4 Ecuaciones Diferenciales de primer Orden

1.1

1.1. Introducción

Las palabras ecuaciones y diferenciales nos hacen pensar en la solución de cierto tipo de ecuación que contenga derivadas. Así como al estudiar álgebra y trigonometría se Iinvierte bastante tiempo en resolver ecuaciones, como x2 + 4 x + 4 = 0 con la variable x, en este tema vamos a resolver ecuaciones diferenciales como y” + 3y’ + y = 0, para determinar la función y. El descubrimiento independiente del cálculo por Newton y Leibniz en el siglo 17 proporcionó el ímpetu para los grandes avances que siguieron en las matemáticas, ciencias, e ingeniería. Una de las más importantes y fascinantes ramas de las matemáticas que proporcionó el medio para las formulaciones matemáticas y soluciones de variados problemas en estas áreas se llama ecuaciones diferenciales. En cálculo aprendimos que la derivada, dy/dx, de la función y= f(x) es en si, otra función de x que se 2

2

2

determina siguiendo las reglas adecuadas; por ejemplo, si y = e x , entonces dyêdx = 2 xe x . Al reemplazar e x por el símbolo y se obtiene:

dy dx

= 2 xy

(1)

El problema que afrontaremos en este curso no se trata de dada una función y=f(x), determinar su deriva. El problema es dada una ecuación diferencial, ¿Hay algún método por el cual podamos determinar a la función y?.

1.2

Conceptos de ecuaciones diferenciales

La ecuación que planteamos en (1.1) se llama ecuación diferencial. Antes de avanzar más, veamos algunas definiciones más precisas de este concepto.

D e fi n i c i ó n 1

Definición 1: [DZ,1] Una ecuación que contiene las derivadas de una o más variables dependientes con respecto a una o más variables independientes es una ecuación diferencial.

2

D e fi n i c i ó n 2

Definición 1: [MS,2] Una ecuación diferencial es una ecuación que involucra derivadas de una función desconocida de una o más variables. Si la función desconocidad depende sólo de una variable (de tal modo que las derivadas son derivadas ordinarias) la ecuación se llama una ecuación diferencial ordinaria. Sin embargo, si la función desconocid depende de más de una variable (de tal modo que las derivadas son derivadas parciales) la ecuación se llama una ecuación diferencial parcial.

Ejemplo 2.1

Ejemplos:

y' + x y = 3 y'' + 5 y ' + 6 y = cosHxL L

d2 i

Hd tL2

+R

di

1

+

dt

C

i = Ew cosHwtL

Todas estas ecuaciones corresponden a ecuaciones diferenciales.

Cuando una ecuación envuelve una o más derivadas con respecto a una variable particular, esa variable es llamada variable independiente. Una variable es llamada dependiente si en la ecuación hay alguna derivada de esa variable. Por ejemplo: dy dx

=2x + y

d2 x 2

-2

dt

1.3

dx dt

ö

x es la variable independiente y es la variable dependiente

- 15 x = 0

t es la variable independiente x es la variable dependiente

ö

Clasificación de las ecuaciones diferenciales Las ecuaciones diferenciales se clasifican de acuerdo con su tipo, orden y linealidad.

1.3.1 Clasificación según el tipo

1.Ecuación diferencial ordinaria: Son aquellas ecuaciones que sólo contienen derivadas ordinarias de una o más variables dependientes con respecto a una sola variable independiente.Por ejemplo: dy dx

= 6 x + 5;

d2 x 2

dt

-

dx dt

= et , y

dx dt

+

dy dt

= 3x+ y

2.Ecuación diferencial en derivadas parciales: Son aquellas que contiene las derivadas parciales de una o más variables dependientes, respecto de dos o más variables independientes. Por ejemplo:

3

∑2 u ∑ x2

+

∑2 u ∑ y2

= 0,

∑2 u

=

∑ x2

∑2 u ∑t2

-2

∑u ∑x

,

∑u

y

∑y

=-

∑v ∑x

Las derivadas ordinarias tienen diversas notaciones: dy dx

,

d2 y dx2

,

d3 y dx3

ö Notación de Leibniz

y', y'', y '''

ö Notación con primas

° .. ... y, y, y

ö Notación de Newton o de puntos

1.3.2 Clasificación según el orden El orden de una ecuación diferencial es el de la derivada de mayor orden en la ecuación, por ejemplo: d3 y 3

d y dx3

2

+3

d y dx2

+5

dy dx

dx3

3

- 4 y = ex

d2 y

ö

dx2 dy dx

Tercer orden Segundo orden Primer orden

1.3.3 Clasificación según la linealidad

Ecuaciones diferenciales lineales: Otra forma de representar una ecuación diferencial es:

F Ix, y, y', ..., yHnL M = 0

(2)

Se dice que una ecuación diferencial como la (1.2) es lineal si F es lineal en y, y', y'', ..., yHn-1L . Esto quiere decir que una ecuación diferencial ordinaria de orden n es lineal cuando la ecuación (1.2) es an HxL yHnL + an-1 HxL yHn-1L + ... + a1 HxL y ' + a0 HxL y - gHxL = 0, o bien an HxL

d HnL y dxn

+ an-1 HxL

d Hn-1L y dxn-1

+ ... + a1 HxL

dy dx

+ a0 HxL y = gHxL

(3)

En esta última ecuación, vemos las dos propiedades características de las ecuaciones diferenciales lineales: a) La variable dependiente y y todas sus derivadas son de primer grado; esto es, el exponente de todo término donde aparece y es 1. b)

Cada coeficiente sólo depende de x, que es la variable independiente. Las ecuaciones Hy - xL dx + 4 xdy = 0, y '' - 2 y' + y = 0

d3 y 3

dx

+x

dy dx

- 5 y = ex

son, a su vez, ecuaciones diferenciales ordinarias de primero, segundo y tercer orden.

4

Término no lineal : Función no lineal de y

Término no lineal : coeficiente depende de y

H1 - yL y' + 2 y = ex

1.4

d2 y dx2

+ SenHyL = 0

Variables Separables

En algunas ocasiones las ecuaciones diferenciales se podrán resolver usando integración y quizás esta integral requiera de algunas técnicas especiales.

1.4.1 Solución por integración: Cuando f es independiente de la variable y, esto es dy dx

= gHxL

Si f g(x) es una función contínua se resolverá por integración: y = ‡ gHxL dx + C

D e fi n i c i ó n 3

Ecuación Separable Se dice que una ecuación diferencial de primer orden, de la forma: dy dx

= gHxL hHyL

es separable, o de variables separables. [DZ,1] Para resolver este tipo de ecuaciones diferenciales es necesario: dy dx

= gHxL hHyL

1.- Reescribir la ecuación haciendo un despeje simple:


 HL

=  HL


2.- Integramos a ambos lados de la ecuación y nos queda como: ‡ pHyL dy = ‡ gHxL dx PHyL + C1 = GHxL + C2 PHyL = GHxL + C





 HL

= HL

5

Ejemplo 4.2 Solución :

Solución de una ecuación diferencial: H1 + xL dy - ydx = 0

Dividimos ambos lados de la ecuación por (1+x)y: H1 + xL dy - ydx H1 + xL y

H1 + xL dy H1 + xL y

dy y

-

1

-

=0 y

H1 + xL y

dx = 0

dx = 0

1+x

Lugos pasamos a sumar al otro lado de la igualdad el término dy y

1

=

1+x

dx : 1+x

dx

Integramos a ambos lados de la ecuación: ‡

=‡

dy y

1 1+x

dx

LnHyL + C1 = LnH1 + xL + C2 Sumamos los valores constantes : LnHyL = LnH1 + xL + C Como necesitamos es la variable y necesitamos aplicar la operación inversa al Ln que es la exponencial : y = eLnH1+xL+C = eLnH1+xL eC = H1 + xL eC

y = H1 + xL c

Ejemplo 4.3

Obtener la solución de la ecuación diferencial dy dx

Solución :

=

-x y

con valor inicial y(4)=-3

Aplicamos lo mismo que en el ejemplo anterior: dy

=

-x

dx

ï

y

Integrando en ambos lados : y2 2 y2 2

+ c1 = -

=-

x2 2

x2 2

+c

+ c2

y dy = - x dx

6

Sustituyendo el valor inicial yH4L = -3 H- 3L2

=-

2

H4L2 2

+c

Despejando a c : 2 c = 9 + 16

1.5

c=

25 2

Ecuación Diferencial Lineal de primer orden

Anteriormente se dijo que una ecuación diferencial es lineal cuando de primer grado en la variable dependiente y en todas su derivadas.

D e fi n i c i ó n 4

Ecuación lineal Una ecuación diferencial de primer orden, de la forma a1 HxL

dy dx

+ a0 HxL y = gHxL

es una ecuación lineal.

ö Cuando g(x) es cero, entonces la ecuación diferencial es homogénea, en cualquier otro caso no es homogénea.

Teorema 1

La ecuación diferencial lineal de primer orden dx + PHxL y = f HxL se puede transformar en una ecuación diferencial separable multiplicando ambos lados de la ecuación por el factor integrante eŸ PHxL dx . [ES,2] dy

1.5.1 Solución de una ecuación diferencial de primer orden 1.- Convertir una ecuación diferencial lineal a la forma estándar de una ecuación diferencial: dy dx

+ PHxL y = f HxL

2.- A partir de la forma estándar, identificar a P(x) y a continuación determinar el factor integrante: eŸ PHxL dx 3.- Multiplicar la forma estándar de la ecuación por el factor integrante. El lado izquierdo de la ecuación resultante es la derivada del producto del factor integrante por la variable dependiente, y; esto es, d dx

AeŸ PHxL dx yE = eŸ PHxL dx f HxL

4.- Se integran ambos lados de esta ecuación.

7

Ejemplo 5.4 Solución :

Obtener la solución de la ecuación diferencial: dy dx

-3 y = 0

Aunque esta ecuación diferencial se puede resolver por variable separables, vamos a usar este nuevo procedimiento ya que tiene la forma estándar de ecuación diferencial de primero orden. Además vale la pena destacar que es una ecuación diferencial lineal de primer orden homogénea. 1. - Comparamos la ecuación con la forma estándar : dy dx

-3 y = 0

dy

ó

dx

+ PHxL y = f HxL

2. - Para determinar el factor integrante usamos : eŸ PHxL dx = eŸ -3 dx = e-3 x 3. - Multiplicamos la ecuación diferencial por el factor integrante a ambos lados : dy dx

d dx d dx d dx

-3 y = 0

ï

e-3 x

IeŸ PHxL dx yM = eŸ PHxL dx f HxL Ie-3 x yM = e-3 x .0 Ie-3 x yM = 0

4. - Integramos ambos lados de la ecuación : ‡

d dx

Ie-3 x yM = ‡ 0

dy dx

- 3 e-3 x y = 0

8

e-3 x y = C C

y= e

Ejemplo 5.5 Solución :

-3 x

Despejamos el valor de y

= Ce3 x

Obtener la solución de la ecuación diferencial: dy dx

- 3 x2 y = x2

Dada que es una ecuación diferencial de primer orden no homogénea de la forma estándar dy dx

+ PHxL y = f HxL podemos usar el procedimiento anterior: f HxL = x2

1. - PHxL = -3 x2 2. - El factor integrante será : eŸ PHxL dx = eŸ -3 x

2

dx

= e-x

3

3. - Multiplicamos la ecuación por el factor integrante : e-x

dy

3

3

3

- 3 x2 e-x y = e-x x2 esto nos queda de la forma

dx

Ie-x yM = e-x x2

d

3

dx

3

4. - Integramos ambos lados de la ecuación : ‡

e

d

3

dx

-x3

Ie-x yM = ‡ e-x x2 dx 3

y=· e

u = - x3 -x3

-du

3

3

y=

y=

Ejemplo 5.6

1 3 1 3

-1 3

3

3

-1 3

3

e-x ex + Cex

+ Cex

=

e-x + C

3

Cambio de Variable :

3

eu + C =

-1 3

3

e-x + C

Despejamos a y

Simplificando nos queda

3

Obtener la solución de la ecuación diferencial: x

dy dx

du = -3 x2 dx -du 3

e-x y = ‡ eu e-x y =

x2 dx

- 4 y = x6 e x

= x2 dx

9

Solución :

Dada que es una ecuación diferencial de primer orden no homogénea pero aún no está escrita de la forma estándar

dy dx

forma:

+ PHxL y = f HxL, por lo que primero debemos llevarla a esa

1. - Reescribimos la ecuación dy

x x

- 4 y = x6 e x

dx dy dx

-4 y

x dy x dx dy

-

x6 e x

=

x 4 x

dx

4 x

Separamos la suma

x

y=

x6 x

ex

Simplificamos

y = x5 e x

2. - Obtenemos a PHxL y f HxL PHxL =

Dividimos la ecuación entre x

-4 x

f HxL = x5 ex

3. - Determinamos el factor integrante eŸ PHxL dx = eŸ

-4 x

dx

= e-4 LnHxL = eLnIx

-4 M

= x-4

3. - Multiplicamos la ecuación por el factor integrante : x-4 d dx d dy

dy dx

-

4 x

x-4 y = x-4 x5 ex esto nos queda de la forma

Ix-4 yM = x-4 x5 ex

Simplificamos

Ix-4 yM = x-4+5 ex = xex

4. - Integramos ambos lados de la ecuación : ‡

d dx

Ix-4 yM = ‡ x ex dx

x-4 y = ‡ x ex dx

Integración por parte :

u=x du = dx

x-4 y = u v - ‡ vdu = x ex - ‡ ex dx = x ex - ex + C x-4 y = x ex - ex + C

Despejamos a y

dv = ex dx v = ex

10

x

y =

x-4

ex -

ex x-4

+

C

Simplificamos

x-4

y = x5 ex - x4 ex + Cx4

Ejemplo 5.7 Solución :

Obtener la solución de la ecuación diferencial: dy dx

+y=x

yH0L = 4

Seguimos los mismos pasos

f HxL = x

PHxL = 1 eŸ dx = ex d dx ‡

Factor integrante

Hex yL = x ex d dx

He x yL = ‡ x ex dx

ex y = ‡ x ex dx

Integración por parte :

u=x du = dx

dv = e x dx v = ex

ex y = u v - Ÿ vdu = x e x - Ÿ ex dx = x ex - ex + C

ex y = x ex - ex + C

Despejamos a y

y =x ex - ex + C Evaluamos el valor inicial y(0) = 4 x=0

y=4

y =x ex - ex + C

4 = 0. e0 - e0 + C 4 = -1 + C C=5 La solución de la ecuación diferencial será: y =x ex - ex + 5

1.6

Ecuaciones Exactas

D e fi n i c i ó n 5

Ecuación Exacta Una expresión diferencial M(x,y)dx + N(x,y)dy es una diferencial exacta en una región R del plano xy si corresponde a la diferencial de alguna función f(x,y). Una ecuación diferencial de primer orden, de la forma M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 es una ecuación exacta, si la expresión del lado izquierdo es una diferencial exacta.

11

Por ejemplo una ecuación diferencial exacta sería: x2 y3 dx + x3 y2 dy = 0 donde

M Hx, yL = x2 y3

Teorema 2

y

NHx, yL = x3 y2

Criterio para una diferencial exacta Sean continuas M(x,y) y N(x,y), con derivadas parciales continuas en una región rectangular, R, definida por a