EDO Sergio Solano Sabie´ ´ Clasificacion de las ecuaciones diferenciales

ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN Sergio Stive Solano Sabie´ 1

Abril de 2013

1

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EDO Sergio Solano Sabie´ ´ Clasificacion de las ecuaciones diferenciales

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Ecuaciones diferenciales EDO Sergio Solano Sabie´ ´ Clasificacion de las ecuaciones diferenciales

´ 1.1 Definicion ´ diferencial es una ecuacion ´ que contiene una Una ecuacion ´ derivadas de la funcion ´ desconocida. o mas ´ diferencial es la ley de Newton: Un ejemplo de una ecuacion   du(t) d2 u(t) (1.1) m = F t, u(t), dt2 dt ´ u(t) de una part´ıcula sobre la cual actua para la posicion ´ ´ del tiempo t, de la una fuerza F , que puede ser una funcion ´ u(t) y de la velocidad du(t)/dt. Para determinar el posicion movimiento de una part´ıcula sobre la cual actua ´ una fuerza ´ u que satisface la ecuaF es necesario hallar una funcion ´ 1.1. cion

Ecuaciones diferenciales EDO Sergio Solano Sabie´ ´ Clasificacion de las ecuaciones diferenciales

´ 1.1 Definicion ´ diferencial es una ecuacion ´ que contiene una Una ecuacion ´ derivadas de la funcion ´ desconocida. o mas ´ diferencial es la ley de Newton: Un ejemplo de una ecuacion   du(t) d2 u(t) (1.1) m = F t, u(t), dt2 dt ´ u(t) de una part´ıcula sobre la cual actua para la posicion ´ ´ del tiempo t, de la una fuerza F , que puede ser una funcion ´ u(t) y de la velocidad du(t)/dt. Para determinar el posicion movimiento de una part´ıcula sobre la cual actua ´ una fuerza ´ u que satisface la ecuaF es necesario hallar una funcion ´ 1.1. cion

Ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales EDO Sergio Solano Sabie´ ´ Clasificacion de las ecuaciones diferenciales

´ 1.2 Definicion ´ desconocida depende de una sola variable Si la funcion ´ diferencial solo ´ aparecen independiente, en la ecuacion derivadas ordinarias, por lo que se dice que es una ´ ordinaria. ecuacion ´ 1.3 Definicion ´ desconocida depende de varias variables Si la funcion independientes, las derivadas son derivadas parciales, por ´ se denomina ecuacion ´ diferencial lo que la ecuacion parcial.

Ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales EDO Sergio Solano Sabie´ ´ Clasificacion de las ecuaciones diferenciales

Ejemplo 1.1 Las siguientes ecuaciones son ejemplos de ecuaciones diferenciales ordinarias. 1 La ecuacion ´ diferencial de la ley de Newton:   d2 u(t) du(t) m = F t, u(t), dt2 dt

2

´ u(t) de una part´ıcula sobre la cual para la posicion actua ´ una fuerza F . ´ que rige el decaimiento con el tiempo de La ecuacion una cantidad R(t) de una sustancia radiactiva (como el radio), dR(t) = −kR(t) (1.2) dt en donde k es una constante conocida.

Ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales EDO Sergio Solano Sabie´ ´ Clasificacion de las ecuaciones diferenciales

Ejemplo 1.2 Las siguientes ecuaciones son ejemplos de ecuaciones diferenciales parciales. 1 La Ecuacion ´ del Potencial: ∂ 2 u(x, y) ∂ 2 u(x, y) + =0 ∂x2 ∂y 2 2

´ de la Difusion ´ o Conduccion ´ de Calor: La Ecuacion α2

∂u(x, t) ∂ 2 u(x, t) = . 2 ∂x ∂t

en donde α es cierta constante. Estas ecuaciones surgen de diversos problemas en los campos de la electricidad y del magnetismo, elasticidad y ´ mecanica de fluidos.

Sistema de ecuaciones diferenciales EDO Sergio Solano Sabie´ ´ Clasificacion de las ecuaciones diferenciales

´ entonces basta una Si hay que determinar una sola funcion, ´ Si existen dos o mas ´ funciones desconocidas, enecuacion. tonces se requiere un sistema de ecuaciones. Ejemplo 1.3 El siguiente sistema de ecuaciones de Lotka-Volterra, o del ´ de modelos depredador-presa, es importante en la creacion ´ ecologicos: dH = aH − αHP dt dP = −cP + γHP dt en donde H(t) y P (t) son las poblaciones respectivas de las especies presa y depredadora. Las constantes a, α, c y γ se basan en observaciones emp´ıricas y dependen de las especies en estudio.

Orden EDO Sergio Solano Sabie´ ´ Clasificacion de las ecuaciones diferenciales

´ 1.4 Definicion ´ diferencial es el orden de la El orden de una ecuacion ´ alta que aparece en ella. derivada mas Ejemplo 1.4 ´ diferenciales Las ecuaciones 1.1 es una ecuacion ´ ordinarias de segundo orden y la 1.2 es una ecuacion diferencial ordinaria de primer orden. ´ general, la ecuacion ´ De manera mas F [x, u(x), u0 (x), . . . , un (x)] = 0

(1.3)

´ diferencial ordinaria de n-esimo ´ es una ecuacion orden. Ejemplo 1.5 ´ y 000 + 2ex y 00 + yy 0 = x4 es una ecuacion ´ La ecuacion diferencial ordinaria de tercer orden para y = u(x).

Orden EDO Sergio Solano Sabie´ ´ Clasificacion de las ecuaciones diferenciales

En ocasiones, dependiendo del contexto se usan otras letras en lugar de y. Se supone que siempre es posible despejar ´ alto en una ecuacion ´ diferencial la derivada de orden mas ordinaria dada y obtener y (n) = f (x, y, y 0 , y 00 , . . . , y (n−1) )

(1.4)

´ se estudiaran ´ las ecuaciones de la forma 1.4. Solo Lo anterios se hace principalmente para evitar la ambiguedad ¨ ´ que pudiera surgir debido a que una sola ecuacion de la forma 1.3 puede corresponder a varias ecuaciones de la forma ´ 1.4. Por ejemplo, la ecuacion (y 0 )2 + xy 0 + 4y = 0 √ −x+ x2 −16y 0 o da las dos ecuaciones y = 2

−x−

√

x2 −16y . 2

´ Solucion EDO Sergio Solano Sabie´ ´ Clasificacion de las ecuaciones diferenciales

´ 1.5 Definicion ´ de la ecuacion ´ diferencial 1.4 sobre un Una solucion ´ φ tal que existen intervalo α < x < β es una funcion 0 00 (n) φ , φ , . . . , φ y se satisface φ(n) = f (x, φ, φ0 , φ00 , . . . , φ(n−1) ) para toda x en α < x < β. A menos que se diga otra cosa, ´ f de la ecuacion ´ 1.4 es una se supone que la funcion ´ de valores reales, y se tiene interes ´ en obtener las funcion soluciones y = φ(x) de valores reales.

´ Solucion EDO Sergio Solano Sabie´ ´ Clasificacion de las ecuaciones diferenciales

Ejemplo 1.6 ´ comprobar por sustitucion ´ directa que la ecuacion ´ Es facil −kt ´ R = φ(t) = ce , 1.2 de primer orden tiene la solucion −∞ < t < ∞, en donde c es una constante arbitraria. Ejemplo 1.7 Las funciones y1 (x) = cosx y y2 (x) = senx son soluciones de y 00 + y = 0 para toda x. Ejemplo 1.8 ´ de Se comprueba que φ(x) = x2 ln x es una solucion x2 y 00 − 3xy 0 + 4y = 0, x > 0 :

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GRACIAS POR SU ´ ATENCION