variables de campo. Un fluido ideal sin fricción (no viscoso) se define como aquel que no puede sostener tensiones de corte ni siquiera cuando se esta

- -

2

moviendo. En realidad, ningún fluido ideal es no viscoso pero resulta que en muchos casos la presión y las fuerzas de masas son mucho mas predominantes que el efecto viscoso y no se comete mayor error analizándolo de esta manera pero con una salvedad: no se puede hacer lo dicho en la capa de contorno o capa limite. En la proximidad con un objeto sólido o las paredes del contenedor, los efectos viscosos son del mismo orden que las otras fuerzas. La ecuación constitutiva para un fluido no viscoso es: T = − p I o Tij = − pδ ij 6.3.7 ~ ~ en la que es p presión termodinámica. Si la ecuación de estado es p = p(ρ) , al fluido ideal sin fricción se lo llama fluido estático. Como se, en este caso p = p . Veremos que, en los casos en que el fluido es viscoso y esta en movimiento, no solo hay tensión de corte sino que p = − 13 Tkk puede diferir de la presión termodinámica, p, calculada con la ecuación de estado. De acuerdo con Stokes (1845) las tensiones en un fluido que se deforma difieren de la tensión de equilibro estático (6.3.1) por una función del tensor velocidad de deformación D~ . T = − p I + F( D) ~

~

~

6.3.8

) , que estará presente a igual densidad y temperatura La tensión F(D ~

si el fluido esta en reposo, se llama “tensión viscosa”. Por supuesto, que F(D~ ) = T~ + p ~I . Stokes considera el caso de viscosidad lineal y en ese caso el fluido se llama “Newtoniano”. En cambio, ni la “F” es no lineal el fluido se llama “Stokesiano”. Cuando la “F” es lineal, en coordenadas cartesianas, la ecuación queda: 6.3.9 τ = −pδ + C .D rs ij ij ijrs

- -

3

Como Tij es simétrico, Cijrs debe ser simétrico en i,j. Como D rs también es simétrico, C ijrs puede ser simétrico en r s sin problemas. Se consideran solo fluidos isotrópicos, siendo C ijrs : C

ijrs

= λδ

δ + µ ( δ δ + δ .δ ) ij rs ir js is ir

que sustituyendo en la 6.3.9; da: T = −pδ + λD δ + 2µD ij ij kk ij ij T = −p I + λ tr (D) I + 2µ D ~ ~ ~ ~ ~

6.3.10

Con µ y λ parámetros independientes que caracterizan la viscosidad del fluido. Si se expresa lo anterior en términos de tensiones de ´ ´ desviadoras; T ij = T ij + p δ ij y D ij = D ij − 1 3 D kk δ ij , la ecuación 6.3.10 queda: T ´ = ( p − p )δ + (λ + 2 µ ) D δ + 2µD ´ ij ij kk ij ij 3

6.3.12

Poniendo i = j en la 12, sabemos que Tii´ = 0; Dii ´= 0 y δii = 3 ( p − p) + (λ + 2 µ).D kk = 0 3

Colocando en la 12, queda T´ = 2µD ´ o ij ij

T ′ = 2µ D ′ ~

p = p − (λ + 2 µ).D kk = p + k. 1 . dρ 3 dt ρ

~

6.3.14

LEY DE NAVIER - POISSON PARA FLUIDO NEWTONIANO Donde se ha aplicado que k (viscosidad de masa) = λ + 2 3 µ , y 1 D kk = div( v) = − ρ& que es la ecuación de conservación de masa. ρ

- -

4

Como puede observarse de la ecuación 14, la presión termodinámica iguala a la presión media p en el caso que D kk = 0; ( ρ& = 0)

ó k = λ + 2 µ = 0 (Condición de Stokes) 3 por lo anterior, un fluido Newtoniano incompresible implicara siempre que p = p (no así un fluido incompresible stokesiano o “no lineal”). Aunque en la realidad ningún fluido es estrictamente incompresible, en muchos casos el efecto de compresibilidad en líquidos es despreciable. También es el caso de flujo de gases en torno a cuerpos sólidos siempre que la velocidad relativa sea baja comparada con la velocidad del sonido (Mach 1). La segunda condición bajo la cual p = p es la condición de Stokes. Para notar su importancia, vemos en (14) que “ k.D kk ” es la contribución a la presión media debido a la viscosidad volumétrica. La presión termodinámica, p, contribuye a la misma temperatura y densidad si D kk = 0 . La importancia de la viscosidad volumétrica también se nota cuando se calcula la potencia disipada por unidad de volumen: si introducimos en (10) D ij = D ij´+ 13 D kk δij ´

´

Tij D ij = − pD kk + k ( D kk ) 2 + 2µ D ij : D ij ´

T : D = − p.Tr (D ) + k (Tr (D)) 2 + 2µ D : D ~

~

~

~

~

~

´

6.3.18

p . ρ• − pD = + Veamos: 1) el termino kk ρ (continuidad)

ó, si se usa ρ = 1 V ;

− pD kk

• p =− . V (V volumen V

específico): Esta porción puede ser negativa o positiva por lo que representa una parte recuperable de la energía libre ( θ = cte ). Esta suposición de que es siempre recuperable y

- -

5

que a su vez la tensión recuperable es R Tij = − pδ ij , asume la existencia de un potencial de energía elástico W (V ) tal ∂W (V ) = − p . Esto puede ser discutible pero, a ∂V −p cualquier tasa, el término − p.D kk = ( V).dV dt podría

que

representar energía que no produce entropía interna, quedando el resto como energía disipativa. 2) Los términos restantes, constituyen la energía disipativa: 2 WD = k ( D kk ) 2 + 2µD ij´ .D ij´ . (6.3.19)

siempre positivo, requiere por el segundo principio de la termodinámica: µ ≥ 0 y k ≥ 0 o λ ≥ − 23 µ

(6.3.20)

Como WD ≥ 0 ; esta parte de la potencia mecánica (PM) nunca contribuye al aumento de la energía cinética (EC) del sistema (ver 5.4.2, si se piensa en la ecuación de fuerzas vivas, en la suma algebraica de la EC y la PM, al ser el PM positivo, a igual Pinput, EC disminuye) El potencial disipativo WD (1/2 de la potencia disipativa) puede usarse para deducir tensiones disipativas: D Tij

=

∂WD ∂D ij

(6.3.21)

con R Tij = −pδ ij y DT = Tij + pδ ij (6.3.22)

- -

6

Si la viscosidad volumétrica se anula k = λ + 2 3 µ = 0 , el primer ´ ´ termino de la derecha de 2 WD = k (D kk ) 2 + 2µD ij .D ij desaparece y el ´

´

cambio de volumen, D kk , se torna no disipativo, siendo 2µD ij .D ij el responsable de la disipación total (cambios de forma). Cabe aclarar que exceptuando el caso de amortiguación de ondas de sonido, la disipación por dilatación es poco importante en relación a la otra. Por ello, para muchos flujos, generalmente se asume como valido la suposición de Stokes λ ≥ − 2 3 µ , generando la ecuación constitutiva de Navier-Poisson: Tij = −ρδij − 2 µ.D kk .δ ij + 2µD ij 3  T = −ρ. I − 2 µ tr (D) .I + 2µ. D 3 ~ ~ ~ ~ k = 0 ' ' Tij = −ρδij + 2µ.D ij ; T~ = −ρ. ~I + 2µ. D ~  ' ' con T = 2µ. D ; p = p ~ ~ 

( )

Por supuesto que este sistema también se aplica si el sistema es incompresible o a un flujo a ρ = cte . En gran parte de las aplicaciones comunes de ingeniería civil o mecánica, vale su uso el parámetro “µ” llamado “viscosidad dinámica”. Tiene dimensión de tensión * tiempo

[µ] =  F.T2  =  M  L 

 L.T 

Como “µ” aparece muchas veces dividido por ρ, el cociente ν=µ

ρ

⇒

 L2  [ν ] =   T

(6.3.26)

se llama “viscosidad cinemática” por que se la expresa totalmente en términos de dimensiones cinemáticas.

- -

7

Es importante observar que la ecuación obtenida muestra la incapacidad de un fluido de soportar tensiones de corte. Al establecer la relación con “velocidad” de deformación, mientras haya tensiones de corte habrá deformaciones. Flujo Laminar Es un flujo paralelo con trayectorias estables. Se verifica bien la proporcionalidad entre tensiones de corte y velocidad de deformación. Las ecuaciones de Navier - Poisson se aplican bien a este tipo de flujo. Flujo Turbulento Se describe como tal el flujo donde las tensiones y velocidades en un punto, fluctúan de manera aleatoria en el tiempo. En este tipo de flujo no es posible medir simultáneamente valores de velocidad de flujo y tensiones para contrastar contra Navier - Poissson. Si se toma valores medios de flujo, esto no satisface la ecuación de Navier-Poisson. ν≠µ

dµ (Una dimensión) dy

Según Boussinesq, a la anterior, hay que adicionar un término en función del flujo mismo, que considere el efecto torbellino.

- -

8

Ecuación de Campo para Fluido Newtoniano. (Navier-Stokes) Un ejemplo sencillo de cómo combinar los principios (de aplicación general) con las ecuaciones constitutivas, es la consideración de fluidos newtonianos. El problema puede ser una de “flujo permanente con condiciones de contorno” o bien puede ser un problema “Transitorio de valores iniciales mas condiciones de contorno”. Si bien ambos constituyen ecuaciones en derivadas parciales, el primero es mas fácil de afrontar y mucho mas cuando se pretende una solución analítica. Ejemplo de primero puede ser un recipiente en el que circula un flujo estable con condiciones de contorno estables. Ejemplo del segundo es el caso de propagación de ondas de agua o sonido, proveniente de una explosión. A los efectos de proveer algunos conceptos de orden general, diremos que las ecuaciones diferenciales pueden ser: P. D. E: Ecuación diferencial con derivadas parciales: ∂ 2µ ∂µ ∂ 2µ ∂µ ∂µ +b 2 +d +c + fµ + g = 0 a 2 + 2c ∂y ∂x∂y ∂y ∂x ∂y

O. D. E: Ecuación diferencial ordinaria a

∂ 2µ ∂µ + + cµ + d = 0 b 2 ∂ x ∂x

Los problemas mencionados, caen en el grupo de las P. D. E. Estas a su vez se pueden clasificar en: a.b − c 2 = 0 (Ejem.: Transferencia de calor, • Parabólicas dinámica de fluidos.) a.b − c 2 > 0 (Ejem.: Dinámica de estructuras.) • Hiperbólicas a.b − c 2 < 0 (Ejem.: Estructuras cuasiestaticas.) • Elípticas

- -

9

La razón para los nombres de la clasificación radica en que, si se sustituye en la ecuación anterior

∂µ

∂µ ζ por y ∂y ∂x

por η ; la

misma queda: a.ζ 2 + 2c.ζ.η + b.η2 + f = 0

(No considero “d”y “l”por correr el origen por correr el origen solamente) Esta ecuación será una parábola, hipérbola o elipse según se cumpla la de arriba. Pero no se trata solo de el nombre, el valor “ a.b − c 2 ” determina (no se probó) la existencia de las derivadas posteriores a cada coeficiente. Si a.b − c 2 > 0 , quiere decir que hay puntos en el dominio en que algunas derivadas no existen. Cuando a.b − c 2 < 0 , implica que las derivadas siempre están definidas en todo el dominio. Si a.b − c 2 = 0 , es una situación intermedia, con menos puntos de indefinición. Cuando se presentó el caso de problemas estables en fluidos, la ecuación es hiperbólica y siempre converge la solución (cuando se usa M.E.F.). En los casos transitorios, el sistema es generalmente hiperbólico y la solución puede no converger. A continuación, se presenta las ecuaciones de campo de un fluido newtoniano que obedece a la ley de Fourier de conducción de calor y cuando existe una ecuación calórica de estado. Las ecuaciones se presentan en coordenadas cartesianas espaciales. Teoremas Generales Ecuaciones de Continuidad

dρ + ρ∇ = 0 dt (1 ecuación) ∂ν x dρ +ρ =0 ∂x x dt

(7.1.1)

Ecuación de Conservación de Momento

- -

10

.∇ .T + ρ b = ρ ~ ~

~

dv ~

dt

dv (3 ecuaciones) ∂Trm + ρ.b m = ρ m dt ∂x r

(7.1.2)

Ecuación de Energía T : D + ρ.r = ∇ . q . + ρ ~

~

~ ~

Trm : D rm + ρ.r =

du dt

(1 ecuación)

∂q k du +ρ dt ∂x k

(7.1.3)

Ecuaciones Constitutivas: Navier-Poisson para fluido Newtoniano T = − p. I + 2. Tr (D) . I + 2µ. D ~

~

~

~

~

(6 ecuaciones)

Trm = −ρδ rm + 2D kk + 2µD rm

(7.1.4)

Ecuación de Estado F(P, ρ, θ) = 0

(1 ecuación) (7.1.5)

Conducción de calor Fourier: q = −k ∇ θ ~

~

q m = −k

∂θ ∂x m

(3 ecuaciones) (7.1.6)

Ecuación Calórica de Estado: u = u (θ, ρ) (1 ecuación)

- -

(7.1.7)

11

De las 16 ecuaciones, 2 solo han sido indicadas (7.1.5 y 7.1.7) y no explicitadas. Si se considera que: D = 1 (L + LT ) 2

∂v ∂v D rm = 1 ( r + m ) 2 ∂x ∂x r m

(7.1.8)

y que las fuerzas de masa y fuente de calor son datos, las incógnitas son: 6 comp. de tensión Tij 3 componentes de velocidad v m 3 componentes de flujo de calor q m + 1 densidad ρ 1 energía interna u 1 temperatura θ 16 incógnitas El número de ecuaciones puede reducirse, así como se hace en sólidos, usando sustituciones. Entonces, Tij y q m puede ponerse en función de D ij y θ y así el numero de ecuaciones e incógnitas baja a 7 (16-6-3=7) Para ello, debemos trabajar con las ecuaciones (4) y (6). Con la (8), calculamos la divergencia de D: 2∇.D = 2 ∂ = ∂x m

∂D rm ∂ = ∂x r ∂x r

 ∂ν r   ∂x r

 ∂v r ∂v m  + ∂ x  m ∂x r

  = 

 ∂2vm  + =  ∇ . v  + ∇ 2 v m  ∂x r ∂x r  ~ ~  ,m ~

(7.1.9)

Derivando la ecuación (4) y aplicando (9)

∂D ∂Trm ∂p ∂ .δ rm + λ. (∇ . v)δ rm + 2µ. rm = ∂x r ∂x r ∂x r ∂x r ~ ~ ∂p ∂ ∂  2 = +λ (∇ . v) + µ  ∇ . v  + µ. ∇ v m ~ ∂x m ∂x m ~ ~ ∂x m  ~ ~ 

∇.T =

- -

(D kk =

∂v r ) ∂x r

(7.1.10)

12

Ahora sustituyendo en (2) (del mismo modo que un sólido); queda la ecuación de Navier-Stokes generalizada para fluidos con viscosidad de masa: −

dv ∂  ∂p 2 + (λ + µ )  ∇ . v  + µ ∇ v m + ρ.b m = ρ. m ~ ∂x m ∂x m  ~ ~  dt

(7.1.11)

Si recordamos esta ecuación para el caso de sólidos elásticos: ∂ ∇ . u  µ.∇ 2 .u m + (λ + µ )  ~ ~  + ρ.b m = 0 ∂x m

Que difiere de la anterior por que la relación constitutiva para sólido no tiene presión termodinámica y no se establece con relación a v~ sino a u~ . Además se desprecia el término de aceleración (cuasiestática). Siguiendo con fluidos, podemos eliminar q de la ecuación de ~

energía usando (6) pero primero veremos como escribir la potencia mecánica usando (6.3.18) T : D = − p. ∇ . v + 2 WD (7.1.13) ~

~

~

~

y a la potencia disipativa WD; la escribimos:

(

)

2 WD = λ + 2 µ .I 2D + 4µ.II D´ 3 invariante) y IID ( 2 da invariante) de D y D ´

con I D (1era respectivamente que a su vez se expresan en función de v~ .

- -

13

Quedan entonces:  dρ .v = 0  dt + ρ ∇ ~ ~  dv  2 ~   − ∇p + (λ + µ )∇ ∇ . v  + µ ∇ v + ρ. b = ρ ~ ~ ~ ~ ~ ~ dt   du   ρ. = ∇ k.∇ .θ  − p.∇ . v + ρ.r + 2WD ~ ~  dt ~  ~  F(p; ρ; θ) = 0  u = u (θ; ρ )   

7.1.14.a

7.1.14.b 7.1.14.c 7.1.14.d 7.1.14.e

Estas ecuaciones deben llevar condiciones de borde en velocidad ( v~ = 0 en el caso de fluidos viscosos, y v n = 0 (vel. normal) en el ~

caso de fluido perfecto cuando se encuentren fluido y continente r sólidos) y en temperatura (el continente a temperatura constante). Para fluidos barotrópicos, F(p, ρ) = 0 y no consideramos las temperaturas (ctes.), quedan 5 incógnitas v~ ; p y ρ; y solo las ecuaciones de conservación, la de Navier Stokes y la de estado barotrópica. El sistema de ecuaciones presentado es no lineal. Esto no linealidad se ve en el término de inercia (último sumando): ρ.

 ∂v ∂v  dv m = ρ m + v k . m  ∂x k  dt  ∂t

(7.1.16)

de la ecuación de Navier Stokes, en la ecuación de energía y en la de estado. Aun cuando se considere fluido perfecto sin viscosidad, lo único que eliminamos es WD en la ecuación de energía como termino no lineal.

- -

14

Si en la ecuación de Navier Stokes acomodamos todo a la izquierda queda:  d v − ∇ p + (λ + µ) ∇ ∇ . v  + µ. ∇ 2 v + ρ. b − ρ ~  = 0  ~   ~ ~ ~ ~ ~   ~   dt    − ∇ p  →  ~  Fuerzas gradiente de presión (λ + µ)∇ ∇ . v  → Fuerzas Viscosas  ~  ~ ~  ρ. b → Fuerzas masa prescripta  ~   d v ρ ~  → Fuerzas inercia  dt 

según el caso, una fuerza puede ser predominante y otra pueden ser descartadas, dando origen a diferentes simplificaciones en la teoría general. Claro está, que las (14) no constituyen una “teoría general”; fracasan cuando el flujo es turbulento, por notar un caso importante. Pero podemos pasar a indicar las simplificaciones mas comunes: la ecuación de Navier Stokes se usa generalmente asumiendo (a) fluido incompresible. (b) Condiciones de Stokes λ = − 2 3 µ (sin viscosidad de masa). Reemplazando a la ecuación (14b) Fluido incompresible:

dv 2 1 − ∇ p + ν. ∇ v + b = ~ (7.1.17a) ρ~ ~ ~ ~ dt Fluido compresible sin viscosidad de masa dv 2   ν 1 − .∇ ρ + . ∇ ∇ . v  + ν ∇ v + b = ~ ρ ~ 3 ~ ~ ~ ~ ~ ~ dt

- -

(7.1.17b)

2

µ

con ν (viscosidad cinemática) = ρ . Existe una conexión entre la viscosidad ν y la vorticidad, lo cual puede descubrirse usando una forma alternativa de la ecuación anterior, que veremos a posteriori. Recordamos que el vector vorticidad es 2 veces la velocidad angular ω: ω = 1 ∇xv 2~ ~ ~

(7.1.19)

Que, si recordamos del análisis de deformaciones, esta relacionado al “spin tensor W” o “tensor rotación W” por: W . n = ω × n ó W . dx = ω × dx (7.1.20) ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ con

(

W = 1  ∇ v − ∇ v T  = 1 L− L T 2 ~ ~ 2 ~ ~ ~ ~  ~

)

Si consideramos la identidad vectorial: ∇2 v = ∇.∇ v = ∇∇.v − ∇ x ∇x v (7.1.21) ~ ~  ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~  ~ ~ (Surge de la relación a~ x b~ x c~  = a~ .c~  b~− a~ .b~ c~ )

Sustituyendo la relación en (7.1.17a) y considerando fluido incompresible, queda: dv 1 − ∇ p − 2ν ∇× ω+ b = ~ (7.1.22) ρ~ ~ ~ ~ dt

Cuando el fluido es irrotacional (ω=0), esta ecuación queda reducida a la ecuación que se produce en fluidos perfectos (ν=0) porque el producto se anula tanto por ω=0 como para ν=0. dv 1 − ∇p+b = ~ ρ~ ~ dt

(7.1.23)

se puede decir que un fluido incompresible perfecto que se mueve en forma irrotacional, satisface las ecuaciones de Navier Stokes.

- -

3

Pero debe tenerse cuidado si se pretende usar la ecuación de la forma (23) en un fluido viscoso irrotacional: este tipo de soluciones no permite imponer v~ = 0 en el contorno, necesario para cuando hay viscosidad. Si se podría usar (23) en casos especiales, lejos de los contornos. Ecuación de Campo para Fluido No Newtoniano. Como se indicó, existe una relación no lineal entre las tasas de deformaciones y las tensiones o sea se engloba en no linealidades debido al material. Ejemplos de estos fluidos son aceites multigrados, detergentes líquidos, pinturas, etc. Hay diversos modelos, por ejemplo, cuando la viscosidad es función de D, la ecuación de campo puede escribirse en función de las velocidades y se conoce a estos como fluidos potenciales y su estudio no difiere mayormente de lo hecho para fluidos newtonianos. Otro tipo son los fluidos viscoelásticos, como el modelo White-Metzner, cuyo enfoque requiere de tensiones adicionales al caso anterior. Glosario: barotropic

A barotropic fluid is one whose pressure and density are related by an equation of state that does not contain the temperature as a dependent variable. Mathematically, the equation of state can be expressed as p = p(ρ) or ρ = ρ(p).

compressible

A fluid flow is compressible if its density ρ changes appreciably (typically by a few percent) within the domain of interest. Typically, this will occur when the fluid velocity exceeds Mach 0.3. Hence, low velocity flows (both gas and liquids) behave incompressibly.

density, ρ

The mass of fluid per unit volume. For a compressible fluid flow, the density can vary from place to place.

incompressible

An incompressible fluid is one whose density is constant everywhere. All fluids behave incompressibly (to within 5%) when their maximum velocities are below Mach 0.3.

- -

4

inviscid

Not viscous.

irrotational

An irrotational fluid flow is one whose streamlines never loop back on themselves. Typically, only inviscid fluids can be irrotational. Of course, a uniform viscid fluid flow without boundaries is also irrotational, but this is a special (and boring!) case.

laminar (nonturbulent)

An organized flow field that can be described with streamlines. In order for laminar flow to be permissible, the viscous stresses must dominate over the fluid inertia stresses.

Mach

Newtonian

perfect

Mach number is the relative velocity of a fluid compared to its sonic velocity. Mach numbers less than 1 correspond to sub-sonic velocities, and Mach numbers > 1 correspond to super-sonic velocities. A Newtonian fluid is a viscous fluid whose shear stresses are a linear function of the fluid strain rate. Mathematically, this can be expressed as: τij = Kijqp*Dpq, where τij is the shear stress component, and Dpq are fluid strain rate components. A perfect fluid is defined as a fluid with zero viscosity (i.e. inviscid).

rotational

A rotational fluid flow can contain streamlines that loop back on themselves. Hence, fluid particles following such streamlines will travel along closed paths. Bounded (and hence nonuniform) viscous fluids exhibit rotational flow, typically within their boundary layers. Since all real fluids are viscous to some amount, all real fluids exhibit a level of rotational flow somewhere in their domain. Regions of rotational flow correspond to the regions of viscous losses in a fluid. Inviscid fluid flows can also be rotational, but these are special nonphysical cases. For an inviscid fluid flow to be rotational, it must be set up that way by initial conditions. The amount of rotation (called the velocity circulation) in an inviscid fluid flow is conserved, provided that the fluid is also barotropic and subject only to conservative body forces. This conservation is known as Kelvin's Theorem of constant circulation.

Stokesian

A Stokesian (or non-Newtonian) fluid is a viscous fluid whose shear stresses are a non-linear function of the fluid strain rate.

streamline turbulent

A path in a steady flow field along which a given fluid particle travels. A flow field that cannot be described with streamlines in the absolute sense. However, time-averaged streamlines can be defined to describe the average behavior of the flow. In turbulent flow, the inertia stresses dominate over the viscous stresses, leading to small-scale chaotic behavior in the fluid motion.

- -

5

viscosity, µ

A fluid property that relates the magnitude of fluid shear stresses to the fluid strain rate, or more simply, to the spatial rate of change in the fluid velocity field. Mathematically, this is expressed as: τ = µ*(dV/dy), where τ is the shear stress in the same direction as the fluid velocity V, and y is a direction perpendicular to the fluid velocity direction.

- -

6