TEMA 2 ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE SEGUNDO ORDEN Y SUS APLICACIONES

2.1. MOTIVACIÓN Las ecuaciones diferenciales de orden mayor o igual que dos son bastante difíciles de resolver. De manera especial se estudiarán, algunas ecuaciones lineales, para las cuales existe una teoría general a efectos de su integración (las lineales a coeficientes constantes). Ya se ha visto un tipo de problema que conduce a ecuaciones de orden superior a uno: la determinación de la ecuación diferencial de una familia de curvas planas que depende de más de un parámetro. Se resolverán, inicialmente, ecuaciones diferenciales lineales de orden dos o superior, con coeficientes constantes. En las aplicaciones las ecuaciones lineales de orden superior con coeficientes variables tienen la misma importancia, si no es que más, que las de coeficientes constantes. Una ecuación lineal sencilla de segundo orden con coeficientes variables, como es y ''+ xy = 0 , no tiene soluciones elementales. Se pueden encontrar dos soluciones linealmente independientes de esta ecuación pero, según se verá, estas soluciones están representadas por series infinitas.

2.2. ECUACIÓN DIFERENCIAL LINEAL DE SEGUNDO ORDEN Definición 1. Una ecuación diferencial lineal de segundo orden de coeficientes d2 y dy reales tiene la forma a 2 + b + cy = g(x) o bien ay ''+ by '+ cy = g(x) (1) con a, b, dx dx c ∈ R, a ≠ 0, g(x) una función continua en un intervalo abierto I. Cuando g(x) es diferente de cero entonces se dirá que (1) es una ecuación diferencial lineal no homogénea mientras que si g(x) = 0 entonces (1) es una ecuación diferencial lineal homogénea.

Definición 2. Sea ay ''+ by '+ cy = g(x) una ecuación diferencial lineal de segundo orden con coeficientes reales y no homogénea. A la ecuación ay ''+ by '+ cy = 0 (2) se le llamará su ecuación homogénea asociada.

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2.3. DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA LINEAL DE LAS SOLUCIONES Definición 3. Se dice que un conjunto de funciones f1(x),

f2 (x), ...,

fn (x) es

linealmente dependiente en un intervalo I si existen constantes c1 , c2 , ..., cn , no todas nulas, tales que c1f1(x) + c2 f2 (x) + ... + cnfn (x) = 0 para todo x en el intervalo. Ejemplo

1.

Las

funciones

f1(x) = sen2x

dependientes en el intervalo −∞ < x < ∞

y

f2 (x) = senx cos x

son

linealmente

puesto que c1sen2x + c2senx cos x = 0 se

satisface para todo x si se elige c1 = 1 / 2 y c2 = −1 . Ejemplo 2. Las funciones f1(x) =

x + 5 , f2 (x) = x + 5x , f3 (x) = x − 1 , f4 (x) = x2 , son linealmente dependientes en 0 < x < ∞ ya que f2 (x) = 1.f1(x) + 5.f3 (x) + 0.f4 (x) para todo x del intervalo. Definición 4. Se dice que un conjunto de funciones f1(x),

f2 (x), ...,

fn (x) es

linealmente independiente en un intervalo I si no es linealmente dependiente en el

intervalo. En otras palabras, un conjunto de funciones es linealmente independiente en un intervalo si las únicas constantes para las cuales c1f1(x) + c2 f2 (x) + ... + cnfn (x) = 0 , para todo x en el intervalo, son c1 = c2 = ... = cn = 0. Ejemplo 3. Las funciones f1(x) = x y f2 (x) = x son linealmente independientes en el

intervalo −∞ < x < ∞ . El intervalo en el cual las funciones están definidas es importante en las consideraciones sobre dependencia lineal. Las funciones f1(x) = x y f2 (x) = x son linealmente independientes en el intervalo

0 R . Con frecuencia es fácil confirmar la segunda conclusión de este teorema en relación a la convergencia de las soluciones con series usando la prueba del cociente aprendida en Cálculo. Ejemplo 39. Determine, en términos de series de potencias centradas en x = 0 , la

solución general de la ecuación diferencial (x2 + 1)y ''+ xy '− y = 0 . Solución. ∞

Si y =

∑

∞

∑

cnxn entonces (x2 + 1)

n=0

n=2

∞

∑

∞

n(n − 1)cnxn +

n =2

∑

n(n − 1)cnxn − 2 +

n=2

∞

∑

n(n − 1)cnxn − 2 + x

n =2

∑

∞

∑

∞

∑c x

n

n

= 0.

n= 0

∞

ncnxn −

n =1

∑c x

n

n

= 0.

n= 0

∞

(n + 2)(n + 1)cn + 2 xn +

n= 0

∑

ncnxn −1 −

n =1

∞

n(n − 1)cnxn +

∞

∑

∞

ncnxn −

n =1

∑c x

n

n

= 0.

n =0

∞

∑ n(n − 1) + n − 1 c

n

+ (n + 2)(n + 1)cn + 2  xn = 0 . La relación de recurrencia es:

n=0

(1 − n) cn . (n + 2) 0 n = 1 ⇒ c3 = c1 c1 arbitrario 3

(n + 1)(n − 1)cn + (n + 2)(n + 1)cn + 2 = 0 ⇒ cn + 2 = n = 0 ⇒ c2 =

1 c0 2

c0 arbitrario

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1 1 c2 = − 2 c0 4 2 2! 3 1.3 n = 4 ⇒ c6 = − c4 = 3 c0 6 2 3!

2 c3 = 0 5 4 n = 5 ⇒ c7 = − c5 = 0 . 7

n = 2 ⇒ c4 = −

n = 3 ⇒ c5 = −

Por lo tanto

1 1 1.3 1.3.5 8   y = c0 + c1x + c2 x2 + c3x3 + ... = c1x + c0 1 + x2 − 2 x 4 + 3 x6 − 4 x + ... 2 2 2! 2 3! 2 4!   Las soluciones son  1 y1(x) = c0 1 + x2 + 2 

∞

∑ (−1)

n −1

1.3.5...(2n − 3) n

2 n!

n=2

 x2n  , 

x < 1,

y2 (x) = c1x

Ejemplo 40. Determine, en términos de series de potencias centradas en x = 0 , la solución de la ecuación diferencial y ''+ 2xy '− y = 0 sujeta a las condiciones y(0) = 0 ,

y '(0) = 1 . ∞

Solución. Sean y =

∑

∞

Cnxn , y ' =

n =0

∞

Sustituyendo:

∑

∑

Cnnxn −1 , y'' =

n =0

n =2

∞

∑

De modo que:

∑

∑C x

.

= 0.

n

n

Cnn(n − 1)xn − 2 se tiene

∞

∑C

k + 2 (k

+ 2)(k + 1)xk .

k =0 ∞

∑

Cn + 2 (n + 2)(n + 1)xn + 2

n=0

n−2

n=0

n =2

∞

n

∞

Cnnxn −

n =0

Haciendo k = n − 2 en

∑ C n(n − 1)x n=0

∞

∑

Cnn(n − 1)xn − 2 + 2

∞

n=0

∞

Cnnxn −

∑C x

n

n

= 0.

n=0

∞

Entonces:

∑ C

n + 2 (n

+ 2)(n + 1) + 2Cnn − Cn  xn = 0 , de donde la relación de recurrencia

n=0

(2n − 1) Cn . Para: (n + 2)(n + 1) 1 1 3 3.1 ; ; ; n = 0 , C2 = C0 n = 1 , C3 = − C1 n = 2 , C4 = − C2 = − C0 2 3.2 4.3 4.3.2 5 5.1 7 7.3.1 ; ; n = 3 , C5 = − C3 = C1 n = 4 , C6 = − C4 = C0 5.4 5.4.3.2 6.5 6.5.4.3.2 9 9.5.1 11 11.7.3.1 ; n = 5 , C7 = − C5 = − C1 n = 6 , C8 = − C6 = − C0 7.6 7.6.5.4.3.2 8.7 8.7.6.5.4.3.2

se define como: Cn + 2 = −

De modo que:

1 2 3.1 4 7.3.1 6 11.7.3.1 8   y = C0  1 + x − x + x − x + ... + 2! 4! 6! 8!   1 3 5.1 5 9.5.1 7 13.9.5.1 9   C1  x − x + x − x + x − ... 3! 5! 7! 9!   y 4.3.1 3 7.6.3.1 5 11.8.7.3.1 7 2  y ' = C0  x − x + x − x + ... + 4! 6! 8!  2!  3 5.5.1 9.7.5.1 13.9.9.5.1   C1  1 − x2 + x4 − x6 + x8 − ... 3! 5! 7! 9!  

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Entonces: ∞ ∞   3.7.11.....(4k − 1) 2k  5.9.13.....(4k + 1) 2k +1   y = C0  1 + (−1)k +1 x  + C1  x + (−1)k x     (2k)! (2k + 1)! k =1 k =1     Con las condiciones iniciales se obtiene: 0 = C0 + 0.C1 , 1 = 0.C0 + C1 , C0 = 0 , C1 = 1 y

∑

∑

 la solución toma la forma y =  x +  

∞

∑ (−1)

k

k =1

5.9.13.....(4k + 1) 2k +1  . x  (2k + 1)! 

2.22. ECUACIÓN DE LEGENDRE Definición 7. La ecuación (1 − x2 )y ''− 2xy '+ n(n + 1)y = 0 , donde n es un entero no

negativo, aparece en muchas ocasiones en estudios avanzados de matemática aplicada, física e ingeniería. Se llama ecuación de Legendre. Dado que x = 0 es un punto ordinario de la ecuación, se sustituye la serie de ∞

potencia y =

∑c x

n

n

, se desplazan los índices de suma y se combinan las series para

n=0

obtener

(1 − x2 )y ''− 2xy '+ n(n + 1)y = n(n + 1)c0 + 2c2  + (n − 1)(n + 2)c1 + 6c3  x ∞

+

∑ (j + 2)(j + 1)c

j+ 2

+ (n − j)(n + j + 1)c j  x j = 0,

j=2

lo cual significa que, n(n + 1)c0 + 2c2 = 0,

(n − 1)(n + 2)c1 + 6c3 = 0,

(j + 2)(j + 1)c j + 2 + (n − j)(n + j + 1)c j = 0

o sea

c2 = −

n(n + 1) c0 , 2!

c3 = −

(n − 1)(n + 2) c1 , 3!

c j+ 2 = −

(n − j)(n + j + 1) cj, (j + 2)(j + 1)

j = 2, 3, 4,...

Si se hace que j tome los valores 2, 3, 4, …, la relación de recurrencia anterior da como resultado (n − 2)(n + 3) (n − 2)n(n + 1)(n + 3) c4 = − c2 = c0 4.3 4! (n − 3)(n + 4) (n − 3)(n − 1)(n + 2)(n + 4) c5 = − c3 = c1 5.4 5! (n − 4)(n + 5) (n − 4)(n − 2)n(n + 1)(n + 3)(n + 5) c6 = − c4 = − c0 6.5 6! (n − 5)(n + 6) (n − 5)(n − 3)(n − 1)(n + 2)(n + 4)(n + 6) c7 = − c5 = − c1 7.6 7! etc. Entonces, cuando menos para x < 1 se obtienen dos soluciones linealmente independientes en forma de series de potencias: n(n + 1) 2 (n − 2)n(n + 1)(n + 3) 4 (n − 4)(n − 2)n(n + 1)(n + 3)(n + 5) 6   y1(x) = c0 1 − x + x − x + ... 2! 4! 6!   (n − 1)(n + 2) 3 (n − 3)(n − 1)(n + 2)(n + 4) 5 (n − 5)(n − 3)(n − 1)(n + 2)(n + 4)(n + 6) 7   y2(x) = c1  x − x + x − x + ... 3! 5! 7!  

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Observe que si n es en entero par, la primera serie termina, mientras que y2 (x) es una serie infinita; por ejemplo, si n = 4 , entonces

4.5 2 2.4.5.7 4  35 4    y1(x) = c0 1 − x + x  = c0 1 − 10x2 + x . 2! 4! 3     De igual manera, cuando n es un entero impar, la serie de y2 (x) termina con xn ; esto es, cuando n es un entero no negativo, se obtiene una solución en forma de polinomio de grado n de la ecuación de Legendre. Como se sabe que un múltiplo constante de una solución de la ecuación de Legendre también es una solución, se acostumbra elegir valores específicos de c0 o c1 , dependiendo de si n es un entero, positivo par o impar, respectivamente. Para

1.3...(n − 1) mientras que para 2.4...n 1.3...n . Por ejemplo, n = 1 se escoge c1 = 1 , y para n = 3,5, 7,... c1 = (−1)(n −1) / 2 2.4...(n − 1) n = 0 se elige c0 = 1 , y para n = 2, 4, 6,...

cuando n = 4 , y1(x) = (−1)4 / 2

c0 = (−1)n / 2

1.3  35 4  1 1 − 10x2 + x  = (35x4 − 30x2 + 3) . 2.4  3  8

2.23. POLINOMIOS DE LEGENDRE Definición 8. Sea {Pn(x)} , donde n = 0,1, 2,..., la sucesión de polinomios como sigue:

P0 (x) = 1 y Pn (x) =

1 dn n 2 n! dxn

(x2 − 1)n , (*) para n > 0 . Entonces Pn (x) es llamado el

polinomio de Legendre de grado n, y (*) se conoce como la fórmula de Rodrígues para estos polinomios. De (*) está claro que Pn (x) es un polinomio de grado n, y por cálculo directo, se ve que P0 (x) = 1, P1(x) = x, P2 (x) =

3 2

x2 − 12 , P3 (x) =

5 2

x3 −

3 2

x.

TEOREMA 5. Las siguientes, son propiedades de los polinomios de Legendre: a. El polinomio enésimo Pn de Legendre, es una solución de la ecuación diferencial lineal de segundo orden (1 − x2 )y ''− 2xy '+ n(n + 1)y = 0 (Ecuación de Legendre).

b. El polinomio de Legendre de orden n + 1 satisface la identidad dada por +1 Pn +1 = 2n xPn − nn+1 Pn −1 para toda n ≥ 1 , y toda x. n +1 c. d.

Pn (−x) = (−1)nPn (x) para toda n. Pn (1) = 1 para toda n.

e.

Pn (−1) = (−1)n para toda n.

f.

Pn (0) = 0, n impar

g.

Pn' (0) = 0, n par

h. El polinomio de Legendre de grado n tiene n raíces reales distintas, entre –1 y 1.

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2.24. PUNTO SINGULAR REGULAR Definición 6. Sea x = a un punto singular de la ecuación diferencial dada por

(x − a)q(x) x →a p(x)

p(x)y ''+ q(x)y '+ r(x)y = 0 . Entonces si lím

(x − a)2 r(x) existen ambos x →a p(x)

y

lím

y son finitos, se llama a x = a un punto singular regular; en caso contrario se llama un punto singular irregular. Ejemplo 41. Dada la ecuación (x − 2)y ''+ 3y '− xy = 0 , se tiene p(x) = x − 2 , q(x) = 3,

(x − 2)(3) (x − 2)2 (−x) = 3, lím = 0, x →2 x →2 x−2 x−2

r(x) = −x y x = 2 es un punto singular. Como lím

esto es, ambos límites existen, x = 2 es un punto singular regular. Ejemplo

42.

Dada

la

ecuación

x3 (1 − x)y ''+ (3x + 2)y '+ x 4 y = 0,

se

tiene

p(x) = x (1 − x), q(x) = 3x + 2, r(x) = x , y hay dos puntos singulares x = 0 y x = 1 . 3

4

Puesto que lím

x →0

x(3x + 2) x3 (1 − x)

no existe, mientras que lím

x →0

singular irregular. Puesto que lím

x →1

(x − 1)(3x + 2) x3 (1 − x)

x2.x4

= 0 , x = 0 es un punto

x3 (1 − x)

= −5 ,

lím

(x − 1)2 (3x + 2) x3 (1 − x)

x →1

= 0 , existen

ambos, x = 1 es un punto singular regular. Basados en las observaciones, se conjetura la verdad del siguiente: TEOREMA 7. Sea x = a un punto singular regular de la ecuación diferencial p(x)y ''+ q(x)y '+ r(x)y = 0 , donde p(x), q(x) y r(x) son polinomios, y suponga que x = a

(x − a)q(x) x →a p(x)

es un punto singular regular, esto es lím

y

(x − a)2 r(x) existen ambos x →a p(x) lím

y son finitos, entonces la ecuación tiene una solución de la forma ∞

y = (x − a)r [a0 + a1(x − a) + a2 (x − a)2 + ...] =

∑ a (x − a)

j+r

j

,

j= 0

donde la serie aparte del factor (x − a)r converge para todo x tal que x − a < R y donde R es la distancia de x = a a la singularidad más próxima (por supuesto distinta de a). La serie puede o no puede converger para x − a = R pero definitivamente diverge para x − a > R .

2.25. MÉTODO DE FROBENIUS Ejemplo 43. Resuelva 3xy ''+ y '− y = 0 . ∞

Solución. Se ensayará una solución de la forma y =

∑c x n

n +r

. Ahora bien,

n=0

∞

y' =

∑ n =0

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(n + r)cnxn + r −1 , y '' =

∞

∑ (n + r)(n + r − 1)c x n

n +r −2

.

n=0

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∞

∑

3xy ''+ y '− y = 0 ⇒ 3

(n + r)(n + r − 1)cnxn + r −1 +

n=0

∞

∑

(n + r)cnxn + r −1 −

n =0

∞

∑c x n

n +1

=0

n=0

∞   [(n + r + 1)(3n + 3r + 1)cn +1 − cn ]xn  = 0 ⇒ xr r(3r − 2)c0 x −1 +   n=0 lo cual implica r(3r − 2)c0 = 0 , (n + r + 1)(3n + 3r + 1)cn +1 − cn = 0 , n = 0,1, 2,... Puesto que nada se logra eligiendo c0 = 0 , se debe tener r(3r − 2) = 0 (∗) y

∑

cn , n = 0,1,2,... (n + r + 1)(3n + 3r + 1) Al sustituir los dos valores de r encontrados en (∗) , r1 = 2 / 3 y r2 = 0 , resultan cn +1 =

dos relaciones de recurrencia diferentes: r1 = 2 / 3, cn +1 =

cn , n = 0,1, 2,... (3n + 5)(n + 1)

cn , n = 0,1, 2,... . De la primera relación de recurrencia: (n + 1)(3n + 1) c c0 c0 c c0 c c ,… c1 = 0 , c2 = 1 = , c3 = 2 = , c4 = 3 = 5.1 8.2 2!.5.8 11.3 3!.5.8.11 14.4 4!.5.8.11.14 c0 cn = , n = 1, 2, 3,... n!.5.8...(3n + 2)

r2 = 0, cn +1 =

De acuerdo con la segunda relación de recurrencia c c0 c0 c3 c3 c c c1 = 0 , c2 = 1 = , c3 = 2 = , c4 = = , … 1.1 2.4 2!.1.4 3.7 3!.1.4.7 4.10 4!.1.4.7.10 c0 cn = , n = 1,2, 3,... n!.1.4.7...(3n − 2) Se obtienen así dos soluciones en serie ∞    1 y1 = c0 x2 / 3 1 + xn  , y2 = c0 x0 1 + n!.5.8.11...(3n + 2)   n =1  

∑

∞



∑ n!.1.4.7...(3n − 2) x  . 1

n

n =1

De acuerdo al teorema 7 se puede afirmar que la convergencia de las soluciones se da para todo valor finito de x. Se tiene entonces que y = C1y1 + C2 y2 , es la solución general de la ecuación diferencial.

2.26. ECUACIÓN INDICIAL Definición 9. Se llama ecuación indicial alrededor de un punto singular regular (x − a)q(x) x = a , a una ecuación de la forma r(r − 1) + p0r + q0 = 0 , donde p0 = lím y x →a p(x)

(x − a)2 r(x) . x →a p(x)

q0 = lím

A la ecuación (∗) se le llama ecuación indicial del problema y a los valores r1 = 2 / 3 y r2 = 0 se les llama raíces indiciales o exponentes de la singularidad.

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Ejemplo 44. Resuelva xy ''+ (x − 6)y '− 3y = 0 . ∞

Solución. Se ensayará una solución de la forma y =

∑c x n

n +r

. Ahora bien,

n=0

∞

y' =

∑

(n + r)cnxn + r −1 , y '' =

n =0

∞

∑ (n + r)(n + r − 1)c x

n +r −2

n

.

n=0

De modo que ∞

xy ''+ (x − 6)y '− 3y = 0 ⇒

∑

(n + r)(n + r − 1)cnxn + r −1 − 6

n=0 ∞

∑

∑ (n + r)c x

n + r −1

n

+

n=0

∞

∑c x

(n + r)cnxn + r −3

n=0

n

n+r

=0

n =0

 ⇒ xr r(r − 7)c0 x −1 +   ⇒ xr r(r − 7)c0 x −1 + 

∞

∑

(n + r)(n + r − 7)cnxn −1 +

n =1

∞



∑ (n + r − 3)c x  = 0 n

n

n=0

∞

∑ [(n + r + 1)(n + r − 6)c

n +1

n=0

 + (n + r − 3)cn ]xn  = 0 

de modo que r1 = 7, r2 = 0 , r1 − r2 = 7 y + (n + r − 3)cn = 0, n = 0,1,2,... . Para la raíz menor r2 = 0 , se

Por consiguiente,

(n + r + 1)(n + r − 6)cn +1

∞

r(r − 7) = 0

tiene (n + 1)(n − 6)cn +1 + (n − 3)cn = 0. Puesto que n − 6 = 0 cuando n = 6 , no hay que dividir entre este término hasta que n > 6 . Se tiene 1.(−6)c1 + (−3)c0 = 0 , 2.(−5)c2 + (−2)c1 = 0 , 3.(−4)c3 + (−1)c2 = 0

4.(−3)c4 + 0.c3 = 0  5.(−2)c5 + 1.c4 = 0  implica c4 = c5 = c6 = 0  6.(−1)c6 + 2.c5 = 0  c0 y c7 arbitrarios 7.0c7 + 3.c6 = 0  1 1 1 1 1 Luego, c1 = − c0 , c2 = − c1 = c0 , c3 = − c2 = − c0 y para n ≥ 7 : 2 5 10 12 120 (n − 3)cn cn +1 = − (n + 1)(n − 6) 4 5 4.5 6 4.5.6 c8 = − c7 , c9 = − c8 = c7 , c10 = − c9 = − c7 8.1 9.2 2!.8.9 10.3 3!.8.9.10 … (−1) .4.5.6...(n − 4) cn = c7 , n = 8, 9,10,... (n − 7)!.8.9.10...n n +1

Finalmente, para x > 0 , una solución general de la ecuación es ∞  1 1 2 1 3 (−1)n.4.5.6...(n + 3) n + 7   y = C1 1 − x + x − x  + C2  x7 + x  2 10 120  n!.8.9.10...(n + 7)  n =1  

∑

Es interesante observar que en el ejemplo precedente no se usó la raíz mayor. Se debe a que esta sólo daría una solución contenida en la solución general que ya se encontró.

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Ejemplo 45. Resuelva xy ''+ 3y '− y = 0 . ∞   Solución. xy ''+ 3y '− y = 0 ⇒ xr r(r + 2)c0 x −1 + [(k + r + 1)(k + r + 3)ck +1 − ck ]xk  = 0 .   k =0 De modo que la ecuación indicial y los exponentes son r(r + 2) = 0 y r1 = −2 ,

∑

r2 = 0 respectivamente. Puesto que (k + r + 1)(k + r + 3)ck +1 − ck = 0, k = 0,1, 2,..., se tiene que cuando r = −2 : (k − 1)(k + 1)ck +1 − ck = 0 . Para los casos k = 0 y k = 1 se tiene: −1.1c1 − c0 = 0 y 0.2c2 − c1 = 0. La última ecuación implica que c1 = 0 y por lo

tanto la primera implica que c0 = 0. Se encuentra que ck +1 = y por lo tanto c3 =

ck , k = 2, 3,... (k − 1)(k + 1)

c c2 2c2 c 2c2 , c5 = 4 = , c4 = 3 = , … 1.3 2.4 2!4! 3.5 3!5! 2c2 cn = , n = 2, 3, 4,... (n − 2)!n!

De esta manera se puede escribir y1 = c2 x −2

∞

∑

2 xn = (n − 2)!n! n =2

∞

∑ n!(n + 2)! x 2

n

, x 0

10. Resuelva el siguiente problema de valores iniciales: y ''− 6y '+ 13y = xe3x sen(3x) y(0) = 0 ,

Prof. José Luis Quintero

y '(0) = 1

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11. Resuelva la ecuación (x2 − 1)y ''− 2xy '+ 2y =

x2 − 1 x2 + 1

sabiendo que y1(x) = x es una

solución de la ecuación homogénea correspondiente. 12. Resuelva x2 y ''− xy '+ 2y = 0 sabiendo que y1(x) = xsen(ln x) es una solución de ella. 13. Resuelva xy ''− 2(x + 1)y '+ (x + 2)y = 0 sabiendo que y1(x) = ex es una solución de ella.

14. Una fuerza horizontal dada en newtons por la función: 1500 cos(ωt − 4π ) (tiempo en segundos) se aplica a una masa de 25 Kg sujeta por un resorte cuya constante de elasticidad es 7500 (N/m) tal que ocurre el fenómeno de resonancia. a. Calcule el valor de ω , la frecuencia de oscilación de la fuerza y plantee la ecuación diferencial de la coordenada horizontal x(t) de la masa.

b. Obtenga x(t) para t ≥ 0 . 15. Determine el movimiento transitorio y oscilaciones periódicas estacionarias de un sistema masa-resorte amortiguado con m = 1 , c = 2 y k = 26 bajo la influencia de una fuerza externa F(t) = 82 cos(4t) con x(0) = 6 y x '(0) = 0 . Investigue la posibilidad de resonancia práctica para este sistema.

16. Determine el tipo de singularidad de la ecuación x3 (x − 1)y ''+ (x2 − 3x)y '− xy = 0 , y si existen puntos singulares regulares, dé su ecuación indicial.

17. Usando series de potencias centradas en x = 0 halle dos soluciones linealmente independientes de la ecuación 2xy ''+ (1 + x)y '+ y = 0 . 18. Usando series de potencias centradas alrededor del punto x = 0 , halle la solución general de la ecuación y ''+ x2 y ' = −2xy .

19. Sea la siguiente ecuación diferencial (x4 − 9x2 )y ''− (x2 − 9)y '+ xy = 0 . a. Determine los puntos singulares y clasifiquelos. b. Escriba la forma de la solución (no la calcule) alrededor de x = 1 e indique su intervalo de convergencia. 20. Sea la ecuación diferencial 3xy ''+ 7y '+ 15x2 y = 0 . a. Obtenga sus raíces indiciales en x0 = 0 . b. Obtenga dos soluciones linealmente independientes mediante el método de Frobenius alrededor de x0 = 0 . c.

Diga cuáles son los radios de convergencia de las dos soluciones.

21. Obtenga los cinco primeros términos no nulos de la solución general de la ecuación y ''+ 2xy '+ 3x2 y = 0 mediante el método de series de potencias. Prof. José Luis Quintero

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22. Dada la ecuación diferencial (x2 − 9)2 y ''+ (x + 3)y '+ 2y = 0 , determine los puntos singulares y clasifiquelos en regulares e irregulares. 23. Sea la ecuación diferencial xy ''+ y '+ x2 y = 0 . a. Muestre que x = 0 es un punto singular regular. b. Encuentre la solución general, usando series, alrededor de x = 0 y dé el intervalo de convergencia de la solución.

24. Resuelva, usando el método de las series de potencias, el problema de valor inicial  y ''− 2xy '+ 8y = 0 .  y(0) = 3, y '(0) = 0 ∞

25. Pruebe que

∑ n=0

(−1)n 22n(n!)2

x2n es solución particular de la ecuación xy ''+ y '+ xy = 0 .

26. Determine si son verdaderas o falsas las proposiciones. Justifique razonadamente su respuesta. a. La solución en series de potencias alrededor de x = 1 de la ecuación diferencial (x2 + 1)y ''+ xy '− y = 0 tiene como radio de convergencia r = 1 . b. La ecuación diferencial 8x2 y ''+ 10xy '+ (x − 1)y = 0 tiene como ecuación indicial a 8r2 + 2r − 1 = 0 .

c.

x = 0 y x = 1 son puntos singulares regulares de la ecuación diferencial dada por (x3 (x − 1))y ''+ (3x + 2)y '+ x4 y = 0 .

27. Dada la ecuación diferencial ax2 y ''+ bxy '+ cy = 0 (Ecuación de Euler-Cauchy de segundo orden), estudie la naturaleza del punto singular x = 0 .

28. Determine la solución general para cada ecuación diferencial en (0, ∞) : a.

x2 y ''+ xy '+ (x2 − 19 )y = 0

b.

4x2 y ''+ 4xy '+ (4x2 − 25)y = 0 xy ''+ y '+ xy = 0

c.

d2 y

dy + n(n + 1)sen(θ)y = 0 se dθ dθ puede transformar en la ecuación de Legendre con la sustitución x = cos(θ) .

29. Demuestre que la ecuación diferencial sen(θ)

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2

+ cos(θ)

100