TEMA Nº 6

SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN 6.1 TEOREMA PRELIMINAR INTRODUCCIÓN.- Sistema de ecuaciones diferenciales lineales con n incógnitas de la forma P11 ( D) x1  P12 ( D) x2  ...  P1n ( D) xn  b1 (t ) P21 ( D) x1  P22 ( D) x2  ...  P2 n ( D) xn  b2 (t ) 

(1)

Pn1 ( D) x1  Pn 2 ( D) x2  ...  Pnn ( D) xn  bn (t ) donde las Pij eran polinomios de varios grados en el operador diferencial D. En este capitulo se confina el estudio a Sistemas de ED de primer grado que son casos especiales de sistemas que tienen la forma normal

dx1  g1 (t , x1 , x2 ,..., xn ) dt dx1  g1 (t , x1 , x2 ,..., xn ) dt  dxn  g n (t , x1 , x2 ,..., xn ) dt

(2)

Un sistema como (2) de n ecuaciones diferenciales de primer orden se llama sistema de primer orden MATERIAL PARA REPASO: La notación de matrices y propiedades se usan de modo extenso en este capitulo. Es imperativo que revise el Apéndice II o un texto de Álgebra lineal si desconoce estos conceptos. En particular en esta sección se espera que sepa como sumar matrices, multiplicarlas y evaluar el determinante de una matriz. SISTEMAS LINEALES: Cuando cada una de las funciones g1 , g 2 ,...g n en (2) es lineal en las variables dependientes x1 , x2 ,...xn , se obtiene la forma normal de un sistema de ecuaciones lineales de primer orden.

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dx1  a11 (t ) x1  a12 (t ) x2  ...  a1n (t ) xn  f1t ) dt dx2  a21 (t ) x1  a22 (t ) x2  ...  a2 n (t ) xn  f 2 t ) dt  dxn  an1 (t ) x1  an 2 (t ) x2  ...  ann (t ) xn  f n t ) dt

(3)

Se hace referencia a un sistema de la forma dada en (3) simplemente como un sistema lineal. Se supone que los coeficientes aij y las funciones f i son continuas en un intervalo común I. Cuando

f i (t ) =0, i = 1,2,..., n, se dice que el sistema lineal (3) es homogéneo; de otro modo es no homogéneo. FORMA MATRICIAL DE UN SISTEMA LINEAL: Si X. A (t) y F(t) denotan matrices respectivas. a12 (t ) a1n (t )   a11 (t )  f1 (t )   x1 (t )        a22 (t ) a2 n (t )   a21 (t )  f 2 (t )   x2 (t )        . . . X=  A(t)=  F(t)=                         f (t )   x (t )   a (t )  a t a t ( ) ( ) n n n2 nn      n1  Entonces el sistema de ecuaciones lineales de primer orden (3) se puede escribir como:  x1   a11 (t )     x2   a21 (t ) d    = dt             xn   an1 (t )

o simplemente,

a12 (t ) a22 (t )

an 2 (t )

a1n (t )   a2 n (t )       ann (t ) 

 x1   f1 (t )       x2   f 2 (t )     +               xn   f n (t ) 

X’ = AX + F.

Simplemente el sistema es homogéneo, entonces su forma matricial es X’ = AX.

(4)

(5)

EJEMPLO 1 Sistemas escritos en notación matricial x (a) Si X =   , entonces la forma matricial del sistema homogéneo  y

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dx  3x  4 y 3 dt es X’ =  dy 5  5x  7 y dt

4   X.  7 

x   (b) Si X=  y , entonces la forma matricial del sistema homogéneo z    dx  6x  y  z  t dt

dy  8 x  7 y  z  10t dt

6 1 1   t      es   8 7  1 x  10t   2 9  1  6t     

dz  2 x  9 y  z  6t dt

DEFINICIÓN 6.1

Un vector solución en un intervalo I es cualquier matriz columna  x1 (t )     x2 (t )   X          xn (t )  cuyos elementos son funciones diferenciales que satisfacen el sistema (4) en el intervalo.

un vector solución de (4) es, por supuesto, equivalente a n ecuaciones escalares x1  1 (t ), x2  2 (t ),...,n (t ) y se puede interpretar desde el punto de vista geométrico como un conjunto de ecuaciones paramétricas de una curva en el espacio. Caso importante n = 2, las ecuaciones x1  1 (t ), x2   2 (t ) representan una curva en el plano x1 x2 es practica común llamar trayectoria a una curva en el plano y llamar plano fase al plano x1 x2 . Se volverá a estos conceptos y se ilustraran en la siguiente sección.

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EJEMPLO 2 Comprobación de soluciones Compruebe que en el intervalo (  ,  )

 e 2t  1 X 1   e  2t    2t    1  e 

son soluciones de

SOLUCION DE

y

 3e 6t   3 X 2   e 6t   6t   5  5e 

 1 3  X . X '    5 3   2e 2t   X '1   2t  2 e  

(6)

y

18e 6t   se ve que X '2  6t  30 e  

2 t   e 2t  3e 2t    2e 2t   1 3  e       X'  AX 1     e 2t    5e 2t  3e 2t    e 2t   1 5 3        y 6t 6t 6t 6t  1 3  3e   3e  15e  18e    X '2   6t    6t AX 2   6t  6t       5 3  5e  15e  15e   30e  Gran parte de la teoría de sistemas de n ecuaciones diferenciales de primer orden, es similar al de las ecuaciones de orden n. PROBLEMA DE VALORES INICIALES. Sea t 0 un punto en un intervalo I y

 x1 (t 0 )  1       x2 (t 0 )    y X (t 0 )   2  X (t 0 )             x (t )   n   n 0  Donde  i , i = 1, 2, ..., n son constantes dadas. Entonces el problema Resolver X’=A(t)X+F(t) (7) Sujeto a X( t 0 )= t 0 Es un problema de valores iniciales en el intervalo.

TR TEOREMA 6.1 Existencia de una solución única Sean los elementos de las matrices A(t) y F(t) funciones continuas en un intervalo común I que contiene al punto t 0 . Entonces existe una solución Única del problema de valores iniciales (7) en el intervalo SISTEMAS HOMOGÉNEOS. En las siguientes definiciones y teoremas se consideran solo sistemas homogéneos. Sin afirmarlo, siempre se supondrá que aij y las f i son funciones

continuas de t en algún intervalo común I.

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PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN. El siguiente resultado es un principio de superposición para soluciones de sistemas lineales.

Se deduce del teorema 6.2 que un múltiplo constante de cualquier vector solución de un sistema homogéneo de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden, es también una solución. EJEMPLO 3 Uso del principio de superposición

Compruebe que los vectores

 cos t    1 1  X 1    cos t  sent  2 2    cos t  sent  

y

0    X 2   et  0   

son soluciones del sistema 0 1  1   (8) X '  1 1 0 X .  2 0  1  Mediante el principio de superposición la combinación lineal  cos t  0      1 1   X  c1 X 1  c2 X 2  c1   cos t  sent   c2  et  2 2 0        cos t sent   es otra solución del sistema.

DEPENDENCIA LINEAL E INDEPENDENCIA LINEAL Se esta interesado sobre todo en soluciones linealmente independientes del sistema homogéneo (5). DEFINICIÓN 6.2 Dependencia e independencia lineal Sea X 1 , X 2 ,......, X k un conjunto de vectores solución del sistema homogéneo (5) en un intervalo I. Se dice que el conjunto es linealmente dependiente en el intervalo si existen constantes c1 , c2 ,...., ck , no todas cero, tal que

c1 X 1  c2 X 2  ....  ck X k  0 para toda t en el intervalo. Si el conjunto de vectores no es linealmente dependientes en el intervalo, se dice que es linealmente independiente.

el caso cuando k =2 debe ser claro; dos vectores solución X 1 y X 2 son linealmente dependientes si uno es un múltiplo constante del otro, y a la inversa. Para k >2 un conjunto de vectores

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solución es linealmente dependientes si se puede expresar por lo menos un vector solución como una combinación lineal de los demás vectores. WRONSKIANO Como en la consideración anterior de la teoría de una sola ecuación diferencial ordinaria, se puede introducir el concepto del determinante

wronskiano como prueba para la independencia lineal. Se expresa el siguiente teorema sin demostración

TEOREMA 6.3

Criterio de soluciones linealmente independientes

 x1n   x12   x11        x   x22   x21  Sean X 1   , X 2   , X n   2 n           x  x  x   n2   n1   nn  n vectores solución del sistema homogéneo (5) en un Intervalo I, entonces el conjunto de vectores solución es linealmente independiente en I si y solo si el wronskiano

W ( X , X 2 ,..., X n ) 

 x1n

x11

x12

x21

x22  x2 n

 x31

  x3 n

x32

0

(9)

para toda t en el intervalo. Se puede demostrar que si X 1 , X 2 ,... X n son vectores solución de (5), entonces para toda t ya sea W ( X , X 2 ,..., X n )  0 o bien W ( X , X 2 ,..., X n )  0 .

Por consiguiente, si se puede mostrar que W  0 para alguna t 0 en I, entonces W  0 para toda t y, por lo tanto , las soluciones son linealmente independientes en el intervalo. EJEMPLO 4

soluciones linealmente independientes  3 1 En el ejemplo 2 se vio que X 1   e 2t y X 2   e 6t son soluciones del sistema (6). Es  5   1 evidente que X 1 y X 2 son linealmente independientes es el intervalo (  ,  ) puesto que ningún vector es múltiplo constante del otro, Además se tiene W ( X1, X 2 ) 

e 2t

e para todos los valores reales de t.

2t

3e 6t 5e

6t

 9e 4t  0

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DEFINICIÓN 6.3

Conjunto fundamental de soluciones

Cualquier conjunto X 1 , X 2 ,..., X n de n vectores solución linealmente independientes del sistema homogéneo (5) en un intervalo I se dice que es un conjunto fundamental de soluciones en el intervalo. TEOREMA 6.4

Existencia de un conjunto fundamental

Existe un conjunto fundamental de soluciones para el sistema homogéneo (5) en un intervalo I.

TEOREMA 6.5 Solución general, sistemas homogéneos Sea X 1 , X 2 ,...., X n un conjunto fundamental de soluciones del sistema homogéneo (5) en un intervalo I. Entonces la solución general del sistema en el intervalo es X  c1 X 1  c2 X 2  .....  cn X n '

donde las ci 'i  1,2,....., n son constantes arbitrarias. EJEMPLO 5 Solución general del sistema (6)

 3 1  Del ejemplo 2 se sabe de que X 1   e  2t y X 2   e 6t son soluciones linealmente  5   1 independientes de (6) en  ,   . Por consiguiente, X 1 y X 2 forman un conjunto fundamental de soluciones en el intervalo. La solución general del sistema en el intervalo es  3 1  X  c1 X 1  c2 X 2  c1  e  2t  X 2   e 6t (10)  5   1 EJEMPLO 6

Solución general del sistema (8)

Los vectores  cos t    1 1  X 1    cos t  sent  , 2 2     cos t  sent 

 sent    1 1  X 1    sent  cos t  2 2     sent  cos t  son soluciones del sistema (8) en el Ejemplo 3. Ahora bien,  0   X 2  1 e t ,  0  

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cos t 0 1 1 W  X 1 , X 2 , X 3    cos t  sent et 2 2  cos t  sent 0

sent 1 1  sent  cos t  et  0 2 2  sent  cos t

para todos los valores reales de t. Se concluye que X 1 , X 2 y X 3 forman un conjunto fundamental de soluciones en  , . Así que la solución general del sistema en el intervalo es la combinación lineal X  cX 1  c2 X 2  c3 X 3 ; es decir, X  c1

 cos t     0 1 1   cos t  sent   c 1 et  c 3  2  2  2  0       cos t  sent 

 sent      1 sent  1 cos t  .  2  2     sent  cos t 

SISTEMAS NO HOMOGÉNEOS Para sistemas no homogéneos una solución particular X p

en el intervalo I es cualquier vector, libre de parámetros arbitrarios, cuyos elementos son funciones que satisfacen el sistema(4). TEOREMA 6.6 Solución general, sistemas no homogéneos Sea X p una solución dada del sistema no homogéneo (4) en un intervalo I, y sea

X c  c1 X 1  c2 X 2  ....  cn X n denote la solución general en el sistema homogéneo relacionado (5). Entonces la solución general del sistema no homogéneo relacionado (5) se llama función complementaria del sistema no homogéneo (4).

EJEMPLO 7

Solución general, sistema no homogéneo

 3t  4   es una solución particular del sistema no homogéneo El vector X p     5t  6   1 3 12t  11  X    X '   (11)  5 3 3  en el intervalo (  ,  ), (Compruebe esto) La función complementaria de (II) en el mismo  1 3  X, se vio en (10) del ejemplo 5 intervalo, o la solución general de X ' ,  5 3   1 3 3 4  t       2t e como X c  c1  e 2t  c2  e 6t   1 5 5 6    t       es la solución general de (11) en (  ,  ).

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