Valores propios y sistemas de ecuaciones diferenciales de primer orden (Aplicación de los valores y vectores propios en la solución de sistemas de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden. Metodología)

Pedro CASTAÑEDA PORRAS Arelys QUINTERO SILVERIO Eugenio HERNÁNDEZ VARGAS

Palabras claves: Valores propios. Vectores propios. Resumen. En este trabajo abordaremos una experiencia en la solución de Sistemas de Ecuaciones Diferenciales lineales utilizando el método matricial, de esta forma estaremos vinculando el Álgebra Lineal con la Matemática como asignaturas que se imparten en las carreras de ingeniería, teniendo en cuenta la articulación entre materias, como una necesidad en la Resolución de Problemas. La estrategia de resolución de problemas es mucho más rica que la aplicación mecánica de un algoritmo, pues implica crear un contexto donde los datos guarden una cierta coherencia. Desde este análisis se han de establecer jerarquías: ver qué datos son prioritarios, rechazar los elementos distorsionadores, escoger las operaciones que los relacionan, estimar el rango de la respuesta, etc. También nos apoyaremos en los Asistentes Matemáticos como herramienta incorporada al sistema didáctico de la enseñanza de la Matemática.

Introducción. El perfeccionamiento de los planes de estudios en las diferentes carreras nos exige aún más en la relación entre las asignaturas de una disciplina y entre las disciplinas del año y de la carrera para poder enfrentar y resolver los problemas de carácter profesional. Las Ecuaciones Diferenciales tienen una gran importancia por su carácter integrador de la matemática. Compartimos el criterio de (Judson. T. 1997). Es importante propiciar la transferencia de estos conocimientos a situaciones relacionadas con áreas de interés del estudiante para que pueda utilizarlos en la solución de problemas que se le presenten durante el ejercicio de su profesión. Hay que centrar la atención en enseñar a resolver los problemas que involucren ecuaciones diferenciales. No obstante el propósito de este trabajo es propiciar una metodología para resolver Sistemas de Ecuaciones Diferenciales lineales de primer orden utilizando los conceptos de valores y vectores propios con el apoyo de un Asistente Matemático.

Hasta este momento los estudiantes habían tratado las Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de forma individual, pero en la práctica se necesita más de una Ecuación Diferencial para formular matemáticamente situaciones físicas a las cuales ellos se enfrentan. Todo el proceso está basado en el aprendizaje significativo, que es quien sustenta la resolución de problemas. Como dijera (Ausubel, 2006): "El factor más importante que influye en el aprendizaje es lo que el alumno ya sabe. Averígüese esto y enséñese consecuentemente". Claro está, con esta afirmación, la experiencia sobre la cual queremos trabajar es retomar lo que ya se sabe del Algebra Lineal y aplicarlo a la solución de Sistemas de Ecuaciones Diferenciales y así verán la utilidad de estos conceptos. A continuación exponemos la metodología e ideas básicas de cómo resolver estos SED.

Ideas básicas Si X, A(t) y F(t) denotan, respectivamente, las matrices

 a11 (t ) a12 (t ) ... a1n (t )     x1 (t )     a21 (t ) a22 (t ) ... a2 n (t )   x2 (t )   . .    , F (t ) =  , A(t ) = X= .    . .  .   . .      xn (t )   a (t ) a (t ) a (t )  n2 nn   n1

 f1 (t )     f 2 (t )   .    .    f n (t ) 

Entonces el sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden

dx1 = a11 (t ) x1 + a11 (t ) x 2 + ... + a1n (t ) x n + f1 (t ) dt dx1 = a11 (t ) x1 + a11 (t ) x 2 + ... + a1n (t ) x n + f 2 (t ) dt . . .

(1)

.

dx n = a n1 (t ) x1 + a n1 (t ) x 2 + ... + a nn (t ) x n + f n (t ) dt Puede ser escrito como,

 a11 (t ) a12 (t ) ... a1n (t )   x   x1      a 21 (t ) a 22 (t ) ... a 2 n (t )  1   x2    x 2  . d   .  .  + . = .   dt    . .    .  .     .  x n   a (t ) a (t ) a (t )  x n  n2 nn  n1 

 f1 (t )     f 2 (t )  .  (2)   .     f n (t ) 

,

o simplemente convierte en

dX = A(t ) X + F (t ) . (3), dt

si el sistema es homogéneo, (3) se

dX = A(t ) X . (4) dt Problema. Dado el Sistema no homogéneo

dx = − 2 x + 5 y + e t − 2t dt en forma matricial puede ser escrito como dy = 4 x − 3 y + 10t dt  e t − 2t  x  − 2 1   − 2 5 dX  − 2 5   o X ′ =   X +   X +   e t +   t , donde X =   =   dt  4 − 3  10t   y 10   0  4 − 3  Definición: Un vector solución en un intervalo I es cualquier matriz columna

 x1 (t )     x2 (t )   cuyos elementos diferenciables, y tal que satisface el sistema (3) en el X = .    .    xn (t )  intervalo. A continuación veremos un conjunto de vectores dependiente e independiente de un sistema homogéneo. Definición. Sea

soluciones

linealmente

X 1 , X 2 , ... , X n un conjunto de vectores solución del sistema

homogéneo (4) en un intervalo I. Decimos que el conjunto es linealmente dependiente en el intervalo si existen constantes c1, c2, . . ., ck, no todas nulas, tales que c1X1 + c2X2 + . . . + ckXk = 0 para todo t del intervalo. Si el conjunto de vectores no es linealmente dependiente en el intervalo, se dice que es linealmente independiente. Como hicimos en la teoría de una sola ecuación diferencial ordinaria, nos apoyaremos en el determinante Wronskiano para verificar la independencia lineal. En el ejemplo, Son soluciones del sistema homogéneo.

El Wronskiano es distinto de cero para todos los valores reales de t. Por lo tanto X, Y son linealmente independientes.

Conjunto fundamental de soluciones. Definición. Si X1, X2, . . . , Xn es un conjunto cualquiera de n vectores solución linealmente independiente del sistema homogéneo (4) en un intervalo I, entonces es un conjunto fundamental de soluciones en el intervalo. Teorema. Sea X1, X2, . . . , Xn un conjunto fundamental de soluciones del sistema homogéneo(4) en el intervalo I. la solucion general del sistema en el intervalo se define como: X= c1X1+c2 X2 + . . . + cnXn , donde los ci , siendo i = 1, 2, …, n, son constante arbitrarias. Teorema. Sea X1, X2, . . . , Xk un conjunto de vectores solución del sistema homogéneo (4) en un intervalo I y sea Xp cualquier vector solución del sistema no homogéneo (3) en el mismo intervalo. Entonces X= c1X1+c2 X2 + . . . + ckXk +Xp también es una solución del sistema no homogéneo en el intervalo, cualquiera que sean las constante c1, c2, . . . , ck. Retomando el problema podemos observar correspondiente sistema homogéneo es:

que

la

solución

general

del

Nos faltaría encontrar un vector solución Xp del sistema no homogéneo que lo podemos encontrar por los métodos de coeficientes indeterminados y de variación de parámetros que ya fueron estudiados cuando se trabajaron las ecuaciones diferenciales ordinarias y estos métodos se pueden adaptar para la solución de sistemas lineales no homogéneos. De estos dos métodos el más potente es el de variación de parámetros, sin embargo, existen algunos casos en donde el método de coeficientes indeterminados proporciona un medio rápido para obtener una solución particular Xp. A continuación daremos una metodología o secuencia para aplicar el método de coeficientes indeterminados a la solución de sistemas de ecuaciones diferenciales lineales. Solución del sistema homogéneo.(Xc) • Matriz asociada del sistema homogéneo. • Ecuación matricial. • Ecuación característica. • Obtener lo valores y vectores propios. • Plantear la solución general del sistema homogéneo. Encontrar un vector solución Xp del sistema no homogéneo. • Proponer una solución particular de la parte no homogénea. • Ajustar correctamente tal propuesta. • Utilizar el método de los coeficientes indeterminados. • Y plantear X = Xc +Xp.

Es interesante en esta experiencia docente como los estudiantes tienen que retomar contenidos ya estudiados en el curso anterior para resolver sistemas de ecuaciones diferenciales, según (Maldonado. M. A) De acuerdo al aprendizaje significativo, los nuevos conocimientos se incorporan en forma sustantiva en la estructura cognitiva del alumno. Esto se logra cuando el estudiante relaciona los nuevos conocimientos con los anteriormente adquiridos; pero también es necesario que el alumno se interese por aprender lo que se le está mostrando. (Valdés, 1950). Apunto…" debéis buscar con habilidad aquello conocimientos que pueden servir de paso para otras, a modo de grandes pilares sobre los que descansa la armazón del edificio.

Como la matriz de los coeficientes A es de 2x2 y dado que se han obtenido dos soluciones linealmente independientes, concluimos que la solución general del sistema homogéneo es:

Se puede observar que todo este trabajo matricial se realizó con el Asistente Matemático DERIVE, es otra forma de articular con el uso de las nuevas tecnología, pero también veremos algunos ficheros para calcular los valores propios y vectores propios correspondientes, donde se darán cuenta que es más práctico y rápido.

El método de los coeficientes indeterminados no es tan simple, el método puede aplicarse solamente cuando los elementos de la matriz F(t) son constante, polinomios, funciones exponenciales, senos y cosenos, o bien sumas infinitas y productos de estas funciones. Pueden notar también que no hemos visto los casos donde los valores propios se repiten o son complejos. En esta experiencia solo queremos tratar la articulación entre las asignaturas como un modo donde los estudiantes vean la necesidad de retomar contenidos anteriores para poder entender nuevos conocimientos. Esta articulación que esta sustenta la resolución de problemas que se apoya en las ventajas y requisitos del aprendizaje significativo. Según (Maldonado, M. A) Ventajas del Aprendizaje Significativo: Produce una retención más duradera de la información. • Facilita el adquirir nuevos conocimientos relacionados con los anteriormente adquiridos de forma significativa, ya que al estar claros en la estructura cognitiva se facilita la retención del nuevo contenido. • La nueva información al ser relacionada con la anterior, es guardada en la memoria a largo plazo. • Es activo, pues depende de la asimilación de las actividades de aprendizaje por parte del alumno. • Es personal, ya que la significación de aprendizaje depende los recursos cognitivos del estudiante. Requisitos para lograr el Aprendizaje Significativo: • Significatividad lógica del material: el material que presenta el maestro al estudiante debe estar organizado, para que se de una construcción de conocimientos. • Significatividad psicológica del material: que el alumno conecte el nuevo conocimiento con los previos y que los comprenda. También debe poseer una memoria de largo plazo, porque de lo contrario se le olvidará todo en poco tiempo. • Actitud favorable del alumno: ya que el aprendizaje no puede darse si el alumno no quiere. Este es un componente de disposiciones emocionales y actitudinales, en donde el maestro sólo puede influir a través de la motivación.

Conclusiones En la experiencia que acabamos de exponer se ha explicado como utilizar los conceptos del álgebra lineal en la solución de sistemas de ecuaciones diferenciales de primer orden, los estudiantes se sintieron motivados en el momento que ellos tuvieron que retomar los contenidos de valores propios y vectores propios, lo sintieron como algo que no dieron en vano en el curso anterior y por ende reafirmaron y guardaron a largo plazo lo estudiado en su memoria, el Aprendizaje Significativo, ayuda al alumno a este resultado y además que vaya construyendo sus propios esquemas de conocimiento y para una mejor comprensión de los conceptos. Para conseguir este aprendizaje se debe tener un adecuado material, las estructuras cognitivas del alumno, y sobre todo la motivación. También el uso del asistente matemático les facilito el trabajo algebraico que en ocasiones es engorroso, donde se vieron algunas ventajas pedagógicas:

nos permite defender la idea sobre el rol que deben cumplir las TICs en los procesos formativos: Todo conocimiento que se adquiere de manera intencionada, mediante un proceso diseñado para ello, implica una mediación en el tratamiento de la información, las estrategias y los medios que promueven el aprendizaje.

Bibliografia 1. Judson, T. (1997). University Mathematics Education in the United States. Recuperado el 7 de julio de 2003 de: http://skk.math.hc.keio.ac.jp/mathsoc/rep97/etrang/judson/node14.html 2. (Maldonado . M. A). El aprendizaje significativo de David Paul Ausubel. www.monografias.com/trabajos10/dapa/dapa.shtml#teo 3. Valdés, M. (1950). El maestro y la educación popular. Recopilación realizada por la Dra. Dulce M. Escalona, MINED, La Habana, 1950. 4. Fernández de Alaiza, B.(1998). Una estrategia de articulación interdisciplinaria para el perfeccionamiento curricular en la Educación Superior. Tesis de Maestría. CEPES. Ciudad Habana, 1998.

Pedro CASTAÑEDA PORRAS [email protected] Arelys QUINTERO SILVERIO [email protected] Eugenio HERNANDEZ VARGAS [email protected] Universidad de Pinar del Río “Hermanos Saíz Montes de Oca”, Cuba Universidad Politécnica de Valencia, España