´ MATEMATICAS II

1o de grado en Ingenier´ıa Qu´ımica

HOJA 2: Sistemas y ecuaciones diferenciales de orden superior 1. Una poblaci´on de aves se encuentra repartida entre dos humedales A y B. Diariamente un 7% de aves del humedal A se traslada a B mientras que un 5% de aves de B lo hace a A. a) Formular una ecuaci´on diferencial para la evoluci´on de las poblaciones en A y B. b) ¿Qu´e porcentaje de aves habr´a en cada humedal a largo plazo? 2. En una reacci´on qu´ımica reversible se tienen dos mol´eculas A y B que en presencia de una enzima se transforman una en otra y viceversa, es decir A ↔ B. Se sabe que cada minuto el 6% de A se transforma en B, y el 2% de B se transforma en A. (a) Formula una ecuaci´on diferencial para este problema. A largo plazo, ¿qu´e proporci´on habr´a de cada una de las mol´eculas? (b) Resolver la ecuaci´on si inicialmente la cantidad de A es el doble que la de B. ¿Cu´ando ser´a la cantidad de B el doble que la de A? 3. Un restaurante dispone de dos salones comedor, uno para fumadores y otro para no fumadores. El sistema de aire acondicionado limpia un 1% del volumen de cada sala por minuto. Por otro lado, los salones se comunican entre s´ı por una puerta abierta, intercambiando entre ellos otro 1% de su volumen cada minuto. Formula con ecuaciones diferenciales las siguientes dos situaciones. (a) A la hora de cierre hay 100 litros de humo en la primera sala y nada en la segunda. Resuelve la ED y determina la cantidad m´axima de humo en la segunda sala. (b) A la hora de apertura las salas est´an limpias, pero se generan durante la noche 3 litros de humo por minuto en la primera sala, ¿qu´e cantidad de humo habr´a en la segunda sala a largo plazo? 4. En el curso de un r´ıo hay dos lagunas. Se ha observado que cada d´ıa la primera laguna vierte un 10% de su contenido en la segunda, y ´esta un 5% de su contenido r´ıo abajo. Un cami´on accidentado vierte sobre la primera laguna 100 litros de un producto t´oxico muy soluble. (a) Formula una ED para la cantidad de contaminante en cada laguna, y esboza la gr´afica de la soluci´on. (b) Resuelve la ED y calcula cu´ando ser´a m´axima la cantidad de contaminante en la segunda laguna, y qu´e cantidad de contaminante habr´a en cada una de ellas en ese momento. (c) Determina la cantidad de contaminante acumulado r´ıo abajo tras t d´ıas. ¿Cu´anto tardar´a en llegar un tercio del contaminante inicial? ¿Cu´anto hubiera tardado si no estuviera la segunda laguna? 5. Una salina de 200 m3 intercambia con el mar un caudal de 5 m3 de agua por d´ıa. La salina est´a conectada con canales con una peque˜ na balsa de volumen 30 m3 , intercambi´andose entre ellas 1 m3 de agua al d´ıa. Una plaga de algas llega a esa zona costera, de modo que el agua de mar que entra en la salina tiene una concentraci´on de 50 gramos de algas por m3 . Si x(t) e y(t) denotan respectivamente la cantidad de algas en la salina y en la balsa tras t d´ıas. a) Formula una ecuaci´on diferencial para x(t) e y(t). b) Formula una ecuaci´on diferencial para las concentraciones de algas q1 (t) y q2 (t), en la salina y en la balsa. ¿Cu´ales ser´an las concentraciones de algas a largo plazo?

1

6. Una poblaci´on de venados, dividida para su estudio en j´ovenes y adultos, satisface la ecuaci´on diferencial  0 x = −x + y y 0 = 00 6x − 00 2y (a) Determina a partir de la ecuaci´on las tasas de supervivencia de j´ovenes y adultos, y el n´ umero medio de cr´ıas por adulto. (b) Demuestra que, a la larga, la poblaci´on crecer´a aproximadamente un 27% cada a˜ no. (c) Para evitar un crecimiento incontrolado, se permite la caza anual de una proporci´on h de los venados adultos. ¿Cu´al ser´a ahora la ecuaci´on diferencial? Prueba que h = 0.6 es una caza demasiado intensiva, es decir, la poblaci´on de venados se extinguir´ıa. (d) ¿Es posible seleccionar h de manera que la poblaci´on de venados se mantenga estable? 7. Se tienen dos tanques con vol´ umenes constantes de 300 y 200 litros de agua, respectivamente. Las cantidades de sal x(t) e y(t) en cada uno de los tanques tras t minutos cumplen la ED F1 `/m con q0 gr sal/`

 0  x (t) = −00 02 x(t) + 00 01 y(t) + 6 

F2

y 0 (t) = 00 02 x(t) − 00 03 y(t)

A

B

300 `

200 `

F4 `/m

F3

(a) A partir de la ED determina el valor de las constantes F1 , F2 , F3 , F4 y q0 en el diagrama. (b) A largo plazo, ¿cu´al ser´a la cantidad de sal en cada tanque? ¿Y la concentraci´on? (c) Resuelve la ED para x(0) = 750 gramos de sal, y(0) = 0. (d) Esboza las gr´aficas de x(t) e y(t) obtenidas en (c). ¿Cu´ando ser´a m´axima y(t)? 8. Modelo competitivo: Dos especies compiten en un territorio; la presencia de una disminuye la tasa de crecimiento de la otra y viceversa:  0 x = 3x − y y 0 = −2x + 2y Resuelve la ecuaci´on sabiendo que inicialmente x(0) = 90 y y(0) = 150. ¿Desaparece alguna de las dos especies? 9. Modelo simbi´ otico: Dos especies cooperan; la tasa de crecimiento de cada una mejora con la presencia de la otra pero sufre con la abundancia de ella misma:  0 x = −2x + 4y y 0 = x − 2y Resuelve la ecuaci´on sabiendo que inicialmente x(0) = 200 y y(0) = 500. Esboza las gr´aficas de las soluciones. 10. Modelo presa-depredador: La abundancia del depredador da˜ na la tasa de crecimiento de la presa:  0 x =x+y y 0 = −x + y ¿Cu´al es el depredador y cu´al la presa? Resuelve la ecuaci´on para x(0) = y(0) = 1000. 2

11. La siguiente ecuaci´on es un modelo m´as realista de presa-depredador (V. Volterra 1926)  0 x = −00 1x + 00 03xy y 0 = 00 2y − 00 25xy (a) Explica c´omo crece cada poblaci´on en ausencia de la otra, y qu´e ocurre cuando est´an juntas. ¿Cu´al es la soluci´on de equilibrio? (b) Suponer ahora que, en una ´epoca de bonanza mejoran las tasas de supervivencia de ambas especies, quedando la ecuaci´on de la forma  0 x = −00 02x + 00 03xy y 0 = 00 3y − 00 25xy ¿Cu´al es ahora la soluci´on de equilibrio? ¿Es razonable que a pesar de la bonanza se haya reducido la poblaci´on de presas? (c) Suponer por el contrario que se introduce un pesticida para intentar acabar con la presa, si bien dicho pesticida tambi´en afecta al crecimiento natural del depredador, quedando la ecuaci´on  0 x = −00 2x + 00 03xy y 0 = 00 05y − 00 25xy ¿Cu´al es ahora la soluci´on de equilibrio? ¿Es razonable que el efecto del pesticida haya sido aumentar la poblaci´on de presas? Nota: En todos los casos es ilustrativo dibujar con ordenador las soluciones para un dato inicial fijo (digamos x(0) = 2, y(0) = 8), observando en las gr´aficas c´omo afectan los cambios a las poblaciones.

12. Ciertas reacciones qu´ımicas tienen comportamientos oscilatorios parecidos al ejercicio anterior (chemical clocks o chemical oscillators). • Consideremos una reacci´on qu´ımica de la forma A + X → 2X

X + Y → 2Y

Y →E

donde la cantidad de reactivo A es muy grande (y se puede suponer constante). Formula un modelo para la evoluci´on de las concentraciones x(t), y(t) de los reactivos X e Y . • En el modelo Brusselator 1 las concentraciones x(t) e y(t) de dos reactivos X e Y cumplen la ecuaci´on diferencial  0 x = a − (b + 1)x + x2 y y 0 = bx − x2 y (a) Calcula las soluciones de equilibrio. (b) Comprueba que si b < 1 + a2 , el sistema evoluciona hacia una soluci´on de equilibrio constante. (c) Cuando b > 1 + a2 el sistema evoluciona hacia una soluci´on peri´odica (chemical clock ). Comprueba este hecho con un ordenador, utilizando por ejemplo a = 1 y b = 2.5 (con datos iniciales arbitrarios). 1

Modelo te´ orico introducido por el premio Nobel de Qu´ımica I. Prigogine en 1968; las reacciones son A→X

2X + Y → 3X

B+X →Y +D

3

X → E.

13. Para los circuitos de la figura, la carga del condensador Q(t) y la intensidad de corriente por la inductancia I(t) cumplen respectivamente  0  0 1 Q = − R21C Q − I Q−I Q = − RC ii) i) 1 1 I 0 = LC Q I 0 = LC Q − RL1 I (a) Resolver (i) para R = L = 1, C = 1/2, Q(0) = 1/2, I(0) = 2. (b) Resolver (i) para R = C = 1, L = 4, Q(0) = 2, I(0) = 1. (c) Resolver (ii) para R1 = L = 1, R2 = 2, C = 1/2, Q(0) = −1, I(0) = 1. (d) Resolver (ii) para R1 = 1, R2 = 3/5, L = 2, C = 2/3. L

L

R1

R

R2

C

C

14. Para cada una de las figuras, formula un sistema de ecuaciones diferenciales para las cantidades de sal A(t), B(t), C(t) en cada uno de los tanques. Sin resolver las EDs, determina las cantidades de sal en cada tanque a largo plazo. agua pura 4 `/m

agua con 2 gr sal/litro 4 `/m 2 `/m

1 `/m

A

B

C

100 `

100 `

100 `

6 `/m

4 `/m

5 `/m

A

B

C

200 `

150 `

100 `

4 `/m

4 `/m

4 `/m

15. Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales de segundo orden  00  00  00 x + 5x0 + 6x = 0 x + 6x0 + 9x = 0 x + 2x0 + 2x = 0 a) b) c) 0 0 x(0) = 1 , x (0) = 0 x(0) = 1 , x (0) = 2 x(0) = 1 , x0 (0) = 0 Esboza la gr´afica de la soluci´on en cada caso, y determina el m´aximo de x(t). 16. Resuelve las siguientes ecuaciones diferenciales no homog´eneas:  00  00  00 x + 5x0 + 6x = 5 sin t x + 6x0 + 9x = 3t + 2 x + 2x0 + 2x = te−t a) b) c) x(0) = 1 , x0 (0) = 0 x(0) = 1 , x0 (0) = 2 x(0) = 1 , x0 (0) = 0 Esboza la gr´afica de la soluci´on en cada caso, y determina el comportamiento a largo plazo. 17. La posici´on de un muelle viene dada por la ecuaci´on diferencial x00 (t) + 6x0 (t) + 10x(t) = 0. Inicialmente est´a estirado en la posici´on x(0) = 1 cm, y lo comprimimos con velocidad −3 cm/s. (a) Resuelve la ecuaci´on diferencial y esboza la gr´afica de la soluci´on. (b) Determina la compresi´on m´axima que alcanza el muelle. (c) ¿Cu´anto tendr´ıamos que reducir el rozamiento para que la frecuencia de oscilaci´on se duplicara? 4

18. En un circuito LCR la cantidad de carga en el condensador, Q(t), cumple LQ00 (t) + RQ0 (t) +

Q(t) = 0. C

Suponer que L = 00 25, R = 10 y C = 00 001. Si inicialmente Q(0) = 3 y Q0 (0) = 0 (a) Hallar la carga en el condensador Q(t) y esbozar su gr´afica (b) ¿Cu´ando ser´a la carga en el condensador menor que 0’01? (c) ¿Cu´anto deber´ıa ser R para que la carga en el condensador no oscilara? 19. Tenemos un objeto de masa 1 kg sujeto a un muelle de constante k = 00 1 que se desliza sobre una superficie con rozamiento µ = 00 2. El objeto est´a inicialmente en equilibrio y le imprimimos una velocidad de 3 m/seg. (a) Calcula la posici´on exacta del objeto en tiempo t, esbozando su gr´afica. (b) ¿Cu´ales son las posiciones m´axima y m´ınima que alcanza el objeto? ¿A partir de que momento permanecer´a a menos de 0’1 metro del punto de equilibrio? (c) Suponer que aplicamos adicionalmente una fuerza externa F (t) = sin(00 3t). Utiliza el ordenador para dibujar la soluci´on en este caso, determinando las posiciones m´axima y m´ınima del objeto. 20. En Mec´anica Cu´antica, la probabilidad de que una part´ıcula recluida en el segmento rectil´ıneo [0, 1] est´e en la posici´on x viene dada por |ψ(x)|2 donde ψ(x) satisface la ecuaci´on de Schr¨odinger 2

~ ψ 00 (x) = E ψ(x), − 2m

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