UNIDAD 2 Ecuaciones Diferenciales Lineales de Orden Superior 2.1 Definición Una ecuación diferencial lineal de orden

an ( x )

n tiene la forma:

dny d n−1 y dy ( ) a x + + a1 ( x ) + a0 ( x ) y = g ( x ) n−1 n n−1 + dx dx dx

Si las funciones an ( x ) … a0 ( x ) son todas constantes (o cero) entonces se dice que la ecuación es de coeficientes constantes. Una ecuación diferencial lineal homogénea de orden n tiene la forma:

an ( x )

dny d n−1 y dy ( ) a x + + a1 ( x ) + a0 ( x ) y = 0 n−1 n n−1 + dx dx dx

Es decir, una ecuación diferencial lineal es homogénea si la función que es no homogénea o inhomogénea1.

g ( x ) es cero. En caso contario, se dice

De las ecuaciones diferenciales de orden superior, la más importante es la ecuación de segundo orden:

a2 ( x )

d2y dy ( ) + a0 ( x ) y = g ( x ) 2 + a1 x dx dx

2.2 Problema de valor inicial De la misma forma como se planteó el problema de valor inicial para una ecuación diferencial de primer orden, se puede plantear el problema de valor inicial para una ecuación de orden superior:

dny d n−1 y dy ( ) a x + + a1 ( x ) + a0 ( x ) y = g ( x ) n−1 n n−1 + dx dx dx

Resolver:

an ( x )

Sujeta a:

y ( x0 ) = y0 , y′( x0 ) = y′0 , …, y (n−1) ( x0 ) = y0(n−1)

( n−1)

donde y0 , y′0 , … y0 son constantes arbitrarias. Al resolver el problema de valor inicial, se busca una solución particular en algún intervalo I que contenga al punto x0 y que cumpla en dicho punto con los valores especificados de y y sus derivadas. Para la ecuación de segundo orden, el problema de valor inicial se simplifica a:

1

d2y dy ( ) + a0 ( x ) y = g ( x ) 2 + a1 x dx dx

Resolver:

a2 ( x )

Sujeta a:

y ( x0 ) = y0 , y′( x0 ) = y′0

No confundir con el las ecuaciones diferenciales de primer orden de coeficientes homogéneos que se vieron en la Unidad 1.

REVISIÓN 1 – 63897.55

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UNIDAD 2 ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE ORDEN SUPERIOR

Relacionado al problema de valor inicial, existe también el problema de valores en la frontera:

d2y dy ( ) + a0 ( x ) y = g ( x ) 2 + a1 x dx dx

Resolver:

a2 ( x )

Sujeta a:

y ( x0 ) = y0 , y ( x1 ) = y1

2.3 Teorema de existencia y unicidad Al igual que en el caso de las ecuaciones diferenciales de primer orden, este teorema establece las condiciones necesarias para que un problema de valor inicial tenga solución (existencia) y que esa solución sea la única que existe (unicidad). Sean an ( x ) , an−1 ( x ) , …, a1 ( x ) , a0 ( x ) y g ( x ) continuas en un intervalo I y sea an ( x ) ≠ 0 para todo x en este intervalo. Si x = x0 es cualquier punto de este intervalo, entonces existe una solución y ( x ) del problema de valor inicial en el intervalo, y esa solución es única.

2.4 Dependencia e independencia lineal (wronskiano) Definición: Se dice que un conjunto de funciones f1 ( x ) , f 2 ( x ) , …, f n ( x ) es linealmente dependiente en un intervalo I si existen constantes c1 , c2 , …, cn , no todas cero, tales que la combinación lineal de las funciones c1 f1 ( x ) + c2 f 2 ( x ) + + cn f n ( x ) sea igual a cero para todo x en el intervalo. Si un conjunto de funciones no es linealmente dependiente, se dice que el linealmente independiente. Ejemplo: f1 ( x ) = sen 2 x y f 2 ( x ) = sen x cos x son linealmente dependientes en el intervalo −∞< x