Lecci´on 11 Ecuaciones Diferenciales de Segundo Orden

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Ecuaciones de segundo orden En forma normal: x 00 = f (t, x, x 0 ) Ejemplo: 1 (x 0 )2 − 1 00 2tx − x + 0 = 0 ⇔ x = x 2tx 0 Casos Particulares Ecuaciones en las que no aparece la variable dependiente: x 00 = f (t, x 0 ): 00

0

2tx 00 − x 0 +

1 =0 x0

(t 6= 0)

Ecuaciones en las que no aparece la variable independiente: x 00 = f (x, x 0 ): 2xx 00 = 1 + (x 0 )2

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M´etodo de resoluci´on de los casos particulares Reducci´ on del orden mediante cambio de variables: u = x0 Ecuaciones en las que no aparece la variable dependiente: u como funci´on de t. u = x 0 ⇒ x 00 = u 0 , x 00 = f (t, x 0 ) ⇒ u 0 = f (t, u) Se resuelve u 0 = f (t, u) y se obtiene u = u(t). Luego se deshace el cambio: Z x 0 (t) = u(t) ⇒ x(t) = u(t) dt. 2tx 00 − x 0 +

1 =0 x0

(t 6= 0) ⇒ 2tu 0 − u +

1 =0 u

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M´etodo de resoluci´on de los casos particulares (cont.) u = x0 Ecuaciones en las que no aparece la variable independiente: u como funci´on de x: d2 x du du dx 0 00 u=x ⇒x = = = = u0 · u dt dt dx dt x 00 = f (x, x 0 ) ⇒ uu 0 = f (x, u) f (x, u) y se obtiene u = u(x). Luego se u deshace el cambio resolviendo x 0 = u(x) (variables separables). Se resuelve u 0 =

2xx 00 = 1 + (x 0 )2 ⇒ 2xuu 0 = 1 + u 2

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Ecuaciones Lineales Ecuaci´ on lineal de orden n: x (n) + pn−1 (t)x (n−1) + · · · + p1 x 0 + p0 x = r (t) Caso homog´ eneo: r (t) = 0 Caso no homog´ eneo: r (t) 6= 0. M´ etodo de resoluci´ on: Reducci´on a un sistema lineal de primer orden y dimensi´on n mediante el cambio: x1 = x, x2 = x 0 , x3 = x 00 , . . . , xn = x (n−1)  0 x1     x20     x30     0  xn−1    0 xn

= x2 = x3 = x4 .. . = xn = −p0 x1 − p1 x2 − . . . − pn−1 xn + r (t) 5

Ecuaciones lineales de orden peque˜no n = 2: x 00 + p(t)x 0 + q(t)x = r (t), x1 = x, x2 = x 0 : 

x10 = x2 x20 = −q(t)x1 − p(t)x2 + r (t)

 0      x1 0 1 x1 0 = + x20 −q(t) −p(t) x2 r (t)

n = 3: x 000 + p2 (t)x 00 + p1 (t)x 0 + p0 (t)x = r (t), x1 = x, x2 = x 0 , x3 = x 00 :  0  x1 = x2 x20 = x3  0 x3 = −p0 (t)x1 − p1 (t)x2 − p2 (t)x3 + r (t)  0      x1 0 1 0 x1 0 x20  =  0 0 1  x 2  +  0  x30 −p0 (t) −p1 (t) −p2 (t) x3 r (t)

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Ecuaciones Lineales de Orden 2. Caso Homog´eno x1 = x, x2 = x 0 x 00 + p(t)x 0 + q(t)x = 0

(1)

„ 0« „ x1 0 = −q(t) x20

⇔

1 −p(t)

«„ « x1 (2) x2

Teorema  x(t) soluci´ on de (1) si y s´olo si

 x(t) soluci´on de (2). x 0 (t)

x(t), y (t) soluciones    de (1) linealmente independientes si y s´olo si x(t) y (t) y soluciones linealmente independientes de (2); 0 x (t) y 0 (t) i.e. para alg´ un t del intervalo en que p y q son continuas   x(t) y (t) det 0 6= 0 x (t) y 0 (t)   x(t) y (t) W [x, y ](t) = det 0 =Wronskiano de x, y en t. x (t) y 0 (t) 7

Soluci´on general de las ecuaciones lineales homog´eneas de orden 2

x 00 + p(t)x 0 + q(t)x = 0 x(t) = 0 siempre es soluci´on. Soluci´ on general: x(t) = c1 x1 (t) + c2 x2 (t) siendo x1 (t) y x2 (t) dos soluciones linealmente independientes. Objetivo. Encontrar dos soluciones linealmente independientes.

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Ecuaciones con coeficientes constantes x 00 + px 0 + qx = 0

 0    0 1 x1 x1 = 0 x2 −q −p x2

(x = x1 , x 0 = x2 ) Ecuaci´ on caracter´ıstica:   λ −1 det = 0 ⇔ λ2 + pλ + q = 0 q λ+p La ecuaci´on caracteritica se obtiene al sustituir x 00 por λ2 , x 0 por λ y x por λ0 = 1 en la ecuaci´on diferencial. Las ra´ıces caracter´ısticas de la ecuaci´on diferencial son las ra´ıces de la ecuaci´ on caracter´ıstica = valores propios de la matriz del sistema.

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Soluci´on General de las ecuaciones lineales de orden 2 de coeficientes constantes Supongamos λ2 + pλ + q = (λ − λ1 )(λ − λ2 ) Casos Posibles λ1 6= λ2 reales λ1 = a + bi λ2 = a − bi λ1 = λ2 = λ

Soluciones Lineal. indep. x1 (t) = e λ1 t x2 (t) = e λ2 t x1 (t) = e at cos(bt) x2 (t) = e at sen(bt) x1 (t) = e λt x2 (t) = te λt

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Soluci´on General x(t) = c1 e λ1 t + c2 e λ2 t x(t) = e at (c1 cos(bt) + c2 sen(bt)) x(t) = e λt (c1 + c2 t)

Ecuaciones Lineales no homog´eneas x 00 + p(t)x 0 + q(t)x = r (t) Soluci´ on General: x(t) = xh (t) + xp (t) xh (t): soluci´on general de x 00 + p(t)x 0 + q(t)x = 0. xp (t): soluci´on particular de x 00 + p(t)x 0 + q(t)x = r (t). ¿C´omo encontrar una soluci´on particular? Dos m´etodos: Variaci´on de las constantes. Coeficientes indeterminados

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M´etodo de variaci´on de las constantes Si xh (t) = c1 x1 (t) + c2 x2 (t) es la soluci´on general de la ecuaci´on homog´enea, se busca una soluci´ on particular de la forma: xp (t) = c1 (t)x1 (t) + c2 (t)x2 (t)

xp (t) soluci´on de x 00 + p(t)x 0 + q(t)x = r (t) m 

     xp (t) 0 1 0 soluci´on de x0 = x+ 0 xp (t) −q(t) −p(t) r (t) 12

M´etodo de variaci´on de las constantes (cont.)  x1 (t) x2 (t) Como X(t) = es una matriz fundamental de x10 (t) x20 (t)   0 1 soluciones del sistema x0 = x −q(t) −p(t) 

Teorema xp (t) = c1 (t)x1 (t) + c2 (t)x2 (t) soluci´on de x 00 + p(t)x 0 + q(t)x = r (t) si y s´olo si  x1 (t)c10 (t) + x2 (t)c20 (t) = 0 0 X(t)c (t) = 0 ⇔ x10 (t)c10 (t) + x20 (t)c20 (t) = r (t) Cramer, integrando y observando que X(t) = W [x1 , x2 ](t): Z c1 (t) =

−r (t)x2 (t) dt, W [x1 , x2 ](t)

Z y

c2 (t) =

r (t)x1 (t) dt W [x1 , x2 ](t)

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M´etodo de los coeficientes indeterminados S´ olo v´alido si la ecuaci´ on x 00 +px 0 +qx = r (t) es de coeficientes constantes y r (t) = e at [Pn (t) cos(bt) + Qm (t) sen(bt)] para algunos valores de a y b y para algunos polinomios Pn (t) de grado n y Qm (t) de grado m. Teorema En tal caso, siempre existe una soluci´on de la forma: ˜k (t) cos(bt) + Q ˜ k (t) sen(bt)] xp (t) = t s e at [P ˜k (t) y Q ˜ k (t) donde s es la multiplicidad de a+bi como ra´ız caracter´ıstica y P son polinomios de coeficientes indeterminados de grado k = m´ax(n, m). ˜k (t) y Q ˜ k (t) se obtienen sustituyendo Los coeficientes indeterminados de P esta expresi´ on de xp (t) en la ecuaci´on x 00 + px 0 + qx = r (t).

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Observaciones sobre la expresi´on de xp (t) r (t) = e at [Pn (t) cos(bt) + Qm (t) sen(bt)] ˜k (t) cos(bt) + Q ˜ k (t) sen(bt)] xp (t) = t s e at [P 1

Si a + bi no es ra´ız caracter´ıstica entonces s = 0.

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A´ un cuando Pn (t) o Qm (t) sean cero, en la expresi´on de xp (t) ˜k (t) como Q ˜ k (t), k = m´ax(n, m). deben aparecer tanto P

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El grado del polinomio cero es −∞.

Ejemplos (i) (ii) (iii) (iv ) (v ) (vi) (vii)

x 00 + 3x 0 + 2x = 3t + 1 x 00 + x 0 = 5 x 00 + 3x 0 + 2x = e 3t x 00 − 8x 0 + 16x = e 4t x 00 + 2x 0 + x = te t cos t x 00 + 4x = sen(2t) x 00 + x = t sen t

a=0 a=0 a=3 a=4 a=1 a=0 a=0 15

b b b b b b b

=0 =0 =0 =0 =1 =2 =1

P1 (t) = 3t + 1 P0 (t) = 5 P0 (t) = 1 P0 (t) = 1 P1 (t) = t Pn (t) = 0 Pn (t) = 0

Qm (t) = 0. Qm (t) = 0. Qm (t) = 0. Qm (t) = 0. Qm (t) = 0. Q0 (t) = 1. Q1 (t) = t.