CristalograJia Recreativa

FIGURA. 41. Re{>fcscm,,,i6n ortogonal de 21 m, 4/ m y 6/ m.

21m

4/m

6/m

La tabla I, muestra las combinaciones dispuestas en secuencia, desde la mas baja a la mas alta simetria rotacional. La tabla 2, muestra la distribuci6n convencional de los sistemas y clases cristalinas. Los 32 elementos y combinaciones de elementos posibles son identicos a las 32 posibles clases cristalinas 6 clases cristalograficas. Algunas de las 32 clases de cristales tienen caracteristicas de simetria en comlln con otras, 10 que permite agruparlas en uno de los seis sistemas cristalinos.

5.14. EJES CRISTALOGRAFICOS Con el prop6sito de dar nombre a las caras de los cristales, se hace necesaria la utilizaci6n de unos ejes de referencia 6 coordenadas que sirven para ubicar en posici6n las respectivas formas extern as del crista!' Estos son los llamados Ejes cristalograficos, que se deben tomar paralelos a aristas reales del crista!' En general se eligen tres, con excepci6n del sistema Hexagonal que necesita cuatro, y en la mayoria de los cas os coinciden con los ejes de simetria del crista!' En general se nombran como: a, by Cj se interceptan en el interior del cristal (son imaginarios), y cada uno tiene su extremo positivo y su extrema negativo. Por convenci6n, los extremos positivos se toman hacia el frente del observador, hacia su derecha y hacia arriba. Las otras posiciones seran las negativas.

~

s. I:)

~

TABLA 1. Los 32 elementos de simetTia y sus combinaciones posibles. (Cornelius Klein y Cornelius Hurlbut Jr., Manual de Mineralogia . 1998. 34p ).

~

o

~ s::

c.-,

>.I:)

~

Simetria de rotacion creciente ­ Solo ejes de rotacion Solo ejes de rotoinversion

• .....,j 0'>

•

1

2

3

4

6

i=C

2=m

3 32

4

6=3/m

Combinaciones de ejes de rotacion

222

Una rotacion con plano perpendicular de simetria

2/m

Una rotacion con pIanos paralelos de simetria

2.mm

422

622

4/m

6/m

32

4mm

6mm

32/ m

,j2m

62m

4/m4/m4/m

6/m2/m2/m

I

23

432

4/m32/m

I

2/m3

43m

Rotoinversion con rotacion y plano de simetria Tres ejes de rotacion y pIanos perpendiculares de

,

2/m2/m2/m

3/m (=

6)

I I

simetria Combinaciones de simetria adicional en diagramas isometricos

I

Cristalografia Recreativa

TA13LA 2. Las 32 Clascs Cristalinas.

(Cornelius Klein y orne/ius Huribul Jr.. Manual de Mincralogia . 1998. 4Ip).

CJase de cristal

Sistema cristalino Tric\inico

Monoclinico

Sistema cristalino

Clase de cristal

I

3

;

"3

:!

32

m

3m

21m

3 21m

222

Ortorr6mbico

Hexagonal

mm2 21m 21m 21m

6/01 622

4 4" 41m 422 -Imm 4211l 41m 21111 21m

Tetragonal

6

6

6mm 6m2

6/m 21m 21m 23 21 m 3 Isometrico I

I

432 '13m

4/ m32/m

Los angulos formados entre los ejes se designan como: alfa, beta y gamma. Alfa esta entre b y c, beta entre a y c y gamma entre a y b. Cada uno de los sistemas cristalinos queda caracterizado por sus propios valores angulares y parametricos, tal como se observa en la fig. 42. De acuerdo al sistema, los ejes seran:

Sistema Cubico 6 Isometrico: Tres ejes mutuamente perpendiculares, de longitudes iguales (par esto, se usa el mismo color) y se llaman aI' a2 y aJ •

Sistema Tetragorud: Tres ejes mutuamente perpendiculares, dos de ellos, los horizon tales, son de iguallongitud (de igual color) y se llaman at y a 2• EI eje vertical es mas corto r •

,. --- -. _­ A

-- ~ ~.

Y,--­ ",

b

La cara que esta encima de la anterior se puede prolongar hacia los ejes y buscar su interseccion con ellos, lIegando a ser: 2a: 2b: 2/ 3 c, respecto a la cara unidad. Dividiendo por dos, como factor comun, lIegamos a 1 a, lb, 1/3e. Debe entenderse que los para metros de una cara no tienen relaci6n con su tamafio, pues una cara puede moverse paralelamente a si misma, a cualquier distancia, sin que cam bien los valores relativos de sus intersecciones con los ejes cristalograficos.

5.14.3. indices de Miller Los indices de Miller de una eara consisten en una expresion de numeros enteros que se deducen de los para metros obtenLdos por interseccion y su posterior inversion. Si es preciso, se eliminan los fraccionarios.

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CriSfa/ograjia Recreafiva

Los numeros que expresan los indices se refieren en su orden a los ejes a, b y c (son cuatro en el sistema Hexagonal). Las letras que indican los diferentes ejes se omiten, y para simplificar alln mas los signos de relaci6n, tambien se omiten. Volviendo a la fig. 45, las intersecciones de las dos caras planteadas son: la, Ib, lc y 2 a, 2b, 2/ 3c respectivamente. Al invertir los para metros queda: 1/1 1/1 1/1 y Vz Vz 3/ 2 respectivamente. Con el objeto de eliminar fraccionarios en la segunda'expresi6n, multiplicamos por dos, quedando entonces los indices de Miller de (llI) para la cara unidad, y (113) para la otra cara. Generalmente los numeros que expresan los indices de Miller s n enteros pequenos. Cuando estos numeros son de dos digitos, se utiliza la coma para separarios, por ejemplo: (1 , 12, 4), y se lee: "uno, doce, cuatro".. Si la cara corta a alguno de los ejes cristalograficos en forma negativa, se coloca una raya encima del numero que corresponde a dicho corte, por ejemplo: (1 11 ), y se lee: "uno, menos uno, uno".. N6tese que los indices que estamos expresando corresponden a caras del cristal, y por eso se colocan entre parentesis. Si vamos a dar los indices de una Forma cristalina, la expresi6n contiene el simbolo de Haves: {l T l} Cuando no se conocen las intersecciones exactas, se usa el simbolo general (hkl), sabiendo que en su orden representan los reciprocos de sus intersecciones a 10 largo de los ejes a, by c.

La expresi6n (hk\) indica que una cara corta desigualmente a los tres ejes.

85

Martha Henao Vasquez

Si una cara es paralela a uno de los ejes y corta a los otros dos, el simbolo general se escribe (Old), (hOi) 6 (hkO), segun sea el caso particu lar. Si la cara es paralela ados ejes y corta s610 a uno, esa medida se considera una distancia unidad, y los indices sedan: (100), (010), (001), con sus equivalentes negativos: (100), (010) y (001). Para el sistema Hexagonal el simbolo general es (hkll), en donde las tres primeras letras se refieren a los ejes ai' a 2 y a" y la ultima, al eje C. Recordemos cual es la localizaci6n de los ejes en el sistema Hexagonal (fig. 46), (tanto en la divisi6n Hexagonal, como en la Romboedrica): tres ejes identicos, llamados ai' a 2 y a" coplanares y perpendiculares al eje C, que es vertical. Si los miramos en planta, seria asi: FIGURA 46. Ejes cristalogrci[icos para eI sistema HexagonaL.

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Cristalografia Recreativa

Como se puede observar, el eje a J , en su extrema negativo, se encuentra entre los ejes a I Y a 2, de extremos positivos. Por esta raz6n, el indice que Ie corresponde al tercer eje, sera siempre negativo (T). , Tambien, en esta notaci6n, h + k + i = 0 se cumple invariablemente, por ejemplo: En los indices:

1010, 1 + 0 + 1 = 0 1ILO, 1 + 1 + 2 = 0 1121, 1 + 1 + 2 = 0

5.15. FORMA CRISTALINA El uso del termino " Forma" nos hace pensar en el aspecto externo del cristal, 10 que queda expresado con la palabra " habito". Cuando nos referimos a la Forma Cristalina, pensamos en un conjunto de caras iguales (6 aproximadamente iguales, debido a la frecuente deformaci6n de los cristales), relacionadas por elementos de simetria. En general estas caras, conservan las mismas propiedades fisicas y quimicas, pues todas elias son el refiejo de igual orden at6mico interno. Externamente, las caras que componen una forma, pueden tener diferentes tamanos, debido a la imperfecta formaci6n del crista!' Para reconocerlas, normalmente nos ayudamos por la observaci6n de estrias naturales, figuras de corrosi6n 6 crecimientos. A veces es necesario someter el cristal a un ataque quimico, que revele estas evidencias.

Martha Henao Vasquez

Aplicando el concepto dado anteriormente, veamos cuantas forma s encontramos en un crista I Cubico;

Asi cristalizan con frecuencia, la Halita, Pirita y Galena (fig. 47). FI GURA 47, Aruilisis del concepw de Fonna Cristalina en 1m Cuba,

Procedencia : Zipaquira,

Ga lena. Procedcncia: Santander de Quilichao, Cal«:a.

Pirita, Procedencia: Mu zo, Boyacd,

Cada una de las seis caras que componen el cristal tiene relacion con las otras, mediante los elementos de simetria existentes, es decir, por medio de los ejes (Cuaternarios, Ternarios, Binarios), por los pianos de simetria 0 por el Centro de simetria. Cada una de las caras es ademas, en su fo rma y aspecto, igual a las demas. Llegamos entonces a la conclusion de que en este cristal, solo hay una Forma cristalina.

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Crisla/ograjia ReCreliliva

Para representarla con la notacLOn de Miller, debemos seguir algunas convenciones ya establecidas. Estas son: en 10 posible, elegir una expresi6n positiva, es decir, un simbolo en donde todas las partes sean positivas; ademas, eI simbolo debe presentar sus partes de forma creciente (ascendente en magnitud). Expresando las seis caras del Cubo con sus indices de Miller, tenemos: Cara 1: (100) Cara 2: (010) Cara 3: (001)

cara 4: (100) cara 5: (010) cara 6:

(Oon

Vemos como toda expresi6n positiva tiene su equivalente negativo. Por esto, podemos concluir la existencia del Centro de simetria. Siguiendo las convenciones antes explicadas, se e1ige la expresi6n (001) para representar la forma de este cristal. Note como las expresiones negativas quedan todas descartadas. Se llama Forma general, a aquella que tiene por indices (hkl), es decir que corta diferentemente a los tres ejes cristalograficos. En un crista I puede haber un nllmero variable de Formas, desde una sola (como en eI caso del Cubo), hasta combinaciones de cuatro, cinco y aun mas. Una Forma compuesta s610 por dos caras que sean paralelas, tiene que estar acompanada de otra u otras formas en eI cristal, porque por si sola, no puede llenar el espacio tridimensional; estas son las llamadas formas abiertas. En las figuras 48 y 49 vemos algunos ejemplos de Formas abiertas. AI extender las caras y mirar los interceptos de unas con otras, vemos que no pueden cerrar 6 llenar el espacio.

Martha Henao Vasquez

Una Forma sera cerrada, si las prolongaciones de sus caras limitan enteramente eI crista!. EI Cubo es por ejemplo una Forma cerrada, pues sus seis caras se encuentran y se cortan unas con otras. Las figuras 50, 51 y 52, muestran algunos ejemplos de formas cerradas. Notese como pueden existir solas a en combinacion con otras cerradas a abiertas. 5.15.1. Nombres de las Formas

5.15.1.1. Pinacoide

Forma abierta constituida por dos caras paralelas (fig.48).

FIGURA 48. Forma Cristalina : Pinacoide.

Corind6n (Rubi). Procedencia: Madagascar.

5.15.1.2. Prisma Forma abierta que puede estar compuesta por tres, cuatro, seis, ocho 6 doce caras, todas elias paralelas al mismo eje. EI numero de caras depende del sistema al cual pertenece eI crista!'

- gO ­

Cristalograjia Recreativa

FIGURA 49. Forma Cris!alina: PrislThl.

Turmalina, var. Charlo. ProccJc ncia: Ncudeck, Bohemia .

5.15.1.3. Bipiramide Forma cerrada de seis, ocho, doce, dieciseis 6 veinticuatro caras, segLIn sea el sistema. Pueden considerarse como formadas por dos Piramides, unidas por reflexi6n, la una so bre la otra a traves de un Plano de simetria horizontal. FIGURA 50. Forma CTistalina: Bipinimide.

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5.15.1.4. Trapezoedro trigonal Forma cerrada compuesta por seis caras, las tres superiores giradas con respecto a las tres inferiores. Esta Forma es el resultado de un eje Ternario, combinado con ejes Binarios perpendiculares. FIGURA 51. Forma Crista lillll : Trapezoedro trigonal..

5.15.1.5. Escalenoedro Hexagonal. Forma cerrada compuesta de doce caras, tres pares de caras arriba y tres pares abajo, en posicion alterna, relacionadas entre si por una rotoinversion Ternaria. La forma geometrica de cada una es un triangulo escaleno. FIGURA 52. Forma Cristalina: Escalenoedro.

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Cristalografia ReCrealil'a

5.15.1.6. Romboedro Seis caras que constituyen una Forma cerrada, tres de ellas en la parte superior alternan con las otras tres en la parte inferior, giradas entre St, 60 0 •

FIGURA 53. Forma Crisudina: Romboedro.

akita, var. Espato d~ Islandia. Procedencia: Neu, Mexico, U.S.A.

5.15.1. 7. Cubo 6 Hexaedro Forma cerrada compuesta por seis caras que se cortan a 900 una de otra. FIGURA 54. Fortna Cri.ltlliina: Ct.bo u Hexaedro.

Halita. Proccdencia: Zipaqtlird, Ctlndinamarca.

Martha Henao Vasquez

5.15.1.8. Octaedro Forma cerrada compuesta por ocho caras, cada una con aspecto geometrico de un triangu[o equilatero. FIGURA 55. Farma Cristatina: Octacdro.

Magneti ta .

5.15.1.9. Dodecaedro R6mbico Forma cerrada compuesta por doce caras, cada una con aspecto de rombo. FIGURA 56. Farma Cristatina: Dodecaedro R6mbico.

Granate.

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Cristalograjia RecrealivQ

5.15.1.10. Trapezoedro Forma cerrada compuesta por veinticuatro caras, caJa una de aspecto geometrico trapezoidal. FI URA 57, Forma Criswlina : Traptlzoedro,

UCtLtilla, Norte de SaJltander,

Granate, Proccdencia:

5.15.1.11. Tetraedro Forma cerrada compuesta por cuatro caras, cad a una con forma geometrica de un triangulo equilatero. FIGURA 58, Forma Cristalina : Tetraedro,

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5.15.1.12. Piritoedro

Forma cerrada compuesta por dace caras, cada una de aspecto pentagonal. FIGURA 59. Forma Crista/ina : Piritoedro.

Pirita. Procedcncia: Muzo, Bayacd.

Se acaban de enunciar los nombres de las formas que con mayor frecuencia ocurren en los minerales mas corrientes. Existen otras Formas como son: Pedion, Domo, Esfenoide, Tetraquishexaedro, Triaquisoctaedro, Dodecaedro Deltoidal, Diploedro, Hexaquisoctaedro, etc, que pueden ser consultadas en los tratados c1asicos de Cristalografia.

5.16. LAS 32 CLASES CRISTALINAS Como ya se habia tratado, solo son posibles 32 formas de combinar los diferentes elementos de simetria para que puedan ser compatibles. Estas combinaciones, dan lugar a las 32 Clases Cristalinas 0 Clases Cristalograficas.

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Cristalogrufia Recrea/iva

RecorJemos que la expresit'm (hkl) representa los indices de Miller de la Forma general, que corta de manera diferente a los rres Ejes cristalograficos. EI nombre que recibe la Forma general, es el nombre que se dara a la Clase, por ejemplo: (hkl) en la simetria: 2/ 01 2/ 01 2/01 es la Forma Hamada Bipiramide rombica. EI nombre de la Clase sera entonces Bipiramidal rombica. En la simetria 4/ 01 j 2/ 01, (hk!) es la Forma general lIamada Hexaquisoctaedro, par tanto, el nombre de la Clase sera Hexaqu isoctaed rica. La cantidad de especies minerales que cristalizan en cada uno de los seis sistemas cristalinos es muy variable. Se ha encontrado la siguiente distribuci6n. En En En En En En

el sistema Cubico 0 Isometrico el sistema Hexagonal el sistema Tetragonal el sistema Ortorrombico el sistema Monoclinico el sistema Triclinico

26% 19% 12% 20% 21% 2%

Se ha encontrado tambien que la mayor cantidad de especies minerales se encuentra en la Clase cristalina de mas alta simetria de cada sistema. Estas clases son: T en el Triclinico, 2/ 01 en el Monoclinico; 2/ 01 2/ 01 2/ 01 en el Rombico; 4/ m 2/ 01 2/01 en el Tetragonal; J 2/ 01 en el Hexagonal, divisi6n Romboedrica; 6/ 01 2/ 01 2/ 01 en el Hexagonal, divisi6n Hexagonal y 4/01 j 2/ 01 en el Cubico. Se agrega a esta lista, las clases 3 2 de la division Romboedrica del sistema Hexagonal; 4 3 2 Y 2/ 01 J del sistema Cubico, por

Martha Henao V{isquez

representar especies minerales de marcada importancia, como son, Cuarzo, Esfalerita y Pirita. En total son entonces 10 Clases, de las 32 que existen, las que se van a considerar, como mas importantes en este estudio. La tabla 3, muestra la distribuci6!l convencional de los sistemas y clases cristalinas.

TABLA 3. La.1 32 Clases de Cristales)' SIt simetria caract~ris[ica.

(Cornelius Klein y CorneliKI Hurlbut Jr., Mantwl de Mineralogia. 1998. 72p).

Notoci6n de Hennan - J';fauguin

Sirnetria CarBcteristica

Clase del cristal

Sistema

1.1

TricHnico

S610 simctria monana

POI' 5U

2. m.2/ m

MOlloctiuiro

81)10 un cj(' de rolacioll biu31;a Y/o lin plano de simelria

EI cje binarin Sl' lorna como ejc b }" el plano de. simctria (plano (/ - c) cs vertical.

222. mm2

Ortorrolubico

Tl'CS

direcduncs

mutuam('nte

2/m 2/m 21m

perp{'ndicularcs alrededor de los cuales hay simE.'tria binatia (2 (j m)

4· 4· 4/m 422 · 4mm. 42m . 4/m 2/m 2/m

Tetragonal

Un cjt:' cuat(>rnario

6.6.6/m

Hexagonal

Un

[so nH~ t rico

Cuatro ejes ternarios indinados respectu a los ej eristalngrafico:s

cj~'

sl'nnrio

622.6mm

o2m. 6/ro 2/m 21m 3· 3· 32 3m. 32/m

23 · 2/m 3

432·43m 4/m 3 2/m

- 98 ­

baja simetria no hay re.stricciollcs cristalognifieas.

Los simoulos se reficren a los elementos de una simetria de ord('n a.b.c; los cjl'S binari05 coindclen con los ejos c.ristalograficos, Los cjes cuatenla rios se rcfie rt.Il al cje c;"el segundo simboJo (si 10 hay) 5 1:": rcficre a las direcciones 3:\'1ules (aJ Yu:.,) : c\ tl"rcer simhoJo (si 10 hay) a las direccionel 4S" con respecto a H, Y Q,.

EI primer numero ~ re-ficl"l' "I cje c: oJ segundo y tercer s!mbolos (si los hav) Sf:! refieren respecti,,"amenlt< a los elementos de simctria paralelos y pe.rpcndiculares a los cjcs eristalogf".lficos (lJ.~ y a:.,

EI primer nume.mse- refit."rc a los tn's ejes cristalograficos 01 , a !! y u:/; el segundo l1umcro);c re fi en.' a Ins cuntro dirccciones diagonales de simNria ternaria( entre lo~ \"(~rti ces d(' un cubo)j eI tefl'"t..':.r numen) 0 simlKllo (.si 10 hay) sc rel1cre n sds direcciones cntrx- las aristns de un euhn

Cristalografia Recreativa

5.16.1. Formas en el Sistema Triclinico.

Ejes cristalograficos Los tres ejes cristalograficos, son de diferente longitud y forman angulos oblicuos entre si. Para orientar un cristal triclinico, 10 primero que hay que hacer es definir "Ia zona" del crista I (maximo conjunto de caras y/ o aristas paralelas entre s£), y paralelamente a ella se elige el eje c, vertical. Enseguida se buscan los ejes a y b, haciendolos paralelos a aristas del cristal y que sigan la tendencia general de orientaci6n: a, va de atras hacia delante del observador, inclinado hacia los pies de este y b, va de izquierda a derecha del observador. El eje b debe ser mas largo que el eje a. 1: Clase Pinacoidal: T = C. La simetria consiste en un Eje de inversi6n Monario, que equivale al Centro de simetria. FI URA 60. Formas en cristales Tyiclinicos.

Calcantiw. Aytificial.

- gg ­

Martha Henao Vasquez

Todas las Formas de esta Clase son Pinacoides y se componen de dos caras semejantes y paralelas.

1. (100) Pinacoide frontal. Corta al eje ayes paralelo a los otros dos. 2. (010) Pinacoide lateral. Corta al eje byes paralelo a los otros dos.

3. (001) Pinacoide basal. Corta al eje eyes paralelo a los otros dos.

4. (Ok\) Pinacoide de primer orden. Paralelo al eje a y corta a b y a c en longitudes diferentes. Puede existir la forma negativa. (Okl).

5. (hOI) Pinacoide de segundo orden. Paralelo al eje b. Corta a a y c en medidas diferentes. Puede existir la forma negativa (flO\).

6. (hkO) Pinacoide de tercer orden. Es paralelo al tercer eje (eje c) y corta a a y b en longitudes diferentes. Puede existir la forma negativa (llkO).

7. (hkl) Pinacoide de cuarto orden. Corta a los tres ejes a medidas diferentes. Pueden existir las formas negativas: (hkl), (h1