Página 40

LA RECTA

3.7 DEFINICIÓN DE UNA RECTA Existen dos formas para dejar bien definida a una recta, pero antes de señalarlas es indispensable comprender bien el significado de la frase quedar bien definido. Un objeto queda mal definido cuando la descripción que se hace de él es insuficiente, de manera que admite otros objetos que cumplen con la descripción y que no son el definido. Por ejemplo, se desea definir un hombre de la siguiente manera: Es un ser viviente. Esta descripción hecha de un hombre, aunque cierta, es insuficiente, ya que admite a animales y vegetales que no son hombres, como los perros, gatos, peces, duraznos, bacterias, etc., que cumplen con la descripción, es decir que son "seres vivos". Por lo tanto, se dice que está mal definido. En el caso particular de la recta, si se desea definir una recta determinada diciendo únicamente que "pasa por el punto A ( 2 , 1) ", está mal definida ya que admite a otras

A(2, 1)

¿Cuál es, si todas pasan por A(2, 1)?

rectas que cumplen con la descripción y no son la que se pretende definir, como lo muestra la parte superior de la figura 3.15. O bien, si se dice nada más que tiene una inclinación de 45o, también queda mal definida por admitir muchas rectas que cumplen esa descripción, tal como se ve en la parte inferior de la figura 3.15. En cambio, un objeto queda bien definido cuando la descripción que se hace de él no admite a otros objetos que no sea el definido.

¿Cuál es, si todas están a 45 grados?

Por ejemplo, se desea definir un hombre de la siguiente manera: Es un ser viviente y pensante. Esta descripción hecha de un hombre ya no admite a animales y vegetales como a los perros, gatos, peces, duraznos, bacterias, etc., pues ninguno de ellos cumple con la descripción de "ser pensante". Por lo tanto, se dice que está bien definido.

figura 3.15

En el caso particular de la recta, si se define una recta determinada diciendo que pasa por los puntos A ( 2 , 1) y B ( 3, 7 ) , está bien definida ya que no admite a otras rectas que cumplan con la descripción; solamente hay una recta que pasa por esos dos puntos. O bien, si se dice que tiene una inclinación de 45o y además pasa por el punto A ( 0 , 4 ) , también de esta manera queda bien definida por no admitir a ninguna otra recta que cumpla

INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA

Página 41

esa descripción; solamente existe una recta que pueda pasar por el punto mencionado y con esa inclinación. De manera que las dos formas para dejar bien definida a una recta son: 1) 2)

Conociendo las coordenadas de dos puntos por los que pasa; y conociendo un punto por el que pasa y su pendiente.

En ambos casos se tiene una fórmula respectiva para calcular la ecuación de la recta que cumple con una de las dos condiciones, las cuales se dan en el siguiente recuadro:

1)

La ecuación de la recta que pasa por dos puntos conocidos

A ( x1 , y1 ) y B ( x2 , y2 ) es y − y1 =

2)

y1 − y2 x1 − x 2

( x − x1 )

La ecuación de la recta que pasa por un punto conocido A ( x1 , y1 ) y de pendiente m conocida, es

y − y1 = m ( x − x1 )

De las dos fórmulas anteriores, por comparación se infiere que la pendiente de una recta de la que se conocen las coordenadas de dos puntos por la que pasa A ( x1 , y1 ) y

B ( x2 , y2 ) , es

m=

y1 − y2 x1 − x2

Ejemplo 1: Encontrar la ecuación de la recta que pasa por los puntos A(1, 4) y B(0, - 2). Solución:

En este caso: x1 = 1 y1 = 4

; ;

x2 = 0 y2 = - 2

Utilizando la fórmula de "dos puntos" y sustituyendo valores:

Página 42

LA RECTA

y − y1 =

y−4= y−4=

y1 − y2 x1 − x2 4 − ( −2 ) 1− 0

( x − x1 ) ( x − 1)

4+2 ( x − 1) 1

y − 4 = 6 ( x − 1)

y − 4 = 6x − 6 y = 6x − 6 + 4

y = 6x − 2

Ejemplo 2: Encontrar la ecuación de la recta que pasa por el punto A(-3, 2) y tiene pendiente m = 4 . Solución:

En este caso: x1 = - 3 y1 = 2 m =4 Utilizando la fórmula de "punto y pendiente" de la página 41 y sustituyendo valores:

y − y1 = m ( x − x1 )

y − 2 = 4  x − ( − 3 ) 

y − 2 = 4 ( x + 3) y − 2 = 4 x + 12 y = 4 x + 12 + 2

y = 4 x + 14

3.8 COORDENADAS DE UN PUNTO DE INTERSECCIÓN Una herramienta muy práctica en la resolución de problemas es la localización de las coordenadas del punto de intersección de dos rectas, las cuales se obtienen resolviendo "por simultáneas" las ecuaciones respectivas de cada una de las rectas que se cortan entre sí.

INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA

Página 43

Ejemplo 3: Hallar el punto de intersección de las rectas 3x + 5y - 2 = 0 y 2x - 3y + 5 = 0 (ver figura 3.16). Solución:

Resolviendo por simultáneas ambas ecuaciones: (1)

3x + 5 y − 2 = 0

(2)

2x − 3y + 5 = 0

3x

+

5y

punto de intersección

-2

multiplicando por 3 la ecuación (1) y por 5 la ecuación (2) se obtiene: (1) (2)

9x + 15y - 6 = 0 10x - 15y + 25 = 0

2x

-3

y+

=

0

5=

0

S)))))))))))))))))))Q

sumando: 19x despejando:

+ 19 = 0 19x = - 19 x=-1

figura 3.16

sustituyendo este valor en la ecuación (1): (1)

3(- 1) + 5y - 2 = 0 - 3 + 5y - 2 = 0 5y = 2 + 3 y=1

de manera que las coordenadas donde se cortan estas dos rectas son P ( − 1, 1) .

3.9 RECTAS PARALELAS Y PERPENDICULARES La condición obvia para que dos rectas sean paralelas es que tengan exactamente el mismo ángulo y, por lo tanto, la misma inclinación o pendiente.

Dos rectas son paralelas si tienen la misma pendiente, es decir que

m1 = m2

La condición para que dos rectas sean perpendiculares no es tan obvia; sin embargo, se pueden resumir en la siguiente regla:

Página 44

LA RECTA

Dos rectas son perpendiculares si sus pendientes son recíprocas y de signos opuestos, o sea que

m1 = −

1 m2

3.10 DISTANCIA ENTRE UN PUNTO Y UNA RECTA Cuando se conocen las coordenadas de un punto P y la ecuación de una recta, es posible calcular la distancia que hay entre ese punto de coordenadas P ( x1 , y1 ) y la recta de ecuación D x + E y + F = 0 . Aquí una cosa muy importante es definir de qué manera debe medirse esa distancia desde el punto hasta la recta, porque, dentro de las múltiples opciones que existen, puede hacerse la medición de diferentes formas. En la figura 3.17 se ve que efectivamente, la distancia 1 tiene diferente medida que la distancia 2. Y conforme se mide con diferente inclinación, la distancia será cada vez diferente. Surge necesariamente la pregunta: ¿Cuál de todas las medidas es la correcta? ¿Y por qué?

¿Cuál de todas las distancias es la buena?

d1 = 4

d2 = 5

recta

figura 3.17

Se puede ver fácilmente que cada medición es mayor cuando la inclinación aumenta y menor cuando disminuye la inclinación. Esto implica que no hay límite en cuanto a la medida más grande posible, pero en cambio sí hay una, entre todas, que es la más pequeña. Esa es exactamente la que se hace en forma perpendicular a la recta. Por lo tanto, para evitar confusiones, se define la distancia de un punto a una recta como la medida más pequeña que es posible realizar; en otras palabras, es la medida perpendicular a la recta. De manera que cada vez que se haga referencia a una distancia, debe darse por hecho que se refiere, por definición, a la medida perpendicular. Tal distancia se puede calcular por medio de la siguiente relación:

INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA

Página 45

La distancia entre el punto conocido P ( x1 , y1 ) y la recta de ecuación D x + E y + F = 0 es

d =

D x1 + E y1 + F D2 + E 2

en donde D, E y F son las constantes de la ecuación de la recta en la forma general, mientras que x1 , y1 son los valores de las coordenadas del punto conocido. Las dos lineas verticales que abarcan al numerador significan "valor absoluto", es decir, que si alguna vez da negativo, no debe tomarse en cuenta ese signo negativo.

y5= rec 0 ta bus cad a

Ejemplo 4: Encontrar la ecuación de la recta que pasa por el punto A(7, 4) y que es también paralela a la recta 2 x − y − 5 = 0 (ver figura 3.18). 6

Como las dos rectas son paralelas, deben tener la misma pendiente; de manera que debe obtenerse la pendiente de la recta que se conoce su ecuación y "pasársela" a la otra: Para obtener la pendiente de la recta 2 x − y − 5 = 0 debe escribirse en la forma particular, es decir, debe despejarse la variable y. Haciéndolo, se obtiene:

4

A

2x -

Solución:

2 1

3

7

9

figura 3.18

2x - y - 5 = 0 2x - 5 = y y = 2x - 5 la pendiente de esta recta es m = 2. De manera que esta pendiente es la misma que la de la recta pedida. Como además ya se sabe que la recta pedida pasa por el punto A ( 7 , 4 ) , utilizando la fórmula de "punto y pendiente" de la página 41 y sustituyendo valores:

y − y1 = m ( x − x1 )

y − 4 = 2( x − 7) y − 4 = 2 x − 14

Página 46

LA RECTA

y = 2 x − 14 + 4

y = 2 x − 10

Ejemplo 5: Encontrar la ecuación de la recta que pasa por el punto P(- 3, 1) y que es perpendicular a la recta 4x + 2y - 5 = 0 (figura 3.19). Solución:

P(- 3, 1)

4x +2 y5= 0

Como las dos rectas son perpendiculares, sus pendientes deben ser recíprocas y de signos contrarios; de manera que debe obtenerse la pendiente de la recta que se conoce su ecuación y "pasársela" a la otra por medio de la condición de perpendicularidad. Para obtener la pendiente de la recta 4 x + 2 y − 5 = 0 , tiene que escribirse en la forma particular, es decir, debe despejarse la variable y. Haciéndolo, se obtiene:

ta rec ida p ed

figura 3.19

4x + 2y - 5 = 0 2y = - 4x + 5 y = - 2x + 5/2 la pendiente de la recta dada es m = - 2. De manera que la pendiente de la perpendicular es

m2 =

1 . Como además ya se sabe que la recta pedida pasa por el punto P ( − 3, 1) , utili2

zando la fórmula de punto y pendiente de la página 41 y sustituyendo valores:

y − y1 = m ( x − x1 )

y −1 =

1  x − ( − 3 )  2 

y −1 =

1 ( x + 3) 2

2 ( y − 1) = x + 3

2y − 2 = x + 3

−x + 2 y − 2 − 3 = 0

x − 2y + 5 = 0

Página 47

x − 9 y − 2 = 0 (ver figura 3.20). Solución:

Como la recta pedida es paralela a otra cuya ecuación es 6 x − 5 y − 30 = 0 , deben tener la misma pendiente; de manera que despejando la variable y de esta última ecuación para obtener su pendiente y pasársela a la otra:

6=

x - 9y - 2 =

0

0 = -3 0

-5 y

7y -

6x

3x +

re cta

Ejemplo 6: Encontrar la ecuación de la recta que es paralela a otra recta que tiene por ecuación 6 x − 5 y − 30 = 0 y que además pasa por el punto de intersección de las rectas 3x + 7 y − 6 = 0 y

pe di da

INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA

0

pa ra lel as

figura 3.20

6 x − 5 y − 30 = 0 − 5 y = − 6 x + 30

5 y = 6 x − 30 y=

6 x − 30 5

y=

6 x−6 5

de donde se ve que m1 = 6/5. El punto de intersección de las rectas 3x + 7 y − 6 = 0 y x − 9 y − 2 = 0 se obtiene resolviendo por simultáneas ambas ecuaciones: (1) (2)

3x + 7y - 6 = 0 x - 9y - 2 = 0

multiplicando por - 3 la ecuación (2) se obtiene: (1) (2) sumando: despejando:

3x + 7y - 6 = 0 - 3x + 27y + 6 = 0 S))))))))))))))))Q

+ 34y

=0 y = 0/34

y=0 sustituyendo este valor en la ecuación (2) original:

Página 48

LA RECTA

(2)

x - 9(0) - 2 = 0 x-0-2=0

x=2 de manera que las coordenadas del punto P donde se intersecan estas dos rectas son

P ( 2 , 0 ) . Se tienen ya la pendiente y un punto conocido de la recta que se pide su ecuación, por lo que, en este caso: x1 = 2 y1 = 0

m=

6 5

Utilizando la fórmula de "punto y pendiente" de la página 41 y sustituyendo valores:

y − y1 = m ( x − x1 )

y−0 =

6 ( x − 2) 5

5y = 6 ( x − 2) 5 y = 6 x − 12 − 6 x + 5 y + 12 = 0 6 x − 5 y − 12 = 0

Ejemplo 7: Los vértices de un cuadrilátero son: A ( − 2 , 2 ) ;

A

B (1, − 1) ; C ( − 2 , − 5 ) y D ( − 5, − 2 ) . Investigar si es cuadrado, rectángulo, rombo, romboide o trapecio. Solución:

Graficando los puntos en el plano para ir efectuando las deducciones y razonamientos en base al dibujo previo se obtiene la figura 3.21. Lo primero que hay que investigar es si hay lados paralelos, para saber si se trata de un paralelogramo o no. Para eso deben obtenerse las pendientes de los cuatro lados.

B D

C

figura 3.21

INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA

Con la fórmula de la pendiente m =

pendiente mAB :

mAB = mAB =

Página 49

y1 − y2 x1 − x2

descrita en la página 41, se obtiene:

pendiente mBC :

2 − ( − 1) −2 − 1 3 −3

mAB = − 1

mBC =

−1 − ( −5 ) 1 − ( −2 )

mBC =

−1 + 5 1+ 2

mBC =

4 3

pendiente mDC :

mDC = mDC

−2 − ( −5 ) −5 − ( −2 )

3 = −3

pendiente mAD :

mAD =

2 − ( −2 )

−2 − ( −5 )

mAD =

2+2 −2 + 5

mAD =

4 3

mDC = − 1

Como mAB = mDC y además mBC = mAD , se puede ya obtener la primera conclusión: Se trata de un paralelogramo. El siguiente paso es investigar si los lados forman ángulos rectos o no. Para ello se requiere, por la condición de perpendicularidad, que las pendientes sean recíprocas y de signos contrarios y en este caso no lo son, lo que significa que los lados no son perpendiculares. Por lo tanto no es cuadrado ni tampoco rectángulo. Quedan solamente dos posibilidades: que sea rombo o que sea romboide. Para investigarlo hay dos opciones, de acuerdo con las propiedades de los paralelogramos vistas en la página 8: Primera, por el tamaño de sus lados, sabiendo que el rombo tiene sus cuatro lados iguales; segunda, por sus diagonales, sabiendo que las diagonales del rombo son perpendiculares. Por el tamaño de sus lados: obteniendo la distancia entre los puntos A y B y luego entre los puntos B y C , utilizando la fórmula de distancia entre dos puntos. Para la distancia A-B se tiene que

Página 50

LA RECTA

d =

( x1 − x2 )

+ ( y1 − y2 )

2

2

en donde: x1 = - 2 x2 = 1

; ;

y1 = 2 y2 = - 1

sustituyendo valores

d AB =

[ − 2 − 1]

d AB =

( −3)

d AB =

9+9

2

d AB =

2

2 +  2 − ( − 1)   

+ ( 3)

2

18

Para la distancia B-C se tiene que

d =

( x1 − x2 )

2

+ ( y1 − y2 )

2

en donde x1 = 1 x2 = - 2

; ;

y1 = - 1 y2 = - 5

sustituyendo valores 2

d BC =

1 − ( − 2 )  +  − 1 − ( − 5 ) 

d BC =

( 3)

d BC =

9 + 16

d BC =

25

2

+ ( −4 )

2

2

d BC = 5

Se ve que el lado AB es diferente al lado BC . Por lo tanto, se trata de un romboide. Otro método: Por sus diagonales. Deben sacarse las pendientes de las rectas (las diagonales) AC y BD y verificar si son o no perpendiculares. Recordar que las diagonales del

INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA

Página 51

rombo son perpendiculares mientras que las del romboide no. Con la fórmula de la pendiente m =

y1 − y2 x1 − x2

pendiente mAC :

mAC =

(ver página 41), se obtiene:

pendiente mBC :

2 − ( −5 )

2 − ( −2 )

mBD =

−1 − ( −2 ) 1 − ( −5 )

mAC =

2+5 −2 + 2

mBD =

−1 + 2 1+ 5

mAC =

7 =∞ 0

mBD =

1 6

Como las pendientes no son recíprocas y de signo contrario, las diagonales no son perpendiculares; por lo tanto, no es un rombo. Conclusión: se trata de un romboide.

dist a

ncia

3y +

x = 3 , se obtiene

18 =

Se localizan las coordenadas de cualquier punto P que pertenezca a cualquiera de las dos rectas y se calcula la distancia de ese punto a la otra recta, con la fórmula de la página 45. De manera que tabulando un punto cualquiera de la recta 8 x − 3 y − 21 = 0 , por ejemplo, para

x

3

y

1

P(3, - 1)

8x -

Solución:

0

Ejemplo 8: Hallar la distancia entre las rectas paralelas 8 x − 3 y − 21 = 0 y 8 x − 3 y + 18 = 0 .

La distancia entre ese punto y la recta está dada por la fórmula de la página 45: figura 3.22

d =

D x1 + E y1 + F D2 + E 2

En donde D = 8 , E = − 3 y F = 18 (son las constantes de la ecuación de la recta), mientras que x1 = 3 y fórmula se obtiene:

y1 = 1 (son las coordenadas del punto). Sustituyendo valores en la

Página 52

LA RECTA

d =

d =

d =

( 8 )( 3 ) + ( − 3 )(1) + 18 82 + ( − 3 )

2

24 − 3 + 18 64 + 9

39 73

¡Cuidado!: Un error muy frecuente que suele cometer el alumno es el de tabular un punto en cada una de las rectas y luego calcular la distancia entre esos dos puntos. Por ejemplo, el punto

A ( 2; − 1 . 6 ) y el punto B ( − 2; 0 . 6 ) , di s ta nc ia ?

El error está en que una distancia debe ser medida perpendicularmente por las razones expuestas en la página 44, y el hecho de localizar dos puntos, uno en cada recta, no garantiza de ninguna forma que queden en ángulo recto con las rectas a las que pertenecen. Por lo tanto, la distancia obtenida entre esos dos puntos no es, en la mayoría de los casos, la que hay realmente entre uno de esos puntos y la otra recta.

¿

como se muestra en la figura 3.23.

figura 3.23

INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA

Página 53

EJERCICIO 5 1)

Una recta pasa por los puntos A(2, 2) y B(1, 9) . Hallar su ecuación en forma general.

2)

Una recta pasa por los puntos A(4, - 2) y B(3, - 8) . Hallar su ecuación particular.

3)

Una recta pasa por los puntos A(0, - 6) y B(3, 0) . Hallar su ecuación en cualquier forma.

4)

Una recta pasa por el punto A(7, - 2) y tiene una pendiente m = 2 . Hallar su ecuación en forma particular.

5)

Una recta pasa por el punto A(- 10, - 7) y tiene una pendiente m = - 1 . Hallar su ecuación en forma particular.

6)

Una recta pasa por el punto A(- 5, 5) y tiene una pendiente m = 1/3 . Hallar su ecuación particular.

7)

Una recta pasa por el punto A( 0, 0) y tiene una pendiente m = - 2/3 . Hallar su ecuación en forma general.

8)

Una recta pasa por el punto A( 1, - 11) y tiene una pendiente m = 3/7 . Hallar su ecuación en forma general.

9)

Una recta pasa por el punto A( - 3, - 1) y tiene una pendiente m = - 9/5 . Hallar su ecuación en cualquiera de sus dos formas.

10)

Los vértices de un triángulo son: A(1, 1) ; B(- 4, 5) y C(- 3, 0) . Hallar la ecuación de cada uno de sus lados.

11)

Los vértices de un triángulo son: A(11, 8) ; B( 0, 4) y C( 1, - 3) . Hallar la ecuación de cada uno de sus lados.

12)

Los vértices de un triángulo son: A(1, 1) ; B(- 4, 5) y C(-3, 0) . Hallar la ecuación de la mediatriz al lado AB.

13)

Los vértices de un triángulo son: A(11, 8) ; B( 0, 4) y C(1, - 3) . Hallar la ecuación de la mediatriz al lado BC.

14)

Los vértices de un triángulo son: A(1, 1) ; B(- 4, 5) y C(-3, 0) . Hallar la ecuación de la mediana al lado AB.

15)

Los vértices de un triángulo son: A(11, 8) ; B( 0, 4) y C(1, -3) . Hallar la ecuación de la mediana al lado BC.

2x -

y+

0 - 16 = 5x + y

2=

0

A

C

x+

3y +

8=

0 B

16)

Los vértices de un triángulo son: A(1, 1) ; B(- 4, 5) y C(-3, 0) . Hallar la ecuación de la altura al lado AB.

17)

Los vértices de un triángulo son: A(11, 8) ; B( 0, 4) y C(1, -3) . Hallar la ecuación de la altura al lado BC.

18)

Las ecuaciones de los lados del triángulo de la figura 3.24 son: 5 x + y − 16 = 0 ; x + 3 y + 8 = 0 y 2 x − y + 2 = 0 . Hallar las coordenadas del vértice C.

19)

Hallar la ecuación de la mediana al lado AC del triángulo de la figura 3.24.

figura 3.24

Página 54

LA RECTA

20)

Hallar la ecuación de la mediana al lado AB del triángulo de la figura 3.24.

21)

Hallar la ecuación de la mediatriz al lado BC del triángulo de la figura 3.24.

22)

Hallar la ecuación de la mediatriz al lado AB del triángulo de la figura 3.24.

23)

Hallar la ecuación de la altura al lado AB del triángulo de la figura 3.24.

24)

Hallar la ecuación de la altura al lado AC del triángulo de la figura 3.24.

25)

Hallar las coordenadas del circuncentro del triángulo de la figura 3.24. Es suficiente con hallar la ecuación de dos mediatrices y luego su intersección.

26)

Hallar las coordenadas del baricentro del triángulo de la figura 3.24. Es suficiente con hallar la ecuación de dos medianas y luego su intersección.

27)

Hallar la distancia entre las rectas paralelas 3 x − 7 y + 5 = 0 y 3 x − 7 y − 31 = 0 .

28)

Hallar la distancia entre las rectas paralelas 5 x − 9 y + 1 = 0 y 5 x − 9 y − 57 = 0 .

3.11 CASOS ESPECIALES 1)

La gráfica de la ecuación y = c , en donde c es cualquier constante (cualquier número), es una recta horizontal. Por ejemplo, la gráfica de y = 3 es la de la figura 3.25.

y=3 2)

La gráfica de la ecuación x = c , en donde c es cualquier constante (cualquier número), es una recta vertical. Por ejemplo, la gráfica de x = 3 es la de la figura 3.26.

y=3

6 5 4 3 2 1

x=3

1 2 3 4 5 6

figura 3.25

figura 3.26