Geometría y Trigonometría

Polígonos

5. POLÍGONOS 5.1 Definición y notación de polígonos Un polígono es una figura geométrica limitada por segmentos de recta denominados lados, donde el extremo de un segmento es el origen del otro. Etimológicamente, la palabra POLÍGONO proviene de las raíces poli que significa muchos y gonos que significa ángulos. Los polígonos se nombran mediante letras mayúsculas situadas en los vértices del mismo. Su notación se efectúa escribiendo las letras mayúsculas después de la palabra polígono o del nombre específico del polígono, también por sus símbolos gráficos.

E

D

F C

A

B

Polígono ABCDEF Hexágono Hexágono ABCDEF

En un polígono se consideran los siguientes elementos: Diagonales

• • • •

Lados, Ángulos, Diagonales y Vértices.

Vértice Ángulo interno

Ángulo externo

Lado

43

Unidad uno

Geometría y Trigonometría

5.2 Clasificación de polígonos Se han establecido tres clasificaciones para los polígonos: • • •

Por la amplitud de sus ángulos. Por la medida de sus lados y sus ángulos. Por el número de lados.

AMPLITUD DE LOS ÁNGULOS Convexos Cóncavos Son aquellos cuyos ángulos interiores son Son los que tienen uno o varios todos menores de 180º y sólo pueden ser ángulos mayores de 180º y pueden ser cortados en dos puntos por una recta secante. cortados en más de dos puntos por una recta secante.

MEDIDA DE SUS LADOS y ÁNGULOS Regulares Irregulares Cuando sus lados y ángulos son todos iguales Cuando al menos uno de sus lados o entre sí. ángulos es diferente a los demás.

44

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Polígonos

NÚMERO DE LADOS NÚMERO DE LADOS NOMBRE DEL POLÍGONO 3 Triángulo 4 Cuadrilátero 5 Pentágono 6 Hexágono 7 Heptágono 8 Octágono 9 Eneágono 10 Decágono 11 Endecágono 12 Dodecágono 15 Pentadecágono 20 Icoságono A los demás polígonos se les nombra por el número de sus lados; por ejemplo: polígono de 13 lados, de 25 lados, etcétera.

5.2.1 Cuadriláteros Son polígonos limitados por cuatro lados y forman entre sí cuatro ángulos. Estos polígonos se indican por las letras mayúsculas de sus vértices, escritas enseguida de su representación gráfica.

C

D

C

C

D

D

B A

A

B

B A ABCD

ABCD

45

ABCD

Unidad uno

Geometría y Trigonometría

Los cuadriláteros se clasifican de acuerdo a sus ángulos y a la forma de sus lados, es decir, al paralelismo de sus lados opuestos. Los tres principales grupos son: paralelogramos, trapecios y trapezoides. El esquema siguiente muestra la división y subdivisión de los cuadriláteros:

Cuadriláteros

Paralelogramos

Cuadrado Rectángulo Rombo Romboide

Cuadrado • Cuatro lados iguales. • Cuatro ángulos rectos. • Sus diagonales son iguales y perpendiculares.

Trapecios

Trapecio escaleno Trapecio rectangular Trapecio isósceles

Trapezoides

Simétricos Asimétricos

PARALELOGRAMOS Son paralelos sus lados opuestos. Rectángulo Rombo • Lados opuestos • Cuatro lados iguales 2 a 2. iguales. • Cuatro ángulos • Ángulos rectos. opuestos 2 a 2. • Diagonales iguales y oblicuas.

46

Romboide • Lados opuestos iguales 2 a 2. • Ángulos opuestos iguales 2 a 2.

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Polígonos

TRAPECIOS Si únicamente dos de sus lados opuestos son paralelos. Escaleno Rectángulo Isósceles Es aquel que tiene los lados no Es aquel que tiene un lado Es aquel que tiene los lados no paralelos desiguales. perpendicular a las bases, paralelos de igual longitud, formando un ángulo recto con formando con las bases cada base. ángulos adyacentes iguales.

TRAPEZOIDES Sus lados opuestos no son paralelos entre sí. Simétricos Asimétricos Son los que tienen dos pares de lados Son aquellos que no ofrecen ninguna de las consecutivos iguales pero el primer par de lados características de un trapezoide simétrico. consecutivos iguales es diferente del segundo.

Eje de simetría

47

Unidad uno

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EJERCICIO 5-1 INSTRUCCIONES.- Relaciona las columnas escribiendo dentro del paréntesis el número que corresponda a la respuesta correcta.

1) Figura geométrica limitada por segmentos de recta denominados ( lados, donde el extremo de un segmento es el origen del otro.

) Convexos.

2) Es un elemento del polígono.

(

) Endecágono.

3) Polígono que tiene sus ángulos interiores menores de 180°.

(

) Escaleno.

4) Polígono que tiene todos sus lados y ángulos iguales.

(

) Asimétrico.

5) Polígono que tiene once lados.

(

) Cóncavos.

6) Cuadriláteros que tienen dos pares de lados opuestos paralelos.

(

) Trapezoides.

7) Trapecio que tiene los lados no paralelos desiguales.

(

) Muchos y ángulos.

8) Cuadrilátero que sus lados opuestos no son paralelos entre sí.

(

) Regulares.

9) Trapezoide que no ofrece ninguna de las características de un ( trapezoide simétrico.

10) Polígono proviene de las raíces poli y gono que significa:

48

) Polígono.

(

) Paralelogramos.

(

) Vértices.

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Polígonos

EJERCICIO 5-2 INSTRUCCIONES.- Subraya la respuesta correcta de cada una de las siguientes preguntas.

1) Polígonos que tienen uno o varios ángulos mayores de 180°. A) Regulares

B) Convexos

C) Irregulares

D) Cóncavos

2) Polígonos en los que al menos uno de sus lados o ángulos es diferente a los demás. A) Regulares

B) Convexos

C) Irregulares

D) Cóncavos

C) Decágono

D) Triángulo

3) Nombre del polígono de 20 lados. A) Icoságono

B) Pentadecágono

4) Polígonos que tienen únicamente dos de sus lados opuestos paralelos. A) Paralelogramos

B) Trapecios

C) Trapezoides

D) Rombo

5) Trapezoides que tienen dos pares de lados consecutivos iguales pero el primer par de lados consecutivos iguales es diferente al segundo. A) Simétricos

B) Rectángulo

C) Isósceles

49

D) Rombo

Unidad uno

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5.3 Teoremas sobre polígonos Teorema 1. La suma de los ángulos interiores ( S ∠i ) de un polígono es igual al producto de dos ángulos rectos por el número de lados (n) del polígono menos 2.

S ∠i = 180º (n − 2) La medida de cada ángulo interior (∠i ) de un polígono regular de n lados se puede calcular por medio de la siguiente fórmula:

∠i =

180º ( n − 2) S ∠i = n n

Teorema 2.

La suma de los ángulos exteriores ( S ∠e ) de un polígono es igual a 360º.

S ∠e = 360º La medida de cada ángulo exterior (∠e ) de un polígono regular de n lados se puede calcular por medio de la siguiente fórmula:

∠e =

360º n

Teorema 3.

El número de diagonales (D ) de un polígono de producto de n por (n − 3).

D=

n

lados es igual a la mitad del

n(n − 3) 2

(d ) que se pueden trazar desde un vértice de un polígono n lados es igual a: d = n − 3

El número de diagonales convexo de

La diagonal es la línea que une dos vértices no consecutivos de un polígono.

50

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Polígonos

Por ejemplo: Si tenemos una figura de cinco lados n = 5. La aplicación de los teoremas nos permite calcular los siguientes aspectos de este polígono.

Número de Número de diagonales del La suma de ángulos diagonales por polígono: interiores es: vértice: d = n−3 n(n − 3) S∠i = 180º (n − 2) D= d =5−3 2 S∠i = 180º (5 − 2) ( ) 5 5 − 3 d =2 S∠i = 540º D= 2 D=5

La medida de cada ángulo interior es: 180º (n − 2) n 180º (5 − 2) 540º = ∠i = 5 5 ∠i = 108º ∠i =

EJERCICIO 5-3 INSTRUCCIONES.- Resuelve los siguientes correspondientes.

problemas,

aplicando

1) ¿Cuánto suman los ángulos interiores de un heptágono?

2) ¿Cuántas diagonales, en total, se le pueden trazar a un polígono de 15 lados?

51

los

teoremas

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3) ¿Cuántas diagonales se le pueden trazar desde un mismo vértice a un polígono de 14 lados?

4) ¿Cuál es el polígono al que se le pueden trazar 11 diagonales desde un mismo vértice?

5) ¿Cuántos lados tendrá un polígono regular, si sabemos que cada ángulo interior vale 140°?

6) ¿Cuál es el polígono cuyos ángulos interiores miden 90° cada uno?

7) ¿Cuál es el polígono cuyos ángulos interiores suman 1260°?

52

Geometría y Trigonometría

Polígonos

5.4 Perímetro y área de polígonos 5.4.1 Definición de perímetro y área

Perímetro

Área

En los cuerpos geométricos las caras o límites de los sólidos se llaman superficies, las cuales determinan su forma. Al medir el contorno de una figura geométrica obtenemos su perímetro que representamos con la letra P.

El área de una figura geométrica es la medida de su superficie; la unidad de medida, generalmente es el metro cuadrado y se expresa en m 2 .

Fórmula

El perímetro y el área de una figura geométrica puede ser indicada por medio de una fórmula, la cual es la expresión de una ley o de un principio general, usando símbolos o letras. Una fórmula es una ecuación en la que podemos despejar cualquiera de las variables que en ella intervienen, considerándola como incógnita. Ejemplo.- El área del triángulo se expresa como:

A=

bh 2

donde : b = base h = altura

2A b 2A b= h

h=

Despejando para altura Despejando para base

5.4.2 Fórmulas geométricas para calcular superficies y perímetros RECTÁNGULO Perímetro P = 2a + 2b

53

Área A = ab

Unidad uno

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CUADRADO Perímetro P = 4a

Área A = a2

Perímetro P = 2b + 2a

Área A = bh

a

PARALELOGRAMO

TRIÁNGULO Perímetro P = a+b+c

Área 1 A = bh 2 A = s ( s − a )( s − b)( s − c)

Semiperímetro = s =

ROMBO Perímetro P = 4a

54

Área 1 A = dd ' 2

P 2

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Polígonos

TRAPECIO Perímetro P =a+b+c+d

Área 1 A = ( a + b) h 2

Perímetro P = nb

Área 1 A = Pa 2

POLÍGONO REGULAR

donde A =

1 Pa 2

P = Perímetro a = Apotema

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EJERCICIO 5-4 INSTRUCCIONES.- Obtén el área y el perímetro de cada uno de los problemas indicados, además dibuja la figura que corresponda. 1) De un rectángulo cuya base mide 5cm y la altura 3cm.

2) De un cuadrado de 3cm por lado.

3) De un rombo cuya diagonal mayor es de 7cm, la menor de 4cm y sus lados miden 3cm.

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Polígonos

4) De un triángulo isósceles cuya base mide 6cm, la altura 5cm y los lados 10 cm.

5) De un hexágono regular cuyo lado mide 3cm y su apotema 1.5cm.

6) De un trapecio cuyas bases miden 10cm, 7cm, su altura 5cm y sus otros dos lados miden 6cm.

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