5. SISTEMAS LINEALES DE SEGUNDO ORDEN (II) 5.1 INTRODUCCIÓN – DOMINIO LAPLACE A la ecuación diferencial que modela matemáticamente a un sistema lineal de segundo orden con una variable de entrada, " X (t )" , y una variable salida, "Y (t )" se le puede aplicar la transformada de Laplace y expresarla como una función de transferencia, G(s), así:

G (s) =

Y (s) K = 2 2 X (s) τ s + 2 ζτ s + 1

(5.1)

La transformada de Laplace (5.1) permite encontrar la respuesta del sistema para un determinado tipo de cambio en su variable de entrada, mediante un procedimiento algebraico que requiere de la expansión de la fracción en fracciones parciales, la evaluación de los coeficientes para cada una de las fracciones y finalmente la inversión de la transformada de Laplace. El significado de los parámetros dinámicos es el mismo estudiado en el dominio del tiempo El denominador de la función de transferencia corresponde a la denominada Ecuación característica o Ecuación auxiliar cuyas raíces determinan el tipo de respuesta del sistema ante un determinado cambio en su variable de entrada. El cálculo de estas raíces se realiza mediante la solución de la ecuación cuadrática (4.4). El factor de amortiguamiento, ζ , es el parámetro físico del sistema que determina la naturaleza de las raíces de la ecuación característica y, con ello, el tipo de respuesta del sistema

5.2 RESPUESTA PASO DE UN SISTEMA DE SEGUNDO ORDEN Al considerar que en la función de transferencia (5.1), la variable de entrada es perturbada con un cambio paso constante, es decir que X ( s) =

∆x , entonces se puede s

escribir que:

Y (s) =

K∆x s (τ s + 2 ζτ s + 1 ) 2

2

(5.2)

80

Al invertir según Laplace la transformada (5.2) para cada uno de los casos se encuentran las siguientes soluciones

Respuesta Sobreamortiguada Para una respuesta sobre amortiguada el denominador de la función de transferencia (5.2) se puede escribir de la siguiente forma, teniendo en cuenta que la ecuación característica tiene raíces reales negativas y diferentes:

Y (s) =

K∆x τ 1τ 2 s ( s − r1 )( s − r 2 )

(5.3)

Siendo la relación entre las raíces y los atrasos dinámicos las mismas obtenidas en el dominio del tiempo. Al expandir en fracciones parciales la transformada (6.3), el miembro derecho se expresa así:

Y (s) =

A B C + + s s − r1 s − r2

(5.4)

Los numeradores constantes de las fracciones parciales se determinan mediante los siguientes límites:

K∆x = K∆x s → 0 τ τ ( s − r )( s − r ) 1 2 1 2

A = lim

τ K∆x K∆x =− 1 s → r1 τ τ s ( s − r ) τ1 −τ 2 1 2 2

B = lim

τ K∆x K∆x =− 2 s → r2 τ τ s ( s − r ) τ 2 −τ1 1 2 1

C = lim

Mach

81

Al sustituir las expresiones para A, B y C en la transformada (5.4) y hacer la correspondiente inversión resulta la respuesta dada por la ecuación (5.6)

  τ1 τ2 Y (t ) = K ∆ x 1 − e −(t /τ1 ) − e −(t / τ 2 )  τ 2 −τ1  τ1 −τ 2 

(4.6)

Respuesta Amortiguada Crítica Para este tipo de respuesta, las dos raíces son iguales y negativas y, por lo tanto, los atrasos dinámicos son iguales. En este caso la transformada de Laplace (5.3) corresponde a la siguiente expresión:

Y (s) =

K∆x τ s(s − r ) 2 2

(5.5)

Siendo r, el inverso de la constante de tiempo La expansión en fracciones parciales de (5.5) es la siguiente:

Y (s) =

A B C + + s s − r (s − r ) 2

Y las evaluaciones de los numeradores coeficientes de (5.6) son:

K∆x = K∆x s→ 0 τ 2 (s − r )2

A = lim

d ds

C = lim

K∆x K∆x =− 2 τ s τ

s→r

s→ r

Mach

 K∆x   τ 2 s  = − K ∆ x

B = lim

(5.6)

82

Al sustituir las expresiones para A, B y C en la transformada (5.6) y hacer la correspondiente inversión resulta la respuesta dada por la ecuación (4.11)  t   Y (t ) = K∆x 1 −  + 1e −( t / τ )    τ 

(4.11)

Respuesta Subamortiguada Para este tipo de respuesta, las dos raíces son complejas con parte real negativa. La transformada de Laplace para la respuesta del sistema se puede escribir en la siguiente forma:

Y (s) =

K∆x s ( s − r1 )( s − r2 )

(5.7)

Siendo r1 , r2, calculadas de acuerdo a las ecuaciones (4.14) La expansión en fracciones parciales de (5.7) es la siguiente:

Y (s) =

A B C + + s s − r1 s − r2

Y las evaluaciones de los numeradores coeficientes de (5.8) es:

K∆x K∆x = = K∆x s → 0 τ 2 ( s − r )( s − r ) τ 2 r1 r2 1 2

A = lim

B = lim = s → r1

K∆x K∆x = τ 2 s ( s − r2 ) τ 2 r1 ( r1 − r2 )

K∆x K∆x = s → r2 τ 2 s ( s − r ) τ 2 r2 ( r2 − r1 ) 1

C = lim

Mach

(5.8)

83

Al sustituir las expresiones para A, B y C en la transformada (5.8) y hacer la correspondiente inversión resulta la respuesta dada por la ecuación (4.13), luego de un desarrollo de transformación de exponenciales complejos en funciones trigonométricas.   1 Y (t ) = K∆x 1 − e −(ζ / τ )t Sen(ψt + φ )   1− ζ 2

(4.13)

El caso de la respuesta oscilatoria se deja para su desarrollo por parte del estudiante 5.3 RESPUESTA RAMPA DE UN SISTEMA DE SEGUNDO ORDEN Al considerar que en la función de transferencia (5.1), la variable de entrada es perturbada con un cambio rampa, es decir que X ( s) =

r , entonces se puede escribir s2

que:

Y (s) =

Kr s (τ s + 2 ζτ s + 1 ) 2

2

2

(5.9)

Al invertir según Laplace la transformada (5.9) para cada uno de los casos se encuentran las siguientes soluciones

Respuesta Sobreamortiguada Para una respuesta sobreamortiguada el denominador de la función de transferencia (5.9) se puede escribir de la siguiente forma, teniendo en cuenta que la ecuación característica tiene raíces reales negativas y diferentes:

Y (s) =

Mach

Kr τ 1τ 2 s ( s − r1 )( s − r2 ) 2

(5.10)

84

Al expandir en fracciones parciales la transformada (5.10), el miembro derecho se expresa así:

Y (s) =

A B C D + 2 + + s s s − r1 s − r2

(5.11)

Los numeradores constantes de las fracciones parciales se determinan mediante los siguientes límites:

  Kr  τ τ ( s − r )( s − r )  = − Kr (τ 1 + τ 2 ) s→0 1 2   1 2 Kr B = lim = Kr s → 0 τ τ ( s − r )( s − r ) 1 2 1 2 A = lim

d ds

Kr Kr τ 12 = C = lim s → r1 τ τ s 2 ( s − r ) τ1 −τ 2 1 2 2 Kr Kr τ 22 = D = lim s → r2 τ τ s 2 ( s − r ) τ 2 −τ1 1 2 1 Sustituyendo las expresiones para A, B, C y D en la expansión (5.11) e invirtiendo según Laplace se demuestra que la respuesta rampa de un sistema lineal de segundo orden sobreamortiguado es de la forma (4.20)

 τ 12  τ 22 −(t / τ1 ) Y (t ) = Kr  e e − ( t / τ 2 ) + t − (τ 1 + τ 2 )  + τ 2 −τ1 τ 1 − τ 2 

(4.20)

Respuesta Amortiguada Crítica Para este tipo de respuesta, las dos raíces son iguales y negativas y, por lo tanto, los atrasos dinámicos son iguales. En este caso la transformada de Laplace (5.9) corresponde a la siguiente: Mach

85 Y (s) =

Kr τ s (s − r)2 2

(5.12)

2

Al expandir en fracciones parciales la transformada (5.12), el miembro derecho se expresa así:

Y (s) =

A B C D + 2 + + s s s − r (s − r )2

(5.13)

Los numeradores constantes de las fracciones parciales de (5.13) se determinan así:

A = lim

s→0

d ds

  Kr τ 2 ( s − r ) 2   

Kr = Kr s→ 0 τ 2 ( s − r ) 2

B = lim

C = lim

d  Kr  = 2 Kr τ ds  τ 2 s 2 

D = lim

Kr = Kr τ 2s2

s→ r

s→ r

Sustituyendo las expresiones para A, B, C y D en la expansión (5.13) e invirtiendo según Laplace se demuestra que la respuesta rampa de un sistema lineal de segundo orden amortiguado crítico es de la forma (4.24)

[

Y (t ) = Kr (t + 2τ )e − (t / τ ) + t − 2τ

Mach

]

(4.24)

86

Respuesta Subamortiguada Para este tipo de respuesta, las dos raíces son complejas con parte real negativa. La transformada de Laplace para la respuesta del sistema se puede escribir en la siguiente forma:

Y (s) =

Kr τ s ( s − r1 )( s − r2 ) 2

2

(5.14)

Siendo r1 , r2, calculadas de acuerdo con las ecuaciones (4.14) La expansión en fracciones parciales de (5.14) es la siguiente: A B C D + 2 + + s s s − r1 s − r2

Y (s) =

(5.15)

Y las evaluaciones de los numeradores coeficientes de (5.15) son:

A = lim

s→ 0

d ds

  Kr ( r1 + r2 ) Kr  τ 2 ( s − r )( s − r )  = τ 2 r r 1 2  1 2 

Kr Kr = 2 s → 0 τ ( s − r )( s − r ) τ r1 r2 1 2

B = lim

2

Kr Kr = 2 2 s → r1 τ s ( s − r ) τ r1 ( r1 − r2 ) 2

C = lim

2

2

Kr Kr = s → r2 τ 2 s 2 ( s − r ) τ 2 r22 ( r2 − r1 ) 1

D = lim

Al sustituir las expresiones para A, B y C en la transformada (5.15) y hacer la correspondiente inversión resulta la respuesta dada por la ecuación (4.27), luego de Mach

87

un desarrollo de transformación de exponenciales complejos en funciones trigonométricas.  τ  Y (t ) = Kr  e −(ζ / τ ) t Sen(ψt + φ ) + t − 2ζτ   1 − ζ 2 

(4.27)

El caso de la respuesta oscilatoria se deja para su desarrollo por parte del estudiante.

5.4 RESPUESTA SENO DE UN SISTEMA DE SEGUNDO ORDEN Al considerar que en la función de transferencia (5.1), la variable de entrada es perturbada con un cambio seno, es decir que X ( s ) =

Aw , entonces se puede s + w2 2

escribir que:

Y (s) =

KAw ( s + w )( τ 2 s 2 + 2 ζτ s + 1 ) 2

2

(5.16)

Respuesta Sobreamortiguada Para una respuesta sobreamortiguada el denominador de la función de transferencia (5.16) se puede escribir, teniendo en cuenta que la ecuación característica tiene raíces reales negativas y diferentes, de la siguiente forma:

Y (s) =

KAw τ 1τ 2 ( s − jw )( s + jw )( s − r1 )( s − r2 )

(5.17)

Al expandir en fracciones parciales la transformada (5.17), el miembro derecho se expresa así:

Y (s) =

Mach

A B C D + + + s − jw s + jw s − r1 s − r2

(5.18)

88

La determinación de las expresiones para A, B, C y D en la expansión (5.18) y la posterior inversión según Laplace, permite demostrar que la respuesta seno de un sistema lineal de segundo orden sobreamortiguado es de la forma (4.31)

Y (t ) = A1e − ( t / τ 1 ) + A2 e − ( t / τ 2 ) +

KA 1 + ( wτ 1 ) 2 1 + ( wτ 2 ) 2

Sen ( wt + θ )

(4.31)

Respuesta Amortiguada Crítica Para este caso, la expansión en fracciones parciales de la transformada de Laplace (5.16) es de la forma

Y (s) =

A B C D + + + s − jw s + jw s − r (s − r)2

(5.19)

La evaluación de A, B, C y D y la inversión de la transformada de Laplace (5.19) permiten la demostración de que la respuesta seno amortiguada crítica de un sistema lineal de segundo orden es de la forma de la ecuación (4.34)

Y (t ) = ( A1 + A2 t )e − ( t / τ ) +

KA Sen ( wt + θ ) 1 + ( wτ ) 2

(4.34)

Respuesta Subamortiguada Para este caso, la transformada de Laplace de la ecuación diferencial lineal de segundo orden se expande en la misma forma que (5.18), siendo r1, r2, raíces complejas conjugadas. La evaluación de A, B, C y D y la inversión de la transformada de Laplace demuestran que la respuesta subamortiguada de un sistema lineal de segundo orden es de la forma (4.36).   1 Y (t ) = KA De −(ζ / τ )t Sen(ψt + φ ) + Sen( wt + θ )   (1 − w 2τ 2 ) 2 + (2ζτw) 2

Mach

(4.36)

89

5.5 VALVULA DE CONTROL: Modelo de segundo orden Una válvula de control es un ejemplo de aplicación del modelo Masa – Resorte – Amortiguador Viscoso. Un bloque integrado por un conjunto de elementos conectados verticalmente (diafragma, vástago y plomada) se mueve por la acción de una fuerza aplicada sobre el primero de ellos. Un resorte rodea al vástago, sostiene al diafragma y descansa sobre una base. El extremo inferior del vástago se construye con una forma determinada y se desplaza, de acuerdo a la magnitud de la fuerza ejercida y provoca una variación de la abertura que se encuentra en el asiento del cuerpo de la válvula a través del cual se produce el paso de fluido. La dirección positiva para la fuerza y el desplazamiento del bloque se indican en la Figura 5.1.

Figura 5.1 Válvula de control neumática

Modelo matemático La posición del vástago se determina por el balance de todas las fuerzas que actúan sobre él. Estas fuerzas son: • La ejercida por el aire comprimido sobre el diafragma, “pA”; la presión “p” es la señal que abre o cierra la válvula y “A” es el área del diafragma. Esta fuerza actúa hacia abajo. • La ejercida por el resorte ensamblado al vástago y diafragma, “KY(t)”. Siendo “K” la constante de elasticidad de Hooke del resorte. Esta fuerza actúa hacia arriba.

Mach

90

• La fricción ejercida hacia arriba y que resulta del contacto entre el extremo

del vástago y el empaque sobre el asiento de la válvula, C

dY (t ) . Siendo “C” dt

es el coeficiente de fricción entre el vástago y el empaque. Aplicando la segunda ley de Newton sobre la dinámica de los cuerpos, se tiene que: M d 2Y (t ) dY (t ) = − KY (t ) − C + Ap (t ) 2 g c dt dt

Siendo

g c = 32.2

(5.20)

lbm − pie lbf − s 2

M = Masa del bloque, lbm C = Coeficiente de amortiguamiento viscoso, lbf / pie / s K = Constante de Hooke del resorte, lbf / pie A = Área del diafragma, pie2 p(t) = Presión ejercida sobre el diafragma, lbf / pie2 Una transposición de términos en la ecuación (5.20), permite expresarla de tal manera que se deduzcan las expresiones para calcular los parámetros dinámicos del sistema de acuerdo a la ecuación general de un sistema de segundo orden. Al arreglar la ecuación (5.20) en la forma general de la ecuación (4.1): M d 2Y (t ) C dY (t ) A + + Y (t ) = p (t ) 2 g c K dt K dt K

(5.21)

Se obtienen las siguientes ecuaciones para calcular la constante de tiempo, el factor de amortiguamiento y la ganancia del sistema masa – resorte – amortiguador viscoso, conociendo sus parámetros físicos.

Constante de tiempo, segundos:

Mach

τv =

M gc K

(5.22)

91

Coeficiente de amortiguamiento, adimensional:

ζv =

Ganancia en estado estacionaria, pie / lbf:

Kv =

gcC 2 4 MK A K

(5.23) (5.24)

En el dominio de Laplace la dinámica de una válvula de control se especifica, por lo tanto, con los parámetros característicos de un sistema de segundo orden y una función de transferencia de la forma Kv Y (s) = G (s) = 2 2 P (s) τ v s + 2ζ vτ v s + 1

(5.25)

Se entiende con la ecuación (5.25) que cuando se produce un cambio en la presión sobre el diafragma de la válvula ocasionado por una acción del controlador, la válvula experimenta un deslizamiento en el vástago, que se traduce en un cambio en la abertura que permite el paso y la manipulación del flujo de fluido con el cual se controla la variable de proceso deseada

Simplificación de la dinámica de una válvula de control La dinámica de una válvula neumática, usualmente, se aproxima a un sistema de primer orden porque generalmente M 0) disp('Respuesta Subamortiguada Estable') Frecuencia = sqrt(1-sigma^2)/tau Fase = atan(sqrt(1-sigma^2)/sigma) Sobrepaso = 100*exp(-pi*sigma/sqrt(1-sigma^2)) Decaimiento = (Sobrepaso/100)^2 elseif sigma == 0 disp('Respuesta Oscilatoria Sostenida') else disp('Respuesta Inestable') end step(h) title('Respuesta Paso de un Sistema Lineal de Segundo Orden'); xlabel('Tiempo'); ylabel('Respuesta') case 2 disp('==============================================') disp(' ') disp(' CAMBIO RAMPA EN LA VARIABLE DE ENTRADA') disp(' ') disp('==============================================') disp(' ') r = input('Introduzca el valor de la pendiente de la rampa de entrada = '); disp(' ') disp('==============================================') Mach

95

h = tf([K*r], [tau^2 2*sigma*tau 1 0]); disp(' ') disp(' RESULTADOS') disp(' ') disp('==============================================') disp(' ') if sigma > 1 disp('Respuesta Sobreamortiguada') disp('Atrasos dinámicos') atraso = -1./z elseif sigma == 1 disp('Respuesta Amortiguada Crítica') disp('Atrasos dinámicos') atraso = -1./z elseif (sigma < 1)&(sigma > 0) disp('Respuesta Subamortiguada') Frecuencia = (sqrt(1-sigma^2))/tau Fase = atan(2*sigma*(sqrt(1-sigma^2))/(2*sigma^2-1)) elseif sigma == 0 disp('Respuesta Oscilatoria Sostenida') else disp('Respuesta Inestable') end [y,t] = step(h); plot(t,r*t,t,y/K,'r') title('Respuesta Rampa de un Sistema Lineal de Segundo Orden'); xlabel('Tiempo'); ylabel('Respuesta') case 3 disp('==============================================') disp(' ') disp(' CAMBIO SENO EN LA VARIABLE DE ENTRADA') disp(' ') disp('==============================================') disp(' ') A = input('Amplitud de la entrada seno = '); w = input('Frecuencia de la entrada seno = '); disp(' ') disp('==============================================') den1 = [1 0 w^2]; den = conv(den1,p); h = tf([K*A*w], den) ; Mach

96

disp('==============================================') disp(' ') disp(' RESULTADOS') disp(' ') disp('==============================================') disp(' ') if sigma > 1 disp('Respuesta Sobreamortiguada') disp('Atrasos dinámicos') atraso = -1./z Fase = atan(-w*atraso(1)) + atan(-w*atraso(2)) Amplitud = K*A/((sqrt(1+(w*atraso(1))^2))*(sqrt(1+(w*atraso(2))^2))) elseif sigma == 1 disp('Respuesta Amortiguada Crítica') disp('Atrasos dinámicos') atraso = -1./z elseif (sigma < 1)&(sigma > 0) disp('Respuesta Subamortiguada') elseif sigma == 0 disp('Respuesta Oscilatoria Sostenida') else disp('Respuesta Inestable') end [y,t] = impulse(h); plot(t,A*sin(w*t),t,y,'r') title('Respuesta Seno de un Sistema Lineal de Segundo Orden'); xlabel('Tiempo'); ylabel('Respuesta') end

Mach