GUÍA DE ESTUDIO PARA EL EXAMEN FINAL MATEMÁTICAS PRIMER GRADO 2013-2014

Recomendaciones generales: Procura prepararte para tu examen con anticipación, resuelve los ejercicios que se te presentan en esta guía los cuales vienen acompañados de una pequeña explicación, si ésta no es suficiente, auxíliate de tus apuntes y de tu libro de texto. Cuando tengas alguna duda pide ayuda a tu maestro, a algún compañero o bien un familiar que pueda apoyarte para aclararla, como recurso extra te sugiero algunas direcciones electrónicas donde puedes ampliar la información e incluso practicar los contenidos. Es de suma importancia que entregues esta guía resuelta el día del examen.

LECTURA Y ESCRITURA DE NÚMEROS NATURALES Recuerda que el sistema de numeración emplea la base 10; por tanto, es un sistema decimal: Al agrupar 10 unidades de un orden inferior se obtiene una de un orden superior: Al agrupar diez unidades se obtiene una decena; al agrupar 10 decenas se obtiene una centena, 10 centenas conforman una unidad de millar, 10 unidades de millar una decena de millar y así sucesivamente. Analiza el cuadro que te presenta cada orden, clase y periodo con sus respectivos nombres. 3er. Periodo

2do. Periodo Millares Millones de millón



Decenas de millar de millón

Unidades de millar de millón

Centenas de millón

Decenas de millón

Unidades de millón

Centenas de millar

Decenas de millar

Unidades de millar

Centenas

Decenas

Unidades

Unidades

Centenas de millar de millón

Millares

Unidades de billón

Decenas de billón

Centenas de billón

Billones

1er. Periodo

7

0

6

0

0

0

0

0

0

9

0

9

0

La escritura del número es: siete billones, sesenta mil millones, nueve mil noventa, y está formado por

7 unidades de billón, 6 decenas de millar de millón, 9 unidades de millar y 9 decenas. Ahora tú completa los siguientes ejercicios

Tabla 1. Escritura con letra Doce millones once mil uno.

Escritura con números 502 005 000 020

Nueve millones tres mil noventa. 3 000 030 300 Siete billones veintiún mil Tabla 2. Numeral de acuerdo con el orden 2 decenas de millar, 1 decena de millón y dos centenas,

Numeral 400 007 001 001

5 decenas, 1 unidad de millón y 1 centena de millar 100 010 9 unidades de billón, 9 decenas y. 9 decenas de millón 1 de 27

Encuentra todos los números que puedan obtenerse, combinando las cinco tarjetas que se encuentran abajo de la página, recórtalas y a buscar. Anótalos como se indica en el ejemplo.

Letra Siete millones seis mil cinco

Número 7 006 005



Anota el de menor y mayor valor: Menor valor: ____________________________ Mayor valor: ____________________________

Ahora encuentra las combinaciones posibles que pueden obtener con los números 8, 0, 4, 7, y 1. No olvides usar los cinco dígitos y anota los números que encontraste con letra y número. Observa el ejemplo Número 04178

Letra Cuatro mil ciento setenta y ocho



Encuentra el número de menor y mayor valor que se puede formar con esos cinco dígitos: Menor valor:_______________________ Mayor valor: _______________________



2 de 27

SISTEMAS DE NUMERACIÓN Para cada uno de los sistemas que veremos, te daremos algunos ejemplos resueltos para que deduzcas el valor de los símbolos; al final de cada sistema vendrán las conclusiones o principios que maneja cada sistema.



Sistema Egipcio.

SISTEMA EGIPCIO

SISTEMA DECIMAL

SISTEMA EGIPCIO

SISTEMA DECIMAL

100 230

1 053 1 000 234

30 012 340

2 010 100 21 305

6000

4012

4 078 ¿Encontraste el valor de los símbolos? ¡Anótalos! Símbolo

Valor

Símbolo



Valor

Símbolo

Dedo

Cuerda enrollada

Dedo apuntando

Talón

Flor de loto

Pez

Valor

Símbolo

Valor

Hombre sorprendido

Conclusiones.  Podían repetir hasta nueve veces un símbolo  Carece de un símbolo para representar a cero  La base de su sistema fue, decimal.  El principio aditivo les permitía ir combinando los distintos símbolos para formar numerales de diversa magnitud. 

Sistema Romano

A continuación se presentan algunos números escritos en el sistema romano, con base en ellos anota en la tabla el valor que representa cada símbolo. III = 3

VII = 7

XXVI = 26

CCXXX = 230

DCII = 602

¿Encontraste el valor de los símbolos? ¡Anótalos! Símbolo

I

V



X

L

Valor

3 de 27

LXX = 70 MMCIII = 2 103

C

D

M

Observa cómo se escriben los siguientes números y a la derecha anota las operaciones correspondientes como en los ejemplos: a) II = 2 b) IV = 4 c) VIII = 8 d) XIX = 19 e) XXIV = 24 f) XL = 40 g) LXXII = 72 h) XC = 90 i) CCX1 = 211 J) CD = 400 k) CDXLI = 441 l) CM = 900 m) XIII = 13 000 n) VII DII = 7 502 ñ) IX = 9000

1 + 1 = 2_____________ ____________________________________ ____________________________________ ________10 + (10 – 1) = 10 + 9 = 19 ____________________________________ _______________50 – 10 = 40 ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ (10 + 1 + 1 + 1) (1 000) = (13) (1 000) = 13 000 ____________________________________ ____________________________________

Conclusiones.  Emplea los principios: aditivo, sustractivo y multiplicativo.  Los símbolos fundamentales (I, X, C y M) pueden repetirse consecutivamente hasta tres veces.  No maneja el principio posicional.  No tiene un símbolo para representar a cero.



Sistema Maya =3

=6

= ___

= 10

= 11

= ____

= 17

= ___

20

23

____

25

400

440

501

____

¿ Encontraste el valor de los símbolos ? !Anótalos! Símbolo

Concha

Valor



Símbolo

Valor

Punto

Símbolo

Barra

4 de 27

Valor

Conclusiones.  Emplea los principios: aditivo multiplicativo y posicional.  La base de su sistema es vigesimal (20)  Tiene un símbolo para representar a cero.  Escribían los números de abajo hacia arriba.  Al ser posicional multiplicaban la primera posición por 1, la segunda posición por 20, la tercera posición por 400 y así sucesivamente. Sistema Binario



Observa como se construye el sistema binario y completa los valores faltantes.

1=1 10 = 2 11 = 3 100 = 4 101= 5 ___ = 6 111 = 7 1 000 = 8 1 001 = ____ _______ = ____ _______ = 11 _______ = 12 Conclusiones.  Sólo usa dos símbolos fundamentales: cero (0) y uno (1)  Utiliza potencias de base dos para representar distintos órdenes de magnitud.  Emplea los principios aditivo, multiplicativo y posicional.

Ejercicio: Encuentra los valores faltantes. Es importante que recuerdes que el sistema binario se construye por potencias de base dos. Número en base diez

Número en base dos 2n

26

25

24

23

22

21

20

(2)(2)....

64

32

16

8

4

2

1

1

0

0

0

8 9

=8 =9

13

22 1

1

1

0

1

= 13

1

0

0

1

1

=

1

0

1

1

0

= 22

1

0

1

0

1

1

0

=

1

0

1

0

1

0

1

=

57

= 57

5 de 27

REPRESENTACIÓN DE NÚMEROS FRACCIONARIOS Y DECIMALES EN LA RECTA NUMÉRICA A PARTIR DE DISTINTAS INFORMACIONES. Observa la siguiente recta numérica, vamos a localizar en ella a:

1 , 2

2,

1

1 1 y . No olvides que al haber dos 4 2

valores ubicados en la recta numérica está definida la posición de cero.

1

1

1

Observa que de 1 a

3 4

3 3 , existen , por lo que se divide 4 4

1 , y con 4 esta medida ya puedes ubicar al cero así como los demás valores, como te mostramos a continuación.

nuestro segmento en tres partes cada parte será

1

1 0

1 4

1 2

1 2

1

3 4

2

Observa otro ejemplo, donde sólo se localiza localizar:

1 y se pide 6

2 4 , 1, y 1.5. 6 3

1 6

1 0 6

2 4 6

1.5

1

En la recta no está definida la posición del cero, lo puedes ubicar donde creas conveniente, pero de manera que haya espacio suficiente para localizar las fracciones pedidas.

2 3

6 de 27

En otro caso donde los valores son números decimales trata de localizar: 1.50, 2.25, 1.8, 1.65, 0.7, 1.45 y1: Esta vez se te ubica el 0.

Aquí está cero

1.300

2.1

Ahora encuentra los números que te indican en cada caso. ¡Tú puedes!

a) Localiza:

1 , 0.8, 2

1



8 3 y 5 10 3 5

b) Localiza: 1.5, 0,

1

1 6

1 y 2. 2 3

c) Ubica los siguientes números: 1.250,

3 2

,

4 , 5

1

1.80 y

5 . 4

1.700

2.2

d) Anota el número que corresponde al punto señalado con la flecha: 5 4

3

_________

7 de 27

SUCESIONES NUMÉRICAS Y DE FIGURAS. El conjunto de varios números ordenados con base a una determinada regla constituye una serie numérica. Por ejemplo:

múltiplos de 3 menores de 30

3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27

Para descubrir la regla o patrón de una secuencia se tienen que calcular las diferencias que hay entre las cantidades, ésta se escribirá como el factor constante de la expresión, posteriormente se revisa si falta o sobra multiplicando en cualquiera de las posiciones de la secuencia, este número se escribe en la expresión como suma o resta. Por ejemplo: 3, 8. 13, 18, 23, 28, ____ , _____

3

8

a) Se observa el incremento de posición a posición b) Se integra el incremento como factor con “n” c) Se prueba en cualquiera de las posiciones d) Como en la primera posición hay 3 sobran 2

+5

13 +5

18 +5

23 +5

28 +5

5n Si “n” es 1 entonces 5(1) = 5 entonces el patrón será 5n – 2

e) Si se va a calcular otra posición que no esté si “n” es 25 entonces 5(25) – 2 = 50 – 2 = 48 en la secuencia se sustituye en el patrón dicho valor

¿Qué procedimiento seguirías para encontrar cualquier término de cada una de las siguientes sucesiones?

a) 5, 12, 19, 26, 33, 40, … Regla: _______________________________________________________________________________ Generalización:________________________________________________________________________ Posición 82:____________ b) 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, … Regla: _______________________________________________________________________________ Generalización: _______________________________________________________________________ Posición 100: ___________ c) 11, 15, 19, 23, 27, 31, … Regla: _______________________________________________________________________________ Fórmula: _____________________________________________________________________________ Posición 250: ___________ d) 3, 9, 15, 21, 27, 33, … Regla: _______________________________________________________________________________ Fórmula: _____________________________________________________________________________ Posición 75: ___________

8 de 27

PROPORCIONALIDAD Razón.- Es la comparación por cociente entre dos números naturales (el divisor debe ser diferente de cero) a b Proporción.- Si se comparan dos razones equivalentes, entonces la igualdad obtenida recibe el nombre de proporción.

a c  b d

Para resolver un problema es importante que lo leas detenidamente, te familiarices con los datos y busques una estrategia para abordarlo. A continuación se te muestra cómo un problema lo podemos resolver de distintas maneras.

Problema: Si Laura pagó $ 52.50 por tres kilogramos de jabón. ¿Cuánto se pagará por 12 kilogramos iguales a los anteriores?

Solución 1: Calculando el valor unitario.

3

17.50 52.50 22 15 00

Cantidad que se pagará por un kilogramo de jabón.

12 X $ 17.50 = $ 210

Multiplicamos lo que cuesta 1 kg por la cantidad pedida. R = Por 12 kg de jabón se pagarán $210.00

Solución 2: Construyendo una tabla. kg de jabón $

3 kg $ 52.50

6 kg $ 105

12 kg $ 210

R = Se pagarán $ 210.00 por 12 kg de jabón Solución 3: Por proporciones

$ 52.50 a  3kg 12kg

Se plantea la proporción

( $ 52.50 )( 12kg ) a 3kg

Encontramos el valor faltante fundamental de las proporciones)

630 3 a  210 a

Realizando operaciones R = $ 210.00 se pagará por 12 kg de jabón. 9 de 27

(Propiedad

Resuelve los siguientes problemas, recuerda que existen diferentes maneras de resolverlos, sé que elegirás la mejor



1. Un resorte sufre un alargamiento de 5 mm cuando soporta un peso de 30 kg. ¿Cuál será su alargamiento cuando soporta un peso de 48 kg?

3.

1 2

3 4

kg de queso se paga $ 60.00. ¿Cuánto se pagará por kg? 1 2 Si 14 m de tela pesan 4.2 kg, ¿cuánto pesan 10 m de esa tela?

2. Por

4. En una escuela hay 3 niñas por cada 4 niños. Si en total hay 260 niños, ¿cuántas niñas son?. ¿Cuántos alumnos en total tiene la escuela? 5. Héctor, Antonia y Verónica compraron un paquete de 100 hojas tamaño carta. Héctor aportó $ 12.00 de los $ 30.00 que costó el paquete; Antonia aportó $ 9.00 y Verónica el resto: Si se reparten el paquete en partes proporcionales, ¿cuántas hojas le tocan a cada uno? REPARTO PROPORCIONAL Los problemas de reparto proporcional se pueden plantear de diferentes maneras, se pueden aplicar directamente reglas de tres, utilizando razones con respecto al total o determinando el factor de proporcionalidad directa, por ejemplo: Se va a repartir una herencia de $140 000.00 en forma proporcional entre 3 personas, la primera recibirá el doble de la segunda y la tercera el doble de la primera. Planteamiento: $140 000.00 se repartirán proporcionalmente así

Por tanto se requiere repartir en

1ª persona = 2 (el doble de la segunda) 2ª persona = 1 3ª persona = 4 ( el doble de la primera) 7 partes iguales

140 000 = 20 000 7 Entonces la 1ª persona recibirá 2(20 000) = $ 40 000.00 2ª persona recibirá = $ 20 000.00 3ª persona recibirá 4(20 000) = $ 80 000.00 $ 140 000.00

Resuelve los siguientes problemas. a) Tres personas compraron un billete de lotería que resultó premiado con $ 60 000. La primera aportó $ 6.00 para la compra del boleto, la segunda $ 4.00 y la tercera $ 10.00 .Si se reparten en esa proporción ¿cuánto dinero le corresponderá a cada persona? b) Tienes que repartir proporcionalmente $ 240.00 entre Pablo, Andrea y Gaby de acuerdo con sus edades que son 4, 8 y 12 años respectivamente. ¿Cuánto le corresponde a cada uno de ellos? c) Tres trabajadores hicieron una obra por las que se les pagó $ 11 480.00 ¿cuánto se dará a cada uno si el primero trabajó 3 días, el segundo 5 días y el tercero el doble del primero? d) Se tiene una pecera de dimensiones 30cm de ancho, 60cm de largo y 45cm de altura, se construirá otra pecera proporcional a la primera. ¿Cuáles serán las nuevas medidas si el largo deberá ser 150cm

10 de 27

PORCENTAJES Porcentaje es el tanto por ciento, cantidad o proporción que en cada cien unidades se fija o resulta en cómputos económicos, estadísticos, etc. Ejemplo:

8  0.08 100 35 35 % =  0.35 100 15.8 15.8 % =  0.158 100 8%=

 En una escuela que tiene una población de 30 alumnos el 30 % fue de visita al museo, ¿cuántos alumnos no fueron al museo? Considera: Fueron al museo 30 % No fueron al museo: 70 % ¡Inténtalo!  En un almacén de ropa, hay un descuento del 30 % en los artículos para caballero. Calcula el descuento que hacen por un artículo cuyo precio normal es de $150.00. Considera: Descuento: 30 % Lo que pagará: 70 % Resuélvelo

FRACCIONES Y DECIMALES

Una fracción es la parte de un todo .Observa el siguiente dibujo

1 2

Todo = 1 1 4

1 8

1 8

Adición y sustracción con igual denominador.- Sólo se suman o restan según sea el caso los numeradores y se anota el mismo denominador.

11 de 27

NOTA: Saca enteros si la fracción es impropia, simplificar. Ejemplo:

Recuerda que para obtener los enteros necesitas realizar la división y para simplificar una fracción a su mínima expresión, se dividirán sus dos términos sucesivamente por los divisores comunes que tengan, hasta que resulte una fracción irreducible.

11 14 25    15 15 15

10 15

1 =1

2 3

Obtención de enteros

23 15 8 4    10 10 10 5 Simplificación

Adición y sustracción con diferente denominador.- Se obtiene el m.c.m. de los denominadores, el número obtenido será el denominador común, el m.c.m. se divide entre el denominador de la primera fracción y el cociente obtenido se multiplica por el numerador de esa fracción. El número obtenido se coloca como sumando en el numerador de la fracción resultante y se procede igual para el resto de las fracciones; en la sustracción se siguen los mismos pasos, sólo que los números obtenidos se restan. Ejemplo: 5 2 9 10  20  27 57      15 3 10 30 30

27 30

9 10

1 1

15 15 5 1

3 3 1 1

10 5 5 1

=

2 3 5

m.c.m. (15, 3, 10) = 2 x 3 x 5 = 30

11 7 44  35 9    10 8 40 40 10 5 5 5 1

8 4 2 1 1

2 2 2 5

m.c.m. (10,8) = 23 x 5 = 40

Adición y sustracción con números mixtos,- Se reducen los números mixtos a fracciones impropias (multiplicando el denominador de la fracción por el entero y al producto obtenido se le suma el numerador), y se deja el mismo denominador del número mixto. Ejemplo: 2 3

4 8

1 6

5 6 3 +

3 – 4

6 3

+

=

17 3

+

52 8

+

19 6

=

1 27 7 27  14 13  = – = = 2 2 4 4 4

136  156  76 368 = = 24 24

1 4

3 12 de 27

8 24

1 3

15 = 15

Multiplicación de fracciones.- Para multiplicar las fracciones generalizamos como sigue:

a c a  c ac    b d b  d bd

Se multiplica numerador por numerador y denominador por denominador.

Ejemplos:

3 5 15 3    5 7 35 7 1 4

3 x2

2 3

=

13 8 x = 3 4

8 12

2 3

8= 8

División de fracciones.- Para efectuar una división lo que hacemos es multiplicar el dividendo por el inverso multiplicativo del divisor. Ejemplo: 9 2 9 8 72      10 8 10 2 20

12 20

3 5

3 3 =

Inverso multiplicativo

O bien para dividir una fracción generalizamos de la siguiente forma:

a c a  d ad Se multiplica el numerador de la primer fracción por el denominador de la segunda y    b d b  c bc el denominador de la primera por el numerador de la segunda Ejemplo: 2 3

3 4

3 2= ÷

11 3

÷

11 11 4 44 = = = 3  11 33 4

11 33

1 3

1 1 =

Realiza los siguientes ejercicios:

1)

6 10   14 14

11)

2)

2 13   15 15

12)

4

3)

11 7   10 8

13)

9 4   5 8

4)

5 2 1 (  ) 6 3 4

14)

33 7   11 5

13 de 27

1  0 .8  4

3

1 x 7

2 9

8=

9 2   10 8

5)

2 3

1 5

15)

2 6

16)

(  )

1 3

2 4

3

6)

7 4

7)

6 8   12 5

8)

2 4 2    5 3 15

18)

7 3 2

9)

4 3   12 16

19)

7 4   9 5

10)

4

–

2 3

÷

=

17)

4 6

7

=

20)

1 12

3 8

8 +9 =3

+

=

1  0 .5  5

6

5  6

9 10

4 =1

Problemas: 1. El maestro de electricidad tenía conexión y le ha quedado

10

1 m 2

de cable eléctrico. Lo usó para mostrar cómo se hace una

4 7 m, ¿cuánto cable utilizó en la conexión ? 3 4

2. Con un bote de aceite completamente lleno, cuya capacidad es de 3 4

1 litros, se llenarán botellas de 2

de litro. ¿Cuántas botellas podrán llenarse ?

Para sumar o restar decimales, escribimos los números en columna, alineando el punto (quedando enteros con enteros, décimos con décimos centésimos con centésimos etc.); realizando la operación como en los números naturales. En la sustracción cuando el minuendo no tiene el mismo número de dígitos que el sustraendo se sugiere agregar ceros para igualarlos evitando errores al hacer el algoritmo. a) 45.2 + 26 + 3.872 + 1.3= 45.2 26 + 3.872 1.3 76.372

14 de 27

b) 43.75 – 17.4854= 43.7500 17.4854 26.2646

Para multiplicar dos decimales o un entero por un decimal, se multiplican como los números naturales, separando en el producto (resultado) de derecha a izquierda, tantas cifras decimales como haya en ambos factores. Observa el ejemplo:

45.9 X 0.25 2295 + 918 11.475

El punto se recorre tres lugares a la izquierda por que los factores reúnen tres cifras decimales.

Recuerda que en la división de números decimales se pueden presentar tres casos: 1) División de un decimal entre un número natural 2) División de un número natural entre un número decimal 3) División de un número decimal entre un número decimal Se te muestra un ejemplo de cada caso:

1)

91.945  2.485 37

2)

24 2400.   75 0.75

3)

4.608 460.8   7.2 0.64 64

2.485 37 91.945 179 314 185 00 32

32. 75 2400. 150 00

7.2 64 460.8 0128 000

15 de 27

Se divide igual que los números naturales y el punto se coloca en el cociente tantas cifras como tenga el dividendo

El divisor se convierte en un número natural (recorriendo el punto a la derecha tantos lugares como sea necesario), al dividendo se le agregan tantos ceros como lugares se recorrió el punto

Al igual que el caso anterior se convierte el divisor en un número natural entero por lo que se recorre el punto hacia la derecha tantas cifras como sea necesario, el número de cifras que se recorrió en el divisor, se recorre en el dividendo, si se requiere de cifras se utilizan ceros.

Te toca aplicar lo aprendido. ¡Tú puedes!

1. Ramón tiene $ 425.50, Antonio $ 120.00 más que Ramón y Luis $ 45.50 más que Antonio, ¿cuánto tienen en total ? 2. Si una docena de tazas cuesta $ 507.60, ¿Cuál es el valor de una taza ? 3. Las calificaciones de los exámenes de Felipillo para el tercer periodo de evaluaciones fueron: 7.5, 9, 6.5, 7, 8.5 y 8, si el promedio de Manuelito fue de 8, qué diferencia hay en sus promedios. 4. Un rectángulo tiene 4.9 cm de ancho, si su área es 42.875 cm2 ¿ cuál es el largo de dicho rectángulo ?. 5. Se tienen 1 054.5 m de cable, ¿ cuántas porciones de 2.85 m se pueden obtener de él ? OPERACIONES DE NÚMEROS CON SIGNO Los números con signo se utilizan para expresar diferentes cantidades, es común encontrar estos números en conceptos como la temperatura, la medición de las alturas y las depresiones, las pérdidas y las ganancias etc. Siempre que se utilizan números con signo debe tomarse en cuenta que el signo antecede al número y que si éste no está escrito es que es positivo, el signo negativo no debe omitirse en ninguna de las situaciones. El simétrico de un número es el mismo número pero de signo contrario, su símbolo es – ( ), por ejemplo: el simétrico de – 3 se indica – ( – 3) = + 3 El valor absoluto de un número es el valor del número sin importar su signo su símbolo es l l, por ejemplo: el valor absoluto de – 3 se indica l – 3 l = + 3 a) En la adición de números con signos iguales se suman los valores absolutos y se conserva el signo por ejemplo: (+2) +(+6) = +8 ( – 3 ) + ( – 2 ) + ( – 4) = – 9 b) En la adición de números con signos diferentes se restan los valores absolutos y el resultado se escribe con el signo del mayor valor absoluto, por ejemplo: (+7) + (–5) = +2

c)

( – 12 ) + ( + 2 ) = – 10

;

Si en la expresión se presentan más de un valor positivo y negativo, se deben agrupar los positivos y los negativos por separado y sumarlos, posteriormente deberá compararse los dos resultados obtenidos para obtener el valor final, por ejemplo: ( + 5 ) + ( + 6 ) + ( – 3 ) + (– 8 ) + ( + 9 ) + ( + 2 ) = La suma de los positivos es: + 5 + 6 + 9 + 2 = + 22 La suma de los negativos es: – 3 – 8 = – 11 Entonces + 22 – 11 = + 11 El resultado de la operación es 11

16 de 27

Encuentra el resultado de las siguientes operaciones ¡ Ve que es muy fácil ¡



1) 7 + 9 =

5) – 5 + 8 + 7 – 4 – 3 – 2 =

2) – 9 – 8 =

6) – 12 – 10 – 4 – 4 – 9 =



3) ¡Recuerda – 7 + 2 = que tu puedes!7) – 8 + 9 – 2 – 6 – 3 – 6 = 4) – 5 + 9 =

8) 45 – 18 + 3 – 60 + 17 =

Para resolver sustracciones de números con signo se deben aplicar las reglas de la adición algebraica después de cambiar todo lo que comprenda el sustraendo (lo que esté escrito dentro del paréntesis) por su simétrico, recuerda que el simétrico se representa con el símbolo – ( ), por ejemplo: + 23 – ( – 15) = 23 + 15 = + 38 – 18 – ( 2 + 4 – 3 ) = – 18 – ( + 6 – 3 ) = – 18 – ( + 3 ) = – 18 – 3 = – 21 Realiza los siguientes ejercicios



1) + 18 – ( 45 ) =

5) 120 – ( 3 – 18 ) =

2) – 12 – ( – 6 ) =

6) 12 – ( 8 + 8 ) =

3) 18 – ( – 7 ) =

7) – 18 – ( 11 + 5 – 7 ) + 9 =

4) – 4 – ( 20 ) =

8) – 12 + 6 – ( 23 – 18 ) =

USO DE LITERALES EN FÓRMULAS GEOMÉTRICAS Las matemáticas, como cualquier ciencia, tiene su lenguaje propio; éste se le llama lenguaje algebraico, el cual utilizamos para escribir las fórmulas que conocemos y establecer los procesos de resolución de los problemas.

Las fórmulas utilizan literales que indican las operaciones a realizar y que pueden sustituirse por valores específicos. Un ejemplo es la fórmula que utilizamos para calcular el área de un triángulo.

A = bh 2

La “b” representa la base del triángulo “h” representa la altura 2 es la constante del proceso A es el área

Para escribir expresiones cotidianas en lenguaje algebraico es necesario ir leyendo paso a paso e ir expresando las operaciones que se describen con los valores que se indican. Por ejemplo: Un número cualquiera El triple de un número La edad de Juan más 3 años

17 de 27

x 3x x + 3

Escribe la expresión algebraica que corresponda a cada enunciado ¡Recuerda que tú puedes!



1) El consecutivo de un número 2) La semisuma de dos números cualesquiera 3) El doble del cuadrado de un número 4) La diferencia entre dos números 5) El cociente de dos números cualesquiera 6) Un número elevado al cubo 7) La mitad del cuadrado de a 8) El producto de tres números cualesquiera 9) La diferencia entre un número cualquiera y cinco 10) El cociente del triple de un número y el doble de otro ECUACIONES DE PRIMER GRADO Se denomina ecuación a la igualdad condicionada por el valor de una incógnita. La incógnita es la literal que representa una cantidad desconocida. Toda ecuación de primer grado se representa gráficamente mediante una recta. Toda ecuación consta: 3x + 1 = 12 3x + 1 Primer miembro

= signo de igual

12 segundo miembro

Para resolver una ecuación de primer grado es necesario aplicar las propiedades de la igualdad, a este procedimiento se le conoce con otros nombres como operaciones inversas o despeje, el cual consiste en que todo número o expresión que cambie de miembro cambia por la operación contraria a la que esté planteada, por ejemplo: 8 + x–8 = 5 x = 5 – 8 x = –3

1) Para dejar sola a la incógnita (despejarla)

Para comprobar si el resultado es correcto se sustituye por el valor encontrado. Si resulta una igualdad se puede afirmar que la solución es correcta.

entonces

2) Si la ecuación es más grande se simplifica antes de despejar es decir se suman los términos semejantes.

Se debe quitar primero el término independiente por operación inversa

Se despeja la variable con la operación inversa del factor

Si 8 + x = 5 8 + (–3) = 5 8–3= 5 5= 5

2x + 3x – 10 = 90 5x – 10 = 90 5x – 10 + 10 = 90 + 10 5x = 100

5x 5

=

100 5

x = 20 La comprobación siempre se realiza en el ejercicio original

18 de 27

2(20) + 3(20) – 10 40 + 60 – 10 100 – 10 90

= = = =

90 90 90 90

Resuelve y comprueba las siguientes ecuaciones ¡Nunca olvides que tú eres excelente!

1)

7)

2) 3.5 x – 2 = 12

3x + 1 = 7

4) x + 6 =



20 2

5) 3x + 15 = 75

x – 4 = 7

8) 2x + 5 = 35

3) 5 + 4y – 7 = 4y – 2 – y

6) 6x – 18 = 2x – 6 9) 8x – 11 = 5x + 19

EXPRESIONES EQUIVALENTES Cuando en una expresión aritmética ó algebraica se presentan valores que realizan la misma operación y son iguales, se pueden simplificar o cambiar por expresiones equivalentes, por ejemplo: a) Si se suma el mismo número se expresa como factor

5 + 5 + 5 = 3 (5) abc + abc = 2abc

b) Si se multiplica el mismo número se expresa como 2 x 2 x 2 x 2 = 24 potencia ( x ) ( x ) ( x ) ( x ) ( x ) = x5 c) Se los términos tienen la misma letra pero tienen 2p + 5p – p = 6p diferente número (coeficiente) se pueden sumar 3ab – 6ab – 8ab = – 11ab o restar dependiendo de su signo. – 7m – 8m – 3m – m = – 19m

Escribe una expresión equivalente a las siguientes ¡Recuerda que tú puedes!



1) 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 2) 3 x 3 x 3 x 3 = 3) mn + mn = 4) r + r + r + r + r + r + r + r = 5) 2c + c + 3c + 2c = 6) ( a ) ( a ) ( a ) = 7) 5d + d – 2d + 5d – d = 19 de 27

PLANTEAMIENTO Y RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Para resolver problemas que involucran expresiones algebraicas como las ecuaciones te propongo el siguiente procedimiento, aunque posiblemente a ti se te pueda ocurrir alguna otra estrategia, recuerda que lo importante es que justifiques los procesos que realizas y argumentes tus respuestas. 1) Lee detenidamente el problema, si es necesario vuelve a realizarlo. 2) Identifica los datos y variables del planteamiento 3) Establece las relaciones existentes entre las operaciones y las variables 4) Plantea la ecuación de primer grado 5) Resuelve la ecuación 6) Comprueba que se cumplan las condiciones del problema 7) Responde la pregunta que se elaboró al principio

Ejemplo: Ricardo tiene el doble de dinero que Jaime. Si entre ambos tienen $ 135.00, ¿cuánto dinero tienen cada uno? Datos Ecuación Ricardo = 2x (el doble de dinero de Jaime) Jaime = x (cantidad de dinero de Jaime) Total de ambos = $ 135.00

Comprobación:

2x + x = 135 lo que tiene Ricardo más lo de Jaime 3x = 135 sumamos los términos semejantes x = 135 despejamos x 3 x = 45 2( 45 ) + 45 = 135 90 + 45 = 135 135 = 135 Resultado: Ricardo tiene $ 90.00 y Juan tiene $ 45.00

Resuelve los siguientes problemas ¡Nota que son muy fáciles! a)



Guadalupe fue al mercado y compró

341 de calabazas, 252

promedio cada kilogramo de verdura le costó $ 4.70 ¿Cuántos kilogramos compró? ¿Cuánto pagó por ello?

20 de 27

de ejotes y

1

32 de jitomate. Si en

b) Ricardo compró un refrigerador por $ 4 800.00 y una lavadora por $ 6 200.00. Si por pagar en efectivo le descuentan el 15% , ¿cuánto pagará por cada artículo? c)

Si Elena gana $ 12 500.00 mensuales y recibe un aumento del 8% ¿cuál será su nuevo salario?

d) La suma de dos números enteros consecutivos es 183. ¿Cuáles son esos números? e) La suma de tres números consecutivos es 162 ¿qué números son éstos? f)

Un vendedor de flores compra cada docena de flores en $ 15.00. ¿Cuánto gastará en la compra de las siguientes docenas de flores? Gasto por la compra Número de docenas compradas

2

Constante de proporcionalidad k =

g)

4

6

7

9

10

12

______

El monte Everest tiene una altura de 9 899m sobre el nivel del mar y las fosas Marianas tienen una profundidad de 11 785m. ¿Encuentra la diferencia que hay entre estas dos magnitudes?

h) En el año 2 530a.c. se construyó la Esfinge, en Egipto. ¿Cuántos años tiene su construcción?

FÓRMULAS GEOMÉTRICAS

¿Cuánto tendrá de perímetro el marco exterior de la fotografía?

Para ayudarla se tiene que conocer las medidas del marco exterior, como puedes observar se trata de un cuadrado. Si tiene por medida 45 cm suma sus cuatro lados, o bien multiplica por cuatro la medida de uno de los lados por tratarse de un cuadrado. Dando un perímetro de 180 cm.

Ahora calcula el área del mismo marco. Para obtenerla multiplica la medida del lado por el mismo lado, ayúdale a obtener el valor. ¡Tú puedes!

El área del marco es: _________cm2 21 de 27

Para resolver los siguientes ejercicios consulta tu libro de texto o tu cuaderno de notas, ya que aplicarás las fórmulas geométricas para calcular lo que te piden.

a) Observa el siguiente marco. Obtén el perímetro del marco exterior e interior, y calcula el área de todo el marco.

16 cm

24 cm

20 cm

28 cm

b) Considerando las medidas que presenta nuestra figura, ¿qué tipo de triángulo es?; y ¿cuál es su perímetro y su área?

10 dm 6 dm 16 dm

c) ¿Cuál es el perímetro y área de un pentágono regular que mide 5 cm por lado y su apotema es de 3.44 cm?

Apotema

Lado

d) Si la rueda de una bicicleta recorrió 250 m de distancia y su radio es de 0.22 m, ¿cuántas vueltas completas dio la rueda aproximadamente?

22 de 27

a) Encuentra el perímetro y área de las siguientes figuras: 8u 4u

7 cm 2u

2u 2u P = ________ A = ________

20 dm 24 dm

4.3 cm

4 cm

32 dm 10 cm P = __________ A = __________

P = ____________ A = ____________

A = _____u2

2.5 cm

b) Calcula el área sombreada de las siguientes figuras:

r = 1.4 cm

r= 1.5 cm

3 cm Área sombreada = __________________

Área sombreada = __________________

PROPIEDADES DE LA SIMETRÍA AXIAL. La reflexión de una figura respecto a un eje (axial) es conocida como simetría. Te pedimos repasar las diferentes reflexiones efectuadas en clases, las traslaciones y giros, a efecto de que seas capaz de hacer observaciones adecuadas de los resultados obtenidos al reflejar sucesivamente una figura respecto a ejes paralelos, respecto a ejes perpendiculares.

Cuando se construye la simétrica de una figura dada se conservan propiedades como:  Igualdad de lados.  Igualdad de ángulos.  Colinealidad.  Paralelismo y perpendicularidad.

23 de 27

De acuerdo con lo anterior: AB = A’B’

A’

A

AA’ es paralelo al BB’

C’

C

Ahora tú completa los siguientes enunciados: El segmento ______ es igual al segmento AC, B

B’

m

El segmento CC’ es _________________ al eje m . El ángulo B es igual al ángulo: _______ La distancia de C al eje de simetría es ____________ que la distancia del eje al punto C’.

Traza la imagen simétrica a la figura:

Dibuja la simetría axial de la siguiente figura C

B B A

BISECTRIZ DE UN ÁNGULO

La recta que pasa por el vértice de un ángulo y lo divide en dos ángulos iguales se llama bisectriz del ángulo. Los lados de un ángulo son simétricos respecto de la bisectriz. Q

P

bisectriz Eje de simetría R

24 de 27

mediatriz

MEDIATRIZ DE UN SEGMENTO C

A

B

La mediatriz de un segmento es la perpendicular al segmento que pasa por el punto medio de dicho segmento. La mediatriz de un segmento es el eje de simetría del segmento.

D Para el siguiente ejercicio necesitarás de un compás y una regla,

a) Traza las mediatrices de los segmentos AB y BC. B

b) Traza las bisectrices de los ángulos.

A Las bisectrices que resultaron que tienen de característico:

C

CONTEO Para resolver problemas de conteo en ocasiones se utiliza el diagrama de árbol. Este tipo de ordenamiento se puede emplear para conocer exactamente las combinaciones de un evento y se puede verificar con la regla de producto.

Por ejemplo: Fernando tiene 2 pares de zapatos, 3 pantalones y 3 camisas. ¿De cuántas formas puede combinarlos? Fernando

Z1

P1

C1

C2 C3

P2

C1

Z2

P3

C2 C3 C1 C2 C3

P1

C1 C2 C3

P2

C1 C2 C3 C1 C2 C3

Esto indica que Fernando tiene 18 formas de combinar su ropa. Equivale a 2(pares de zapatos) X 3 (pantalones) X 3 (camisas) = 18 combinaciones Es decir, la regla de producto es 2 x 3 x 3 = 18 combinaciones 25 de 27

P3

Resuelve los siguientes problemas ¿ Cuántas formas diferentes hay para elegir dos sabores de un helado, si hay cinco sabores distintos ? Un pequeño restaurante ofrece 2 sopas, 3 guisados y 4 postres. ¿Cuántos menús diferentes pueden ofrecer a sus clientes? En el grupo de 1º “B” se formaron 5 equipos de 6 integrantes cada uno. Si cada integrante realizó 2 dibujos ¿Cuántos dibujos hicieron en total? Dolores tiene 3 pares de zapatos, 4 faldas y 5 blusas. ¿De cuántas maneras puede combinar su ropa? Si se lanza una moneda al aire tres veces, ¿cuántos resultados será posible obtener? Para ir de una ciudad A a la D se requiere pasar por las ciudades B y C. Si de A a B hay 2 caminos; de B a C hay 4 y de C a D hay 3. ¿ De cuántas formas distintas se puede ir de A a D ? Si tienes dos pantalones de mezclilla (uno negro y otro azul) y dos playeras (una banca y otra gris) ¿ De cuántas maneras puedes vestirte ?

INTERPRETACIÓN DE GRÁFICAS Y TABLAS:

Las gráficas son medios que sirven para representar información ordenada y de fácil consulta, en ellas se puede leer el dato que se desea siguiendo las proyecciones de la abscisa y la ordenada según sea necesario, en las tablas los datos faltantes se pueden obtener por proporción, relacionando los datos registrados de previamente en ellas. Interpreta los datos de las siguientes gráficas y contesta las preguntas. 1) La gráfica muestra los goles anotados en las primeras diez jornadas de un torneo de fútbol ¿Qué equipo anotó más goles en promedio?

a) ¿En qué jornada anotaron ambos equipos los mismos goles? b) ¿Qué equipo anotó más goles en una jornada? c) ¿Y la que anotó menos? d) ¿En qué jornada la diferencia de goles entre ambos equipos es mayor? e) ¿En qué jornada el equipo de italiano anotó menos goles que el equipo de español? f) ¿Cuál es el equipo que anotó menos goles?

26 de 27

2) Relacionada con las actividades favoritas de los jóvenes realizadas en su tiempo libre: ¿A qué dedican los jóvenes la mayor parte del tiempo libre

¿A qué actividades dedican el mismo tiempo?

1 ve T.V. o cine 4

7 juegan deportes 16

1 escucha música 8 1 otras 16

1 lee 8

La siguiente gráfica representa los resultados de una encuesta a un grupo de alumnos respecto al número de hermanos. Analízala. F r e c u e n c i a Número de hermanos Con base en la información contenida en la gráfica, contesta lo siguiente: a) ¿Cuántos alumnos no tienen hermanos? b) ¿Cuál es el mayor número de hermanos entre los estudiantes? c) En promedio, ¿cuántos hermanos tiene cada alumno? d) ¿Cuál es la mediana en el total de respuestas? e) ¿Cuál es el número de hermanos más frecuente? ¿Cuántas veces se repite?

Recuerda que eres EXCELENTE y tú puedes ser mejor solamente estudia, administra tu tiempo y triunfarás.

27 de 27