I.E.S. Tierra de Ciudad Rodrigo Departamento de Matemáticas

TEMA 6. ECUACIONES DE LA RECTA

Dados un punto y un vector , vamos a hallar las ecuaciones de la recta r que pasa por el punto A y es paralela al vector . Sea

un punto cualquiera de la recta r. Si

consideramos los vectores

se cumple que

. Como además los vectores

y

son paralelos se tiene que

, con lo que

. Esta es la ecuación vectorial de la recta. En coordenadas

Ecuaciones paramétricas. Si en la ecuación anterior igualamos las componentes de los vectores tendremos que

Ecuación continúa. Despejando en ambas ecuaciones e igualando:

Ecuación general o implícita. Multiplicando en cruz en la igualdad anterior y pasando todos los términos al primer miembro se obtiene , y llamando , y nos queda la ecuación

Vector asociado a la recta. Consideremos el vector

.

Si multiplicamos , con lo que el vector recta r. Es el llamado vector normal o asociado a r.

1º Bachillerato Tema 5: ecuaciones de la recta

es perpendicular a la

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Pendiente.

Se llama pendiente de una recta a la tangente del ángulo que forma dicha recta con el semieje positivo de abscisas. O lo que es lo mismo al ángulo formado por su vector director y el eje de abscisas. Por tanto, si el vector director es

,

Ecuación punto pendiente. En

despejo

y tengo

es decir

Ecuación explícita. A partir de , quitando paréntesis y despejando y tenemos y haciendo tenemos , donde m es la pendiente de la recta y n es la ordenada en el origen, es decir, el punto en el que la recta corta al eje de ordenadas.

Ángulo que forman dos rectas. Se llama ángulo de dos rectas al menor de los ángulos que se forman al cortarse.

Sean y los vectores directores de las rectas r y s, respectivamente. Entonces el ángulo que forman se calcula con sus vectores directores pero cogiendo valor absoluto (para que el coseno del ángulo sea positivo y por tanto el ángulo sea agudo), es decir:

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Posición relativa de dos rectas en el plano. Dadas las rectas de ecuaciones

y

Pueden ser:

Para saber su posición relativa consideramos las siguientes proporciones: Si

Si

Distancias en el plano Distancia ente dos puntos. Es el módulo del vector que definen. Si

y

entonces

Distancia entre un punto y una recta. Si

y

la distancia entre ellos se calcula usando la fórmula

Distancia ente dos rectas. Es la mínima distancia ente un punto de r y un punto de s, por lo que: -

Si son secantes Si son coincidentes Si son paralelas

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donde P es un punto cualquiera de r.

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Ejercicios. 1. a) Escribe las ecuaciones de la recta que pasa por el punto y es paralela al vector . b) Escribe las ecuaciones de la recta que pasa por el punto y tiene como vector director c) Escribe las ecuaciones de la recta que pasa por el punto y es paralela al vector . 2. Escribe las ecuaciones de la recta que pasa por los puntos y . 3. Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto A(0,8) y por el punto medio del segmento de extremos P(6,0) y Q(-2,4). 4. Halla tres puntos y un vector director de cada una de las siguientes rectas: a) b) c) d) e) 5. ¿Pertenece el punto P(-10,4) a la recta

?¿Y Q(38, -7?

6. Halla la ecuación general de la recta que pasa por A(2,4) y tiene pendiente m=4. 7. Escribe la ecuación de la recta que pasa por el origen de coordenadas y tiene 30° de inclinación. 8. Halla un punto, un vector director, la pendiente y un vector asociado a cada una de las siguientes rectas: a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) 9. Escribe la ecuación general de las siguientes rectas: a) b) c) d) 10. Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto A(2,4) y tiene la misma inclinación que la recta que pasa por los puntos B(8,9) y C(-2,4). 1º Bachillerato Tema 5: ecuaciones de la recta

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11. Escribe la ecuación de una recta: a) Paralela a b) Paralela a

12. 13. 14. 15.

y que pase por el punto P(2,-4). y que pase por el punto P(3,-1).

c) Paralela a y que pase por el punto P(2,-4). d) Perpendicular a y que pase por el punto P(8,9). e) Paralela a y que pase por el punto P(2,3). f) Perpendicular a y que pase por el punto P(2,3). g) Pendiente m=4 y que corta al eje de ordenadas en el punto P(0,3) Dada la recta de ecuación , escríbela en forma continua, paramétrica, vectorial y explícita. Dada la recta de ecuación , escríbela en forma continua, paramétrica, vectorial, general y punto-pendiente. ¿Pertenece el punto P(2,3) a la recta ? ¿Y Q(11,2)? Halla el valor de “a” para que la recta pase por el punto A(3,1).

16. Comprueba si los puntos

están alineados.

17. Halla “x” para que los puntos

estén alineados.

18. Halla las ecuaciones de una recta paralela y otra perpendicular a 19. 20.

21. 22.

que

pasen por el punto A(3,5). Halla el valor de “k” sabiendo que las rectas y son perpendiculares. La recta corta a los ejes de coordenadas en los puntos A y B. a) Halla el área del triángulo de vértices OAB. b) Halla la ecuación de la mediatriz del segmento de extremos A y B. c) Escribe la ecuación de una recta paralela a r que pase por el origen de coordenadas. Escribe las ecuaciones paramétricas e implícitas de los ejes de coordenadas y de las bisectrices de los cuadrantes del plano. Estudia la posición relativa de los siguientes pares de rectas: a) y . b) y . c) d)

y y

e) y 23. Halla el baricentro, el circuncentro y el ortocentro del triángulo de vértices A(3,1), B(0,2) y C(1,-2). 24. Halla el baricentro, el circuncentro y el ortocentro del triángulo de vértices A(0,6), B(4,0) y O(0,0). 25. Halla la distancia del punto P(-2,2) a la recta 26. Halla la distancia del punto P(5,2) a la recta 27. Halla la distancia del punto P(5,2) a la recta 28. Halla la distancia del punto P(3,5) a la recta

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29. Halla el ángulo que forman los siguientes pares de rectas: a) y . b) c) 30. 31. 32. 33. 34. 35. 36.

37. 38. 39. 40. 41. 42. 43.

y y

Halla el área del triángulo de vértices A(1,2), B(4,3) y C(3,6). Halla el área del triángulo de vértices A(5,2), B(0,5) y C(-3,1). Halla el simétrico del punto A(3,2) respecto de la recta . Halla el simétrico del origen de coordenadas respecto de la recta . Halla el área de un cuadrado que tiene dos de sus lados en las rectas y Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto A(2,-3) y forma un ángulo de 45° con la recta . Un paralelogramo tiene un vértice en A(4,6) y dos de sus lados están en las rectas de ecuaciones y . Halla el resto de los vértices y su área. Calcula el área del triángulo cuyos lados están en las rectas de ecuaciones , y . Halla el punto de la recta que equidista de A(-6,0) y B(0,-6). Calcula “c” para que la distancia entre y sea igual a 3. Determina la ecuación de una recta de pendiente m = -2 y de manera que forme con los ejes de coordenadas un triángulo de área igual a 81. Un punto de la recta equidista de los puntos A(-1,3) y B(3,-5). Hállalo. Un triángulo isósceles tiene el lado desigual limitado por los puntos A(5,3) y B(2,2), y el otro vértice está en la recta . Hállalo. Dado el punto A(4,3). Sea B el simétrico de A respecto a la bisectriz del primer cuadrante, C el simétrico de B respecto al eje de ordenadas y D el simétrico de C respecto al eje de abscisas. Halla el perímetro del cuadrilátero ABCD.

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