RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO

ECUACIONES DE LA RECTA Para hallar la ecuación de una recta en el espacio necesito: • Dos puntos • Un punto y su vector director

→

Nota: Nosotros utilizaremos siempre un punto A(x0,y0,z0) y un vector v = (a,b,c). Si me dan dos puntos A(x0,y0,z0), B(x1,y1,z1) ⇒ Tomaremos uno de los mismos A(x0,y0,z0) y como →

→

vector v = AB = (x1- x0, y1 – y0, z1 – z0) Ecuación vectorial: (x,y,z) = (x0,y0,z0) + k.(a,b,c) ∀k∈R x = x 0 + ka  Ecuaciones paramétricas:  y = y 0 + kb ∀k∈R z = z + kc 0  Ecuación continua:

x − x 0 y − y0 z − z0 = = a b c

A 1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0 Ecuación implícita (como intersección de dos planos):  A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 Ejemplo 1 : Halla las ecuaciones de la recta que pasa por los puntos P(1,0,-1) y Q(2,1-3)

Punto : P(1,0,−1) r: Vector : PQ = Q − P = (2,1,−3) − (1,0,−1) = (1,1,−2) Ecuación vectorial: (x,y,z) = (1,0,-1) + λ.(1,1,-2) ∀λ ∈ R x = 1 + λ  ∀λ ∈ R Ecuaciones parámetricas:  y = λ z = −1 − 2λ  x −1 y z +1 = = −2 1 1 x − 1 = y  x − y = 1 Ecuación implícita:  →  − 2 x + 2 = z + 1  − 2 x − z = −1 Ecuación continua:

Ejemplo 2: Hallar dos puntos y un vector de las siguientes rectas: t = 0 ⇒ P1 (2,0,-1) a) (x,y,z) = (2,0,-1) + t.(1,2,3) Puntos:  t = 1 ⇒ P2 (3,2,2)

Vector: (1,2,3)

x = 1 + λ  b)  y = − λ  z = 3 − 4λ 

λ = 0 ⇒ P1 (1,0,3) Puntos:  λ = 1 ⇒ P2 (2,-1,-1)

Vector (1,-1,-4)

x+1 y −1 z + 2 = = c) 2 4 3

P1 (-1,1,-2)  Puntos  1 x = 0 ⇒ P2 (0,3,- 2 )

Vector (2,4,3)

 1 2 1 3   1 2 1 3  x + 2 y + z = 3   ≈   ≈   2 − 1 3 4   0 − 5 1 − 2   − 5 y + z = −2  y = α  x = 5 − 7α P1 (5,0,−2)   Puntos :  → y = α → z = 5α − 2 P2 (−2,1,3) x = 3 − 2α + 2 − 5α z = 5α − 2 Vector : (−7,1,5)   

 x + 2y + z = 3 d)   2 x − y + 3z = 4

i

j

k

2 1 = (7,−1,−5) 2 −1 3

Nota: Otra forma de hallar el vector 1

ECUACIONES DE UN PLANO Para hallar la ecuación de un plano en el espacio necesito: • Tres puntos • Un punto y dos vectores directores

→

→

Nota: Nosotros utilizaremos siempre un punto A(x0,y0,z0) y dos vectores v 1 = (a1,b1,c1), v 2 = (a2,b2,c2) Si me dan tres puntos A(x0,y0,z0), B(x1,y1,z1), C(x2,y2,z2) ⇒ Tomaremos uno de los mismos A(x0,y0,z0) →

→

y como vectores v 1 = AB = (x1- x0, y1 – y0, z1 – z0) →

→

v 2 = AC = (x2- x0, y2 – y0, z2 – z0) Ecuación vectorial: (x,y,z) = (x0,y0,z0) + s.(a1,b1,c1) + t. (a1,b1,c1) x = x 0 + s.a 1 + ta 2  Ecuaciones paramétricas:  y = y 0 + s.b1 + tb 2 ∀ s,t ∈ R z = z + s.c + tc 0 1 2  Ecuación implícita o general: Ax + By + Cz + D = 0 ⇒ x − x0 y − y0 z − z0

a1 a2

b1 b2

c1 c2 →

∀ s,t ∈ R

= 0 ⇒ Ax + By + Cz + D = 0 →

→

Vector normal = n = (A,B,C) = v 1 x v 2 (Es perpendicular a los dos vectores directores) Nota: Si conocemos el vector normal y un punto podemos hallar directamente la ecuación general del plano. Del vector normal conocemos A, B y C ; y si sustituimos el punto hallamos D. Ejemplo 3 : Hallar las ecuaciones del plano que pasa por los puntos A(0,1,-1), B(2,3,-5), C(1,4,3) Punto : A(0,1,−1)  v1 = AB = (2,2,−4) π: Vectores :   v 2 = AC = (1,3,4)  Ecuación vectorial: (x,y,z) = (0,1,-1) + s.(2,2,-4) + t.(1,3,4) ∀ s,t ∈ R x = 2s + t  Ecuaciones paramétricas:  y = 1 + 2s + 3t ∀ s,t ∈ R z = −1 − 4s + 4t  Ecuación implícita o general: Ax + By + Cz + D = 0

x 2 1

y −1 z +1 2 3

− 4 = 0 ⇒ 20x – 12(y-1)+4(z+1) = 0 ⇒ 5x-3y+z+4=0 4

Ejemplo 4: Hallar dos punto, dos vectores y el vector normal P1 (1,2,3) a) (x,y,z) = (1,2,3) + λ(4,5,6) +µ µ(1,0,3) Puntos:  λ = 0, µ = 1 → P2 (2,2,6)

 x = 1 + 2λ + µ  b)  y = 2λ − µ z = 3 − λ  c) x + 2y – z = 4

v1 (4,5,6)  Vectores: v 2 (1,0,3)  n = v1 x v 2 = (15,−6,−5) v1 (2,2,−1)  P1 (1,0,3) Puntos:  Vectores: v 2 (1,−1,0) λ = 0, µ = 1 → P2 (2,−1,3)  n = v 1 x v 2 = (−1,−1,−4) z = x + 2y -4

Puntos: P(0,0,-4), Q(1,1,-1), R(1,0,-3) n (1,2,−1)

v1 = PQ = (1,1,3) Vectores:  v 2 = PR = (1,0,1) Ejemplo 5 : Hallar la ecuación del plano, cuyo vector normal es (1,2,3) y pasa por el punto (2,0,4)

x + 2y + 3z + D = 0   ⇒ x + 2 y + 3z − 14 = 0 2 + 2.0 + 3.4 + D = 0 ⇒ D = −14

EJERCICIOS REPASO RECTAS Y PLANOS Ejercicio 6 : Halla las ecuaciones paramétricas de los ejes de coordenadas

x = λ P1 (0,0,0) Pto : P1 (0,0,0)  Eje OX  ⇒ ⇒ y = 0 Vector : P1 P2 = (1,0,0)  P2 (1,0,0) z = 0 x = 0 P1 (0,0,0) Pto : P1 (0,0,0)  Eje OY  ⇒ ⇒ y = λ Vector : P1 P2 = (0,1,0)  P2 (0,1,0) z = 0 x = 0 P1 (0,0,0) Pto : P1 (0,0,0)  Eje OZ  ⇒ ⇒ y = 0 Vector : P1 P2 = (0,0,1)  P2 (0,0,1) z = λ

∀λ ∈ R

∀λ ∈ R

∀λ ∈ R

Ejercicio 7 : Escribe todas las ecuaciones de la recta que pasa por los puntos A(-3,2,1) y −5 3  B , ,0   2 2  Punto : A(−3,2,1)  r:  3  5  1 1  Vector : AB =  − 2 + 3, 2 − 2,0 − 1 =  2 ,− 2 ,−1 || (1,−1,−2)      Ecuación vectorial: (x,y,z) = (-3,2,1) + λ.(1,-1,-2) ∀λ ∈ R x = −3 + λ  Ecuaciones parámetricas:  y = 2 − λ ∀λ ∈ R z = 1 − 2λ  x + 3 y − 2 z −1 = = −1 −2 1 − x − 3 = y − 2  x + y = −1 Ecuación implícita:  →  − 2 x + −6 = z − 1  2 x + z = −5

Ecuación continua:

Ejercicio 8 : Comprueba si existe alguna recta que pase por los puntos P(3,1,0),Q(0,-5,1), R(6,-5,1) Método: Hallamos la recta que pasa por P y Q, y comprobamos si R pertenece a la recta.

Punto : P(3,1,0) x − 3 y −1 z Recta que pasa por P y Q  ⇒ = = −3 −6 1 Vector : PQ = (−3,−6,1) 6 − 3 − 5 −1 1 Comprobamos si el punto R la cumple: = = ⇒ −1 = 1 = 1 ⇒ Falso. −3 −6 1 No existe ninguna recta que pase por los puntos P, Q y R a la vez. Ejercicio 9 : Halla todas las ecuaciones de la recta que pasa por el punto A(-4,2,5) y es paralela al eje OZ.

Punto : A(−4,2,5)  r:  P1 (0,0,0) Vector eje OZ ⇒ v(0,0,1)   P2 (0,0,1)  Ecuación vectorial: (x,y,z) = (-4,2,5) + λ.(0,0,1)  x = −4  Ecuaciones parámetricas:  y = 2 ∀λ ∈ R z = 5 + λ  x + 4 y−2 z −5 = = 0 0 1 x + 4 = 0 Ecuación implícita:  y − 2 = 0

Ecuación continua:

∀λ ∈ R

Ejercicio 10 : Escribe todas las ecuaciones de la recta que pasa por el punto P(1,-3,0) y paralela al vector ux v , siendo u(1,−1,2), v( 2,0,0)

Punto : A(1,−3,0)  i j k  r:  Vector : ux v = 1 − 1 2 = (0,4,2) || (0,2,1)  2 0 0  Ecuación vectorial: (x,y,z) = (1,-3,0) + λ.(0,2,1) x = 1  Ecuaciones parámetricas:  y = −3 + 2λ ∀λ ∈ R z = λ 

∀λ ∈ R

x −1 y + 3 z = = 0 2 1 2 x − 2 = 0  x = 1 Ecuación implícita:  ⇒  y + 3 = 2z  y − 2z = −3 Ecuación continua:

Ejercicio 11 :

x − y = 0 a) Halla el vector director de la recta determinada por los planos  y + z = 2 Modo 1: Pasando a paramétricas: y = α, x = α, z = 2 - α ⇒ v(1,1,-1)

i

j

k

Modo 2: Perpendicular a los vectores normales de los dos planos 1 − 1 0 = (−1,−1,1)

0

1

1

Nota: Son paralelos, vale cualquiera de los dos. b) Escribe las ecuaciones paramétricas de la recta anterior x = α  Modo 1: Directamente ⇒ Ecuaciones parámetricas:  y = α ∀α ∈ R z = 2 − α 

 x = −α Punto : Dado un valor, por ejemplo a x, x = 0, y = 0, z = 2  Modo 2:  ∀α ∈ R  y = −α Vector : v(−1,−1,1) z = 2 + α  x y +1 = z , exprésala como intersección de dos planos. = 2 −1  − x = 2 y + 1  x + 2 y = −1 ⇒   x = 2z x − 2z = 0

Ejercicio 12 : Dada la recta

Ejercicio 13 : Halla todas las ecuaciones de los siguientes planos: a) Determinado por el punto A(1,-3,2) y por los vectores u( 2,1,0), v( −1,0,3) Ecuación vectorial: (x,y,z) = (1,-3,2) + s.(2,1,0) + t.(-1,0,3) ∀ s,t ∈ R x = 1 + 2s − t  Ecuaciones paramétricas:  y = −3 + s ∀ s,t ∈ R z = 2 + 3t  Ecuación implícita o general: Ax + By + Cz + D = 0 x −1 y + 3 z − 2

2 −1

1 0

0 3

= 0 ⇒ 3(x – 1) -6(y + 3) + (z – 2) = 0 ⇒ 3x – 6y + z - 23 = 0

b) Pasa por el punto P(2,-3,1) y cuyo vector normal es (5,-3,-4) 5x - 3y - 4z + D = 0   ⇒ 5x − 3y − 4z − 15 = 0 5.2 - 3.(-3) - 4.1 + D = 0 ⇒ D = −15 x y +1 z c) Perpendicular a la recta = = y que pasa por el punto (1,0,1) 2 −1 3 Punto : Pπ = (1,0,1) π:   ⇒ 2 x − y + 3z + D = 0 ⇒ 2 + 3 + D = 0 ⇒ D = −5 ⇒ 2 x − y + 3z − 5 = 0 n π = v r = (2,−1,3)  Ejercicio 14 : Halla las ecuaciones paramétricas e implícitas de los planos OXY, OYZ y OXZ

 PuntoP1 (0,0,0)   P1P2 = (1,0,0) OXY Puntos : P1 (0,0,0), P2 (1,0,0), P3 (0,1,0) Vectores    P1P3 = (0,1,0)   x = s  Ecuaciones paramétricas:  y = t ∀ s,t ∈ R z = 0 

x

y z

0 0 =0 ⇒ z=0 0 1 0

Ecuación implícita o general: Ax + By + Cz + D = 0 ⇒ 1

x = 0  Análogamente: OYZ:  y = s z = t 

∀ s,t ∈ R,

x=0

x = s  OXZ:  y = 0 ∀ s,t ∈ R, y=0 z = t  Ejercicio 15 : Escribe las ecuaciones paramétricas de los planos a) z = 3 b) x = -1 c) y = 2 x = s  x = −1 x = s    ∀ s,t ∈ R, b)  y = s ∀ s,t ∈ R, c)  y = 2 a)  y = t z = 3 z = t z = t   

∀ s,t ∈ R,

Ejercicio 16: a) ¿Cuál es el vector normal del plano x = -1? (1,0,0) b) Escribe las ecuaciones de una recta perpendicular al plano que pase por A(2,3,0) Punto : A(2,3,0) r: r:  Vector : v r = n π = (1,0,0) Ecuación vectorial: (x,y,z) = (2,3,0) + λ.(1,0,0) ∀λ ∈ R x = 2 + λ  Ecuaciones parámetricas:  y = 3 ∀λ ∈ R z = 0  x −2 y−3 z Ecuación continua: = = 1 0 0 y − 3 = 0 Ecuación implícita:  z = 0

POSICIONES RELATIVAS DE RECTAS Y PLANOS POSICIONES RELATIVAS DE DOS RECTAS

Coincidentes

Paralelas

Secantes

Se cruzan

Método: Escribimos las ecuaciones paramétricas de cada una de ellas (con distinto parámetro), las igualamos y resolvemos el sistema: • • •

Sistema compatible determinado ⇒ Existe una única solución ⇒ Se cortan en un punto ⇒ Secantes. Sistema compatible indeterminado ⇒ Existen infinitas soluciones ⇒ Se cortan en infinitos puntos ⇒ Coincidentes. Sistema incompatible ⇒ No existe solución ⇒ No se cortan ⇒ Paralelas o se cruzan. o Hallar el vector director de cada una o Si son paralelos (proporcionales) las rectas son paralelas o Si no son paralelos, las rectas se cruzan.

POSICIONES RELATIVAS DE DOS PLANOS

Coincidentes

Paralelos

Secantes

Método: Escribimos las ecuaciones generales de cada uno de ellos y resolvemos el sistema: • •

•

Sistema compatible determinado ⇒ No puede ser Sistema compatible indeterminado ⇒ Existen infinitas soluciones ⇒ Se cortan en infinitos puntos ⇒ Se cortan en un plano o en una recta o Si hay un grado de libertad ⇒ Un vector ⇒ Se cortan en una recta ⇒ Secantes o Si hay dos grados de libertad ⇒ Dos vectores ⇒ Se cortan en un plano ⇒ Coincidentes Sistema incompatible ⇒ No existe solución ⇒ No se cortan ⇒ Paralelos.

Temas 6 y 7 – Rectas y planos en el espacio- Matemáticas II – 2º Bachillerato

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POSICIÓN RELATIVA ENTRE RECTA Y PLANO

Recta Contenida en el plano

Secantes

Paralelos

Escribimos las ecuaciones paramétricas de la recta y la general del plano y resolvemos el sistema: • Sistema compatible determinado ⇒ Existe una única solución ⇒ Se cortan en un punto ⇒ Secantes. • Sistema compatible indeterminado ⇒ Existen infinitas soluciones ⇒ Se cortan en infinitos puntos ⇒ Recta contenida en el plano. • Sistema incompatible ⇒ No existe solución ⇒ No se cortan ⇒ Paralelos. POSICIÓN RELATIVA DE TRES PLANOS

Coincidentes

Dos coincidente y el otro secante

Dos coincidentes y Paralelos el otro paralelo

Dos paralelos Y el otro secante

Secantes en una recta

Secantes en un punto

Paralelos

Secantes 2 a 2 en una recta

Escribimos las ecuaciones de los tres planos en forma general y resolvemos el sistema: • Sistema compatible determinado ⇒ Existe una única solución ⇒ Se cortan en un punto • Sistema compatible indeterminado: o Un grado de libertad: Se cortan en una recta
Dos planos coincidentes y el otro secante
Los tres se cortan en una recta o Dos grados de libertad: Se cortan en un plano ⇒ Coincidentes • Sistema incompatible ⇒ No existe solución o Dos coincidentes y el otro paralelo o Tres paralelos o Dos paralelos y el otro los corta o Se cortan dos a dos en una recta

Ejemplo 17 : Estudiar la posición relativa de las siguientes rectas:

 x = − 5α  a) r :  y = 2 + α z = 5 − α 

 x = 2 − 3α  s:  y = 3 − 5α z = α 

Vectores directores no paralelos, se Cruzan o se cortan

2   1 5 1  − 5α = 2 − 3β − 5 3 1 5 1         5 1  ≈  − 1 − 1 − 5  ≈ ... ≈  0 4 − 4  Resolvemos el sistema 2 + α = 3 − 5β →  1 5 − α = β  − 1 − 1 − 5  − 5 3  0 0 35  2        Rango A = 2, RangoA´= 3 ⇒ Sistema incompatible ⇒ No existe solución ⇒ Se cruzan.  x = 3 − 5α x−1 4− y z  b) r :  y = 2 + α s: = = Vectores directores paralelos (paralelas o 10 2 2 z = 5 − α  3 −1 4 − 2 5 coincidentes), tomamos un punto de r, (3,2,5) y comprobamos si cumple s: = = No lo 10 2 2 cumple, por tanto , paralelas.  x = 2 − 3t  c) r:  y = 3 + 5t s: (x,y,z) = (1,0,5) + λ(-1,2,0) Vectores no paralelos, se Cruzan o se cortan z = t  2 − 3t = 1 − λ    Resolvemos el sistema 3 + 5t = 2λ →  t = 5 t = 5 → λ = 14 → 2 − 15 = 1 − 14 → Cierto   Sistema compatible determinado ⇒ Existe una única solución, se cortan en un punto Hallar el punto de corte, como t = 5 ⇒ P(-13,28,5) x = 2 + λ x−3 y−2 z−2  = = d) r :  y = 3 − λ s: Vectores directores paralelos (paralelas o − 1 1 − 2  z = 2λ  3 = 2 + λ λ = 1   coincidentes) Cogemos un punto de s(3,2,2) y comprobamos si cumple r: 2 = 3 − λ → λ = 1 Si, por 2 = 2λ λ = 1   tanto coincidentes. Ejemplo 18 : Estudiar la posición relativa de los siguientes planos.  x − 3y + 4z − 11 = 0  x − 3y + 4z − 11 = 0  x − 3y + 4z − 11 = 0 c)  a)  b)   2x − 6y + 8z − 22 = 0 4x − 12y + 16z + 40 = 0  2 x − 5y + z + 3 = 0 Dos modos: O resolviendo el sistema o comparando sus vectores normales 1 −3 4 − 11 a) = = = ⇒ La última igualdad no se cumple, paralelos 4 − 12 16 40 1 − 3 4 − 11 b) = = = ⇒ Vectores normales no paralelos, se cortan en una recta. 2 −5 1 3 Si nos piden la recta, resolvemos el sistema y obtenemos la recta en paramétricas. 1 − 3 4 − 11 = = ⇒ Se cumplen todas, coincidentes. c) = 2 − 6 8 − 22

Ejemplo 19: Estudiar la posición relativa entre la recta y el plano:  x = − 2t + 3  a) π: x – 3y+5z+11=0 r:  y = 1 − t  z = 4 + 6t  a) Sustituimos las ecuaciones de la recta en la ecuación del plano: -2t + 3 -3(1 – t) + 5.(4 + 6t) + 11 = 0 ⇒ -2t + 3 -3 +3t + 20 + 30t + 11 = 0 ⇒ 31t + 31 = 0 ⇒ t = -1 Sistema compatible determinado. Existe una solución. Se cortan en un punto. Si nos piden el punto de corte, sustituimos en las ecuaciones de la recta: P(5,2,-2) x − 2 2y + 2 b) = =z -y + 2z - 1 =0 3 4 b) Pasamos la recta a paramétricas y sustituimos en la ecuación del plano -(2t-1) + 2t -1 = 0 ⇒ 0 = 0 ⇒ Sistema compatible indeterminado, existen infinitas soluciones ⇒ Recta contenida en el plano.  x = 4t + 1  c)  y = − t + 2 x + 2y – z = 0  z = 2t  c) (4t + 1) + 2(-t + 2) – 2t = 0 ⇒ 5 = 0 ⇒ Sistema incompatible, no tiene solución ⇒ Paralelos Ejemplo 20 : Estudiar la posición relativa de estos tres planos:  x + 2y − z − 3 = 0  a)  3y + 2z − 1 = 0 x + y + z − 2 = 0  a) Resolvemos el sistema por Gauss y nos sale compatible determinado, existe una única solución ⇒ Se cortan en un punto P(7/4,1/2,-1/4)  2x − y + z − 3 = 0  b)  x − y + z − 2 = 0  3x − y + z − 4 = 0  b) Resolvemos el sistema por Gauss y nos sale un sistema compatible indeterminado con un grado de libertad, es decir, se cortan en una recta. Como los planos no son paralelos entre se cortan los tres en una recta. x − y + z − 1 = 0  c)  3x + y − 2z = 0  2x + 2y − 3z + 4 = 0  c) Resolvemos el sistema por Gauss y nos sale sistema incompatible, no tiene solución. Como ninguno es paralelo entre si, se cortan dos a dos en una recta (Tienda de campaña) x + y + z = a − 1  d)  2x + y + az = a  x + ay + z = 1  d) Como es un sistema con parámetros con el mismo número de ecuaciones que de incógnitas, 1 1 1

hallamos el determinante: 2 1 a = 0 ⇒ −a 2 + 3a − 2 = 0 ⇒ a = 1, a = 2 1 a 1

 1 1 1 0  1 1 1 0     RangoA = 2 CASO I: Si a = 1  2 1 1 1  ≈  0 − 1 − 1 1  ⇒  ⇒ Sistema Incompatible = RangoA ' 3  1 1 1 1  0 0 0 1     El primer y el tercer plano paralelos y el otros los corta en una recta. 1 1 1 1  1 1 1 1  RangoA = 2      CASO II: Si a = 2  2 1 2 2  ≈ ... ≈  0 − 1 0 0  ⇒ RangoA ' = 2 ⇒ Sistema Compatible 1 2 1 1  0 0 0 0   N º Incog = 3      indeterminado con un grado de libertad (ninguno paralelo) se cortan en una recta. CASO III: a ∈ R − {1,2}⇒ |A| ≠ 0 ⇒ Sistema compatible determinado ⇒ Se cortan en un punto. Resolviendo (por Cramer o por Gauss) obtenemos el punto de corte en función de “a”.

REPASO DE RECTAS Y PLANOS Y POSICIONES RELATIVAS Ejercicio 21 : Estudia la posición relativa de las siguientes rectas y halla el punto de corte, cuando sea posible: x−1 y + 2 z −1 x+2 y−3 z−2 a) r: = = s: = = 3 2 4 −1 2 3 Vectores directores (3,2,4) y (-1,2,3) no paralelos, se cortan o se cruzan. Resolvemos el sistema: 3α + 1 = −β − 2  3 1 − 3   3 1 − 3   3 1 − 3        RangoA = 2  Sistema 2α − 2 = 2β + 3  2 − 2 5  ≈  0 8 − 21 ≈  0 8 − 21  4α + 1 = 3β + 2  4 − 3 1   0 13 − 15   0 0 − 153  RangoA ' = 3        incompatible, no existe solución, se Cruzan. x−1 y −1 x−4 y−4 z−5 = = = =z−2 s: −1 2 4 1 2 Vectores directores (-1,2,1) (4,1,2) no paralelos, se cortan o se cruzan. Resolvemos el sistema: − α + 1 = 4β + 4  − 1 − 4 3   − 1 − 4 3   − 1 − 4 3  RangoA = 2         2α + 1 = β + 4  2 − 1 3  ≈  0 − 9 9  ≈  0 − 9 9  RangoA ' = 2  Sistema  1 − 2 3  0 − 6 6   0 α + 2 = 2β + 5 0 0  N º Incog = 2      compatible determinado, existe una única solución, se cortan en un punto. − α − 4β = 3 β = −1 ⇒ P(0,3,3)  − 9β = 9 b) r:

c) r:

 x − 2y − 1 = 0 s:   3y − z + 1 = 0

x z+1 = y −1= 2 3

i

j

Vectores directores (2,1,3), 1 − 2

0

3

k 0 = (2,1,3) Paralelos, Paralelos o coincidentes. −1

0 − 2 − 1 = 0 Tomamos un punto de r Pr(0,1,-1) y vemos si pertenece a s :  No pertenece a s por 3 + 1 + 1 = 0 tanto no pueden ser coincidentes. Son paralelas.

 x = 3 + 4t  s:  y = 3 + 6t  z = 4 + 8t  Vectores directores (2,3,4), (4,6,8) paralelos, por tanto paralelas o coincidentes. 1 = 3 + 4t  t = −1 / 2   Tomamos un punto de r: Pr(1,0,0) y comprobamos si pertenece a s: 0 = 3 + 6t ⇒ t = −1 / 2 Si 0 = 4 + 8t  t = −1 / 2   pertenece a s por tanto son coincidentes. x−1 y z d) r: = = 2 3 4

Ejercicio 22 : Obtén el valor de a para que las rectas r y s se corten y halla el punto de corte. 2x − 1 y + 3 z − 2 r: x = y = z – a s: = = 3 −2 0 3β + 1  α = 2  2α − 3β = 1 Pasamos a paramétricas y resolvemos el sistema: α = −2β − 3 ⇒  ⇒ −7β = 7 ⇒ α + 2β = −3 α + a = 2   β = −1, α = −1, a = 3 ⇒ P(-1.-1.2)

Ejercicio 23 : Halla los valores de m y n para que las rectas r y s sean paralelas:  x = 5 + 4t x y −1 z + 3  r:  y = 3 + t s: = = m 3 n z = −t  Los vectores directores proporcionales:

4 1 − 1 m = 12 = = ⇒ m 3 n  n = −3

Ejercicio 24 : Calcula m y n para que los planos: α: mx + y – 3z -1 = 0 sean paralelos. ¿Pueden ser coincidentes?

β: 2x + ny – z – 3 = 0

m 1 − 3 n = 1 / 3 = =  2 n − 1 m = 6 6 1 − 3 −1 Para que sean coincidentes: = = ≠ No son coincidentes. 2 1/ 3 − 1 − 3

Los vectores normales proporcionales:

Ejercicio 25 : Escribe la ecuación del plano que pasa por los puntos (0,0,0), (2,2,0) y (1,1,2)

Punto : A(0,0,0)  AB = (2,2,0) Plano:  Vectores :   AC = (1,1,2) 

x−0 y−0 z−0 2 1

2 1

0 2

=0

4x – 4 y = 0 ⇒ x – y = 0

Ejercicio 26 : Determina la ecuación del plano que contiene al punto P(2,1,2) y a la recta y−3 z−4 x−2= = −1 −3 P(2,1,2), Pr(2,3,4), vr(1,-1,-3) Punto : P(2,1,2) x − 2 y −1 z − 2  PPr = (0,2,2) Plano:  0 2 2 = 0 -4(x-2) + 2(y–1) -2(z-2)=0 Vectores :   1 −1 −3 v r = (1,−1,−3)  -4x + 2y - 2z + 10 = 0 ⇒ -2x + y – z + 5 = 0 x−1 =y =z−2 2 paralelas y halla la ecuación del plano que las contiene. Ejercicio 27 : Comprueba que las rectas r:

i

j

 x − 2z = 5 s:  son  x − 2y = 11

k

0 − 2 = (-4, -2, -2) 1 −2 0

Vectores directores proporcionales: vr(2,1,1), vs = 1

Pr(1,0,2) , vr(2,1,1), Ps (Por ejemplo z = 0, x = 5, y = -3 (5,-3,0)) Punto : Pr (1,0,2) x −1 y z − 2  Plano:  2 1 1 = 0 (x – 1) + 8y -10(z – 2) = 0 v r (2,1,1) Vectores : P P = (4,−3,−2) 4 −3 −2  r s  x + 8y – 10z + 19 = 0

Ejercicio 28 : ¿Son coplanarios los puntos A(1,0,0), B(0,1,0), C(2,1,0), D(-1,2,1)?

Con tres puntos A, B y C hallamos el plano que los contiene y comprobamos si D ∈ Al plano

Punto : A(1,0,0)  Plano:  AB = (−1,1,0) Vectores :   AC = (1,1,0)  por tanto no son coplanarios.

x −1 y z −1 1

1 0 = 0 -2z = 0 ⇒ z = 0 ⇒ D no cumple que z = 0, 1 0

Ejercicio 29 : Halla la ecuación del plano que pasa por los puntos A(1,3,2) y B(-2,5,0) y es x = 3 − t  paralelo a la recta  y = 2 + t  z = − 2 − 3t 

Punto : A(1,3,2)  Plano:  AB = (−3,2,−2) Vectores :   v r (−1,1,−3)  -4x – 7y – z +27 = 0

x −1 y − 3 z − 2 −3 −1

2 1

− 2 = 0 ⇒ -4(x–1) -7(y–3) – (z–2) = 0 −3

 x = 2 + 3λ  Ejercicio 30 : Halla la ecuación del plano que contiene a la recta r:  y = −1 − λ y es paralelo z = λ  x−3 y +1 z = = 5 2 −3 Punto : Pr (2,−1,0)  Plano:  v r (3,−1,1) Vectores :   v s (5,2,−3)  x + 14y + 11z +12 = 0

a: s:

x − 2 y +1 3 5

−1 2

z 1 =0 −3

(x – 2) +14(y + 1) +11z = 0

x−1 y − 2 z +1 = = , halla la 1 −1 2 ecuación del plano que contiene a la recta r y es perpendicular al plano π.

Ejercicio 31 : Dado el plano π: 2x – 3y + z = 0 y la recta r:

Punto : Pr (1,2,−1)  Plano:  v r (1,−1,2) Vectores : n (2,−3,1)  π  5x + 3y – z – 12 = 0

x −1 y − 2 z +1 1 2

−1 −3

2 1

=0

5(x – 1) + 3.(y – 2) – (z + 1) = 0

 3x − y + z = 0 Ejercicio 32 : Sea la recta r:  y el plano ax – y + 4z – 2 = 0  2x − z + 3 = 0 a) Calcula el valor de a para que r sea paralela al plano. b) ¿Existe algún valor de a para que r sea perpendicular al plano?

a) Vector director de la recta y vector normal del plano perpendiculares (vr.nπ = 0)

i

j

vr = 3 − 1

2

0

k 1 = (1, 5,2) −1

vr.nπ = (1,5,2).(a,-1,4) = a – 5 + 8 = 0 ⇒ a = -3

b) Vector de la recta y vector normal del plano, paralelos:

1 5 2 = = . No existe. a −1 4

 x − 2z + 3 = 0 Ejercicio 33 : Dados la recta r:  y el plano π: x + 2y + 3z – 1 = 0, halla la y − z − 4 = 0 ecuación de una recta s contenida en el plano π que pase por el punto P(2,1,-1) y sea perpendicular a r. Punto : P(2,1,−1)     i j k   i j k  1 0 − 2 = (2,1,1) Recta s:   v r xn π = 2 1 1 = (1,−5,3) Vector : v s = v r xn π = v r = 0 1 − 1    1 2 3    n π = (1,2,3)    x − 2 y −1 z +1 = = −5 1 3

Ejercicio 34 : Halla la ecuación de una recta que cumpla las condiciones siguientes:  x + 2z = 5 1) Es paralela a la recta de ecuaciones: r:   y + 3z = 5 2) Pasa por el punto de intersección de la recta s con el plano π: x−1 y + 3 z + 2 s: = = π: x – y + z = 7 4 2 3 vr: z = α, x = 5 - 2α, y = 5 - 3α ⇒ vr(-2,-3,1)

x = 4t + 1  Pr : s:  y = 2t − 3 ⇒ 4t + 1 − (2t − 3) + (3t − 2) = 7 ⇒ 5t = 5 ⇒ t = 1 ⇒ Pr (5,−1,1) z = 3t − 2  x − 5 y +1 z −1 = = −2 −3 1 Ejercicio 35 : Escribe la ecuación del plano que pasa por los puntos A(1,-3,2) y B(0,1,1) y es  3x − 2y + 1 = 0 paralelo a la recta r:   2y + 3z − 3 = 0

Punto : A(1,−3,2)  AB = (−1,4,−1)    Plano:  i j k  Vectores : v = 3 − 2 0 = (−6,−9,6) || (−2,−3,2)  r   0 2 3    5(x – 1) + 4(y + 3) + 11(z – 2) = 0 ⇒ 5x + 4y + 11z – 15 = 0

x −1 y + 3 z − 2 −1 −2

4 −3

−1 = 0 2

Ejercicio 36 : Dados los planos mx + 2y – 3z – 1 = 0 y 2x – 4y + 6z + 5 = 0, halla m para que sean: a) Paralelos b) Perpendiculares

m 2 −3 = = ⇒ m = -1 2 −4 6 b) Vectores normales perpendiculares: (m,2,-3).(2,-4,6) = 0 ⇒ 2m – 8 -18 = 0 ⇒ m = 13

a) Proporcionales:

Ejercicio 37 : Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto P(1,2,3) y es perpendicular al plano que pasa por el origen y por los puntos B(1,1,1) y C(1,2,1).

Punto : P(1,2,3)  Punto : O(0,0,0) x  Recta:   Vector : v r = n π : πVectores : OB(1,1,1) ⇒ π : 1    1 OC(1,2,1)   x −1 y − 2 z − 3 = = −1 0 1

y z 1 1 = 0 ⇒ − x + z = 0 : v r (−1,0,1) 2 1

x + y − 1 = 0 Ejercicio 38 : Escribe la ecuación del plano que contiene a la recta r:  y es  2x − y + z = 0 1− x y z + 2 paralelo a s: = = −2 3 −4

Punto : Pr  Plano:  v r Vectores :   v s (−2,3,−4) 

Pr (1,0,−2) Pasamos r a paramétricas: y = α, x = 1 - α, z = -2 + 2α + α = 3α - 2  v r (−1,1,3) x −1 y z + 2 Plano: − 1

−2

1 3

3 = 0 -13(x – 1) -10y – (z + 2) = 0 ⇒ -13x – 10y – z +11 = 0 −4

Ejercicio 39 : Indica qué condiciones deben cumplir a, b, c y d, para que el plano π: ax + by + cz + d = 0 sea: a) Paralelo al plano OXY b) Perpendicular al plano OXY c) Paralelo al eje Z d) Perpendicular al eje X e) No sea paralelo a ninguno de los ejes.

a b c = = ⇒ a = 0, b = 0 0 0 1 b) nπ.nOXY = 0 (a,b,c).(0,0,1) = 0 ⇒ c = 0 (a,b,c).(0,0,1) = 0 ⇒ c = 0 c) nπ .vZ =0 a b c d) nπ || vX = = ⇒ b = 0, c = 0 1 0 0 e) No es paralelo a ninguno de los ejes, a ≠ 0, b ≠ 0, c ≠ 0

a) nπ || noxy

Autoevaluación pág 181 del libro.

ÁNGULOS → →

ANGULO ENTRE DOS RECTAS

→

v1 . v 2

→

Cos (r1,r2) = cos ( v 1, v 2) =

→

→

v1 . v 2 → →

ANGULO ENTRE DOS PLANOS

→

n1 . n 2

→

Cos (Π Π1, Π2) = cos( n 1, n 2) =

→

→

n1 . n 2 → →

ÁNGULO ENTRE RECTA Y PLANO

→

vr .n π

→

Sen (r, Π) = cos ( v r, n Π) =

→

→

vr .nπ Ejemplo 40 : Hallar el ángulo que forman las siguientes rectas:  2 x + 3 y − 5z = 4 x−3 y+1 z r: = = s:  5 3 −1  x − 2y + 5 = 0

v r (5,3,−1)  i j k  cos (r,s) = cos (vr, vs) ⇒  ⇒ cos(vr,vs) = v = 2 3 − 5 = ( − 10 , − 5 , − 7 ) || ( 10 , 5 , 7 )  s  1 −2 0  v r .v s 50 + 15 − 7 58 = = = 0,74 ⇒ α = 41º 59’ 35,79’’ | vr | . | vs | 25 + 9 + 1. 100 + 25 + 49 35. 174 Ejemplo 41 : Hallar el ángulo que forman los siguientes planos: π2: 2x – y + 3 = 0 π1 : x + 8y – 4z = 0 n π1 .n π 2 2−8 cos (π1,π2) = cos (nπ1, nπ2) = = = | n π1 | . | n π 2 | 1 + 64 + 16 . 4 + 1 + 0 α = 72º 39’ 14,16’’ Ejemplo 42 : Hallar el ángulo que forman la recta y el plano: r: (x,y,z) = (3,-1,1) + t.(2,5,-1) π: 2x – 5y +7z – 11 = 0 v r .n π 4 − 25 − 7 sen (r,π) = sen (vr, nπ) = = = | vr | . | nπ | 4 + 25 + 1. 4 + 25 + 49 α = 35º 22’ 5,54’’

6 81. 5

28 30 . 78

= 0,3 ⇒

= 0,57 ⇒

Ejercicio 43 : Halla el valor de m para que r y s formen un ángulo de 90º:  x = 2 − 5t x = 2 + t   r:  y = t s:  y = 2t  z = −2 − t  z = mt   vr.vs = 0 ⇒ (-5,1,-1).(1,2,m) = 0 ⇒ -5 + 2 – m = 0 ⇒ m = -3

Ejercicio 44 : Halla, en cada caso, el ángulo que forman la recta y el plano: x+1 y + 3 z a) r: = = π: x – 2y – z + 1 = 0 −2 4 2 v r .n π −2−8−2 12 sen (r,π) = sen (vr, nπ) = = = = 1 ⇒ α = 90º | vr | . | nπ | 4 + 16 + 4 . 1 + 4 + 1 24 . 6 b) r: x = t; y = 1 + 2t; z = -2 π: 2x – y + z = 0 v r .n π 2−2+0 sen (r,π) = sen (vr, nπ) = = = 0 ⇒ α = 0º | vr | . | nπ | 1 + 4 + 0. 4 + 1 + 1 c) r:

x−1 y − 3 z = = 2 1 1

sen (r,π) = sen (vr, nπ) =

π: x + z = 17

v r .n π | vr | . | nπ |

=

2 +1 4 + 1 + 1. 1 + 0 + 1

3

=

6. 2

= 0,87 ⇒ α = 60º

Ejercicio 45 : Calcula el ángulo que forman los dos planos siguientes: α: z = 3 π: x – y + 2z + 4 = 0 n α .n π 0+0+2 2 cos (α,π) = cos (nα, nπ) = = = = 0,82 ⇒ α = 35º 15’ 51,8’’ | nα | .| nπ | 0 + 0 + 1. 1 + 1 + 4 . 6 Ejercicio 46 : Hallar los tres ángulos de un triángulo cuyos vértices son: A(0,0,0), B(1,2,1), C(3,1,1) AB = (1,2,1), AC = (3,1,1), BC = (2,-1,0) Cos (AB,AC) = = Cos (AB,BC) = =

3 + 2 +1 1 + 4 + 1. 9 + 1 + 1 2−2+0

=

6 6 . 11 0

= 0,74 ⇒ α = 42º 23’ 31,36’’

= = 0 ⇒ α = 90º 1 + 4 + 1. 4 + 1 + 0 6. 5 α = 180º - 90º - 42º 23’ 31,36’’ = 47º 36’ 28,64’’ Ejercicio 47 : Hallar el ángulo que forma el plano π: x – 2y + z = 0 con cada uno de los ejes coordenados. v OX .n π 1 1 = = = 0,41 ⇒ α = 24º 5’ 41,43’’ sen (OX,π) = sen ((1,0,0), nπ) = | v OX | . | n π | 1. 1 + 4 + 1 6 sen (OY,π) = sen ((0,1,0), nπ) = sen (OZ,π) = sen ((0,0,1), nπ) =

v OY .n π | v OY | . | n π | v OZ .n π | v OZ | . | n π |

= =

−2 1. 1 + 4 + 1 1 1. 1 + 4 + 1

=

2

=

1

6 6

= 0,82 ⇒ α = 54º 44’ 8,2’’ = 0,41 ⇒ α = 24º 5’ 41,43’’

DISTANCIA ENTRE PUNTOS, RECTAS Y PLANOS DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS: A(x1,y1,z1) , B(x2,y2,z2) →

d(A,B) = | AB | =

(x 2 − x 1 )2 + (y 2 − y1 )2 + (z 2 − z1 )2

DISTANCIA ENTRE UN PUNTO Y UNA RECTA →

→

PPr x v r d(P,r) =

→

vr DISTANCIA ENTRE UN PUNTO Y UN PLANO: P(x0,y0,z0), Π: Ax + By + Cz + D = 0 Ax 0 + By 0 + Cz 0 + D d(P, Π) = A 2 + B2 + C2 DISTANCIA ENTRE DOS RECTAS [v r , v s , Pr Ps ] d(r,s) = v r x vs DISTANCIA ENTRE UNA RECTA Y UN PLANO d(r, Π) = d(Pr, Π) DISTANCIA ENTRE DOS PLANOS d(Π1, Π2) = d(P1, Π2) π1 : Ax + By + Cz + D = 0 Si  ⇒ d ( π1 , π 2 ) = π 2 : Ax + By + Cz + D' = 0

D − D' A 2 + B2 + C 2

Ejemplo 48 : Hallar la distancia entre los puntos P(1,2,0) y Q(2,-3,1) d(P,Q) =

(2 − 1) 2 + (−3 − 2) 2 + (1 − 0) 2 = 1 + 25 + 1 = 27 = 3. 3u = 5,2u

 x = 1 − 2t  Ejemplo 49 : Halla la distancia del punto P(5,-1,6) y la recta r:  y = − t z = 5 + t 

i j k r : Pr(1,0,5), vr(-2,-1,1)  ⇒ PPr x vr = − 4 1 − 1 = (0,6,6) PPr = (-4, 1, - 1)  − 2 −1 1 →

→

PPr x v r d(P,r) =

→

vr

=

0 + 36 + 36 4 +1+1

= 12 = 2. 3u = 3,46u

Ejemplo 50 : Halla la distancia del punto P(1,2,3) al plano π: 2x + 3y – z =-7 2 .1 + 3 .2 − 3 + 7 12 = = 3,21u d(P, Π) = 4 + 9 +1 14

x = 5 + t  Ejemplo 51 : Halla la distancia entre las rectas r:  y = −1  z = 8 + 2t 

 x = 4 + 3t  s:  y = 3 − t  z = 5 + 4t 

1 0 2 r : Pr (5,−1,8), v r (1,0,2)  Pr Ps (−1,4,−3) ⇒ [v r , v s , Pr Ps ] = 3 − 1 4 = [(3 + 0 + 24) − (2 + 16 + 0)] = 9 s : Ps (4,3,5), v s (3,−1,4) −1 4 − 3 i

j

k

0 2 = (2,2,−1) ⇒ d(r,s) = 3 −1 4

Vr x Vs = 1

[v r , v s , Pr Ps ] v r x vs

Ejemplo 52: Halla la distancia entre la recta r: d(r, Π) = d(Pr, Π) =

3 − 3 .1 − ( − 2 ) + 6 1+ 9 +1

=

8 11

=

|9| 4 + 4 +1

= 3u

x− 3 y −1 z + 2 y el plano π: x – 3y –z + 6=0 = = 5 2 −1

= 2,41u

Ejemplo 53 : Halla la distancia entre dos planos: π1: x – 5y + 2z – 19 = 0, π2: 2x – 10y + 4z = 0 − 38 − 0 D − D' 38 π1: 2x – 10y + 4z – 38 = 0 ⇒ d (π1 , π 2 ) = = = = 3,47 u 4 + 100 + 16 120 A 2 + B2 + C2 Ejercicio 54 : Halla la distancia que hay entre los puntos A(2,5,-2), B(-1,1,-2) d(A,B) =

(−1 − 2) 2 + (1 − 5) 2 + (−2 + 2) 2 = 9 + 16 + 0 = 25 = 5u

 x − y = −3 Ejercicio 55 : Considera la recta r:  y el plano π: x + y – 2z = 1 x + z = 1 a) Halla las coordenadas del punto S donde se cortan r y π Pasamos la recta a paramétricas y resolvemos el sistema: x = α, y = α + 3, z = 1 - α α + (α + 3) -2(1 - α) = 1 ⇒ 4α = 0 ⇒ α = 0 ⇒ S(0,3,1) b) Calcula la distancia del punto P(4,0,1) al punto S del apartado anterior. d(P,S) =

(0 − 4) 2 + (3 − 0) 2 + (1 − 1) 2 = 16 + 9 + 0 = 25 = 5u

Ejercicio 56 : Calcula la distancia entre el punto P(2,-3,1) y el plano π: 3x – 4z = 3 3 .2 − 4 .1 − 3 1 d(P, Π) = = = 0,2u 5 9 + 0 + 16 Ejercicio 57 : Calcula la distancia entre el punto Q(2,-1,0) y el plano que contiene a P(2,0,4) y a r:  x = 3 − 2t   y = 2 + 3t z = 4 

Punto : P(2,0,4) x−2 y z−4  Plano:  2 0 = 0 ⇒ 7(z – 4) = 0 ⇒ z-4=0 PPr = (3,2,4) − (2,0,4) = (1,2,0) ⇒ 1 Vectores :   −2 3 0 v r (−2,3,0)  0−4 = 4u d(Q, Π) = 0 + 0 +1

Ejercicio 58: Halla la distancia entre los siguientes pares de planos: a) π1: x – 2y + 3 = 0 π2: 2x – 4y + 1 = 0 6 −1 D − D' 5 π1: 2x – 4y + 6 = 0 ⇒ d (π1 , π 2 ) = = = = 1,12u 4 + 16 20 A 2 + B2 + C2 b) 3x – 2y + z – 2 = 0 π2: 2x – y + z = -5 No son paralelos, se cortan ⇒ d (π1 , π 2 ) = 0

 x = 2 + 4λ  Ejercicio 59 : Halla la distancia entre la recta r:  y = 3λ y el plano π: 3x – 4y – 3 = 0  z = −1 + 7λ  3 .2 − 4 .0 − 3 3 d(r, Π) = d(Pr, Π) = d((2,0,-1),3x-4y-3=0) = = = 0,6u 5 9 + 16 + 0 Ejercicio 60 : Calcula la distancia que hay entre el punto P(3,1,6) y la recta r: x = 4 + 4α α; y = 2 + α; z = -1 - 3α α

i j k r : Pr(4,2,-1), vr(4,1,-3)  ⇒ PPr x vr = 1 1 − 7 = (4,−25,−3) PPr = (1,1,-7)  4 1 −3 →

→

PPr x v r d(P,r) =

→

=

vr

16 + 625 + 9 16 + 1 + 9

=

650 = 25 = 5u 26

 x = 4λ  Ejercicio 61 : Halla la distancia entre las rectas r:  y = −10 − 3λ  z = 9 + 5λ 

 x = 2 − 12t  s:  y = 1 + 9t z = 4 + t 

4 −3 5 r : Pr (0,−10,9), v r (4,−3,5) 1 = [(−180 − 6 − 660) − (90 + 44 − 180)] = −800 Pr Ps (2,11,−5) ⇒ [v r , v s , Pr Ps ] = − 12 9 s : Ps (2,1,4), v s ( −12,9,1)  2 11 − 5

i Vr x Vs =

j

k

4 − 3 5 = (−48. − 64,0) ⇒ d(r,s) = − 12 9 1

[v r , v s , Pr Ps ] v r x vs

=

| −800 | 2304 + 4096

=

800 = 10u 80

EJERCICIOS IMPORTANTES Corta o se apoya Ejercicio 62 : Halla las ecuaciones de la recta r que pasa por el punto P(2,0,-1) y corta a las x + y + 4 = 0 x−2 y−2 z+1 rectas s1: = = s2 :  2 1 −1  y − 3z + 3 = 0 Ps1 (2α+2,-α+2,α-1), Ps2(z=β,y=-3+3β,x=-1-3β)=(-1-3β,-3+3β,β) 2α −α+2 α = = PPs1 paralelo a PPs2 ⇒ − 3 − 3β − 3 + 3β β + 1 9α − 6β − 3αβ = 6 − 6α + 6αβ = 3α − 6 + 3αβ − 6β  ⇒ α=0  2αβ + 2α = −3α − 3αβ 5α + 5αβ = 0 ⇒ 5α(1 + β) = 0 β = −1  0 2 0 Si α = 0 ⇒ - 6β=6 ⇒ β = -1 ⇒ = = ⇒ cierto 0 −6 0 Punto : P(2,0,−1) x − 2 y x +1 ⇒ = = r:  0 2 0 Vector : PPs1 = (0,2,0) Ejercicio 63 : Halla la ecuación de la recta que pasa por A(1,1,1), es paralela al plano π: x – y x = 1 + z – 3 = 0 y corta a la recta r:  y = 3

APr (0,2, α − 1) APr es perpendicular a nπ (Producto escalar cero): Pr(1,3,α) ⇒  n π (1,−1,1) APr.nπ = (0,2,α-1).(1,-1,1) = 0 ⇒ -2 + α -1 = 0 ⇒ α = 3 ⇒ Punto : A(1,1,1) x −1 r:  ⇒ = y −1 = z −1 0 Vector : APr (0,2,2) || (0,1,1) Ejercicio 64 : Halla la ecuación de la recta s que pasa por el punto P(2,-1,1) y corta x−3 y +1 z perpendicularmente a la recta r: = = 1 2 3 PP = (α + 3,2α − 1,3α) − (2,−1,1) = (α + 1,2α,3α − 1) PPr perpendicular a vr (Producto escalar nulo) ⇒  r v r = (1,2,3) PPr.vr = 0 ⇒ α + 1 + 4α + 9α - 3 = 0 ⇒ 14α - 2 = 0 ⇒ α = 1/7 Punto : P(2,−1,1) x − 2 y +1 z −1 Recta:  ⇒ = = 4 1 −2 Vector : PPr = (8 / 7,2 / 7,−4 / 7) || (4,1,−2) Ejercicio 65 : Halla la recta perpendicular común a las rectas: x y −1 z + 3 x−1 y +1 z r: = = s: = = 0 1 2 1 −1 3 Recta r: Pr(0,α+1,2α-3) Recta s: Ps(β+1,- β-1,3β)

vr(0,1,2) vs(1,-1,3)

i

j

k

1 2 = (5,2,−1) −1 −1 3

V= vr x vs = 0

2β + 2 = −5 − 5α − 10 7β + 5α = −12 Pr.Ps paralelo a v: β + 1 = − β − α − 2 = 3β − 2α + 3 ⇒  ⇒ ⇒ β = −4 / 3 5

2

β + α + 2 = 6 − 4α + 6

−1

5β − 5α = −4

Punto : Ps (−1 / 3,1 / 3,−4) x + 1/ 3 y − 1/ 3 z + 4 Recta:  ⇒ = = 5 2 −1 Vector : v = (5,2,−1) Ejercicio 66 : Encuentra la recta que pasa por el punto P(1,0,-1) y corta a las rectas l1 y l2 de x = 3 + t  3x + 2y − z = 1  ecuaciones: l1:  l2 :  y = t  2x − y + z − 4 = 0 z = 1 + t  x = α  − 1 3 2 − 1  − 1 3 2 − 1 − z + 3x + 2 y = −1  Pasamos l1 a paramétricas:   ≈   ≈  ≈ y = −5 − 5α  1 2 − 1 4   0 5 1 3  5x + y = −5 z = −7α − 9  α − 1 − 5 − 5α − 7α − 8 = = ⇒ α − 1 = −7 α − 8 ⇒ α = −7 / 8 PPl1 paralelo a PPl2 ⇒ 2+t t 2+ t Punto : P(1,0,−1) x − 1 y `z + 1 Recta:  ⇒ = = 3 1 3 Vector : PPl1 (−15 / 8,−5 / 8,−15 / 8) || (3,1,3)

x = 1  Ejercicio 67 : Comprueba que las rectas: r:  y = 5 + t z = t  ecuación de la recta perpendicular a ambas.

 x = 7 + 3t  s:  y = −5 + t se cruzan. Halla la z = 7 

Comprobar que se cruzan: vr (0,1,1), vs(3,1,0) no son paralelos, se cortan o se cruzan. Resolvemos el 1 = 7 + 3s s = −2   sistema: 5 + t = −5 + s ⇒ t = −12 Sistema incompatible, no tiene solución. Se cruzan. t = 7 t = 7   Recta perpendicular común: PrPs perpendicular a vr,vs PrPs = (6+3s, -10+s-t, 7-t)

i

j k

Vector perpendicular a vr y a vs ⇒ v = vr x vs = 0 1 1 = (−1,3,−3)

3 1 0 − 18 − 9s = −7 + t t + 9s = −11 s = −1 6 + 3s − 10 + s − t 7 − t = = ⇒  ≈ ≈ −3 −1 3 30 − 3s + 3t = 21 − 3t 6 t − 3s = −9 t = −2 Punto : Pr (1,3,−2) x −1 y − 3 z + 2 ⇒ = = Recta:  −1 3 −3 Vector : (−1,3,−3)

PrPs paralelo a v ⇒

Proyección ortogonal

 x = −1 − λ  Ejercicio 68 : Calcula la proyección ortogonal de la recta r:  y = − λ sobre el plano π: 2x- 3y +  z = 2λ  z+1=0 [1] P = r ∩ π: 2(-1-λ) – 3(-λ) + 2λ + 1 = 0 ⇒ 3λ = 1 ⇒ λ = 1/3 ⇒ P(-4/3, -1/3, 2/3) [2] Q un punto cualquiera de r (distinto de P): Q(-1,0,0)  x = −1 + 2 t Punto : Q(−1,0,0)  ⇒ r ':  y = −3t [3] r’  Vector : v r ' = n π = (2,−3,1) z = t  [4] Q’ = r’ ∩ π: 2(-1+2t) – 3(-3t) + t + 1 = 0 ⇒ 14t = 1 ⇒ t = 1/14 ⇒ Q’(-12/14,-3/14,1/14) Punto : P(−4 / 3,−1 / 3,2 / 3) [5] s es la recta que pasa por P y Q’ ⇒ s:  Vector : PQ' = (20 / 14,5 / 42,−25 / 42) || (4,1,−5) 4   x = − 3 + 4α  1  S:  y = − + α ∀α ∈ R 3  2  z = 3 − 5α  Simétricos Ejercicio 69 : Halla el punto simétrico de P(1,0,1) respecto del plano π: x – y + z = 1

x = 1 + t Punto : P(1,0,1)  ⇒ r : y = −t [1] Calcular la recta r:  Vector : v r = n π = (1,−1,1) z = 1 + t  [2] Calcular el punto C = r ∩ π: 1+t –(-t) + 1 + t = 1 ⇒ 3t = -1 ⇒ t = -1/3 ⇒ C(2/3,1/3,2/3)  2 1 2   x + 1 y z + 1 1 2 1 [3] C es el punto medio de P y P’:  , ,  =  , ,  ⇒ P’  , ,  3 3 3  2 2 2  3 3 3 Ejercicio 70 : Determina el punto simétrico de A(-3,1,-7) respecto de la recta r: x+1 y− 3 z+1 = = 1 2 2

Punto : A(−3,1,−7) [1] Calcular el plano π:  ⇒ x + 2y + 2z + D ⇒ -3 + 2 – 14 + D = 0 ⇒ Vector : n π = v r = (1,2,2) D = 15 ⇒ x + 2y + 2z + 15 = 0 [2] Calcular el punto C = r ∩ π: (t-1) + 2(2t+3) + 2(2t-1) + 15 = 0 ⇒ 9t = -18 ⇒ t = -2 ⇒ C(-3,-1,-5)  x − 3 y −1 z − 5  [3] C es el punto medio de A y A’: (− 3,−1,−5) =  , ,  ⇒ A’(-3,-3,-3) 2 2   2

MÁS EJERCICIOS Libro, pagina 206 a partir del 31

GEOMETRÍA EN EL ESPACIO ECUACIONES DE RECTAS Y PLANOS

 x − y + z = 1 EJERCICIO 1 : Escribe la ecuación del plano que contiene a la recta r :  y es paralelo a 2x + y − z = 2 x +1 y −1 z + 2 s: = = . 3 2 1 →

Solución: Para hallar la ecuación de un plano, necesitamos un punto y dos vectores: Ps, - Pasamos la recta r a paramétricas para hallar un punto y un vector de r: z = α x = 1 Pr = (1,0,0) x − y + z = 1   1 − 1 1 1  1 − 1 1 1    ≈   ⇒  ⇒ y = α ⇒ y = α ⇒   2 1 − 1 2 0 3 − 3 0 y − z = 0 v r = (0,1,1) x = 1 z = α  

→

v r, v s

→

- Hallamos el vector director de s: v s (3,2,1) x −1 y − 0 z − 0 - Ecuación del plano:

0 3

1 2

1 1

= 0 ⇒ −( x − 1) + 3 y − 3z = 0 ⇒ − x + 3 y − 3z + 1 = 0

x + y = 1 EJERCICIO 2 : Halla la ecuación del plano que contiene a estas rectas: r :  z = 2

x = 1 + λ  s :  y = − 2λ  z = 2 + λ

Solución: Hallamos un vector y un punto de cada recta, para ello pasamos r a paramétricas: x = 1 − α →  Recta r: y = α Pr(1,0,2) v r(-1,1,0) z = 2  →

v s(1,-2,1)

Recta s: Ps(1,0,2)

→

Como no son paralelas tomamos un punto: Pr(1,0,2) y los dos vectores x −1 y z − 2 La ecuación del plano es:

−1 1

1 −2

0 1

→

v r(-1,1,0), v s(1,-2,1)

= 0 ⇒ (x – 1) + y + (z – 2 ) = 0 ⇒ x + y + z – 3 = 0

EJERCICIO 3 : Escribe la ecuación del plano, π, que contiene al punto P (3, 0,-2) y a la recta  x = 3 + 2λ  r : y = 1 − λ .  z = 1 + λ Solución: Necesitamos un punto y dos vectores: P, vr, PPr →

Recta r: Pr(3,1,1)

v r(2,-1,1)

x−3 y z+2 Plano: P(3,0,-2), v r(2,-1,1), PPr (0,1,3) ⇒ 2 −1 1 = 0 ⇒ -4(x-3) - 6y + 2(z + 2) = 0 ⇒ 0 1 3 →

→

-4x – 6y + 2z + 16 = 0 ⇒ 2x + 3y – z – 8 = 0

EJERCICIO 4 : Halla la ecuación del plano, π, que contiene a la recta r :

x−1 y+2 z+1 = = y es 2 3 0

x = 3 − λ  paralelo a s :  y = −1 + 2λ .  z = 3 →

Solución: Necesitamos un punto y dos vectores: Pr(1,-2,-1), x −1 y + 2 z +1

2 −1

3 2

0 0

→

v r(2,3,0), PP r s(-1,2,0)

= 0 ⇒ 7(z+1) = 0 ⇒ z + 1 = 0

3x + y − 4 z + 1 = 0 EJERCICIO 5 : Determina la ecuación del plano que contiene a la recta r :   − 2x − y + z + 1 = 0 ortogonal al plano π: 5x -2y + 4z - 2 = 0. →

→

Solución: Necesitamos un punto y dos vectores: Pr, v r, n π 3 − 4 − 1  1 3 − 4 − 1   1  ≈   ⇒ Pasamos la recta r a paramétricas:   − 1 − 2 1 − 1  0 1 − 3 − 2   x = 3α − 2 →  ⇒  y = 5 − 5α Pr(-2,5,0) v r(3,-5,1) z = α  x+2 y−5 z La ecuación del plano es:

y es

y + 3 x − 4z = −1   x − 3 z = −2

3

−5

1 = 0 ⇒ -18(x+2) -7(y-5)+19z = 0 ⇒ -18x -7y + 19z -1 = 0

5

−2

4

POSICIÓN RELATIVA

 x = 3 − 2λ  x+1 y−1 z+2 EJERCICIO 6 : Dados las rectas: r :  y = 1 + λ ; s : = = ; 3 2 1   z = −1 + λ y el plano π : 2 x − 3 y + 2 = 0 ;

halla la posición relativa entre: a) r y s

b) r y π

Solución: a) Ponemos las dos rectas en paramétricas y resolvemos el sistema: x = 3 − 2λ x = −1 + 3α − 2λ + 3α = −4  1 − 1 − 1  1 − 1 − 1  1 − 1 − 1          r : y = 1 + λ ; s : y = 1 + 2α ⇒ λ − 2α = 0 ⇒  1 − 2 0  ⇒ 0 − 1 1  ⇒ 0 − 1 1   − 2 3 − 4 0 1 − 2  0 0 − 1   λ − α = −1        z = −1 + λ z = −2 + α Rango A = 2 ≠ Rango A’ = 3 ⇒ Sistema Incompatible ⇒ No tiene solución (Paralelas o se cruzan) →

→

Hallamos los vectores directores: v r = (-2, 1, 1), v s = (3, 2, 1) ⇒ Los vectores no son paralelos porque no son proporcionales ⇒ Las rectas no son paralelas, por tanto, SE CRUZAN. b) Como la recta ya está en paramétricas, resolvemos el sistema: 2 (3 - 2λ) – 3.(1 + λ) + 2 = 0 ⇒ 5 – 7λ = 0 ⇒ λ = 5/7 ⇒ Sistema compatible determinado ⇒ Existe una única solución ⇒ SE CORTAN EN UN PUNTO. EJERCICIO 7 : Estudia, según los valores del parámetro a, la posición relativa de las rectas r y s:  x = (a + 2 )λ  x−a y−2 z−a r: = = y s : y = 1 y obtén, si fuese posible, sus puntos de corte. −1 a−1 a3   z = a

Solución: Pasamos las ecuaciones a paramétricas y resolvemos el sistema: x = (a + 2)λ x = a − α a − α = (a + 2)λ a − α = (a + 2 )λ  − 1 − a − 2 − a     3     3 3 r : y = 2 + a α s : y = 1 ⇒ 2 + a α = 1 ⇒ a α = −1 ⇒  a3 0 − 1 a − 1 z = a + (a − 1)α  a + (a − 1)α = a (a − 1)α = 0 0 0   z = a    1 a a  a + 2 a + 2 1     3 3 ⇒ 0 a − 1 ⇒  0 a −1  a ≠ 0  0 a − 1 0  0 − a + 1   0 Igualamos los elementos de la diagonal, por separado a cero: a = -2, a = 0, a = 1 ⇒ Cuatro casos 0 1 − 2   Caso I: a = -2 ⇒  0 − 8 − 1  ⇒ Sistema incompatible ⇒ Paralelas o se cruzan 0 0 3   →

→

v r = (-1, -8,3), v s = (0, 0, 0) s no es una recta sino un punto. 2 

1 0  0 − 1 ⇒ Sistema incompatible ⇒ Paralelas o se cruzan 0 − 1 0   

Caso II: a = 0 ⇒  0 →

→

v r = (-1, 0,-1), v s = (2, 0, 0) No son paralelos ⇒ SE CRUZAN

3 1 1    Caso III: a = 1 ⇒  0 1 − 1 ⇒ Sistema compatible determinado. α = -1 , λ = 2/3 ⇒ SE CORTAN 0 0 0   

EN UN PUNTO (2,1,1) Caso IV: a ∈ R – {0,1,-2} Sistema incompatible ⇒ Paralelas o se cruzan: →

→

v r(-1,a3,a-1) v s(a+2,0,0)

−1 a3 a −1 = = ⇒ (a-1)(a+2)= 0 a+2 0 0

a = 1 No puede ser a = −2

⇒ 

⇒ SE

CRUZAN SOLUCIÓN Si a = -2. s no es una recta sino un punto Si a = 1: Se cortan en el punto (2,1,1) Si a ∈ R – {1,-2}Se cruzan 2 x + z = a EJERCICIO 8 : Calcula el valor de a para que las rectas: r :  y = 1 se corten en un punto, y halla el punto de corte.

y

 − x + 2 y + 2z = 5 s:  x + y = a

Solución: Pasamos la rectas a paramétricas  x = a − β x = α α + β = a    r ≡ y = 1 s ≡ y = β β = 1 z = a − 2α  4α − 3β = a − 5 5 + a − 3 β   z = 2  a  1 1 a a 1 1  1 1        0 1 1 ≈ 0 1 1 ≈ 0 1 1        4 − 3 a − 5   0 − 7 − 3a − 5   0 0 − 3a + 2        Igualamos, por separado, los elementos de la diagonal a cero: -3a + 2= 0 ⇒ a = 2/3 ⇒ Dos casos

 1 1 2 / 3   Caso I : Si a = 2/3 ⇒  0 1 1  Sistema compatible determinado. Existe una única solución ⇒ 0 0 0   β = 1, α = -1/3 ⇒ SE CORTAN EN UN PUNTO P(-1/3,1,4/3)  1 1 a   Caso II : Si a ≠ 2/3 ⇒  0 1 1  ⇒ Sistema Incompatible ⇒ Paralelas o se cruzan 0 0 *     x = 1 − 3λ  EJERCICIO 9 : Estudia la posición relativa de estas rectas: r :  y = 2λ   z = −1 + 4 λ

s:

x+1 y−2 z = = 3 1 4

Solución: Pasamos las rectas a paramétricas y resolvemos el sistema:  x = 1 − 3λ x = −1 + 3α  − 3 − 3 − 2  − 3 − 3 − 2       r : y = 2λ s :y = 2 + α ⇒  2 − 1 2  ≈  0 − 9 2  ⇒ Sistema Incompatible. No existe  4 −4 1   0   0 − 5     z = −1 + 4λ z = 4α solución ⇒ Paralelas o se cruzan →

Hallamos los vectores directores:

→

v r (-3,2,4) v vs(3,1.4) No son paralelos ⇒ SE CRUZAN

EJERCICIO 10 a) Calcula el valor de m para que las siguientes rectas sean coplanarias: x = 3 − λ  x −1 y z +2 r : y = m + λ ¨s : = = 1 −1 3  z = 2 + 2λ b) ¿Cuál será la posición relativa de r y s para ese valor de m? Solución: a) Para que sean coplanarias no se deben cruzar. Estudiamos su posición relativa (pasamos s a paramétricas y resolvemos el sistema) x = 3 − λ x = 1 + α − 2  − 1 − 1 −2  − 1 − 1 − 2  − 1 − 1         r : y = m + λ ¨ s :  y = −α ⇒  1 1 − m ≈  0 0 − m − 2 ≈  0 − 5 −8   2 −3 −4  0 −5   − 8   0 0 − m − 2     z = 2 + 2λ  z = −2 + 3 α Igualamos, por separado, los elementos de la diagonal a cero: -m – 2 = 0 ⇒ m = -2 Caso I : m = -2 ⇒ Sistema compatible determinado. Existe una solución. Se cortan en un punto. Caso II : m ≠ -2 ⇒ Sistema incompatible ⇒ Paralelas o se cruzan. →

→

Hallamos los vectores directores: v r (-1,1,2) v s (1,-1,3) No paralelos ⇒ Se cruzan Por tanto: m = -2 b) Para m = -2 ⇒ Las rectas se cortan en un punto ⇒ SECANTES EJERCICIO 11 a) Halla los valores de m y n para que los siguientes planos sean paralelos: π1: 2x - y + z - 5 = 0 y π2: mx + ny + 2z + 3 = 0 b) Obtén la ecuación de un plano paralelo a π1 que pase por el punto A(3, -2, 1). Solución: m

n

2

a) Si π1 y π2 han de ser paralelos, se tiene que: = = → m = 4, n = −2 2 −1 1 b) El plano buscado ha de ser de la forma: 2x - y + z + D = 0 Si contiene al punto A, debe verificarse: 2 · 3 –(–2) + 1 + D = 0 ⇒ D = - 9 ⇒ 2x –y + z – 9 = 0

EJERCICIO 12 : Determina, en función de a, la posición relativa de los siguientes planos: (a − 2)x + y − z = −1  − ax + (2a − 1)y + (− a + 2 )z = a  − x + ay + z = a  Solución: Estudiamos la posición relativa resolviendo el sistema (por determinantes) a−2 1 −1 − a 2a − 1 − a + 2 = a3 − a2 − a + 1 = (a − 1)2 · (a + 1) = 0 ⇒ a = 1, a = -1 ⇒ 3 casos −1

a

1

− x + y − z = 1 o o  CASO I: a = 1: − x + y + z = 1 Tenemos dos planos coincidentes (2 y 3 ) o − x + y + z = 1 y el otro (1 ) los corta.  − 3 1 − 1 − 1 a   ( 2 ) + 3 ⋅ (1a ) CASO II: a = -1:  1 − 3 3 − 1 → a a  − 1 − 1 1 − 1 (3 ) + (1 )  

 − 3 1 − 1 − 1  − 3 1 − 1 − 1      − 8 0 0 − 4  →  − 2 0 0 − 1  − 4 0 0 − 2  0 0 0 0    

Los tres planos se cortan en una recta. CASO III: a ≠ 1 y a ≠ -1: |A| ≠ 0 ⇒ los tres planos se cortan en un punto. EJERCICIO 13 : Dados los planos: π: 4x + my + mz = 6 y σ: mx + y + z + 3 = 0 estudia su posición relativa según los valores de m.

Solución: Las ecuaciones de los planos son:

4 x + my + mz = 6   mx + y + z = −3 

- Los coeficientes de las incognitas son proporcionales si m = 2. 4 x + 2 y + 2z = 6   2 x + y + z = −3  En tal caso, las ecuaciones son: Los planos son paralelos, pues sus términos independientes no siguen la misma relación de proporcionalidad que los coeficientes de las incógnitas. - Si m ≠ 2, los planos se cortan en una recta, pues el sistema es compatible indeterminado de rango 2. EJERCICIO 14 : Halla la posición relativa de los siguientes planos según el valor del parámetro a:  x = 3 − λ + 2µ  π2: 4x + ay - 2z = 5 π1 :  y = λ − µ  z = 1 + 2µ 

Solución: x−3

π1, expresado de forma implícita, es: − 1 2

Así, tenemos el sistema:

y 1 −1

z −1 0 = 0 ⇒ 2x + 2y - z = 5 2

2x + 2y − z = 5  4 x + ay − 2z = 5

- Los coeficientes de las incógnitas son proporcionales si a = 4. En tal caso, los planos son paralelos, pues sus términos independientes no siguen la misma relación de proporcionalidad que los coeficientes de las incógnitas. - Si a ≠ 4, los planos se cortan en una recta, pues el sistema es compatible indeterminado de rango 2.

ÁNGULOS

EJERCICIO 15 :

 x = −1 + λ 3x − 2 y − z = 0  Dados las rectas r :  y = 3 − 3λ , s :  y el plano π : 4 x + y + z − 3 = 0;  4 x + y + 3z − 1 = 0   z = 1 + 2λ calcula el ángulo que forman: a) r y s b) s y π Solución:

i j k a) Hallamos el vector director de s: 3 − 2 − 1 = ( −5,−13,11) 4 1 3 a) cos α =

vr · v s vr · v s

=

(1,−3,2).( −5,−13,11)

− 5 + 39 + 22

1 + 9 + 4 . 25 + 169 + 121

r v s · nπ b) senα = r = v s · nπ

14 · 315

− 20 − 13 + 11

| ( −5,−13,11).( 4,1,1) 25 + 169 + 121 16 + 1 + 1

56

=

315 · 18

4 410

=

≈ 0,843

22 5 670

→

≈ 0,292

α = 32 o 30 ' 45 ' '

→ α = 16o 59 ' 16 ' '

EJERCICIO 16 : Considera los planos π: 2x + ay + 4z - 1 = 0 y σ: ax + 2y + 4z - 3 = 0. a) Calcula el ángulo que forman π y σ cuando a = 1. b) Halla a para que π y σ sean paralelos. c) Determina el valor de a para que σ y σ sean perpendiculares. Solución:

r r r r n · n2 Un vector normal a π es n1(2, 1, 4 ). Un vector normal a σ es n2 (1, 2, 4 ). r n1 · n2 r r n ·n 2 + 2 + 16 20 cos α = r 1 r2 = = ≈ 0,952 → α = 17o 45 ' 10 ' ' n1 · n2 21 · 21 21

a) cos α = r 1

b) Sus vectores normales han de ser proporcionales:

2 a 4 = = a 2 4

→

a=2

c) Sus vectores normales han de ser perpendiculares: (2,a,4)·(a,2,4) = 2a + 2a + 16 = 4a + 16 = 0 ⇒ a = -4

  x = 3 − 2λ 2x − 3 y + z − 2 = 0  EJERCICIO 17 : Dados las rectas r :  y s :  y = −1 + λ y el punto P (1, 0, − 5 ) ;  − 3x + 2 y + 2z + 1 = 0   z = − 2 + 2λ  calcula el ángulo que forma la recta r con el plano, π, perpendicular a s que pasa por P. r r d·n r d · n

Solución: sen (α ) = r

r

r

- Un vector dirección de r es: dr = (2, − 3, 1) × (− 3, 2, 2) = (− 8, − 7, − 5 ) // (8, 7, 5) = d r

- Un vector normal al plano π es: n = ds = (− 2, 1, 2) r

r r d·n − 16 + 7 + 10 1 sen (α ) = r = ≈ 0,028 r = 138 · 9 3 138 d · n

→ α = 1o 37 ' 34 ' '

DISTANCIAS

x−2 y+1 z EJERCICIO 18 : Calcula la distancia entre las rectas: r : = = 1 3 −2

y

x = 1 + λ  s :  y = 2λ   z = −1 + λ

Solución: dist (r, s ) =

| [ v r , v s , Pr Ps ] | | vr × vs | Buscamos un punto y un vector dirección de cada recta: →

Recta r: Punto: Pr (2,-1,0)

Vector:

v r (1,3,-2) →

Vector: v s (1,2,1) 1 3 −2

Recta s: Punto: Ps (1,0,-1)

[

]

PrPs (− 1, 1, − 1) ⇒ v r , v s , Pr Ps =

1 = −9 −1

1 2 −1 1

i j k vr x vs = 1 3 − 2 = 7i − 3 j − k = (7,−3,−1) 1 2 1 dist (r, s) =

| −9 |

| [ v r , v s , Pr Ps ] | = | vr × v s |

49 + 9 + 1

9

=

59

≈ 1,17u

x+1 y−2 z+1 EJERCICIO 19 : Calcula la distancia entre las rectas: r : = = 3 4 0 Solución: dist (r, s ) =

y

 x = −5 + λ  s : y = 2 − λ   z = 3 + 4λ

| [ PrPs, vr , v s ]| | vr × v s |

- En la recta r: Pr (− 1, 2, − 1); vr (3, 4, 0 )

- En la recta s: Ps (− 5, 2, 3 ); v s (1, − 1, 4 ) - PrPs (− 4, 0, 4 ) ⇒ PrPs, vr , v s  =  

−4 3 1

0 4

4 0 = −92

−1 4

- vr × v s = (3, 4, 0) × (1, − 1, 4 ) = (16, − 12, − 7) = 162 + (− 12)2 + (− 7)2 = 449 Por tanto: dist (r, s ) =

92 449

≈ 4,34

x = 2 + λ  EJERCICIO 20 : Dados el punto P (2, 0, − 3 ), la recta r :  y = −3 + λ y el plano π : x + 2 y + 2z − 1 = 0 ,   z = 2 − 2λ calcula la distancia entre: a) P y π b) P y r Solución: a) dist (P, π) =

2 + 0 − 6 −1 1+ 4 + 4

=

5 ≈ 1,67 3

P Pxv r b) dist (P,r) = r vr

- Hallamos un punto y un vector dirección de la recta r : Pr (2, − 3, 2); v r (1, 1, − 2)

- PrP × vr = (0, 3, − 5) × (1, 1, − 2) = (− 1, − 5, − 3 ) = 1 + 25 + 9 = 35 - vr = (1, 1, − 2) = 1 + 1 + 4 = 6 ⇒ Por tanto: dist (P, r ) =

36 6

≈ 2,42

 x − 2 y − z + 5 = 0 EJERCICIO 21 : Calcula la distancia del punto P (3, 1, − 2 ) a la recta r :  . 2x + 3 y + z + 1 = 0 PrPxv r vr

Solución: dist (P,r) =

- Hallamos un punto y un vector de r (pasamos la recta a paramétricas:  −6−α  y = α x =  3   1 − 2 −1 − 5  1 − 2 −1 − 5 9 − 7α    ≈   ⇒ z = ⇒ y = α 1 − 1  0 7 3 9  3 2 3   9 − 7α  z = −6−α x =  3   3 

Punto (-2,0,3) Vector (-1/3,1,-7/3)||(-1,3,-7)

PrP × dv r = (5, 1, − 5) × (− 1, 3, − 7 ) = (8, 40, 16 ) = 1 920 1 920

Por tanto: dist (P, r ) =

59

dv r = (− 1, 3, − 7 ) = 59

≈ 5,70

 x = −1 + λ  EJERCICIO 22 : Halla la distancia de la recta r :  y = 2 − 2λ al plano π : 2x + y = 4.  z = 3 − λ Solución: d(r,π) = d(Pr,π) Pr (-1,2,3) π: 2x + y – 4 = 0 d(r,π) = d(Pr, π) =

2.( −1) + 2 − 4 4 + 1+ 0

=

4 5

≈ 1,79 u

LUGARES GEOMÉTRICOS EJERCICIO 23 : Halla el lugar geométrico de los puntos, P, tales que la distancia de P a A sea igual al triple de la distancia de P a B, siendo A (1, 0, 0) y B (1, 0, 0). Solución: Si P(x, y, z) es un punto del lugar geométrico, tenemos que: dist (P, A) = 3 dist (P, B), es decir:

(x + 1)2 + y 2 + z 2

=3

(x − 1)2 + y 2 + z 2

⇒ (x + 1)2 + y2 + z2 = 9 [(x - 1) 2 + y2 + z2] x2 + 2x + 1 + y2 + z2 = 9 [x2 - 2x + 1 + y2 + z2] ⇒ 8x2 + 8y2 + 8z2 - 20x + 8 = 0 EJERCICIO 24 : Obtén el lugar geométrico de los puntos que equidistan de los planos π: 3x - 2y + 4z - 1 = 0 y σ: 4x + 2y - 3z + 2 = 0. Solución: Si P (x, y, z) es un punto del lugar geométrico, tenemos que: dist (P, π)
dist (P, →), es decir: | 3 x − 2y + 4z − 1 | 29

=

| 4x + 2y − 3z + 2 | 29

⇒ |3x - 2y + 4z - 1| = |4x + 2y - 3z + 2| ⇒

3 x − 2y + 4z − 1 = 4 x + 2y − 3z + 2 → x + 4 y − 7z + 3 = 0 →  3 x − 2y + 4z − 1 = −4 x − 2y + 3z − 2 → 7 x + z + 1 = 0

EJERCICIO 25 : Dados los puntos A (-1, 0) y B (1, 0), halla el lugar geométrico de los puntos, P, del plano tales que el cociente de distancias:

dist (P, A ) sea igual a 1. Identifica la figura resultante. dist (P, B)

Solución: Si P (x, y) es un punto del lugar geométrico, tenemos que: dist (P, A ) =1 dist (P, B )

→

dist (P, A ) = dist (P, B ) ⇒

(x + 1)2 + y2

=

(x − 1)2 + y2

→

(x + 1)2 + y2 = (x − 1)2 + y2

x2 + 2x + 1 + y2 = x2 - 2x + 1 + y2 ⇒ 4x = 0 ⇒ x = 0 ⇒ Es la ecuación del eje Y, que en este caso es la mediatriz del segmento AB.

EJERCICIO 26 : Halla el lugar geométrico de los puntos del espacio que equidistan de A (2, 1, -5) y B (6, 0, 3). ¿Qué figura obtienes? Solución: Si P (x, y, z) es un punto del lugar geométrico, tenemos que: dist (P, A) = dist (P, B)

(x − 2)2 + (y − 1)2 + (z + 5 )2

=

(x − 6 )2 + y 2 + (z − 3 )2

x2 - 4x + 4 + y2 - 2y + 1 + z2 + 10z + 25 = x2 - 12x + 36 + y2 + z2 - 6z + 9 ⇒ 8x - 2y + 16z - 15 = 0 Es el plano mediador del segmento AB (es perpendicular a AB y pasa por el punto medio de AB).

REPASO EJERCICIO 27 : Halla la posición relativa de las siguientes rectas y escribe la ecuación del plano que  x = − 1 + 2λ  x+1 y−1 z las contiene: r :  y = 3λ s: = = −2 4 6  z = 2 − λ Solución: - Posición relativa de las rectas : Pasamos las rectas a paramétricas y resolvemos el sistema: x = −1 + 2λ x = −1 + 4α 2λ − 4α = 0  1 −2 0   1 − 1 − 1        r :  y = 3λ ; s : y = 1 + 6α ⇒ 3λ − 6α = 1 ⇒  − 1 − 2 − 2  ⇒  0 − 4 − 2   3 −6 1  0 0   − λ + 2α = −2 1      z = 2 − λ z = −2α Rango A = 2 ≠ Rango A* = 3 ⇒ Sistema Incompatible. No existe solución: Paralelas o se cruzan. →

→

Hallamos los vectores directores: v r = (2, 3, -1), proporcionales ⇒ Las rectas son PARALELAS

v s = (4, 6, -2) ⇒ Los vectores son paralelos porque son

- Ecuación del plano que las contiene : Necesitamos un punto y dos vectores: Pr, vr, PrPs Recta r: Pr (-1,0,2) Recta s: Ps(-1,1,0) vr = (2,3,-1) PrPs = (0,1,-2) Ecuación del plano: x +1 y −0 z − 2

2 0

3 1

− 1 = 0 ⇒ −5( x + 1) + 4 y + 2( z − 2) = 0 ⇒ −5 x + 4 y + 2z − 9 = 0 −2

EJERCICIO 28 a) Escribe la ecuación del plano, π, perpendicular a la recta r :

x −2 y +1 z −1 = = , que −2 2 1

pase por P (1, 2, -1). b) Calcula la distancia del punto P a la recta r. Solución: r a) Un vector normal al plano será el vector dirección de la recta r : v r = n π = (2, − 2, 1) La ecuación del plano será: 2x – 2y + z + D = 0 Sustituimos el punto P(1,2,-1) y obtenemos D: 2 - 4 – 1 + D = 0 ⇒ D = 3 Solución: π: 2x - 2y + z + 3 = 0 PPr xv r b) d(P,r) = vr Hallamos un punto y un vector de r: Pr(2,-1,1) vr(2,-2,1) Hallamos PPr = (1,-3,2) i j k PPr xv r = PPr x vr = 1 − 3 2 = i + 3 j + 4k = (1,3,4) ⇒ d(P,r) = vr 2 −2 1

1 + 9 + 16 4 + 4 +1

=

26 ≈ 1,7u 3

EJERCICIO 29 a) Calcula el valor de m para que los puntos P(1, 2, -1), Q(0, -1, 2), R(3, 1, -1) y S(m, 2, 1) sean coplanarios, y escribe la ecuación del plano que los contiene. b) Obtén un punto simétrico de A(1, -1, 1) respecto del plano anterior. Solución: a) Escribimos la ecuación del plano, π, que contiene a los puntos P(1, 2, -1), Q(0, -1, 2) y R(3, 1, -1): x −1 y − 2 z +1 P(1,2,-1), PQ(− 1, − 3, 3 ) , PR(2, − 1, 0 ) ⇒

−1 2

−3 −1

3 0

= 0 ⇒ 3(x – 1) + 6(y – 2) + 7(z + 1) = 0

3x + 6y + 7z – 8 = 0 −11 3  x = 1 + 3λ  b) (1) Obtenemos la recta, r, que pasa por A y es perpendicular a π: r : y = −1 + 6λ  z = 1 + 7λ (2) Buscamos el punto, B, de intersección de r y π: 3(1 + 3λ) + 6(-1 + 6λ) + 7(1 + 7λ) - 8 = 0 4 2  53 − 35 61  94λ = 4 → λ = = → B , ,  94 47  47 47 47  (3) Si A'(x, y, z) es el simétrico de A respecto de A´, B es el punto  x + 1 y − 1 z + 1   53 − 35 61  , , medio de AA':  ,  = , 2 2   47 47 47   2

Hallamos el valor de m para que S(m, 2, 1) ∈ π : 3m + 12 + 7 – 8 = 0 ⇒ m =

x + 1 53 = 2 47

    y − 1 − 35 − 23  = → y=  2 47 47    z + 1 61 75 = → z=  2 47 47  →

x=

59 47

 59 − 23 75  → A'  , ,   47 47 47 

EJERCICIO 30 : Halla la ecuación de la perpendicular común a las rectas:  x = −1 + λ  x +1 y −2 z −3 r: = = y s :  y = −2 + λ 1 2 −1  z = 3 + λ Solución: • Un punto genérico de r es R(-1 + µ, 2 + 2µ, 3 - µ). • Un punto genérico de s es S(1 + λ, -2 + λ, 3 + λ).

Un vector genérico de origen en r y extremo en s es: RS(λ − µ, λ − 2µ − 4, λ + µ ) Este vector debe ser perpendicular a r y a s: 4 r λ= RS · d r = RS · (1, 2, − 1) = 0 → 2λ − 6µ − 8 = 0 7   r RS · d s = RS · (1, 1, 1) = 0 → 3λ − 2µ − 4 = 0  µ = − 8 7  − 15 − 2 29   − 3 − 10 25  Así : R  , , , ,   ; S 7 7  7 7   7  7  12 − 8 − 4  RS  , ,  // (3, − 2, − 1) 7   7 7

 x =    Por tanto, las ecuaciones de la perpendicular común son: P : y =    z = 

− 15 + 3λ 7 −2 − 2λ 7 29 −λ 7

EJERCICIO 31 : Averigua las coordenadas del punto simétrico de P(3, 4, -1) respecto de la recta 3 x + y − z = 3 r : ; y calcula la distancia de P a r .  x − 2 y + z = 0 Solución: (1) Hallamos la ecuación del plano que pasa por P y es perpendicular a r: i j k

1 − 1 = ( −1,−4,−7) || (1,4,7) ⇒ x + 4y + 7z + D = 0 ⇒ 3 + 16 – 7 + D = 0 ⇒ D = -12 1 −2 1

nπ = vr = 3

π : x + 4y + 7z – 12 = 0 (2) Resolvemos el sistema entre la recta y el plano (Para ello pasamos la recta a paramétricas: 6+α   x = 7 z = α    1 − 2 1 0  1 − 2 1 0 3 + 4α 3 + 4α     ≈   ⇒ y = ⇒ y = 7 7 3 1 − 1 3 0 7 − 4 3        6 + 8α 6+α z = α −α = x =  7 7 

6 + α 12 + 16α + + 7α − 12 = 0 ⇒ 6 + α + 12 + 16α + 49α - 84 = 0 ⇒ α = 66/66=1 7 7 Q(1,1,1) (3) Si llamamos P ' (x, y, z) al simétrico de P, entonces Q es el punto medio de PP ': x +3  = 1 → x = −1  2   y +4  = 1 → y = −2 P ' (− 1, − 2, 3 ) 2    z −1 =1 → z = 3  2  • La distancia de P a r es igual a la distancia de P a Q: dist (P, r ) = dist (P, Q ) = PQ = (− 2, − 3, 2) = 4 + 9 + 4 = 17 ≈ 4,12

EJERCICIO 32 :

a) Halla la ecuación del plano que contiene a la recta r :

x−1 y+2 z = y es perpendicular al plano = 3 −1 1

π: 2x + y + z - 2 = 0. b) Calcula el ángulo que forman la recta r y el plano π.

Solución: a) Necesitamos un punto y dos vectores: Pr(1,-2,0), vr(3,-1,1), nπ(2,1,1) x −1 y + 2 z

3

−1

2

1

1 = 0 ⇒ -2(x – 1) – (y + 2) + 5z = 0 ⇒ -2x – y + 5z = 0 1

b) sen (α ) =

r vr · nπ = r vr · nπ

(3,−1,1).(2,1,1)

6 − 1+ 1

9 + 1 + 1 4 + 1 + 1 11 ·

6

=

6 66

→ α = 47o 36 ' 29 ' '

EJERCICIO 33 : Determina la posición relativa de las rectas r y s, y calcula la mínima distancia  x = 2 + 2λ  x−6 y+2 z+1 entre ellas: r :  y = 3 s: = = 1 0 3   z = − 1 + 6λ Solución: a) Posición relativa: Pasamos las rectas a paramétricas y resolvemos el sistema: x = 2 + 2λ  r : y = 3  z = −1 + 6λ

x = 6 + α 2 −1 4     s : y = −2 ⇒ 0 0 − 5 6 − 3 0     z = −1 + 3α →

Hallamos los vectores directores:

⇒ Sistema Incompatible (Paralelas o se cruzan)

→

v r(2,0,6) , v s(1,0,3) ⇒ Proporcionales ⇒ Son paralelas.

b) Como son paralelas d(r,s) = d(Pr,s) =

PrPs xv s vs

→

Pr(2,3,-1), Ps(6,-2,-1), d(r,s) =

PrPs × v s vs

=

v s(1,0,3) ⇒ PrPs = (4,-5,0)

| ( 4, − 5, 0) × (1, 0, 3 ) | | ( −15, − 12, 5 ) | = = | (1, 0, 3) | 10

394 10

≈ 6,28

EJERCICIO 34 : El plano π: 2x + y + 4z + 8 = 0 corta a los ejes coordenados en tres puntos; A, B y C. Halla el área del triángulo con vértices en esos tres puntos. Solución: Obtenemos los puntos de corte del plano π con los ejes coordenados: - Con el eje X : y = z = 0 ⇒ x = -4 ⇒ Punto A (-4, 0, 0) - Con el eje Y : x = z = 0 ⇒ y = -8 ⇒ Punto B (0, -8, 0) - Con el eje Z : x = y = 0 ⇒ z = -2 ⇒ Punto C (0, 0, -2)

AB (4, − 8, 0 ); AC (4, 0, − 2)

Área =

1 1 (16, 8, 32 ) = 1 16 2 + 8 2 + 32 2 = 1 1 344 ≈ 18,33 u 2 AB × AC = 2 2 2 2

EJERCICIO 35 : a) Escribe la ecuación del plano, π, que pasa por los puntos P (2, 1, -1), Q (1, 0, 3) y R (-3, 1, 1). b) Calcula el área del triángulo cuyos vértices son los puntos de corte del plano π con los ejes coordenados. Solución: a) Necesitamos un punto P(2,1,-1) y dos vectores PQ(-1,-1,4), PR(-5,0,2) x − 2 y −1 z +1 −1 −1 4 = 0 ⇒ −2( x − 2) − 18( y − 1) − 5( z + 1) = 0 ⇒ −2 x − 18 y − 5 z + 17 = 0 −5

0

2

b) Hallamos los puntos de corte de
con los ejes coordenados: 17  17  − Con el eje X → y = z = 0 → x = → Punto A  , 0, 0  2  2  − Con el eje Y

→ x =z=0 → y =

− Con el eje Z → x = y = 0 → z = 17   17 17   17 AB  − , , 0  ; AC  − , 0,  5   2 18   2

17  17  → Punto B  0, , 0 18  18  17 5

17   → Punto C  0, 0,  5  

Área =

1 1  289 289 289  AB × AC = , ,   ≈ 15,08 u 2 2 2  90 10 36 

EJERCICIO 36 : Halla el punto simétrico de P (− 2, 1, 5 ) respecto a la recta r :

x−2 y+3 z−1 = . = 1 1 −2

Solución: [1] Hallamos la ecuación del plano, π, que pasa por P y es perpendicular a r : x – 2y + z + D = 0 ⇒ -2 -2 + 5 + D = 0 ⇒ D = -1 ⇒ x – 2y + z – 1 = 0 [2] Hallamos el punto, Q, de intersección de r y π:  x = 2 + λ   r : y = −3 − 2λ  z = 1 + λ 

(2 + λ ) − 2 (− 3 − 2λ ) + (1 + λ ) − 1 = 0 2 + λ + 6 + 4λ + 1 + λ − 1 = 0 6λ + 8 = 0

→

λ=

 2 −1 −1  ,  3 3 3 

⇒ Q ,

−8 −4 = 6 3

[3] El punto Q es el punto medio de PP', siendo P' el simétrico de P respecto a r : Si P' (x, y, z): x −2 2 10  = → x=  2 3 3    y +1 −1 − 5   10 − 5 − 17  ,  = → y=  P'  , 3  2 3 3   3 3   z + 5 −1 − 17  = → z=  2 3 3  EJERCICIO 37 : Determina la posición relativa de las rectas: x = 2 − λ  x+2 y−1 z−1 r :  y = 3 + 2λ y s : = = ; y halla la ecuación de la perpendicular común. 3 1 2   z = −1 + λ Solución: - Pasamos las rectas a paramétricas y resolvemos el sistema: x = 2 − λ  r :  y = 3 + 2λ  z = −1 + λ

y

x = −2 + 3α -1 - 3 - 4 -1 - 3 - 4  -1 - 3 - 4         s : y = 1 + α ⇒  2 - 1 - 2  ≈  0 - 7 - 10  ≈  0 - 7 - 10   1 - 2 2   0 - 5 - 2   0 0 36   z = 1 + 2α       

Rango A = 2 ≠ Rango A = 3 ⇒ Sistema incompatible ⇒ Se cruzan o son paralelas *

→

→

Hallamos los vectores directores: v r (-1,2,1) v s(3,1,2) ⇒ No son proporcionales ⇒ SE CRUZAN - Perpendicular común: Un punto genérico de r es Pr(2 - λ, 3 + 2λ,-1 + λ). Un punto genérico de s es Ps (-2 + 3α, 1 + α, 1 + 2α) El vector PrPs = (-4 + 3α + λ, -2 + α - 2λ, 2 + 2α - λ) es perpendicular a vr y a vs : r RS · d r = 0 → − 6λ + µ + 2 = 0

 38 62  ; µ= λ= r 83 83 RS · ds = 0 → − λ + 14µ − 10 = 0  128 325 −45   20 145 207   −108 −180 252  Así : Pr  , , , , , ,  ; Ps   ⇒ PrPs   // (3, 5, − 7 ) 83  83  83 83  83  83  83 83  83

128  x = 83 + 3λ   325  + 5λ Por tanto, las ecuaciones de la perpendicular común son: p : y = 83    − 45 − 7λ z = 83 

EJERCICIO 38 : Obtén el punto simétrico de P (2, -1, 3) respecto al plano π: 3x + 2y + z - 5 = 0. Solución: [1] Hallamos la ecuación de la recta, r, que pasa por P y es  x = 2 + 3λ  perpendicular a π: r : y = −1 + 2λ  z = 3 + λ

[2] Obtenemos el punto, Q, de intersección de r y π: 3 (2 + 3λ) + 2(-1 + λ) + (3 + λ) – 5 = 0 ⇒ 6 + 9λ − 2 + 4λ + 3 + λ − 5 = 0

→

14λ + 2 = 0

→

λ=−

1 ⇒ 7

9 20   11 Q , − ,  7 7 7  

[3] Si llamamos P ' al simétrico de P respecto de π, Q es el punto medio de PP':P' (x, y, z) 8  x + 2 11 = → x= 2 7 7    y −1 9 11  8 11 19  =− → y = −  P' , − ,  2 7 7  7 7 7   z + 3 20 19  = → z=  2 7 7  EJERCICIO 39 : Dados el punto P (3, 1, -1) y el plano π: 3x - y - z = 2, calcula: a) La ecuación de la recta que pasa por P y es perpendicular a π. b) El punto simétrico de P respecto a π. c) Ecuación del plano que pasa por P y es paralelo a π. Solución:  x = 3 + 3λ  a) r : y = 1 − λ z = −1 − λ  b) [1] Apartado a) [2] Hallamos el punto, Q, de intersección de r y π: 3 (3 + 3λ) - (1 - λ) -(-1 - λ) = 2 ⇒ 9 + 9λ - 1 + λ + 1 + λ = 2 ⇒ 11λ = −7

→

λ=−

7  12 18 −4  ⇒ Q , ,  11  11 11 11 

[3] Si P' (x, y, z) es el simétrico de P respecto a
, Q es el punto medio de PP':

x + 3 12 9 = → x=−  2 11 11   25   − 9 25 3  y + 1 18 = → y= , ,   P'  2 11 11   11 11 11   3  z −1 − 4 = → z=  2 11 11  c) Un plano paralelo a π es de la forma 3x – y – z + D = 0 Como pasa por P(3, 1, -1) ⇒ 9 – 1 + 1 + D = 0 ⇒ D = -9 ⇒ 3x – y – z – 9 = 0

 x − az = 2 EJERCICIO 40 : Dadas las rectas: r :   y − z = −3

y

s:

x−1 y+1 z = = , 2 b 1

calcula a y b para que sean ortogonales y coplanarias.

Solución:  x = 2 + aλ  Escribimos la recta r en paramétricas: r : y = −3 + λ  z = λ - Para que sean ortogonales, ha de ser: vr · v s = 0

- Para que sean coplanarias: PrPs, vr , v s  = 0  

Pr (2, − 3, 0 ) ; dvr (a, 1, 1) Ps (1, − 1, 0 ); dv s (2, b, 1) →

2a + b + 1 = 0

−1 2 0 a 1 1 = −2a + b + 3 = 0

→

2

b 1

1  a= 2 Uniendo las dos condiciones anteriores, tenemos que:  − 2a + b + 3 = 0 b = −2 2a + b + 1 = 0

EJERCICIO 41 : Un cuadrado tiene uno de sus lados sobre la recta x = 1 + λ x−2 y+1 z  Calcula el área del cuadrado. r :  y = − 2λ y otro sobre s : = = 2 −4 −2 z = 3 − λ  Solución:

vr = (1, − 2, − 1) // v s = (2, − 4, − 2). Por tanto las dos rectas son paralelas.

El lado del cuadrado es la distancia entre r y s. dist (r, s ) = dist (Pr , s ) =

Por tanto, Área =

PrPs × dv s

( 5)

vs 2

=5u

=

(− 10, − 4, − 2) 4 + 16 + 4

=

120 24

= 5=

lado del cuadrado

2

EJERCICIO 42 : Halla la ecuación de la recta s que pasa por P(2, 0, 1) y corta perpendicularmente a la recta r :

x−2 y−1 z = . = −1 2 2

Solución: [1] Hallamos el plano, π, perpendicular a r que pasa por P: 2x – y + 2z + D = 0 ⇒ 4 + 2 + D = 0 ⇒ D = -6 2x – y + 2z – 6 = 0 [2] Hallamos el punto Q de intersección entre r y π: 2(2α + 2) – (-α+1) + 2(2α) – 6 = 0 ⇒ 9α - 3 = 0 ⇒ 2 3

α = 1/3 ⇒ Q (  + 2,−

1 2 8 2 2 + 1,  =  , ,  3 3 3 3 3

Punto : P(2,0,1)  [3] La recta pedida pasa por P y Q ⇒  2 2   2 2 1 8 Vector : v = PQ =  3 − 2, 3 − 0, 3 − 1 =  3 , 3 ,− 3  || (2,2,−1)      x = 2 + 2λ  Así: s : y = + 2λ z = 1 − λ 

EJERCICIO 43 : Determina la ecuación de un plano π paralelo al plano de ecuación 2x - y + z + 4 = 0 y que dista 10 unidades del punto P(2, 0, 1). Solución: Un plano paralelo a 2x - y + z + 4 = 0 es de la forma: π: 2x – y + z + D = 0 Tenemos que hallar D para que la distancia a P sea 10 u: dist (P, π) =

2 · 2 + 1+ D 4 + 1+ 1

= 10

5 + D = 10 6 → D = 10 6 − 5  5 + D = 10 6  − 5 − D = 10 6 → D = −5 − 10 6 

Hay dos planos:

2x − y + z + 10 6 − 5 = 0 2x − y + z − 10 6 − 5 = 0 EJERCICIO 44 : Halla la ecuación de la proyección ortogonal, r ' , de la recta r :

x−1 y z+2 = = 2 −1 1

sobre el plano π: x - y + z + 2 = 0. Solución: [1] Hallamos el puntode corte de la recta r y el plano π: (2α + 1) – (-α) + (α - 2) + 2 = 0 ⇒ 4α + 1 = 0 α = -1/4 ⇒ P1(1/2, 1/4, -9/4) [2] Hallamos otro punto cualquiera de r: α = 0 Pr(1,0,-2) x = 1 + λ 

[3] Calculamos la recta perpendicular a π que pase por r: s y = −λ

z = −2 + λ 

[4] Hallamos el punto P2 de intersección entre la recta s y el plano π (1 + λ) – (-λ) + (-2 + λ) + 2 = 0 ⇒ 3λ + 1 = 0 ⇒ λ = -1/3 ⇒ P2(2/3,1/3,-7/3) 1  x = 2 + 2λ  1 1 9  Punto : P1 , ,−  1  2 4 4  [5] La recta pedida es la que pasa por P1 y P2 ⇒ r’ :  ⇒ r’: y = + λ 4 Vector : P P  1 , 1 ,− 1  || (2,1,−1)  12   9 6 12 12    z = − − λ 4 