Lecci´ on 11

Ecuaciones diferenciales de segundo orden

11.1.

Introducci´ on

Posiblemente el ejemplo m´as caracter´ıstico de fen´omeno f´ısico cuyo modelizaci´on conduce a una ecuaci´on lineal de segundo orden es el movimiento amortiguado de una masa m unida mediante un muelle el´astico a una pared como la que se muestra en la Figura 11.1: Al aplicar a la masa unida al resorte una fuerza F (t) hacia la izquierda, de forma que el b

k

m

Figura 11.1: Movimiento amortiguado de una masa unida a un muelle el´astico. muelle se comprima, ´este reacciona con una fuerza de igual magnitud hacia la derecha que produce un desplazamiento de la masa en dicho sentido hasta hacer tope con un pieza el´astica que amortigua dicho desplazamiento hasta que la masa se para. En ese instante el muelle se encontrar´a extendido respecto de su posici´on de reposo por lo que producir´a un nuevo desplazamiento de la masa hacia la izquierda, provocando una nueva compresi´on del muelle, y as´ı sucesivamente. La amortiguaci´on del movimiento del resorte se puede producir no s´olo 193

194

Ecuaciones diferenciales de segundo orden

por contacto con otra pieza el´astica sino tambi´en por rozamiento con el medio, o cualquier otra causa. Suponiendo que la fuerza de amortiguaci´on es proporcional a la velocidad: bx0 (t) y que k, una constante, mide la rigidez del muelle (que depende del material del que est´e hecho), la segunda Ley de Newton conduce a la siguiente ecuaci´on que sirve de modelo para el estudio de este fen´omeno f´ısico: mx00 (t) + bx0 (t) + kx(t) = F (t) (11.1) Esta ecuaci´on junto a las condiciones iniciales: x(0) = x0 (posici´on de la masa en el momento inicial) y x0 (0) = v0 (velocidad de la masa en el momento inicial), que podr´ıan ser ambas cero si la masa est´a en reposo en el momento inicial, forman un Problema de Condiciones Iniciales que lo escribiremos as´ı: ½ mx00 (t) + bx0 (t) + kx(t) = F (t) x(0) = x0 , x0 (0) = v0 El objetivo de este cap´ıtulo es estudiar este tipo de ecuaciones diferenciales de segundo orden. En particular la ecuaci´on (11.1) es una ecuaci´on diferencial de segundo orden lineal no homog´enea y de coeficientes constantes. Pero antes de llegar a estas ecuaciones analizaremos otras ecuaciones de segundo orden que pueden reducirse, mediante simples cambios de varaibles, a ecuaciones de primer orden.

11.2.

Ecuaciones de Segundo Orden

Vimos en la primera Lecci´on que las ecuaciones de orden n, escritas en forma normal son las del siguiente tipo: x(n) = f (t, x, x0 , . . . , x(n−1) ). S´olo estudiaremos aqu´ı ecuaciones de segundo orden: x00 = f (t, x, x0 )

(11.2)

Tal y como hemos dicho en la introducci´on, entre todas ellas la m´as famosa, sin duda, es la segunda ley del movimiento de Newton: mx00 (t) = F (t, x, x0 ) que rige el movimiento de una part´ıcula de masa m que se mueve por la acci´on de una fuerza F . En esta ecuaci´on la fuerza depende del tiempo t, de la posici´on x(t) de la part´ıcula y de la

11.2 Ecuaciones de Segundo Orden

195

velocidad a la que se mueve x0 (t). Si, adem´as, a la ecuaci´on (11.2) se le imponen condiciones iniciales sobre x(t) de la forma x0 (t0 ) = x00

x(t0 ) = x0 ,

entonces tenemos un Problema de Condiciones iniciales ½ 00 x = F (t, x, x0 ) x(t0 ) = x0 , x0 (t0 ) = x00 . Las ecuaciones de segundo orden son muy dif´ıciles de resolver anal´ıticamente, salvo en casos muy excepcionales. Claro que esto no deber´ıa sorprendernos despu´es de nuestra experiencia con las ecuaciones de primer orden, donde vimos que s´olo unas poquitas son realmente manejables. En realidad nuestro estudio se referir´a exclusivamente a ecuaciones lineales. Pero hay unas pocas ecuaciones de segundo orden, que no son lineales, y que se pueden reducir a ecuaciones de primer orden: las ecuaciones en las que no aparece una de las dos varaibles.

11.2.1.

Ecuaciones en las que no aparece la variable dependiente

Consideremos ecuaciones de segundo orden de la forma x00 = f (t, x0 ) donde la variable dependiente x no aparece en la ecuaci´on. Por ejemplo 2tx00 − x0 +

1 = 0 (t 6= 0). x0

(11.3)

En este caso la sustituci´on u = x0 nos permite reducir la ecuaci´on original a otra de primer orden. En efecto, si u = x0 entonces u0 = x00 de modo que x00 = f (t, x0 ) se reduce a u0 = f (t, u). Basta integrar esta ecuaci´on para obtener la soluci´on general u =R u(t). Como x0 = u, obtenemos la soluci´on de la ecuaci´on original por integraci´on x(t) = u(t) dt + C. En el ejemplo anterior, x0 = u y x00 = u0 . Sustituyendo en la ecuaci´on: 2tu0 − u + Como t 6= 0 podemos escribir

1 = 0. u

u2 − 1 . 2ut Esta ecuaci´on tiene dos soluciones de equilibrio u(t) = 1 y u(t) = −1. Una vez consideradas, podemos separar las variables: 1 2u du = dt. 2 u −1 t u0 =

196

Ecuaciones diferenciales de segundo orden

Integrando obtenemos u(t)2 = 1 + c1 t,

c1 > 0.

Ahora deshacemos el cambio u = x0 . Para la soluci´on general Z √ 2 x(t) = ± 1 + c1 t + c2 = ± (1 + c1 x)3/2 + c2 . 3c1 Y para las soluciones de equilibrio Z x(t) =

±1 dt + c2 = ±t + c2 .

Obtenemos, as´ı, todas las soluciones de la ecuaci´on (11.3).

11.2.2.

Ecuaciones en las que no aparece la variable independiente

Consideremos ahora ecuaciones de la forma: x00 = f (x, x0 ), en las que no aparece la variable independiente t. Por ejemplo 2xx00 = 1 + (x0 )2 .

(11.4)

Para resolver estas ecuaciones hacemos uso de la misma sustituci´on que en el caso anterior: u = x0 . Como no aparece la variable t en la ecuaci´on, debemos pensar en u como una funci´on de x; claro que, como x es funci´on de t, u tambi´en es funci´on de t. Viendo u como funci´on de x podemos aplicar la regla de la cadena para calcular x00 : du du dx d2 x = = . dt dt dx dt Como

dx = x0 = u tenemos que dt x00 =

d2 x du =u , dt dx

con lo que la ecuaci´on x00 = f (x, x0 ) se convierte en u

du = f (x, u), dx

11.2 Ecuaciones de Segundo Orden

197

que es de primer orden en la variable x. Se resuelve como si x fuera la variable independiente. Esto nos dar´a todas las soluciones u = u(x) de dicha ecuaci´on. Ahora, tenemos que resolver otra nueva ecuaci´on diferencial x0 = u(x), que es en variables separables. Para la ecuaci´on (11.4) hacemos el cambio u = x0 . As´ı x00 = u 2xu

du y u = x0 : dx

du = 1 + u2 . dx

Esta ecuaci´on es variable separables pero no tiene soluciones de equilibrio. Separamos las variables: 2u 1 du = dx. 2 1+u x Integrando u(x)2 = c1 x − 1, c1 6= 0. Ahora debemos deshacer el cambio x0 = u(x). Es decir √ x0 = ± c1 x − 1. Se trata de una nueva ecuaci´on en variables separables. Separ´andolas √ Integrando

1 dx = ± dt. c1 x − 1

2 (c1 x − 1)1/2 = ±t + c2 . c1

Elevando al cuadrado 4(c1 x − 1) = c21 (t + c2 )2 , o bien x(t) =

1 c1 + (t + c2 )2 , c1 4

donde c1 es una constante no nula cualquiera y c2 es otra constante arbitraria. Esta es la soluci´on general de la ecuaci´on.

11.2.3.

Ecuaciones lineales de segundo orden

Recordemos que las ecuaciones lineales de segundo orden tienen la siguiente forma: x00 + p(t)x0 + q(t)x = r(t).

(11.5)

198

Ecuaciones diferenciales de segundo orden

Recordemos tambi´en que en la Lecci´on 8 vimos que la sustituci´on x1 = x y x2 = x0 nos permite pasar al sistema lineal de primer orden y dimensi´on equivalente: µ ¶ µ ¶ 0 1 0 0 x+ , (11.6) x = −q(t) −p(t) r(t) Esto significa que x = x(t) es soluci´on de la ecuaci´on (11.5) si y s´olo si el vector µ ¶ µ ¶ x1 (t) x(t) x(t) = = x2 (t) x0 (t) es soluci´on del sistema (11.6). Por lo tanto, todo lo que se puede decir de las soluciones de las ecuaciones lineales de segundo orden se deduce de las propiedades de las soluciones de los sistemas lineales de primer orden y dimensi´on 2. Lo que exponemos a continuaci´on es un resumen de estas propiedades. Comenzamos con el teorema de existencia y unicidad para el problema de condiciones iniciales: ½

x00 + p(t)x0 + q(t)x = 0 x(t0 ) = x0 , x0 (t0 ) = x00

(11.7)

El teorema es el siguiente que, como es habitual, damos sin demostraci´on: Teorema 11.1 .- Supongamos que las funciones p(t) y q(t) son continuas en el intervalo abierto (a, b). Entonces existe una y s´olo una funci´on x(t) que es soluci´on del problema de condiciones iniciales (11.7) en el intervalo (a, b); es decir, que satiface la ecuaci´ on (11.5) en el intervalo (a, b) y tal que x(t0 ) = x0 y x0 (t0 ) = x00 . En particular, la u ´nica soluci´on de (11.5) que cumple x(t0 ) = 0 y x0 (t0 ) = 0 en alg´ un tiempo t = t0 debe ser la funci´on id´enticamente cero: x(t) = 0 para t ∈ (a, b). Como siempre, este teorema tiene una gran importancia te´orica y pr´actica. Por el mo´ mento prestamos atenci´on a la u ´ltima parte. Esta es, en realidad, una consecuencia de la unicidad: como la funci´on x(t) = 0 siempre es una soluci´on de la ecuaci´on homog´enea (11.5) y cumple que x(t0 ) = 0 y x0 (t0 ) = 0 para todo t0 , y como s´olo hay una soluci´on de la ecuaci´on que cumple estas condiciones iniciales, ´esta debe ser la funci´on x(t) = 0. Por otra parte, dos soluciones x1 (t) y x2 (t) de la ecuaci´on (11.5) se dice que forman un sistema fundamental de soluciones de la ecuaci´on, si las correspondientes funciones vectoriales, soluci´on del sistema (11.6) ¶ ¶ µ µ x2 (t) x1 (t) y x2 (t) = x1 (t) = x02 (t) x01 (t)

11.2 Ecuaciones de Segundo Orden

199

forman un sistema fundamental de soluciones de dicho sistema equivalente. Es decir, si µ ¶ x1 (t) x2 (t) det 0 6= 0 x1 (t) x02 (t) para alg´ un t ∈ (a, b) del intervalo de definici´on de la ecuaci´on (11.5) (i.e., en el que las funciones p(t) y q(t) son continuas). Al determinante µ ¶ x1 (t) x2 (t) W (x1 , x2 )(t) = det 0 x1 (t) x02 (t) se le llama Wronskiano de x1 (t) y x2 (t) en t. Definici´ on 11.2 .- Dos funciones x1 (t) y x2 (t) defindas en el intervalo (a, b) se dice que son linealmente dependientes en (a, b) si existe una constante c tal que x1 (t) = cx2 (t) o x2 (t) = cx1 (t). Dos funciones que no son linealmente dependientes en (a, b) se dice que son linealmente independientes. Es muy importante observar que la dependencia e independencia lineal dependen fundamentalmente del intervalo (a, b) que se est´e considerando. Por ejemplo, las funciones x1 (t) = t y x2 (t) = |t| son linealmente dependientes en el intervalo [0, 1] y son linealmente independientes en el intervalo [−1, 1]. En efecto,x2 (t) = t = x1 (t) en el intervalo [0, 1], por lo que existe una constante c = 1 tal que x2 (t) = cx1 (t). Pero en el intervalo [−1, 1] tal constante no existe, porque si fuera x2 (t) = cx1 (t) para todo t ∈ [−1, 1] (la misma constante c para todos los valores de t ∈ [−1, 1]), entonces x2 (−1) = cx1 (−1). Como x2 (−1) = 1 y x1 (−1) = −1 deber´ıa ser c = −1. Y como x2 (1) = x1 (1) = 1 tendr´ıamos que c = 1. Como tiene que ser la misma c, concluir´ıamos que 1 = −1, que es absurdo. Si x1 (t) y x2 (t) son linealmente dependientes en (a, b) entonces, digamos, x2 (t) = cx1 (t) para todo t ∈ (a, b). Derivando, x02 (t) = cx01 (t), y por lo tanto µ ¶ µ ¶ x2 (t) x1 (t) x2 (t) = =c 0 = cx1 (t). x02 (t) x1 (t) Es decir, x1 (t) y x2 (t) tambi´en son linealmente dependientes en (a, b). Esto implica que det W (x1 , x2 )(t) = 0 para todo t ∈ (a, b). Y rec´ıprocamente, si det W (x1 , x2 )(t) = 0 para todo t ∈ (a, b), entonces x1 (t) y x2 (t) son linealmente dependientes en (a, b) y en consecuencia sus primeras componentes, x1 (t) y x2 (t), cumplen que x1 (t) = cx2 (t) o x2 (t) = cx1 (t) para todo t ∈ (a, b). As´ı pues tenemos el sisguiente Teorema 11.3 .- Dos soluciones x1 (t) y x2 (t) de la ecuaci´ on (11.5) son linealmente independientes en el intervalo (a, b) si y s´olo si su Wronskiano es distinto de cero en dicho intervalo. As´ı, dos soluciones forman un sistema fundamental de soluciones de (11.5) en (a, b) si y s´olo si son linealmente independientes en este intervalo.

200

Ecuaciones diferenciales de segundo orden

Observamos finalmente que la soluci´on x(t) = 0 de la ecuaci´on (11.5) no puede estar nunca en un conjunto fundamental de soluciones de la ecuaci´on diferencial porque esta funci´on es linealmente dependiente de cualquier otra funci´on en cualquier intervalo. En efecto, si y(t) es cualquier otra funci´on 0 = x(t) = 0y(t) para todo t. En conclusi´on Teorema 11.4 .- Dada la ecuaci´ on diferencial lineal homog´enea de segundo orden x00 + p(t)x0 + q(t)x = 0 con p y q continuas en el intervalo (a, b), la funci´on x(t) es soluci´on de esta ecuaci´ on si y s´ olo si existen constantes c1 y c2 tales que para todo t ∈ (a, b) x(t) = c1 x1 (t) + c2 x2 (t) siendo x1 (t) y x2 (t) soluciones de la ecuaci´ on linealmente independientes en (a, b). En otras palabras, la soluci´on general de la ecuaci´on (11.5) es x(t) = c1 x1 (t) + c2 x2 (t) siendo x1 (t) y x2 (t) funciones linealmente independientes en (a, b) y c1 y c2 constantes arbitrarias. Consideremos ahora las ecuaciones lineales de segundo orden no homog´eneas: x00 + p(t)x0 + q(t)x = r(t).

(11.8)

donde p(t), q(t) y r(t) son funciones continuas en un intervalo abierto (a, b). Al igual que para ecuaciones o sistemas de primer orden, la soluci´on general de estos sistemas es suma de una soluci´on particular y de la soluci´on general de la ecuaci´on homog´enea. Damos este ´ resultado en forma de teorema sin demostraci´on. Esta es id´entica a la que mostramos para sistemas. Teorema 11.5 .- Sean xh (t) de la ecuaci´ on homog´enea x00 + p(t)x0 + q(t)x = 0 y xp (t) una soluci´ on particular de la ecuaci´ on no homog´enea (11.8). Entonces la soluci´on general, x(t), de la ecuaci´ on (11.8) debe ser de la forma: x(t) = xh (t) + xp (t) El problema consiste en c´omo encontrar soluciones generales de la ecuaci´on lineal homog´enea y soluciones particulares de la no homog´enea. En la pr´oxima secci´on estudiamos ambos problemas para ecuaciones cuyos coeficientes son constantes.

11.3 Ecuaciones Lineales de Segundo Orden Con Coeficientes Constantes

11.3.

201

Ecuaciones Lineales de Segundo Orden Con Coeficientes Constantes

Las ecuaciones lineales de segundo orden con coeficientes constantes son de la forma x00 + px0 + qx = r(t)

(11.9)

donde p y q son constantes y r(t) es una funci´on que depende s´olo de t y que supondremos que es continua en un intervalo (a, b). Para resolver estas ecuaciones aprovechamos lo que ya conocemos de los sistemas de ecuaciones. Tal y como hemos dicho m´as arriba la sustituci´on: x1 (t) = x(t)

x2 (t) = x0 (t)

nos permite obtener el sistema equivalente de primer orden y dimensi´on 2: ½ 0 x1 = x2 x02 = −qx1 − px2 + r(t)

(11.10)

que ya sabemos resolver.Debe observarse, sin embargo, que estamos interesados en las funciones x(t) que son soluci´on de la ecuaci´on (11.9); es decir, de las dos componentes que nos proporciona la soluci´on del sistema (11.10) s´olo estamos interesados en la primera de ellas.

11.3.1.

Caso homog´ eneo

Consideramos en primer lugar el caso homog´eneo: x00 + px0 + qx = 0. y su correspondiente sistema

½

x01 = x2 x02 = −qx1 − px2

cuya matriz de coeficientes es

µ A=

(11.11)

(11.12)

¶ 0 1 . −q −p

Los valores propios del sistema (11.12) son las ra´ıces del polinomio caracter´ıstico de esta matriz: µ ¶ λ −1 det = λ2 + pλ + q q λ+p As´ı pues, el polinomio caracter´ıstico de la matriz del sistema se obtiene directamente de la ecuaci´on homog´enea: en efecto, p(λ) = λ2 + pλ + q es el polinomio que se obtiene al

202

Ecuaciones diferenciales de segundo orden

sustituir x por λ0 = 1, x0 por λ1 y x00 por λ2 en la ecuaci´on diferencial dada. Al polinomio p(λ) = λ2 + pλ + q se le llama polinomio caracter´ıstico de la ecuaci´on (11.9) o (11.11). Por otra parte, si λ1 , λ2 son las ra´ıces de p(λ) (que pueden ser complejas o reales, y en este caso iguales o distintas) debemos calcular vectores propios de A asociados a estos valores propios: µ ¶µ ¶ µ ¶ 0 λ1 −1 v1 = (λ1 I2 − A)v = 0 q λ1 + p v2 De aqu´ı sacamos que v2 = λ1 v1 . Escogemos v1 = 1 y entonces µ ¶ 1 v1 = λ1 es un vector propio asociado a λ1 . Si λ1 6= λ2 entonces obtendr´ıamos de la misma forma que µ ¶ 1 v2 = λ2 es un vector propio asociado a λ2 . Si λ1 y λ2 son n´ umeros reales entonces un sistema fundamental de soluciones del sistema (11.12) ser´ıa µ x1 (t) =

eλ1 t λ1 eλ1 t

¶

µ x2 (t) =

eλ2 t λ2 eλ2 t

¶

y la soluci´on general del sistema (11.12) es : µ x(t) =

c1 eλ1 t + c2 eλ2 t c1 λ1 eλ1 t + c2 λ2 eλ2 t

¶

N´otese que la segunda componente de x(t) es, en efecto, la derivada de la primera. Recordemos ahora que s´olo estamos interesados en la primera componente x1 (t) porque ´esta es la funci´on x(t) que es soluci´on de la ecuaci´on (11.11). As´ı x(t) = c1 eλ1 t + c2 eλ2 t es la soluci´on general de la ecuaci´on (11.11) si las ra´ıces del polinomio caracter´ıstico de la ecuaci´on son reales y distintas. Debe notarse que eλ1 t y eλ2 t son funciones linealmente independientes, por lo que estamos en las condiciones del Teorema 11.4. Si λ1 es una ra´ız compleja, digamos λ1 = a + bi, entonces λ2 = a − bi y el sistema

11.3 Ecuaciones Lineales de Segundo Orden Con Coeficientes Constantes

203

µ ¶ µ ¶ µ ¶ 1 1 0 fundamental de soluciones ser´ıa (recordemos que v 1 = = +i ): λ1 a b µ µµ ¶ µ ¶¶¶ 1 0 at x1 (t) = Re e (cos bt + i sen bt) +i a b µ

µµ ¶ µ ¶¶¶ 1 0 x2 (t) = Im e (cos bt + i sen bt) +i a b at

Es decir:

µ x1 (t) =

¶ eat cos bt eat (a cos bt − b sen bt)

µ x2 (t) =

¶ eat sen bt eat (b cos bt + a sen bt)

N´otese de nuevo que las segundas componentes de estas soluciones son las derivadas de las primeras componentes. Ahora, como la soluci´on general de la ecuaci´on (11.11) es la primera componente de la soluci´on general del sistema (11.12), tenemos que x(t) = c1 eat cos bt + c2 eat sen bt es la soluci´on general de la ecuaci´on (11.11) cuando las ra´ıces del polinomio caracter´ıstico son a + bi y a − bi. Obs´ervese otra vez que las funciones eat cos bt y eat sen bt son linealmente independientes en todo R. Estudiamos finalmente el caso en que λ1 = λ2 . Es decir, el caso en que hay un unico valor propio cuya multiplicidad algebraica es 2. En este caso p(λ) = (λ − λ1 )2 = λ2 − 2λ1 λ + λ21 . Es decir, p = −2λ1 y q = λ21 . Y para hallar los vectores propios asociados debemos resolver el sistema: µ ¶µ ¶ µ ¶ λ1 −1 v1 0 = , q λ1 + p v2 0 que en este caso queda

µ ¶µ ¶ µ ¶ λ1 −1 v1 0 = . 2 λ1 −λ1 v2 0

Ahora bien, la matriz de este sistema tiene siempre rango 1 porque el elemento en la posici´on (1, 2) es siempre −1. Por lo tanto, la multiplicidad geom´etrica del valor propio es siempre 1. Por lo tanto debe haber un vector propio y un vector propio generalizado. El primero de ellos debe ser soluci´on del sistema caracter´ıstico, que ya hemos visto que es: ¶ µ v1 v1 = λ 1 v1 Para calcular un vector propio generalizado debemos resolver el sistema (λ1 I2 − A)2 v = 0. Pero ¶ µ ¶ ¶µ µ 0 0 λ1 −1 λ1 −1 2 = . (λ1 I2 − A) = 0 0 λ21 −λ1 λ21 −λ1

204

Ecuaciones diferenciales de segundo orden

As´ı pues, cualquier vector de R2 que no sea linealmente dependientes de v 1 nos sirve como vector propio generalizado. Por ejemplo: µ ¶ 0 . v2 = 1 Un sistema fundamental de soluciones en este caso es: µ λt ¶ µ ¶ e 1 teλ1 t λ1 t λ1 t x1 (t) = e v 1 = x2 (t) = e (I2 + (A − λ1 I2 )t)v 2 = λ1 eλ1 t (λ1 t + 1))eλ1 t Una vez m´as, s´olo estamos interesados en la primera componente de la soluci´on general del sistema, que en este caso es: x(t) = c1 eλ1 t + c2 teλ1 t ´ Esta es entonces la soluci´on general de la ecuaci´on (11.11) cuando las ra´ıces del polinomio caracter´ıstico son iguales. Debe notarse, de nuevo, que las funciones eλ1 t y (1 + t)eλ1 t son linealmente independientes en todo R. Ejemplo 11.6 .- Sea ω un n´ umero real 1. - Calc´ ulese la soluci´on general de la ecuaci´on x00 + ω 2 x = 0 siendo ω 6= 0. 2. - Calc´ ulese la soluci´on general de la ecuaci´on x00 − 2ωx0 + ω 2 x = 0 Soluci´ on.1. - El polinomio caracter´ıstico de la ecuaci´on es p(λ) = λ2 + ω 2 , cuyas ra´ıces son λ1 = ωi y λ2 = −ωi. Como ω 6= 0 se trata de dos ra´ıces complejas conjugadas por lo que la soluci´on general es: x(t) = c1 e0t cos ωt + c2 e0t sen ωt = c1 cos ωt + c2 sen ωt. 2. - El polinomio caracter´ıstico de la ecuaci´on es p(λ) = λ2 − 2ω + ω 2 , cuyas ra´ıces son λ1 = λ2 = ω. Por lo tanto la soluci´on general de la ecuaci´on es: x(t) = c1 eωt + c2 (1 + t)eωt En particular si ω = 0 la soluci´on ser´ıa x(t) = c1 t + c2

11.3 Ecuaciones Lineales de Segundo Orden Con Coeficientes Constantes

11.3.2.

205

Caso no homog´ eneo

Estudiamos ahora el caso no homog´eneo: x00 + px0 + qx = r(t)

(11.13)

El sistema asociado a esta ecuaci´on mediante la sustituci´on x1 (t) = x(t), x2 (t) = x0 (t) es: ½ 0 x1 = x2 (11.14) x02 = −qx1 − px2 + r(t) que es un sistema lineal no homog´eneo. Ya sabemos que la soluci´on general de este sistema es x(t) = xp (t) + xh (t) donde xh (t) es la soluci´on general del sistema homog´eneo (ya calculada m´as arriba) y xp (t) es una soluci´on particular del no homog´eneo. Debemos notar de nuevo que s´olo estamos interesados en la primera componente del vector x(t); y por lo tanto s´olo nos interesa la primera componente del vector xp (t), que en realidad es una soluci´on particular de la ecuaci´on no homog´enea (11.13). Ya sabemos c´omo calcular la soluci´on general de la ecuaci´on homog´enea. Nos centraremos en la b´ usqueda de una soluci´on particular de la no homog´enea. Tenemos dos m´etodos a nuestra disposici´on. El primero de ellos (el m´etodo de variaci´on de las constantes) consiste en hallar la soluci´on particular del sistema no homog´eneo equivalente y quedarnos con la primera componente. El segundo (el m´etodo de los coeficientes indeterminados) es u ´til cuando el t´ermino independiente es de una forma determinada, pero muy frecuente en las aplicaciones. M´ etodo de variaci´ on de las constantes Recordemos que este m´etodo, para sistemas lineales de primer orden y de dimensi´on 2, consiste en buscar una soluci´on particular de la forma xp (t) = c1 (t)x1 (t) + c2 (t)x2 (t) siendo {x1 (t), x2 (t)} un sistema fundamental de soluciones de (11.14). Adem´as las funciones c1 (t) y c2 (t) se hayan a partir del sistema X(t)c0 (t) = b(t), donde

¡

¢ X(t) = x1 (t) x2 (t) ,

µ ¶ c1 (t) c(t) = c2 (t)

µ y b(t) =

¶ 0 . r(t)

206

Ecuaciones diferenciales de segundo orden

Ahora bien, si {x1 (t), x2 (t)} es un sistema fundamental de soluciones de la ecuaci´on (11.13) entonces µ ¶ µ ¶ x1 (t) x2 (t) x1 (t) = , x2 (t) = . x01 (t) x02 (t) As´ı pues, el sistema X(t)c0 (t) = b(t) se escribe expl´ıcitamente de la siguiente forma: ½ 0 c1 (t)x1 (t) + c02 (t)x2 (t) = 0 c01 (t)x01 (t) + c02 (t)x02 (t) = r(t) que se puede resolver por la regla de Cramer: µ ¶ µ ¶ 0 x2 (t) x1 (t) 0 det det 0 r(t) x02 (t) x (t) r(t) 0 0 µ ¶ , c2 (t) = µ 1 ¶ c1 (t) = x1 (t) x2 (t) x1 (t) x2 (t) det 0 det 0 x1 (t) x02 (t) x1 (t) x02 (t) µ ¶ x1 (t) x2 (t) Ahora bien, det 0 = W (x1 , x2 )(t) es el Wronskiano del sistema fundamental de x1 (t) x02 (t) µ ¶ 0 x2 (t) 00 0 soluciones de la ecuaci´on homog´enea x + px + qx = 0, det = −r(t)x2 (t) y r(t) x02 (t) µ ¶ x (t) 0 det 10 = r(t)x1 (t), de modo que x1 (t) r(t) Z c1 (t) =

−r(t)x2 (t) dt, W (x1 , x2 )(t)

Z y c2 (t) =

r(t)x1 (t) dt W (x1 , x2 )(t)

Ejemplo 11.7 .- Hallar la soluci´on general de la ecuaci´on x00 + x = tg t Soluci´ on.- La ecuaci´on caracter´ıstica es λ2 +1 = 0 que tiene dos ra´ıdes λ1 = i y λ2 = −i. Un sistema fundamental de soluciones es x1 (t) = cos t y x2 (t) = sen t. La soluci´on general de la ecuaci´on homog´enea xh (t) = c1 cos t + c2 sen t. Una soluci´on particular de la no homog´enea es xp (t) = c1 (t) cos t + c2 (t) sen t, donde Z Z r(t)x1 (t) −r(t)x2 (t) dt, y c2 (t) = dt. c1 (t) = W (x1 , x2 )(t) W (x1 , x2 )(t) Ahora bien

µ W (x1 , x2 )(t) =

cos t sen t − sen t cos t

¶ = 1.

11.3 Ecuaciones Lineales de Segundo Orden Con Coeficientes Constantes As´ı

207

Z

Z Z − tg t sen t − sen2 t cos2 t − 1 c1 (t) = dt = dt = dt = 1 cos t cos t Z Z = cos t dt − sec t dt = sen t − ln | sec t + tg t|.

Y

Z tg t cos t dt = sen t dt = − cos t. c2 (t) = 1 Por lo tanto una soluci´on particular de la ecuaci´on no homog´enea ser´a Z

xp (t) = (sen t − ln | sec t + tg t|) cos t − cos t sen t = − ln | sec t + tg t| cos t. Y la soluci´on general de la ecuaci´on no homog´enea es: x(t) = xh (t) + xp (t) = c1 cos t + c2 sen t − ln | sec t + tg t| cos t Aunque s´olo de inter´es te´orico, hay una forma expl´ıcita de expresar los valores de c1 (t) y c2 (t) en funci´on de los valores propios de la ecuaci´on homog´enea: Deberemos distinguir los tres casos posibles seg´ un que las ra´ıces sean iguales o distintas, y en este caso seg´ un sean reales o complejas 1. λ1 y λ2 reales y distintos.- En este caso la soluci´on general del sistema homog´eneo es: µ ¶ c1 eλ1 t + c2 eλ2 t xh = c1 λ1 eλ1 t + c2 λ2 eλ2 t Para hallar una soluci´on particular del sistema no homog´eneo debemos resolver el sistema ½ 0 c1 (t)eλ1 t + c02 (t)eλ2 t = 0 c01 (t)λ1 eλ1 t + c02 (t)λ2 eλ2 t = r(t) De la primera ecuaci´on tenemos que c01 (t) = −e(λ2 −λ1 )t c02 (t) que sustitu´ıda en la segunda ecuaci´on y despejando obtenemos c02 (t) =

1 e−λ2 t r(t). λ2 − λ1

c01 (t) =

1 e−λ1 t r(t). λ1 − λ2

Por lo tanto: As´ı pues:

1 c1 (t) = λ1 − λ2 1 c2 (t) = λ2 − λ1

Z e−λ1 t r(t) dt Z e−λ2 t r(t) dt

208

Ecuaciones diferenciales de segundo orden De esta forma la primera componente de la soluci´on particular del sistema no homog´eneo es: xp (t) = eλ1 t c1 (t) + eλ2 t c2 (t) = 1 = λ1 − λ2

µZ

Z λ1 (t−s)

e

r(s) ds −

λ2 (t−s)

e

¶ r(s) ds

Y la soluci´on general de la ecuaci´on no homog´enea: µZ ¶ Z 1 λ1 t λ2 t λ1 (t−s) λ2 (t−s) x(t) = c1 e + c2 e + e r(s) ds − e r(s) ds λ1 − λ2 2. λ1 y λ2 complejas conjugadas.- Procedemos en este caso como en el anterior. La soluci´on general del sistema homog´eneo es: µ ¶ c1 eat cos bt + c2 eat sen bt xh (t) = c1 eat (a cos bt − b sen bt) + c2 eat (a sen bt + b cos bt) Debemos resolver el sistema: ½ 0 c1 (t)eat cos bt + c02 (t)eat sen bt = 0 c01 (t)eat (a cos bt − b sen bt) + c02 (t)eat (a sen bt + b cos bt) = r(t) C´alculos similares a los del caso anterior producen: Z 1 1 −at e−as sen bsr(s) ds = − e sen btr(t) ⇒ a1 (t) = − b b Z 1 −at 1 0 c2 (t) = e cos btr(t) ⇒ a1 (t) = e−as cos bsr(s) ds b b c01 (t)

As´ı pues la primera componente de la soluci´on particular ser´ıa: Z Z 1 at 1 at −as xp (t) = − e cos bt e sen bsr(s) ds + e sen bt e−as cos bsr(s) ds = b b Z 1 ea(t−s) [− cos bt sen bs + sen bt cos bs]r(s) ds = = b Z 1 = ea(t−s) sen b(t − s)r(s) ds b Y la soluci´on general de la ecuaci´on no homog´enea ser´a: Z 1 at at x(t) = c1 e cos bt + c2 e sen bt + ea(t−s) sen b(t − s)r(s) ds b

11.3 Ecuaciones Lineales de Segundo Orden Con Coeficientes Constantes

209

3. λ1 = λ2 .- En este caso la soluci´on general del sistema homog´eneo es: µ ¶ eλ1 t (c1 + c2 t) xh (t) = λ1 t e [λ1 (c1 + c2 t) + c2 ] por lo que el sistema a resolver es: ½ λt 0 e 1 (c1 (t) + c02 (t)t) = 0 λ1 eλ1 t λ1 (c01 (t) + c02 (t)t) + c02 (t)] = r(t) De aqu´ı deducimos que c01 (t) = −tc02 (t) y como c01 (t) + c02 (t)t = 0, c02 (t) = e−λ1 t r(t). Por lo tanto Z c1 (t) = − se−λ1 s r(s) ds Z c2 (t) = e−λ1 s r(s) ds y una soluci´on particular de la ecuaci´on no homog´enea ser´a: µZ ¶ Z λ1 t −λ1 s −λ1 s yp (t) = e t e r(s) ds − se r(s) ds = Z = (t − s)e)λ1 (t−s) r(s) ds En conclusi´on, la soluci´on general de la ecuaci´on no homog´enea es: Z λ1 t x(t) = (a1 + a2 t)e + (t − s)eλ1 (t−s) r(s) ds

M´ etodo de los Coeficientes Indeterminados El m´etodo de variaci´on de las constantes es de general aplicaci´on cualquiera que sea el t´ermino independiente r(t). Hay, sin embargo, t´erminos independientes para los que se pueden encontrar soluciones particulares de la ecuaci´on homog´enea especialmente simples. Por ejemplo, para la ecuaci´on x00 + 3x0 + 2x = 3t + 1 se puede observar que la soluci´on bien podr´ıa ser un polinomio porque las derivadas sucesivas de un polinomio son polinomios (cada vez de un grado menor). As´ı, si xp (t) fuera un polinomio de grado n entonces x0p (t) ser´ıa un polinomio de grado n − 1 y x00p (t) ser´ıa un polinomio de grado n − 2. De esta forma x00p (t) + 3x0p (t) + 2xp (t) ser´ıa un polinomio de grado n. Como lo que buscamos es una funci´on xp (t) tal que x00p (t) + 3x0p (t) + 2xp (t) = 3t + 1 entonces es natural pensar que posiblemente un polinomio de grado 1 pueda ser soluci´on de la ecuaci´on. Es decir, intentaremos ver si xp (t) = At + B es soluci´on de la ecuaci´on para algunos valores de A y B.

210

Ecuaciones diferenciales de segundo orden

Esta forma de proceder se conoce con el nombre de M´ etodo de los Coeficientes Indeterminados. Para que xp (t) = At + B sea una soluci´on de la ecuaci´on debe suceder que x00p (t) + 3x0p (t) + 2xp (t) = 3t + 1 pero

x0p (t) = A x00p (t) = 0

As´ı pues xp (t) = At + B es soluci´on de la ecuaci´on si 0 + 3A + 2(At + B) = 3t + 1 con lo que identificando los coeficientes tenemos que 2A = 3 3A + 2B = 1 y resolviendo este sistema obtenemos A =

3 7 y B = − . Por lo tanto, la funci´on 2 4

xp (t) =

3t 7 − 2 4

es una soluci´on particular de la ecuaci´on no homog´enea. El m´etodo de los coeficientes indeterminados se puede aplicar cuando el t´ermino independiente es una funci´on como las que aparecen en las soluciones de los sistemas. En concreto (a) r(t) = rn tn + rn−1 tn−1 + · · · + r1 t + r0 , polinomio de grado n. Tal y como hemos visto m´as arriba es plausible pensar que puede encontrarse una soluci´on particular de la ecuaci´on no homog´enea del mismo tipo: xp (t) = An tn + An−1 tn−1 + · · · + A1 t + A0 Para ello, se debe sustituir xp (t) en la ecuaci´on e identificar los coeficientes: x0p (t) = nAn tn−1 + (n − 1)An−1 tn−2 + · · · + A1 x00p (t) = n(n − 1)An tn−2 + (n − 1)(n − 2)An−1 tn−3 + cdots + 2A2 . Y x00p (t) + px0p (t) + qxp (t) = qAn tn + (qAn−1 + pnAn )tn−1 + (qAn−2 + pAn−1 + An )tn−2 + = · · · + (qA1 + 2pA2 + 2 · 3A3 )t + (qA0 + pA1 + 2A2 )

11.3 Ecuaciones Lineales de Segundo Orden Con Coeficientes Constantes Identificando los coeficientes:   qAn     qA + pnA n−1 n    qAn−2 + pAn−1 + An ..  .     qA1 + 2pA2 + 2 · 3A3    qA0 + pA1 + 2A2

211

= rn = rn−1 = rn−2 .. .. . . = r1 = r0

obtenemos un sistema de n + 1 ecuaciones con n + 1 inc´ognitas. En la primera ecuaci´on rn siempre q 6= 0. Una vez obtenido el coeficientes An , lo sustitu´ımos podemos despejar An = q en la segunda ecuaci´on y podemos despejar An−1 (de nuevo, siempre que q 6= 0). Sustitu´ımos An y An−1 en la tercera ecuaci´on y despejamos An−2 , y as´ı sucesivamente. Como vemos, existe una soluci´on particular polinomial siempre que q 6= 0. Si q = 0 tal soluci´on no existe. Por ejemplo la ecuaci´on: x00 + x0 = 5 En este caso r(t) es un polinomio de grado cero, por lo que deber´ıamos buscar una soluci´on de la forma xp (t) = A. Sin embargo tal cosa no es posible porque x00p (t) = x0p (t) = 0 con lo que nunca x00p (t) + x0p (t) = 5. Esta situaci´on excepcional ocurre debido a que cualquiera que sea A la funci´on x(t) = A es soluci´on de la ecuaci´on homog´enea. Esto se puede comprobar sin m´as que sustituir, pero a fin de conseguir un criterio general calculamos la soluci´on general de la ecuaci´on x00 + px0 = 0 La ecuaci´on caracter´ıstica es λ2 + pλ = 0; y las ra´ıces son λ1 = 0 y λ2 = −p. La soluci´on general es entonces xh (t) = c1 + c2 e−pt De aqu´ı vemos que, haciendo c2 = 0, las funciones constantes x(t) = c1 son soluci´on de la ecuaci´on homog´enea. As´ı pues, si q = 0 y p 6= 0 entonces tomamos como soluci´on particular de la ecuaci´on x00 + px0 = rn tn + rn−1 tn−1 + · · · + r1 t + r0 el polinomio xp (t) = t(An tn + An−1 tn−1 + · · · + A1 t + A0 ). En primer lugar, escogemos un polinomio de grado n + 1 para que x00p (t) + px0p (t) sea un polinomio de grado n. Y lo escogemos sin t´ermino independiente porque al sustituir el t´ermino independiente en la ecuaci´on nos da cero. Al derivar y sustituir en la ecuaci´on obtenemos, de nuevo, un sistema de n + 1 ecuaciones con n + 1 inc´ognitas, que tiene soluci´on si y s´olo si p 6= 0. Si p = 0 entonces la soluci´on particular que se toma es xp (t) = t2 (An tn + An−1 tn−1 + · · · + A1 t + A0 ).

212

Ecuaciones diferenciales de segundo orden

Las razones para tomar un polinomio de grado n + 2 y sin t´ermino independiente y de primer grado son las mismas que m´as arriba. As´ı para resolver la ecuaci´on x00 +x = 5 tomar´ıamos xp (t) = At. Derivando y sustituyendo: 5 = x0p (t) + x00p (t) = A + 0 por lo que xp (t) = 5t es una soluci´on particular de la ecuaci´on no homog´enea. (b) r(t) = eαt (rn tn + rn−1 tn−1 + · · · + r1 t + r0 ) Este caso se reduce al anterior haciendo el cambio de variable x(t) = eαt u(t). La ecuaci´on que se obtiene es u00 + p1 u0 + q1 u = rn tn + rn−1 tn−1 + · · · + r1 t + r0 , siendo p1 = 2α + p y q1 = α2 + pα + q. Obs´ervese que ahora q1 = 0 es equivalente a que α sea ra´ız de la ecuaci´on caracter´ıstica de la ecuaci´on. Y que p1 = q1 = 0 equivale a que α sea ra´ız caracter´ıstica doble. En efecto, las ra´ıces de la ecuaci´on caracter´ıstica λ2 + pλ + q = 0 son ´ p 1³ −p ± p2 − 4q . 2 2 Entonces q1 = 0 significa que α + pα + q = 0; es decir, que α es ra´ız de la ecuaci´on caracter´ıstica. Y que q1 = p1 = 0 significa que α es ra´ız y que α = −p/2, lo que implica que (observemos la forma de las ra´ıces) p2 − 4q = 0; es decir, que α es ra´ız doble. Seg´ un esto, y teniendo en cuenta el caso en el que el t´ermino independiente es polinomial conclu´ımos que la soluci´on particular debemos escogerla de acuerdo con el siguiente criterio:  si α no es valor propio  (An tn + An−1 tn−1 + · · · + A1 t + A0 )eαt n n−1 αt t(An t + An−1 t + · · · + A1 t + A0 )e si α es valor propio simple xp (t) =  2 t (An tn + An−1 tn−1 + · · · + A1 t + A0 )eαt si α es valor propio doble Veamos dos ejemplos: Ejemplo 11.8 .- Hayar las soluciones generales de las siguientes ecuaciones (i)

x00 + 3x0 + 2x = e3t

(ii)

x00 − 8x0 + 16x = e4t

11.3 Ecuaciones Lineales de Segundo Orden Con Coeficientes Constantes

213

Soluci´ on.- (i) El polinomio caracter´ıstico es λ2 + 3λ + 2 = 0 cuyas ra´ıces son λ1 = −2 y λ2 = −1. La soluci´on general de la ecuaci´on homog´enea es: xh (t) = c1 e−2t + c2 e−t Por lo tanto α = 3 no es valor propio de la ecuaci´on. Buscamos una soluci´on particular de la forma xp (t) = Ae3t . Para ello calculamos x0p (t) = 3Ae3t y x00p (t) = 9Ae3t . Sustituyendo en la ecuaci´on: e3t = x00p (t) + 3x0p (t) + 2xp (t) = e3t (20A) 1 e3t Por lo tanto, A = y xp (t) = es una soluci´on particular de la ecuaci´on no homog´enea. 20 20 La soluci´on general de la ecuaci´on no homog´enea ser´a: x(t) = c1 e−2t + c2 e−t +

e3t 20

(ii) El polinomio caracter´ıstico en este caso es λ2 − 8λ + 16 = 0 que tiene una ra´ız doble λ1 = 4. La soluci´on general de la ecuaci´on homog´enea es: xh (t) = (c1 + c2 t)e4t Ahora α = 4 es valor propio doble de la ecuaci´on, por lo tanto, la soluci´on particular ser´a xp (t) = At2 e4t . Para calcular A hacemos x0p (t) = 2At(1 + 2t)e4t , x00p (t) = 2A(1 + 8t + 8t2 )e4t . As´ı e4t = x00p (t) − 8x0p (t) + 16xp (t) = e4t [2A(1 + 8t + 8t2 ) − 16At(1 + 2t) + 16At2 ] = = 2Ae4t t2 4t 1 con lo que A = y xp (t) = e . La soluci´on general de la ecuaci´on no homog´enea ser´ıa: 2 2 x(t) = (c1 + c2 t)e4t +

t2 4t e 2

(c) r(t) = eat cos(bt)(rn tn + rn−1 tn−1 + · · · + r1 t + r0 ) o bien r(t) = eat sen(bt)(rn tn + rn−1 tn−1 + · · · + r1 t + r0 ) Este caso se puede reducir al anterior considerando soluciones complejas. La reducci´on se basa en el siguiente lema que es a la vez simple y muy u ´til: Lema 11.9 .- Sea x(t) = u(t) + iv(t) un soluci´on compleja de la ecuaci´ on x00 + px0 + qx = r(t).

(11.15)

214

Ecuaciones diferenciales de segundo orden

siendo p y q numeros reales y r(t) = r1 (t) + ir2 (t) una funci´on, posiblemente compleja. Entonces u(t) es soluci´on de la ecuaci´ on x00 + px0 + qx = r1 (t), y v(t) es soluci´on de la ecuaci´ on x00 + px0 + qx = r2 (t). Demostraci´ on.- Debemos observar que aunque r(t) sea una funci´on real se puede escribir como r(t) = r1 (t) + ir2 (t). Basta poner r2 (t) = 0. Que x(t) = u(t) + iv(t) es soluci´on de la ecuaci´on (11.15) significa que (u00 (t) + iv 00 (t)) + p(u0 (t) + iv 0 (t)) + q(u(t) + iv(t)) = r1 (t) + ir2 (t). Igualando las partes reales e imaginarias: u00 (t) + pu0 (t) + qu(t) = r1 (t), v 00 (t) + pv 0 (t) + qv(t) = r2 (t).

y

Esto significa que u(t) y v(t) son soluciones de las ecuaciones x00 + px0 + qx = r1 (t) y x00 + px0 + qx = r2 (t), respectivamente. Recordemos ahora la f´ormula de Euler e(a+bi)t = eat (cos(bt) + i sen(bt)). Supongamos que yp (t) = x1p (t)+ix2p (t) es una soluci´on compleja particular de la ecuaci´on x00 + px0 + qx = e(a+ib)t (rn tn + rn−1 tn−1 + · · · + r0 ). Pongamos por simplicidad notacional g(t) = rn tn + rn−1 tn−1 + · · · + r0 . Como e(a+ib)t g(t) = eat cos(bt)g(t) + ieat sen(bt)g(t), resulta que eat cos(bt)g(t) es la parte real de e(a+ib)t g(t) y eat sen(bt)g(t) es la parte imaginaria de e(a+ib)t g(t). Aplicando el Lema 11.9 deducimos que x1p (t) es una soluci´on particular de la ecuaci´on x00 + px0 + qx = eat cos(bt)g(t),

11.3 Ecuaciones Lineales de Segundo Orden Con Coeficientes Constantes

215

y x2p (t) es una soluci´on particular de la ecuaci´on x00 + px0 + qx = eat sen(bt)g(t). La obtenci´on de yp (t), que es la soluci´on particular compleja de x00 + px0 + qx = e(a+ib)t (rn tn + rn−1 tn−1 + · · · + r0 ) se hace como en el apartado anterior Ejemplo 11.10 .- Hallar soluciones particulares de las siguientes ecuaciones: (a) x00 + 2x0 + x = tet cos t (b) x00 + 4x = sen(2t) Soluci´ on.- (a) En primer lugar tet cos t es la parte real de te(1+i)t , de modo que α = 1 + i. Ahora, la ecuaci´on caracter´ıstica es λ2 + 2λ + 1 = 0, as´ı que la ecuaci´on homog´enea s´olo tiene una raiz doble λ = −1. Como α 6= −1, una soluci´on particular compleja de la ecuaci´on x00 + 2x0 + x = te(1+i)t es yp (t) = (At + B)e(1+i)t . Derivamos esta funci´on yp0 (t) = (A(1 + i)t + B(1 + i) + A)e(1+i)t yp00 (t) = (A(1 + i)2 t + B(1 + i)2 + 2A(1 + i))e(1+i)t . Y sustituyendo en x00 + 2x0 + x = te(1+i)t obtenemos (A[(1 + i)2 + 2(1 + i) + 1]t + B[(1 + i)2 + 2(1 + i) + 1] + A[2(2 + i)])e(1+i)t = te(1+i)t Como (1 + i)2 + 2(1 + i) + 1 = (2 + i)2 y simplificando A(2 + i)2 t + B(2 + i)2 + 2A(2 + i) = t. Identificando coeficientes:

A(2 + i)2 = 1 2A + B(2 + i) = 0.

As´ı A= y B=

3 − 4i 1 = , 2 (2 + i) 25

−2 −4 + 22i −2A = = . 3 2+i (2 + i) 125

Entonces

µ

yp (t) = e

(1+i)t

t

(At + B) = e (cos t + i sen t)

3 − 4i −4 + 22i t+ 25 125

¶

et (cos t + i sen t)(15t − 4 + (−20t + 22)i) 125 t e = ([(15t − 4) cos t + (20t − 22) sen t] + i[(22 − 20t) cos t + (15t − 4) sen t]). 125 =

216

Ecuaciones diferenciales de segundo orden

Como hemos dicho m´as arriba tet cos t es la parte real de te(1+i)t , por lo que s´olo estamos interesados en la parte real de yp (t). Es decir, una soluci´on particular de la ecuaci´on es: et xp (t) = ((15t − 4) cos t + (20t − 22) sen t). 125 (b) Para la ecuaci´on x00 + 4x = sen(2t) tenemos que sen(2t) es la parte imaginaria de e . Por lo tanto α = 2i. La ecuaci´on caracter´ıstica es λ2 + 4λ = 0 y sus ra´ıces ±2i. Como α es un valor propio de la ecuaci´on homog´enea, la soluci´on particular que buscamos tiene la forma yp (t) = Ate2it . Derivamos 2it

yp0 (t) = e2it (A + 2Ati) yp00 (t) = e2it (4Ai − 4At). Sustitu´ımos en la ecuaci´on x00 + 4x = e2it : e2it = yp00 (t) + 4yp (t) = e2it (4Ai − 4At + 4At) = 4Aie2it . as´ı A=

i 1 =− . 4i 4

Por lo tanto i t t yp (t) = − te2it = − (cos(2t) + i sen(2t))i = − (− sen(2t) + i cos(2t)). 4 4 4 La soluci´on particular de x00 + 4x = sen(2t) es la parte imaginaria de yp (t): t xp (t) = − cos(2t). 4 Un par de observaciones finales antes de dar el resultado que resume todo lo que hemos discutido en esta secci´on. Si en la ecuaci´on no homog´enea x00 + px0 + qx = r(t), el t´ermino independiente es de la forma eat cos(bt)g(t) o eat sen(bt)g(t), con g(t) un polinomio de grado n, entonces se busca una soluci´on particular compleja de la ecuaci´on x00 + px0 + qx = e(a+bi)t g(t) Esta soluci´on particular compleja ser´a de la forma yp (t) = e(a+bi)t h(t), si a + bi no es valor propio de la ecuaci´on homog´enea x00 + px0 + qx = 0, o de la forma yp (t) = te(a+bi)t h(t), si a + bi es valor propio de la ecuaci´on homog´enea. En ambos casos h(t) es un polinomio de grado n. Los coeficientes de este polinomio est´an indeterminados y se obtienen al sustituir yp (t) y sus derivadas en la ecuaci´on no homog´enea. Hasta aqu´ı todo es sabido. Lo que es importante observar, tal y como se ve en los ejemplos de m´as arriba, es que al resolver el

11.3 Ecuaciones Lineales de Segundo Orden Con Coeficientes Constantes

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sistema que se plantea para calcular los coeficientes del polinomio h(t) puede ser que se obtengan n´ umeros complejos. Es decir, el polinomo h(t) en yp (t) es en general de coeficientes complejos. Entonces h(t) se puede escribir como h(t) = h1 (t) + h2 (t)i, con h1 (t) y h2 (t) polinomios de coeficientes reales, de grado menor o igual que n y uno de ellos, al menos, de grado exactamente n. Esto nos permite ser un poco m´as expl´ıcitos sobre la forma de la ´ soluci´on particular. Esta debe ser yp (t) = eat (cos(bt) + i sen(bt))(h1 (t) + ih2 (t) = eat (h1 (t) cos(bt) − h2 (t) sen(bt) + i[h2 (t) cos(bt) + h1 (t) sen(bt)]), si a + bi no es valor propio de la ecuaci´on homog´enea; o yp (t) = teat (cos(bt) + i sen(bt))(h1 (t) + ih2 (t) = teat ([h1 (t) cos(bt) − h2 (t) sen(bt)] + i[h2 (t) cos(bt) + h1 (t) sen(bt)]), si a + bi es valor propio de la ecuaci´on homog´enea. Si la ecuaci´on que queremos resolver es x00 + px0 + qx = eat cos(bt)g(t), s´olo nos interesa la parte real de yp (t), de modo que la soluci´on particular de esta ecuaci´on ser´a de la forma ½ at e (h1 (t) cos(bt) − h2 (t) sen(bt)) si a + bi no es valor propio de la ecuaci´on homog´enea xp (t) = teat (h1 (t) cos(bt) − h2 (t) sen(bt)) si a + bi es valor propio de la ecuaci´on homog´enea. Y si la ecuaci´on que queremos resolver es x00 + px0 + qx = eat sen(bt)g(t), s´olo nos interesa la parte imaginaria de yp (t), de modo que la soluci´on particular de esta ecuaci´on ser´a de la forma ½ at e (h2 (t) cos(bt) + h1 (t) sen(bt)) si a + bi no es valor propio de la ecuaci´on homog´enea xp (t) = teat (h2 (t) cos(bt) + h1 (t) sen(bt)) si a + bi es valor propio de la ecuaci´on homog´enea. As´ı, en la parte (a) del Ejemplo 11.10, x00 + 2x0 + x = tet cos t, la soluci´on particular tendr´ıa la siguiente forma xp (t) = et [(At + B) cos t + (Ct + D) sen t], porque 1 + i no es valor propio de la ecuaci´on homog´enea y el t´ermino independiente es r(t) = tet cos t. En la parte (b) (x00 + 4x = sen(2t)), sin embargo, la soluci´on particular ser´ıa xp (t) = t(A cos(2t) + B sen 2t)) porque 2i es valor propio de la ecuaci´on homog´enea y el t´ermino independiente es r(t) = sen(2t). Emplear la soluciones complejas o esta u ´ltima forma m´as directa es cuesti´on de gustos. Ambos procediemientos conducen a la misma soluci´on particular Un u ´ltimo ejemplo para reforzar esta u ´ltima forma de proceder.

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Ecuaciones diferenciales de segundo orden

Ejemplo 11.11 .- Encu´entrese la soluci´on general de la ecuaci´on x00 + x = t cos t. Soluci´ on.- La ecuaci´on caracter´ıstica es λ2 + 1 = 0 que tiene dos ra´ıces complejas conjugadas λ1 = i y λ2 = −i. La soluci´on general de la ecuaci´on homog´enea es: xh (t) = c1 cos t + c2 sen t. Como cos t es la parte real de eit e i es valor propio de la ecuaci´on homog´enea, la soluci´on particular debe ser de la forma xp (t) = t[(At+B) cos t+(Ct+D) sen t). Tenemos que derivar x0p (t) = (Ct2 + (D + 2A)t + B) cos t + (−At2 + (2C − B)t + D) sen t x00p (t) = (−At2 + (4C − B)t + 2D + 2A) cos t + (−Ct2 − (4A + D)t + 2C − 2B) sen t y sustituir cos t = (−At2 + (4C − B)t + 2D + 2A) cos t + (−Ct2 − (4A + D)t + 2C − 2B) sen t +(At2 + Bt) cos t + (Ct2 + Dt) sen t = (4Ct + 2D + 2A) cos t + (−4At + 2C − 2B) sen t 1 De aqu´ı sacamos que −4A = 0, 2C − 2B = 0, 4C = 1 y 2D + 2A = 0. As´ı pues, C = B = . 4 t t2 Por lo tanto xp (t) = cos t + sen t. Y la soluci´on general de la ecuaci´on no homog´enea es 4 4 t2 t x(t) = c1 cos t + c2 sen t + cos t + sen t. 4 4 La u ´ltima observaci´on es que si r(t) es suma de dos funciones, digamos r(t) = r1 (t)+r2 (t) entonces es f´acil comprobar que la soluci´on general de x00 + px0 + qx = r(t) se puede escribir en la forma: x(t) = xh (t) + xp1 (t) + xp2 (t) donde xh (t) es, como siempre, la soluci´on general de la ecuaci´on homog´enea, xp1 (t) es una soluci´on particular de la ecuaci´on x00 + px0 + qx = r1 (t) y xp2 (t) es una soluci´on particular de x00 + px0 + qx = r2 (t). Por ejemplo, hemos visto en el Ejemplo 11.8 que la soluci´on general de la ecuaci´on x00 + 3x0 + 2x = 0 es xh (t) = xh (t) = c1 e−2t + c2 e−t e3t es una soluci´on particular de la ecuaci´on x00 + 3x0 + 2x = 20 3t 7 e3t . Tambi´en se puede ver que xp2 (t) = − es una soluci´on particula de la ecuaci´on 2 4 x00 + 3x0 + 2x = 3t + 1. Entonces y que la funci´on xp1 (t) =

x(t) = xh (t) + xp1 (t) + xp2 (t) = c1 e−2t + c2 e−t +

e3t 3t 7 + − 20 2 4

11.3 Ecuaciones Lineales de Segundo Orden Con Coeficientes Constantes

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es la soluci´on general de la ecuaci´on x00 + 3x0 + 2x = e3t + 3t + 1. En particular, si r(t) = eat [Pn (t) cos(bt) + Qm (t) sen(bt)], con Pn (t) y Qm (t) polinomios de grados n y m respectivamente, entonces podemos escribir r(t) = r1 (t) + r2 (t) con r1 (t) = eat Pn (t) cos(bt) y r2 (t) = eat Qm (t) sen(bt). Las soluciones particulares correspondientes a estos dos t´erminos independientes ser´ıan, seg´ un lo visto m´as arriba: ˜ n (t) sen(bt)] y xp1 (t) = ts eat [P˜n (t) cos(bt) + Q s at ˜ ˜ m (t) sen(bt)], xp2 (t) = t e [Pm (t) cos(bt) + Q ˜ n (t) donde s = 1 ´o 0 seg´ un que a+bi sea o no valor propio de la ecuaci´on homog´enea, P˜n (t) y Q ˜ m (t) son polinomios indeterminados son polinomios indeterminados de grado n y P˜m (t) y Q de grado m. Al sumar estas dos soluciones particulares obtenemos una soluci´on particular de la ecuaci´on no homog´enea: ˜ n (t) + Q ˜ m (t)) sen(bt)]. xp (t) = xp1 (t) + xp2 (t) = ts eat [(P˜n (t) + P˜m (t)) cos(bt) + (Q ˜ k (t) = Q ˜ n (t) + Q ˜ m (t) tenemos que Poniendo P˜k (t) = P˜n (t) + P˜m (t) y Q ˜ k (t) sen(bt)) xp (t) = ts eat (P˜k (t) cos(bt) + Q ˜ k (t) son polinomios donde s es la multiplicidad de a + bi como ra´ız caracter´ıstica y P˜k (t) y Q indeterminados de grado k = m´ax(n, m). Ahora podemos resumir todos los resultados obtenidos sobre el m´etodo de los coeficientes indeterminados en el siguiente teorema Teorema 11.12 .- Si el segundo miembro de la ecuaci´ on x00 + px0 + qx = r(t) es de la forma r(t) = eat [Pn (t) cos(bt) + Qm (t) sen(bt)] donde Pn (t) y Qm (t) representan polinomios de grados n y m respectivamente, entonces existe una soluci´on particular de la ecuaci´ on de la forma: ˜ k (t) sen(bt)] xp (t) = ts eat [P˜k (t) cos(bt) + Q ˜ k (t) son polinomios donde s es la multiplicidad de a + bi como ra´ız caracter´ıstica y P˜k (t) y Q de coeficientes indeterminados de grado k = m´ax(n, m) En la expresi´on r(t) = eat [Pn (t) cos(bt) + Qm (t) sen(bt)]

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Ecuaciones diferenciales de segundo orden

est´an todas las formas posibles de t´erminos independientes a las que se les puede aplicar el m´etodo de los coeficientes indeterminados. As´ı, si a = b = 0 entonces r(t) = Pn (t) es un polinomio de grado n. Si b = 0 y a 6= 0 entonces r(t) = eat Pn (t) (caso (b)) y si b 6= 0 tenemos la forma m´as general. El caso r(t) = eat Pn (t) cos(bt) se obtiene cuando Qm (t) = 0 y el caso r(t) = eat Qm (t) sen(bt) se obtiene cuando Pn (t) = 0. Al polinomio cero se le suele asignar grado −∞. As´ı Qm (t) = 0 significa que m = −∞ y Pn (t) = 0 significa que n = −∞.