SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE PRIMER ORDEN 8.1 Teoría preliminar 8.2 Sistemas lineales homogdneos con coeficientes constantes 8.2.1 Valores propios reales y distintos 8.2.2 Valores propios repetidos 8.2.3 Valores propios complejos 8.3 Variación de parámetros 8.4 Matriz exponencial Ejercicios de repaso

En las secciones 3.3, 4.8 y 7.7 describimos sistemas de ecuaciones diferenciales y resolvimos algunos por eliminación sistemática o con la transformada de Laplace.

En

este capítulo nos concentraremos en los sistemas de ecuaciones lineales de primer orden. Si bien la mayor parte de los sistemas que estudiaremos se podrían resolver mediante la eliminación o la transformada de Laplace, desarrollaremos una teoría general para estos sistemas y, en el caso de sistemas con coeficientes constantes, un método de solución que utiliza algunos conceptos básicos del álgebra de matrices. Veremos que esta teoría general y el procedimiento de solución se parecen a los que se usan en las ecuaciones diferenciales lineales de orden superior que vimos en las secciones 4.1,4.3 y 4.6. Este material es fundamental para el análisis de los sistemas de ecuaciones no lineales de primer orden.

365

366

CAPíTULO

8 SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE PRIMER ORDEN

TEORíA PRELIMINAR n n n n

Sistemas lineales I Sistemas homogéneos y no homogéneos n Vector solución Problema de valor inicial n Principio de superposición n Dependencia lineal Independencia lineal n El wronskiano n Conjunto fundamental de soluciones Solución general n La solución complementaria n Solución particular

En este capítulo emplearemos mucho la notación matricial y las propiedades de las matrices. El lector debería repasar el apéndice II si no está familiarizado con estos conceptos.

En la sección 4.8 del capítulo 4 manejamos sistemas de ecuaciones diferenciales en la forma

P,l(D)Xl +

Pn2(D)x2

+ ’ ’ *+ P”,(D)X, = b,(t),

en donde las Pg representaban polinomios de diversos grados en el operador diferencial D. Aquí restringiremos el estudio a los sistemas de ecuaciones diferenciales de primer orden, como el siguiente:

- - g1(4q,x2,

* * * TX,)

&2-$ - gz(t,x1,x2,.

’ . ,xn>

dt

dx Este sistema de n ecuaciones de primer orden se llama sistema de orden n.

Sistemas lineales

Si cada una de las funciones gl, g2, . . . , gn es lineal en las variables dependientes ~1, ~2, . . ., Xi, entonces las ecuaciones (2) son un sistema de ecuaciones lineales de primer orden. Ese sistema tiene la forma normal o estándar - = m(t)x1 + a12(t)xa + . * ’ + al,(t)&

dt

G52 x = u21(t)x1

+fi(t)

+ azz(t)xz + . . * + azn(t)xn +.fi(t>

(3)

h”

-$- =

U,l(T)Xl +

an2(t)x2 +

.

* hzn(t)xn +fnw.

Sección

8.1 Teoría preliminar

367

Un sistema con la forma de las ecuaciones (3) se denomina sistema lineal de orden n, o simplemente sistema lineal. Se supone que los coeficientes, a,, y las funciones, $, son continuos en un intervalo común, Z. Cuandoj(t) = 0, i = 1,2, . . ., n, se dice que el sistema lineal es homogckeo; en caso contrario, es no homogéneo.

Forma matricial de un sistema lineal

Si X, A(t) y F(t) representan las matrices

respectivas

el sistema (3) de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden se puede expresar como sigue:

0 simplemente como

(4)

X’=AX+F.

Si el sistema es homogéneo, su forma matricial es X’ = AX.

(5)

Sistemas expresados en notación matricial a) Si X = y , la forma matricial del sistema homogéneo

0

dx 5 = 3x + 4y s = 5x - 7y

es

‘3 4 x’ = ( 5 - 7 1 X.

la forma matricial del sistema no homogéneo

368

CAPíTULO

8 SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE PRIMER ORDEN

Comprobación

de

soluciones

Compruebe que, en el intervalo (-CO, CO),

son soluciones de SOLUCIÓN

Y

Gran parte de la teoría de los sistemas de P ecuaciones diferenciales lineales de primer orden se parece a la de las ecuaciones diferenciales lineales de orden n.

Problema de valor inicial

Sean t0 un punto en un intervalo I y

%(to )

1

xz(to)

Wto) = ,+oo>

Y

&=

en donde las ñ, i = 1,2, . . . . n son constantes dadas. Entonces, el problema Resolver:

X’ = A(t)X + F(t)

Sujeto a:

Wo) = xo

es un problema de valor inicial en el intervalo.

(7)

Sección 8.1 Teoría preliminar

369

Sistemas homogéneos En las próximas definiciones y teoremas solo nos ocuparemos de los sistemas homogéneos. Sin decirlo explícitamente, siempre supondremos que las UV y las J; son funciones continuas en un intervalo común 1. Principio de superposición El siguiente resultado es un principio de superposición para soluciones de sistemas lineales.

Como consecuencia del teorema 8.2, un múltiplo constante de cualquier vector solución de un sistema homogéneo de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden también es una solución. .m

Aplicación del principio de superposición

El lector debe practicar comprobando que los dos vectores

son soluciones del sistema

(8) De acuerdo con el principio de superposición, la combinación lineal

es una solución más del sistema.

370

CAPíTULO

8 SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE PRIMER ORDEN

Dependencia lineal e independencia lineal Ante todo nos interesan las soluciones linealmente independientes del sistema homogéneo, ecuación (5).

Debe quedar claro el caso cuando k = 2; dos vectores solución XI y X2 son linealmente dependientes si uno es un múltiplo constante del otro, y recíprocamente. Cuando k > 2, un conjunto de vectores solución es linealmente dependiente si podemos expresar al menos un vector solución en forma de una combinación lineal de los vectores restantes.

El wronskiano

Igual que cuando explicamos la teoría de una sola ecuación diferencial ordinaria, podemos presentar el concepto del determinante wronskiano como prueba de independencia lineal. Lo enunciaremos sin demostrarlo.

Se puede demostrar que si XI, XZ, . . . , X,, son vectores solución del sistema (5), entonces, para todo t en I se cumple W’(Xt , XZ, . . ., Xn) # 0, o bien W(Xt , XZ, . . ., X,J = 0. Así, si podemos demostrar que W f 0 para algún to en 1, entonces W z 0 para todo f y, por consiguiente, las soluciones son linealmente independientes en el intervalo.

Sección 8.1 Teoría preliminar 371

Obsérvese que a diferencia de nuestra definición de wronskiano de la sección 4.1, en este caso no interviene la diferenciación para definir el determinante (9). Soluciones

linealmente

independientes

6-1 soluciones del sistema (6). En el ejemplo 2 dijimos que XI =( -11)e-~5x,=(3) 5 e son

Está claro que XI y X2 son linealmente independientes en el intervalo (-, -) porque ninguno de los vectores es múltiplo constante del otro. Además,

1

n

para todos los valores reales de t.

Los dos teoremas siguientes para sistemas lineales equivalen a los teoremas 4.5 y 4.6.

Solución general del sistema (6)

pendientes de (6) en (-QO, -); por lo tanto, XI y X2 forman un conjunto fundamental de soluciones en el intervalo. En consecuencia, la solución general del sistema en el intervalo es

x = c*x1 + q,x* = Cl

(3-“+c2(3e?

(lQ)

n

372

CAPíTULO

8 SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE PRIMER ORDEN

Solución general del sistema (8)

Los vectores /

cos t

\

/oi

/

sen t

\

son soluciones del sistema (8) en el ejemplo 3 (véase el problema 16 en los ejercicios 8.1). Ahora bien, cos t W(XI,X2,&) = -icost+*sent -cost-sent

0 e ’ 0

sen t -+sent-tcosf =el#O -sent + cos t

para todos los valores reales de t. Llegamos a la conclusión de que XI, XZ y Xs constituyen un conjunto fundamental de soluciones en (-OD, co). Así, la solución general del sistema en el intervalo es la combinación lineal X = ~1x1 + ~2x2 + ~3x3; esto es,

Sistemas no homogéneos

Para los sistemas no homogeneos, una solución particular X, en un intervalo I es cualquier vector, sin parámetros arbitrarios, cuyos elementos sean funciones que satisfagan al sistema (4).

Solución general, sistema no homogéneo

El vector X, =

es una solución particular del sistema no homogéneo

(11)

Sección 8.1 Teoría preliminar 373

en el intervalo (-, -). (Compruébelo.) La función complementaria de (ll) en el mismo intervalo, que es la solución general de X’=

1 3 (

5

3 x,

)

se determinó en (lo), en el ejemplo 5, y era x, = 4 3!-2l+ c2(3e~~.

Entonces, según el teorema 8.6,

es la solución general de (ll) en (-, -).

Las respuestas a los problemas de número impar comienzan en la página A-12.

En los problemas 1 a 6 exprese el sistema respectivo en forma matricial.

Ldxd;=3x-5y

2 . $=4x - 7 y

dy z = 4x + 8y

4 d; = 5x

dw 3 . z= -3x+4y-92

ddx dT=x-y

%=6x-y

dy -x+2z z-

dz z = 1ox + 4y + 3z

dz z=-x+z

5. $=x-y+z+t-1 z = 2x + y - z - 3t2

6. $ = -3x + 4y + e?en2t dy z=5x+9y+4em’cos2t

~=x+y+z++t+2

En los problemas 7 a 10 exprese al sistema dado sin usar matrices. 7 .

8.

X’= (-1 $x+ (J?

xl=(H

-1

-~)x+(p)eq~)e-2t

374

CAPíTULO

8 StSTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES LNEALES DE PRIMER ORDEN

9. ;i)=(-i ‘i a,(g+(;)e-t-(-;)r 10. -$) = (y -T)(z) + (l)senr+ (;gJe‘Q En los problemas ll a 16 compruebe que el vector X sea una solución del sistema dado. ll. $ = 3x - 4y 1 dY d; = 4x - 7y; X = 2 e-*’ 0

En los problema3 17 a 20 los vectores respectivos son soluciones de un sistema X’ = AX. Determine si los vectores constituyen un conjunto fundamental en (-, -). 17. Xl=(:)e-2f,

X2= (-i)e-6t

18. Xl=(-:)et,

X,= (ijet+ (-:)ret

Sección

8.1 Teoría preliminar 375

En los problemas 21 a 24 compruebe que el vector X, sea una solución particular del sistema dado. 21.2 = x + 4y + 2t - 7 f$-3x+2y-4t-18; 22.

x,=

(-3+ (3

xl=(: -:)x+(-z); xp=(i)

2 3 . X’=(; ;)X-(;)d;

Xp=($?+($,f

25. Demuestre que la solución general de

en el intervalo (-, -) sea

26. Demuestre que la solución general de

en el intervalo (-, -) sea

376

CAPíTULO

8 SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE PRIMER ORDEN

SISTEMAS LINEALES HOMOGÉNEOS CON COEFICIENTES CONSTANTES n n

Ecuación característica de una matriz cuadrada n Valores propios de una matriz n Vectores propios Formas de la solución general de un sistema lineal homogéneo con coejcientes constantes

8.2.1

Valores propios reales y distintos

En el ejemplo 5 de la sección 8.1 ya vimos que la solución general del sistema homogéneo X’= 15 35 XesX=el(-:)r-2’+R(:)e6f. Dedo que ambos vectores solución tienen i 1 la forma Xi = h eXi’, i = 1,2, en donde kl y k2 son constantes, nos vemos precisados a preguntar kz 0 si siempre es posible determinar una solución de la forma

(1)

\ ka I del sistema homogéneo, lineal y de primer orden X’ = AX,

(2)

en donde A es una matriz de constantes, de n x n.

Valores propios y vectores propios (eigenvalores y eigenvectores) Para que (1) sea un vector solución de (2), X’ = KXek, de modo que el sistema se transforma en Kk” = AKe’. Al dividir por exr y reordenar, se obtiene AK = XK; o sea (3)

(A - hI)K = 0.

La ecuación (3) equivale al sistema de ecuaciones algebraicas simultaneas

(au - A)kt +

alzkz + . . . +

al,,kn = 0

ankt + (au - A)kz + . . . +

a&k,, = 0

a,lh +

u,,zkz + . . . + (a, - h)k, = 0.

Así, para determinar una solución X no trivial de (2), debemos llegar a una solución no trivial del sistema anterior; en otras palabras, hay que calcular un vector K no trivial que cumpla con (3). Pero para que (3) tenga soluciones no triviales, se requiere det(A - XI) = 0.

Sección 8.2 Sistemas lineales homogéneos con coeficientes constantes

377

Ésta es la ecuación característica de la matriz A; en otras palabras, X = Ke* será solución del sistema (2) de ecuaciones diferenciales si, y sólo si X es un valor propio de A, y K es un vector propio correspondiente a X. Cuando la matriz A de n x n tiene n valores propios reales y distintos, XI, Xz, . . . , &,, siempre se puede determinar un conjunto de n vectores propios linealmente independientes, Kl, K2> . . . , Ka Y X1 = KIeAl’,

X, = K2eAz’,

. . . , X, = K,e*J

es un conjunto fundamental de soluciones de (2) en (-, -).

Valores propios distintos

dx z=2x+3y

Resuelva

dy -$=2x+y.

(4)

Primero determinaremos los valores y vectores propios de la matriz de SOLUCIÓN coeficientes. En la ecuación característica det(A - AI) = 2-A 2

3 = ~2 - 3A - 4 = (h + l)(A - 4 ) = 0 l - h

los valores propios son XI = -1 y X2 = 4. Cuando XI = -1, la ecuación (3) equivale a 3k, + 3k2 = 0 2kl + 2k2 = 0. Por consiguiente, kl = -kz. Cuando k2 = -1, el vector propio relacionado es K1 = Cuando X2 = 4,

-2k, + 3k2 = 0 2k, - 3k2 = 0

de modo que kl = 3k2/2 y, por lo tanto, con k2 = 2, el vector propio correspondiente es Kz=

0

3 2.

378

CAPíTULO 8 SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE PRIMER ORDEN Como la matriz A de coeficientes es de 2 x 2, y en vista de que hemos llegado a dos soluciones de (4) linealmente independientes que son

( 1 1

x, =

-1

e-’

y

x, = 0 3 e4’ 2 ’

concluimos que la solución general del sistema es x = c,x1+ czx, = cy (-:)e++c2(~)e‘?

(5)

n

Para fines de repaso, el lector debe tener grabado en su mente que cuando una solución de un sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden se escribe en notación matricial, tan sólo se está aplicando una alternativa del método que empleamos en la sección 4.8; es decir, presentar las funciones individuales y las relaciones entre las constantes. Si sumamos los vectores del lado derecho de (5) e igualamos los elementos con los elementos correspondientes del vector de la izquierda, tenemos el enunciado mas familiar x(t) = c$?-’ + 3C#4’ y(f) = -cle-’ + 2c2eq.

Valores propios distintos

dx d;=-4x+ y +

Resuelva

!$=

x+5y- z

!!L

y - 32.

dt

SOLUCIÓN

z

Usaremos los cofactores del tercer renglón, con lo cual 1

1

S-h 1

det(A - AI) =

-4-h 1

0

1 -1 = -(A + 3)(A + 4)(A - 5 ) = 0 , -3-Aj

de modo que los valores propios son Xr = -3, AZ = -4, As = 5. Para Xr = -3, una eliminacion de Gauss-Jordan conduce a 0 1 0 Por lo tanto, kr = correspondiente

k3

y

k2

-1 0 0 0 . 0 01

= 0. La opción k3 = 1 produce un vector propio y su vector solución

G(A). x*@3.

(7)

Sección

8.2

Sistemas

lineales

homogéneos

con

379

coeficientes constantes

De igual forma, para XZ = -4, 0 0 01

implica que Rr = 1Oks y kz = -ks. Si optamos por ks = 1, obtenemos un segundo vector propio y el vector solución correspondiente

dan

(9)

La solución general del sistema (6) es una combinación lineal de los vectores solución (7),@)

Y

(9):

Empleo de computadoras

Hay paquetes de programas (MATLAB, Mathematica, Maple, DERIVE, etc.) que pueden ahorrar mucho tiempo en la determinación de los valores y vectores propios de una matriz; por ejemplo, para hallar los valores y los vectores propios de la matriz de coeficientes (6) usando Mathematica, primero teclearnos la definición de la matriz renglón por renglón: m = ti--4,1,1>, {1,5, -11, VJ, 1, -311.

Al teclear los comandos Eigenvalues[m]

y

Eigenvectors[m]

en secuencia se obtiene (-4,

-3351

Y

{{lo, -1, 11, {l,O, 11, {1,8, 111,

respectivamente. En Mathematica también es posible obtener al mismo tiempo los valores y vectores propios tecleando Eigensystem[m].

380

CAPíTULO

8 SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE PRIMER ORDEN

8.2.2 Valores propios repetidos Es natural que no todos los n valores propios, XI, XZ, . . . , X, de una matriz A de n x n necesiten ser distintos; esto es, algunos pueden repetirse. Por ejemplo, la ecuación característica de la matriz de coeficientes en el sistema X’=

(

3 2

1

-18 X -9

(10)

se obtiene con’facilidad y es (X + 3)2 = 0; por lo tanto, XI = AZ = -3 es una raiz de multiplicidad dos. Para este valor se obtiene el vector propio

0

K, = 3 ’ de modo que XI = 03 1 1

,-r

es una solución de (10). Mas como lo que nos interesa es formar la solución general del sistema, necesitamos saber si hay una segunda solución. En general, si m es un entero positivo y si (X - XI)” es un factor de la ecuación característica, mientras que (X - XI)~+~ no lo es, se dice que Al es un valor propio de multiplicidad nz. En los tres ejemplos siguientes revisaremos estos casos: i ) Para algunas matrices A de n x n se podrá determinar m vectores propios linealmente

independientes, Kr, K2,. . . , K,,,, correspondientes aun valor propio XI de multiplicidad m 5 n. En este caso, la solución general del sistema contiene la combinación lineal

crKre*Q + caKZerQ + *- - + cm&eAl’. ii) Si sólo hay un vector propio que corresponda al valor propio XI, de multiplicidad m, siempre será posible hallar m soluciones lineahnente independientes de la forma

X1 = KneAQ X2 = KnIteAl’ + K22eA1r

X, = K,r (m:l)! e*+ + Km2 ,mI;,! erlf + *. . + K,,,,,,e*Q

en que Kfi son vectores columna.

Valor propio de multiplicidad dos

Comenzaremos con valores propios de multiplicidad dos. En el primer ejemplo tendremos una matriz para la que se pueden hallar dos vectores propios distintos, correspondientes a un valor propio doble.

Sección 8.2 Sistemas lineales homogéneos con coeficientes constuntes

SOLUCIÓN

381

Desarrollamos el determinante en la ecuación característica l-A -2 2 det(A - A I ) = - 2 1 -A -2 2 - 2 l - h

=o

y obtenemos - (X + 1)2(X - 5) = 0. Vemos que Xr = X2 = -1, y que Xs = 5. Para XI = -1, la eliminación de Gauss-Jordan da (A + 110) =

El primer renglón de la última matriz indica que RI - k2 + ks = 0; o sea, kr = ka - ks. Las opciones kz = 1, k3 = 0 y KZ = 1, k3 = 1 producen, a su vez, RI = 1 y kr = 0. Así, dos vectores propios que corresponden a Xr = -1 son

K=(b)

y

Kz=($

Puesto que ninguno de los vectores propios es múltiplo constante del otro, hemos llegado a dos soluciones linealmente independientes que corresponden al mismo valor:

XI =

1 0

0 1 e-’

0 X, = 1 e-‘. 1

0

y

Por último, cuando Xs = 5, la reducción

( A - 5110)

(-; _: -3 ($?zzEy(i = -2 -4

8 -i 0)

implica que kl = ks, y kz = 4s. Escogemos k3 = 1, y obtenemos RI = 1 y k2 = -1; de este modo, un tercer vector propio es K3=

0 1 -1 1

Resulta que la solución general del sistema es

En el ejemplo 3, la matriz de coeficientes es de un tipo especial llamado matriz simkica. Se dice que una matriz A de n x n es simétrica si su transpuesta AT (con los renglones y

382

CAPíTULO

8 SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE PRIMER ORDEN

columnas intercambiados) es igual a A; es decir, si AT = A. Se puede demostrar que si la matriz A del sistema X’ = AX es simétrica y tiene elementos reales, siempre sera posible hallar n vectores propios linealmente independientes, Kl, Kz, . . . , K,,, y la solución general de ese sistema es la que indica el teorema 8.7. De acuerdo con el ejemplo 3 este resultado es valido, aun cuando se repitan algunos de los valores propios.

Segunda solución Ahora supongamos que Xi es un valor propio de multiplicidad dos y que solo hay un vector propio asociado con él. Se puede determinar una segunda solución de la forma X2 = Kte*l’ + PeV,

(12)

en donde

Para comprobarlo, sustituimos la ecuación (12) en el sistema X’ = AX y simplificamos: (AK - hlK)teAl’ + (AP - AIP - K)e*l’ = 0. Dado que esta ecuación debe ser válida para todos los valores de t, se deben cumplir Y

(A - hJ)K = 0

(13)

(A - hJ)P = K.

(14)

La ecuación (13) dice, simplemente, que K debe ser un vector propio de A, asociado con XI. Al resolverla, llegamos a una solución, X1 = Ke’ 1’ . Para hallar la segunda solución XZ, basta resolver el sistema adicional (14) para obtener P. Valores propios repetidos

Determine la solución general del sistema (10). SOLUCIÓN

31 e-31 .

De acuerdo con (1 l), sabemos que Xt = -3 y una solución es Xi = 0

TenemosK=(f]y

P=tt), según ( 14), debemos resolver ahora 6pl- 18~2 = 3 (A+W’=

K

osea

2pl

-6p

= 2

1

*

Como está claro que este sistema equivale a una ecuación, tenemos una cantidad infinita de opciones parapi yp2; por ejemplo, sipI= 1, se ve quep2 = b. Sin embargo, para simplificar, optaremos por p1 = i, de modo que p2 = 0. Entonces, P = i . Así, según (12), resulta 0 X2= (:)te-3t+ (i)eT3t

Sección 8.2 Sistemas lineales homogéneos con coeficientes constantes

383

La solución general de (10) es

Cuando una matriz A sólo tiene un vector propio asociado con un valor Xt de multiplicidad tres, se puede determinar una solución en la forma de la ecuación (12) y una tercera solución de la forma

Valores propios de multiplicidad tres

KfJ;~teA’tyQ=[).

(15)

en donde

Al sustituir (15) en el sistema X’ = AX, los vectores columna K, P y Q deben cumplir con

Y

(A - AJ)K = 0

(16)

(A - AJ)P = K

(17)

(A - hJ)Q = P.

(18)

Naturalmente, se pueden emplear las soluciones de (16) y (17) para formar las soluciones XI Y x2.

Valores

propios

repetidos

SOLUCIÓN

La ecuación característica (X - 2)3 = 0 indica que Xr = 2 es un valor propio de multiplicidad tres. Al resolver (A - 21)K = 0 se halla un solo vector propio, que es 1 K =

0.

0 Luego resolvemos los sistemas (A - 2I)P = K y (A - 21) Q = P sucesivamente y obtenemos

P=(i)

yo

Q (=

0 -i?. ) B

384

CMíTULO 8 SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE PRIMER ORDEN

Usamos las ecuaciones (12) y (15) y la solución general del sistema es

Cuando un valor propio x1 tiene multiplicidad m, podrá suceder que determinemos m vectores propios linealmente independientes, oque la cantidad de vectores propios correspondientes sea menor de m. En consecuencia, los dos casos de la página 380 no constituyen todas las posibilidades en que se puede presentar un valor propio repetido; por ejemplo, es posible que una matriz de 5 x 5 tenga un valor propio de multiplicidad cinco y que existan tres vectores propios linealmente independientes. (Véanse los problemas 29 y 30, ejercicios 8.2.)

8.2.3 Valores propios complejos Si XI = cx + ip y XZ = cy - ip, i2 = -1 son valores propios complejos de la matriz A de coeficientes, cabe esperar que sus vectores propios correspondientes también tengan elementos complejos.* Por ejemplo, la ecuación característica del sistema $=6x-y (19) dy x = 5.x + 4y es

det(A - hI) =

6-A 5

1 = ,i2 - 10h + 29 = 0. 4-h

Aplicamos la fórmula cuadrática y tenemos XI = 5 + 2i, x2 = 5 - 2i. Ahora, para XI = 5 + 2i, debemos resolver (1 - 2i)kl kz = 0 5kl - (1 + 2i)kz = 0. Puesto que k2 = (1 - 2i)kl> la opción k1 = 1 produce los vectores propio y solución siguientes:

De igual manera, cuando X2 = 5 - 2i llegamos a

*Cuando la ecuación característica tiene coeficientes reales, los valores propios complejos siempre se dau en pares conjugados. +N6tese que la segunda ecuación tan sólo es (1 + 24 multiplicado por la primera.

Sección

8.2 Sistemas lineales homogéneos con coeficientes constuntes

385

Con el wronskiano podemos comprobar que esos vectores solución son linealmente independientes, así que la solución general de (19) es

Obsérvese que los elementos de K2 que corresponden a X2 son los conjugados de los elementos de K1 que corresponden a XI. El conjugado de XI es X2. Expresamos lo anterior en la forma X2 = 1, y K2 = Kl. Hemos ilustrado el siguiente resultado general:

Se aconseja -y es relativamente fácil-expresar una solución como la de (20) en términos de funciones reales. Con este fin primero aplicaremos la fórmula de Euler para escribir dstzi)’ = esteu = e5t(cos 2t + i sen 2t) eC5-2i)r = $re-2n’ = $‘(cos 2t - i sen 2t). Luego, después de multiplicar los números complejos, se agrupan los términos y CI + c2 se reemplazan con CI y (CI - c2)i con C2; la ecuación (20) se transforma en x = CIX, + c,x,, en donde

XI= [(:)cos2~-(-~)sen2~]esf

Y

X2= [(-i)cos2r+ (:)sen21]eY.

(21)

Ahora es importante reconocer que los dos vectores, XI y X2 en (21) son, en sí mismos, soluciones reales linealmente independientes del sistema original. En consecuencia, podemos pasar por alto la relación entre Cl, C2 y cl, cz para considerar que Cl y C2 son completamente arbitrarios y reales; en otras palabras, la combinación lineal, ecuaciones (21), es una solución general alternativa de (19). Se puede generalizar el procedimiento anterior. Sea K1 un vector propio de la matriz de coeficientes A (con elementos reales) que corresponde al valor propio complejo XI = (lr + ip. Entonces los dos vectores solución del teorema 8.8 se pueden expresar como sigue: KIeAl’ = KIe%?’ = KIeti(cos /3t + isen /3t) K,& = KlfYfe+@ = Kled(cos Pt - isen Pt).

386

CAPíTULO

8 SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE PRIMER ORDEN

De acuerdo con el principio de la superposición, teorema 8.2, los siguientes vectores tambih son soluciones: X1 = i (K1eAQ + z,&) = i (K, + K1)enr cos Pt - $ ( -K1 + Kl)eursenflt X2 = i ( -KleV f &eñlf) = k ( -K1 + Kl)euf cos Pt + i (K, + &)e%en/3t. Para cualquier número complejo z = a + ib, ambos $z + Z) = a e $-z +Z) = b son números reales. Por consiguiente, los elementos de los vectores columna ~(KI + EI) e $-Kc + &) son

números reales. Si definimos B,=;(Kl+á,)

y

Bz=$(-K1 +Ki)

(22)

llegamos al siguiente teorema:

ì

,,

,‘L’

Las matrices B1 y B2 en (22) suelen representarse así: BI = WJG)

y

B2 = Im(K1)

(24)

porque esos vectores son, respectivamente, la.parte real y la imaginaria del vector propio K1; por ejemplo (21) es consecuencia del teorema (23) con Kl=(1’zi)=(:)+i(-;)

1 B1 = Re(K1) = 1 0

y

Valores propios complejos

SOLUCIÓN

Primero obtenemos los valores propios a partir de = AZ + 4 = 0.

Sección 8.2 Sistemas lineales homogéneos con coeficientes constantes

Así, esos valores propios son XI= 2i y Xz = 1, = -2i. Para XI, el sistema (2 - 2i)kl + 8kz = 0 -k, + (-2 - 2i)kz = 0 da como resultado kl = -(2 + 2i)kz. Si optamos por kz = -1 I&=(‘~~)=(-f)+i(3. De acuerdo con (24) formamos las partes Y

0

2 B2 = Im(KJ = o I

Puesto que (I! = 0, según las ecuaciones (23), la solución general del sistema es X=c,[(-t)cos2t-(i)senZr] = Cl

(

2cos2t - 2sen2t + -cos 2t )

c2

+c,[(i)cos2*+

(_:),,n2t]

2 cos 2t + 2aen 2t -sen2t 1’ (

En los problemas 1 a 12 determine la solucih general del sistema respectivo.

dz x=y-z

387

388

CAPíTULO

8 SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE PRIMER ORDEN

En los problemas 13 y 14 resuelva el sistema sujeto a la condición inicial indicada.

En los problemas 15 y 16 emplee un sistema algebraico de computación o un programa de álgebra lineal como auxiliar para hallar la solución general del sistema respectivo.

-2.8

0

-3.1 0

4

0

- 8.2.2 Determine la solucion general del sistema correspondiente a cada uno de los problemas 17 a 26.

17. $=3x-y dy d; = 9x - 3y 19. $= -x*3y 9, -3x + 5y dt

21. g=3x-y- 2 dY z=x+y-z dz d;=x-y+z

IS.%=-6x+5y TL -5.x + 4y dt 20. g = 12x - 9y 4 d; = 4x 22. $ = 3x + 2y + 42 $x+2z $ = 4x + 2y + 32

Sección

8.2

Sistemas lineales homogéneos con coeficientes constantes

En los problemas 27 y 28 resuelva el sistema dado sujeto a la condición inicial indicada.

389

-

27. X’ =

2 8 . X’=(;

2

$X,

X(O)=(;)

-

2 9 . Demuestre que

a) La matriz de 5 x 5 2

1

0 0

0

tiene un valor propio Xt de multiplicidad cinco. b) Es posible hallar tres vectores propios linealmente independientes correspondientes a XI.

Problema poro discusión 30. Para la matriz de 5 x 5 del problema 29, resuelva el sistema X’ = AX sin métodos matriciales; pero exprese la solución general en notación matricial. Con la solución general como base describa cómo resolver el sistema aplicando los métodos matriciales de esta sección. Lleve a cabo sus ideas.

- 8.2.3 En los problemas 3 1 a 42 determine la solución general del sistema respectivo 3 1 . 2 = 6x - y

dr = 5x + 2y z 33. $ = 3x + y

by, -2x+3y dt

32.

$= x+ y dy --2x-y z-

34. g = 4.x + 5y

4 -=-2x+6y dt

390

8 SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE PRIMER ORDEN

CAPíTULO

35. X’ =

X

36.

37 Lz

X’

=

( 1 1 1

-8 X -3

3 8 . 4 = 2.x + y + 22

’ dt 4 dt=-

m = 3x + 62

dz -= dt ’

dz = -4x - 3z dt

En los problemas 43 y 44 resuelva el sistema respectivo sujeto a la condición inicial indicada.

43.

x4;

-‘?

-jx,

x(o)-(..%)

44. X’ =

VARIACIÓN DE PARÁMETROS n

Matriz fundamental w Determinación de una solución particular por variación de parbmetros

Antes de desarrollar la versión matricial de variación de parametros para sistemas lineales no homogéneos X’ = AX + F, necesitamos examinar una matriz especial que se genera con los vectores solución del sistema homogéneo correspondiente X’ = AX.

Una matriz fundamental Si XI, XZ, . . . , X, es un conjunto fundamental de soluciones del sistema homogéneo X’ = AX en un intervalo I; su solución general en el intervalo es

Sección 8.3

Variación de parámetros

391

La última matriz en (1) se puede ver como producto de una matriz de n x n por una de n x 1; en otras palabras, se puede expresar la solución general (1) en la forma x = @(t)C,

(2)

en donde C es un vector columna de n x 1 de constantes arbitrarias, y la matriz de n x n, cuyas columnas consisten en los elementos de los vectores solución del sistema X’ = AX,

es una matriz fundamental del sistema en el intervalo. Para seguir requeriremos dos propiedades de una matriz fundamental: n Una matriz fundamental a>(t) es no singular n Si Q(t) es una matriz fundamental del sistema X’ = AX, entonces

W(t) = A@(t).

(3)

Si volvemos a examinar (9) del teorema 8.3, veremos que det o(t) es igual que el wronskiano WXI, x2,. * * , X,). Por lo tanto, la independencia lineal de las columnas de @(t) en el intervalo I garantiza que det Q(t) # 0 para todo t en el intervalo. Puesto que Q(t) es no singular, existe la inversa multiplicativa, W’(t) para toda t en el intervalo. El resultado en la ecuación (3) es consecuencia inmediata del hecho de que toda columna de B(t) es un vector solución de

X’ = AX. Variación de parámetros Al igual que en el procedimiento de la sección 4.6, nos preguntamos si sería posible reemplazar la matriz C de las constantes en la ecuación (2) por una matriz columna de funciones

de modo que X, = @(t)U(t)

(4)

sea una solución particular del sistema no homogéneo

X’ = AX + F(t).

(5)

Según la regla del producto, la derivada de la última ecuación en (4) es

xp = aqt)U’(t) + W(t)U(t).

(6)

Obsérvese que el orden de los productos en (6) es muy importante. Dado que U(t) es una matriz columna, los productos U’(t)@>(t) y U(t)@‘(t) no están definidos. Al sustituir (4) y (6) en (5) se obtiene @(t)U’(t) + W(t)U(t) = A@(t)U(t) + F(t).

(7)

392

CAPíTULO

’

8 SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE PRIMER ORDEN

Ahora, si empleamos (3) para reemplazar W(t), esta ecuación se transforma en @(t)U’(t) + A@(t)U(t) = AQ>(t)U(t) + F(t) @(t)U’(t) = F(t).

0 sea

(8)

Multiplicamos ambos lados de esta ecuación por 0-l para obtener U’(t) = W’(t) F(t)

y por tanto

U(t) = j. W(t) F(t) dt.

Como X, = (t)U(t), concluimos que una solución particular de (5) es X, = Q(t) j W’(t)F(t) dt.

Para calcular la integral indefinida de la matriz columna W’(t)F(t) en esta expresión, integramos cada elemento. Así, la solución general del sistema (5) es X = X, + X,, o sea X = @(t)C + Q(t) j W’(t)F(t) dt.

Variación

de

(10)

parámetros

Determine la solución general del sistema no homogéneo

X’= (-2 Jx+(C)

(11)

en el intervalo (-, -). SOLUCIÓN

Primero resolvemos el sistema homogéneo X’ =

X.

W)

La ecuación característica de la matriz de coeficientes es det(A - AI) =

-3 - h 2

-,’ *

= (A + 2)(h + 5) = 0,

de modo que los valores propios son Xt = -2 y XZ = -5. Aplicamos el método habitual y vemos que los vectores propios que corresponden a Xt y Xz son, respectivamente, 1 01 Los vectores solución del sistema (ll) son

Y

Sección 8.3 Variación de parámetros

393

Los elementos en XI forman la primera columna de Q(t) y los elementos de XZ, la segunda; por consiguiente

De acuerdo con (9),

así pues, según (lo), la solución general del sistema (ll) en el intervalo es

=cl(:)~-2~+c2(-:)e-~~+ (i)t- (i) + (ge-t Problema de valor inicial

La solución general de (5) en un intervalo se puede expresar

en la forma alternativa X = @(t)C + Q(t) j-:,

W(s)F(s) ds,

(13)

en la que t y to son puntos en el intervalo. Esta última forma es útil para resolver (5) sujeta a una condición inicial X(t0) = XO, ya que se escogen los límites de integración de tal modo que la solución particular se anule cuando t = 10. Al sustituir t = to en (13) se obtiene XO = @(to)C, de donde obtenemos C = W’(to)Xo. Al reemplazar este resultado en la ecuación (13) se llega a la siguiente solución del problema de valor inicial:

.x = @(t)W(t,)X,, + Q(t) I:, W(s)F(s) ds.

(14)

En los problemas 1 a 20 aplique el método de variación de parámetros para resolver el sistema dado.

1. g= 3 x - 3y +4 dy z=2x-2y-l

2 . f$ = 2x - y 4 = 3x - 2y + 4t z

394

CAPíTULO

8 SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE PRIMER ORDEN

En los problemas 21 y 22 use la ecuación (14) a fin de resolver el sistema dado sujeto a la condición inicial indicada.

21. X'= (_: -;)x+(;g, x(o>=(:) 22. X'=(i

Jx+($,

X(l,=(J

23. En la red eléctrica de la figura 8.1, el sistema de ecuaciones diferenciales para determirkx las corrientes il(t) e iz(t), es

-(R,

+R,)IL, R2IL

R21L2 -R,IL,)(3 + (03'

Resuelva el sistema para RI = 8 Q donde R2 = 3 Q, Ll = 1 h, L2 = 1 h, E(r) = 100 sen t V, il(O) = 0 A e i2(0) = 0.

Sección

8.4

Matriz

exponencial

395

R2

FIGURA 8.1

24. Es casi imposible resolver a mano un sistema lineal no homogéneo X’ = AX + F(t) por variación de parámetros, cuando A es una matriz de 3 x 3 o mayor. Se tiene el sistema

a) Con un sistema algebraico de computación o un programa algebraico, determine los valores y vectores propios de la matriz de coeficientes. b) Forme una matriz fundamental O(r) y con la computadora determine Q-‘(f). c) Con una computadora realice las operaciones de

@-‘(t)F(t), .f Q>-‘(t)F(t) dt, @(t) .f W(t)F(t) dt, @(t)C, @(c)C + a’(t) j- W(t)F(t) dt,

Y

donde C es una matriz columna de las constantes CI, cz, cs y ~4. d) Reformule la presentación en computadora de la solución general del sistema en la forma X = X, + X,, donde X, = ~1x1 + ~2x2 + ~3x3 + ~4x4.

MATRIZ n

EXPONENCIAL

Sistemas homogéneos n Serie de potencias para ea’ n Matriz exponencial n Sistemas no homogéneos

Sistemas homogéneos

Recuérdese que la sencilla ecuación diferencial lineal de primer orden, x’ = OX, donde a es una constante, tiene la solución general x = ce”. Parece lógico preguntar si se puede definir una matriz exponencial (o quizá con más propiedad, exponencial matricial) e*’ tal que el sistema homogeneo X’ = AX, donde A es una matriz de n x n de las constantes, tenga una solución X = eA’C.

(1)

396

CAPíTULO

8 SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE PRIMER ORDEN

Dado que C debe ser una matriz columna de n x 1 de constantes arbitrarias, deseamos que eAr sea una matriz de n x n. Aunque una explicación completa del significado y la teoria de la matriz exponencial necesita un conocimiento profundo del álgebra matricial, una forma de definir eAt se basa en la representación en serie de potencias de la función escalar exponencial ea5 t” e”=l+at+a *t* jj+***+U”z+**

. =g+

Esta serie converge para toda t. Con ella y reemplazando 1 con la identidad 1, y la constante a con una matriz A de n x n de las constantes, llegamos a la definición de la matriz eAt de n x n.

Se puede demostrar que la serie definida por (3) converge a una matriz de n x n para cualquier valor de t. También, que A2 = AA; que A3 = ,4(A2), etcétera. Además, a semejanza de la propiedad de diferenciación de la exponencial escalar 2 eat = ueat,

Para visualizar lo anterior, derivamos (3) término a término:

I+At+A*$+ . . . I+At+A*$+...

+*x+...

1

1

1 =A+AQ+-A3tZ+... 2!

= AeA’.

Aplicaremos (4) para demostrar que (1) es una solución de X’ = AX para todo vector C, de n x 1, de constantes: X’ = $eAtC = AeA’C = A(eAT) = AX.

eAt es una matriz fundamental

Si representamos a la matriz exponencial eAf con el símbolo Y(t), la ecuación (4) equivale a la ecuación diferencial matricial Y’(t) = AY(t) (véase (3) de la sección 8.3). Además, de la definición 8.4 se deduce de inmediato, que Y(O) = eAo = 1, y por tanto det Y(O) # 0. Es evidente que estas dos propiedades bastan para concluir que Y(t) es una matriz fundamental del sistema X’ = AX.

Sección 8.4 Matriz exponencial 397

Sistemas no homogéneos

De acuerdo con la expresión (4) de la sección 2.3, la solución general de la ecuación diferencial lineal de primer orden x’ = ax +f(t), donde a es una constante, se puede expresar como sigue: I x = x, + x, = cen’ + ent t. e-“f(s) ds. I

Para un sistema no homogéneo de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden, se puede demostrar que la solución general de X’ = AX + F(t), donde A es una matriz de n x n de constantes, es

t x=x c +x P = pc + e*t I eASF(s) ds. fo

(5)

Puesto que la matriz exponencial eAt es una matriz fundamental, siempre es no singular y evkî = (eA”)-‘. En la práctica se puede obtener edAs a partir de eAt cambiando t por -s.

EJEKIC~OS 8.4

Aplique la definición (3) en los problemas 1 y 3 para hallar eAt y eeA’.

1. A=

2. A=

Aplique la definición (3) en los problemas 3 y 4 para determinar eAt.

En los problemas 5 a 8 use la ecuación (1) a fin de hallar la solución general de cada sistema.

5. X'=

( 1 1

0

0 2

X

6. X'=

X

Aplique la ecuación (5) para determinar la solución general de los sistemas correspondientes a los problemas 9 a 12.

9. xq; gx+(J ll. X'= (1 gx+ (;)

10. X’= (0 !Jx+ (e:,) 12. X'=(Y ;)xi-(";)

398

CAPíTULO

8 SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE PRIMER ORDEN

13. Resuelva el sistema del problema 7 sujeto a la condición inicial 1 X(O)

= -4 . 0 6

14. Resuelva el sistema del problema 9 sujeto a la condición inicial

0

4 X(O) = 3 . Sea P una matriz cuyas columnas son los vectores propios K1, K2, . . , , & que corresponden a distintos valores propios, XI, XZ, . . . , &,, de una matriz A de n x n. Se puede demostrar que A = PDP-‘, donde D SC? define así:

D=

(6)

En los problemas 15 y 16 compruebe el resultado anterior para cada matriz.

17. Suponga que A = PDP-‘, donde D se define como en (6). Aplique la definición (3) para demostrar que eAr = PeDtP-‘. 18. Use la definición (3) para demostrar que

donde D es la matriz definida en (6). En los problemas 19 y 20 use los resultados de los problemas 15 a 18 para resolver el sistema dado. 2 1 19. X’ = X 1 X 2 2 0 . X’ =

( 1

Seccibn

8.4

Matriz

exponencial

399

1. Compruebe que, en el intervalo (-m, -), la solución general del sistema X’ =

es

x = Cl

(

4

-2

5

2

( 1

X

2 cos 3t 2sen 3t e3r + c2 e3’ cos 3t + 3 sen3t 1 ( sen3t-3cos3t ) ’

2. Compruebe que en el intervalo (-w, -), la solución general del sistema dx z=Y iJ!= -x+2y-2cost dt

es

X=cl(i)e’+cT[(i)tef+

(Je’] + ci).

En los problemas 3 a 8 aplique los conceptos de valores y vectores propios para resolver cada sistema. 4 &= -4x + 2y ’ dt

En los problemas 9 a 12 aplique el método de variación de parámetros a fin de resolver el sistema respectivo.

9. X’= (0 $x+ (l;i) by, dt

-ix+y+e’tanf