520142: ALGEBRA y ALGEBRA LINEAL Segundo Semestre 2008, Universidad de Concepción

CAPITULO 10: Espacios Vectoriales

DEPARTAMENTO DE INGENIERIA MATEMATICA Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas 1

Espacios Vectoriales Definición de Cuerpo Sea K un conjunto y sean + : K × K → K, · : K × K → K operaciones binarias internas. Se dice que (K, +, ·) es un cuerpo si: x + (y + z) = (x + y) + z

∀ x, y, z ∈ K.

a)

+ es asociativa:

b)

+ es conmutativa:

c)

Existe un elemento neutro 0 ∈ K para +:

d)

∀ x ∈ K existe un inverso aditivo −x ∈ K tal que:

x+y =y+x

∀ x, y ∈ K. x+0=x

∀ x ∈ K.

x + (−x) = 0.

2

Espacios Vectoriales Definición de Cuerpo (...cont) e)

· es asociativa:

f)

Existe un elemento neutro multiplicativo 1 ∈ K tal que: x · 1 = 1 · x = x ∀ x ∈ K.

g)

∀ x ∈ K, x 6= 0, existe un inverso multiplicativo x−1 ∈ K tal que: x · x−1 = x−1 · x = 1.

h)

· es distributiva con respecto a +: x · (y + z) = x · y + x · z y (x + y) · z = x · z + y · z

x · (y · z) = (x · y) · z

∀ x, y, z ∈ K.

∀ x, y, z ∈ K .

Definición Se dice que (K, +, ·) es un cuerpo conmutativo si además de a) - h) se satisface: i)

x·y =y·x

∀ x, y ∈ K . 3

Espacios Vectoriales Ejemplos Los números racionales (Q), reales (R) y complejos (C) son cuerpos conmutativos con la suma y producto que se indican: K

x

y

x+y

x·y

Q

a b

c d

ad+bc bd

ac bd

R

x

y

x+y

xy

C

a + bi

c+ di

(a + c) + (b + d) i

(ac − bd) + (ad + bc) i

0

K Q

0 1

=0

1 1

1

x

−x

x−1

=1

a b

(−a) b

b a 1 x

R

0

1

x

−x

C

0 + 0i

1 + 0i

a + bi

(−a) + (−b) i

a a2 +b2

(x 6= 0) (a 6= 0)

(x 6= 0)   −b + a2 +b2 i

a2 + b2 6= 0

4

Espacios Vectoriales Definición de Espacio Vectorial Sean V un conjunto, K un cuerpo, y consideremos dos operaciones binarias: Suma (interna)

+ : V ×V →V ,

Producto por escalar (externa)

(x, y) 7→ x + y

· : K×V →V ,

(α, x) 7→ α · x

Se dice que (V, +, ·) es un espacio vectorial sobre K, o bien un K-espacio vectorial, si: 1)

+ es asociativa y conmutativa.

2)

Existe un elemento neutro θ ∈ V (vector nulo) para +: x+θ = x ∀x ∈ V .

3)

∀ x ∈ V existe un inverso aditivo −x ∈ V tal que:

4)

Para todo α, β ∈ K y para todo x ∈ V :

x + (−x) = θ.

α · (β · x) = (α β) · x. 5

Espacios Vectoriales Definición de Espacio Vectorial (... cont) 5)

Para todo α ∈ K y para todo x, y ∈ V :

6)

Para todo α, β ∈ K y para todo x ∈ V :

7)

Para todo x ∈ V :

1·x=x

α · (x + y) = α · x + α · y. (α + β) · x = α · x + β · x.

(1 es la unidad de K).

Observaciones Los elementos de V se llaman vectores. Todo espacio vectorial V es no vacío

(θ ∈ V ).

V := {θ} es el espacio vectorial trivial. V se dice un espacio vectorial real

si

complejo

K = R. si

K = C. 6

Espacios Vectoriales Notación.

Dados x, y ∈ V , se define la diferencia:

x−y := x+(−y).

LEMA (Ley de Cancelación). ∀ x, y, z ∈ V ; x + y = x + z =⇒ y = z. TEOREMA. Sea V un espacio vectorial sobre un cuerpo K. Entonces: P1 ) el elemento neutro θ para la suma es único. P′1 ) para cada x ∈ V existe un único inverso aditivo −x ∈ V . P2 ) para todo α ∈ K: P3 ) para todo x ∈ V :

α · θ = θ. 0 · x = θ.

P4 ) para todo α ∈ K y para todo x ∈ V : P5 ) ∀ α ∈ K , ∀ x ∈ V :

(α · x = θ )

(−α) · x = − (α · x). ⇐⇒

(α = 0

∨

x = θ ). 7

Espacios Vectoriales EJEMPLO 1 (Ejemplos Simples). Sea K un cuerpo. Entonces K es espacio vectorial sobre sí mismo. Casos particulares: R es espacio vectorial real; C es espacio vectorial complejo. Kn es un espacio vectorial sobre K. Casos particulares: R2 , R3 , Rn (n ∈ N) son espacios vectoriales sobre R; C2 es espacio vectorial sobre C; Q2 es un espacio vectorial sobre Q. C también es espacio vectorial sobre R. Notar las diferencias en las definiciones de + y ·.

8

Espacios Vectoriales EJEMPLO 2 (Espacio de Soluciones de un Sistema Homogéneo). Sean K un cuerpo, m, n ∈ N, A := (aij ) ∈ Mm×n (K) y definamos V := { (x1 , ..., xn ) ∈ Kn tal que (x1 , ..., xn ) es solución de     a11 x1 + · · · + a1n xn = 0 (1) ···    am1 x1 + · · · + amn xn = 0

(1) }

+ : V ×V →V

(x1 , ..., xn ) + (y1 , ..., yn ) := (x1 + y1 , ..., xn + yn ) · : K×V →V α · (x1 , ..., xn ) := (α x1 , ..., α xn ) Entonces (V, +, ·) es un espacio vectorial sobre K.

9

Espacios Vectoriales EJEMPLO 3 (Espacio de Polinomios). Sean K un cuerpo, n ∈ N y definamos Vn := { p ∈ P(K) :

grado de p ≤ n }

+ : Vn × Vn → Vn p, q ∈ Vn ,

p(x) = a0 + a1 x + · · · + an xn ,

q(x) = b0 + b1 x + · · · + bn xn

(p + q)(x) := (a0 + b0 ) + (a1 + b1 ) x + · · · + (an + bn ) xn

∀x ∈ K

· : K × Vn → Vn α ∈ K,

p ∈ Vn ,

(α·p)(x) := (α a0 )+(α a1 ) x+· · ·+(α an ) xn

∀x ∈ K

Entonces (Vn , +, ·) es un espacio vectorial sobre K. 10

Espacios Vectoriales EJEMPLO 4 (Espacio de Matrices). Sean m, n ∈ N, K un cuerpo, y definamos V := Mm×n (K)

+ : V ×V →V A := (aij ), B := (bij ) ∈ V ,

A + B := (aij + bij )

· : K×V →V α ∈ K,

A := (aij ) ∈ V ,

α · A := (α aij )

Entonces (V, +, ·) es un espacio vectorial sobre K. 11

Espacios Vectoriales Subespacios Vectoriales

Sea V un K-espacio vectorial y S ⊆ V . Se

dice que S es un Subespacio vectorial de V , si S es un espacio vectorial sobre K con las mismas operaciones binarias definidas en V . Observación V y {θ} se dicen subespacios triviales de V . Caracterización de Subespacios Sea V un K-espacio vectorial y S ⊆ V . Entonces S es un subespacio de V si y sólo si: (i) S 6= ∅ (ii) (∀ x, y ∈ S) : x + y ∈ S (S es cerrado con respecto a la suma) (iii) (∀ λ ∈ K) (∀ x ∈ S) : λ · x ∈ S (S es cerrado con respecto a la multiplicación por escalar)

12

Espacios Vectoriales Ejemplos 1. El conjunto de soluciones en Kn de un sistema homogéneo de n incógnitas, con coeficientes en K, es un subespacio vectorial de Kn sobre K. 2. Sean a, b, c tres números reales. Entonces U = {(x, y, z) ∈ R3 : ax + by + cz = 0} W = {(x, y, z) ∈ R3 : x = az, y = bz} son subespacios de R3 . 3. {A ∈ M2×2 (R) :

A = At }

4. {A ∈ M2×2 (R) :

A = −A t } es un subespacio de M2×2 (R).

es un subespacio de M2×2 (R)

5. {A ∈ M2×2 (C) : A = −A¯ t } es un subespacio de M2×2 (C), sobre el cuerpo K = R. 6. Sea n ∈ N, n ≥ 2. Entonces, Kn−1 × {0} es un subespacio vectorial de Kn sobre K.

13

Espacios Vectoriales

Ejemplos (...cont) 7. El conjunto S = {at2 + bt + c ∈ P2 (R) : a ≥ 0 } no es subespacio vectorial de P2 (R), pues t2 ∈ S, −1 ∈ R y (−1)t2 6∈ S, es decir, S no es cerrado para la multiplicación por escalar. 8. El conjunto T = {A ∈ M2×2 (R) : det(A) = 0 } no es subespacio vectorial de M2×2 (R). Basta tomar 

A=

1 0 0 0



,



B=

0 0 0 1



.

Observar que A + B = I2 ∈ / T, es decir, T no es cerrado para la suma. 14

Espacios Vectoriales Subespacios Vectoriales Notables Sean V un K-espacio vectorial y U, W dos subespacios de V . Entonces los siguientes subconjuntos U

T

W ={v∈V :v∈U

∧

v∈W }

U + W = { v ∈ V : v = u + w, u ∈ U

∧

w∈W }

son subespacios vectoriales de V , con las mismas operaciones binarias. Suma directa (interna) Sea V un K-espacio vectorial y U, W ⊆ V dos subespacios de V . Se dice que U + W es suma directa si U ∩ W = {θ}, y se escribe U ⊕ W . Equivalentemente: todo vector de U ⊕ W se descompone, de manera única, como la suma de un vector de U con uno de W . 15

Espacios Vectoriales Observación Sean V un K-espacio vectorial y U, W dos subespacios de V . Entonces, en general: U ∪ W no es subespacio vectorial de V . Contra ejemplo Considerar las rectas que pasan por el origen: U = { (x, y) ∈ R2 : y = 2x } W = { (x, y) ∈ R2 : x = 2y } y sean u = (1, 2) ∈ U y v = (2, 1) ∈ W . Entonces u ∈ U ∪ W y v ∈ U ∪ W, pero u + v = (3, 3) ∈ / U ∪ W.

Proposición U ∪ W subespacio vectorial de V ⇐⇒ U ⊆ W

∨

W ⊆U

16

Espacios Vectoriales Ejemplos Si U y W son como en el contra ejemplo, entonces U +W = Notar que



2

(x, y) ∈ R : (x, y) = s(1, 2) + t(2, 1) ; s, t ∈ R

U + W = R2 .



Sean p′ (0) = 0 }

U

= { p ∈ P3 (R) :

p(0) = 0,

W

= { p ∈ P3 (R) :

p(x) = p(−x) ∀ x ∈ R } .

Entonces U ∩ W = { p ∈ P3 (R) :

(∃ b ∈ R) (∀ x ∈ R) : p(x) = b x2 }. 17

Espacios Vectoriales Ejemplos ... (cont) Descomposición de Mn (R).

Sean

  t t U = A ∈ Mn (R) : A = A y W = A ∈ Mn (R) : A = −A .

Entonces:

U ∩ W = {θ}

y

U + W = Mn (R), ∴

Descomposición de U . D ˜ U

U ⊕ W = Mn (R).

Sean

= { A = (aij ) ∈ Mn (R) :

aij = 0 si i 6= j }

= { A = (aij ) ∈ Mn (R) :

aii = 0 ∧ aij = aji

i 6= j} .

Entonces: ˜ = {θ} y D∩U

˜ = U, ∴ D+U

˜. U =D⊕U 18

Espacios Vectoriales Combinación Lineal Sea {x1 , x2 , . . . , xn } un subconjunto de un K-espacio vectorial V . Se dice que el vector x ∈ V es combinación lineal (c.l.) de estos n vectores si existen escalares α1 , . . . , αn ∈ K tales que: x = α1 · x1 + α2 · x2 + · · · + αn · xn =

n X

αi · xi

i=1

Observación

El vector nulo es combinación lineal (c.l.) de cualquier

conjunto de vectores de V . Sistema de Generadores Sea A un subconjunto de un K-espacio vectorial V . Se dice que A es un sistema de generadores de V si todo vector de V se puede escribir como c.l. de un número finito de vectores de A. 19

Espacios Vectoriales Ejemplos (i) Sean V = R2 y ~v , d~ ∈ V . Entonces ~v es c.l de d~ si y sólo si ~v pertenece a la recta: L := { ~x ∈ V :

~ ~x = t d,

t ∈ R}

(ii) Sean V = R3 y ~v , ~a, ~b ∈ V . Entonces ~v es c.l. de los vectores ~a y ~b si y sólo si ~v pertenece al plano: Π := { ~x ∈ V :

~x = t ~a + s ~b,

t, s ∈ R }

(iii) Sean V := P(R) y A := {1, x, x2 , x3 , ..., xn , ...}. Entonces A es un sistema de generadores de V . 20

Espacios Vectoriales Ejemplos ... (cont) (iv) Sean V = R3 y ~a = (1, 0, 1), ~b = (−1, 1, 0), ~c = (0, 0, 1), d~ = (1, 2, 3). Entonces: (1, −2, 0) = =

−1 ~a − 2 ~b + 1 ~c + 0 d~ 2 ~a + 0 ~b + 1 ~c − 1 d~

(v) Sean V = P2 (R) y p1 (x) = (x − 1)2 , p2 (x) = 21 x + 1, p3 (x) = 5. Entonces: 2 x − 2x + 3 = 1 p1 (x) + 0 p2 (x) + p3 (x) 5 2

Observar que esta c.l es única. 21

Espacios Vectoriales Ejemplos ... (cont) (vi) Sean V = M2 (R) y los vectores 

A1 =  Entonces  A=

2

1 0 0 2





 , A2 = 

−10

 

0

−4

8

0





 , A3 = 

0

1 4

− 21

0



.

se puede expresar como c.l. de los

20 4 vectores A1 , A2 y A3 de infinitas maneras.   2 −10   no es c.l. de A1 , A2 y A3 . B= 20 −5

22

Espacios Vectoriales Subespacio generado Sea A := {v1 , v2 , . . . , vr } un subconjunto de un K-espacio vectorial V , y sea S el conjunto de todas las combinaciones lineales de los r vectores de A, esto es: ) ( r X αi · vi , αi ∈ K, i = 1, . . . , r . S= v∈V : v= i=1

Proposición

S es un subespacio vectorial de V , el cual se llama subespacio generado por el conjunto A. Observaciones A es un sistema de generadores de S. S es el subespacio más pequeño que contiene a A. Usualmente se denota:

S = hAi = h{v1 , v2 , . . . , vr }i

23

Espacios Vectoriales Ejemplos 1. Sean V = R3 y los vectores ~a = (0, 1, 2), ~b = (−1, 3, −1) y ~c = (2, − 11 a, ~b, ~c} i es un plano que pasa 2 , 3). Entonces, S = h {~ por el origen. 2. Sea V = M2 (R) y los vectores (matrices) 

E1 =  Entonces

1 0 0 0





 , E2 = 

0 1 1 0





 E3 = 

0

0

0

1

S = h{E1 , E2 , E3 }i = {A ∈ V : A = At }

 

3. Sea V = P3 (R) y los vectores (monomios) p1 (x) = x y p2 (x) = x3 . Entonces: S = h{p1 , p2 }i = {p ∈ V : p(−x) = −p(x) } 24

Espacios Vectoriales Dependencia e independencia lineal de vectores Sea A = {v1 , v2 , . . . , vr } un subconjunto de un K-espacio vectorial V . Se dice que A es linealmente dependiente (l.d.) si existen escalares no todos nulos α1 , α2 , . . . , αr ∈ K tales que: α1 · v1 + α2 · v2 + · · · + αr · vr = θ Si A no es l.d., se dice que es linealmente independiente (l.i). Equivalentemente: α1 · v1 + α2 · v2 + · · · + αr · vr = θ

⇔

α1 = α2 = · · · = αr = 0

Observación El hecho que A sea l.d. no implica que cada vi es c.l. de los demás. Contraejemplo: Sean V = R3 , ~a = (1, 0, 0), ~b = (0, 1, 0) y ~c = (0, 2, 0). Es inmediato que A = {~a, ~b, ~c} es l.d., y sin embargo ~a 6∈ h{~b, ~c}i. Observar que sí existe al menos un vector de A que es c.l. de los otros.

25

Espacios Vectoriales Observación ...(cont) Si A es un conjunto l.i. en V , entonces todo subconjunto de A es l.i. Si θ ∈ A entonces A es l.d. en V . Si A = { x }, con x 6= θ, entonces A es l.i. El conjunto vacío ∅ es l.i. en V . Ejemplos Sean V = R3 y los siguiente subconjuntos de V : A1

= { (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1) }

A2

= { (0, 0, 1), (0, 1, 1), (1, 1, 1) }

A3

= { (1, −1, 0), (0, −1, 1), (−1, 0, 1) }

A1 y A2 son l.i. , A3 es l.d en V . 26

Espacios Vectoriales Ejemplos ...(cont) Sean V = P2 (R) y los siguientes conjuntos de V : A1

= { 3x2 − 2x, x2 + 1, −3x + 2, x2 − 1 }

A2

= { 3x2 − 2x, x2 + 1, −3x + 2 }

A3

= { 1, x, x2 }

A1 es l.d. ,

A2 y A3 son l.i. en V .

Sean V = C(R) y las funciones reales definidas por f (x) = |x|,

g(x) = max{0, x}, x∈R

h(x) = max{0, −x}. x∈R

El conjunto A = { f, g, h } es l.d. en V . Observar que f =1·g+1·h 27

Espacios Vectoriales

Lema de Dependencia Lineal Sea V un K espacio vectorial. Si {v1 , v2 , ...., vm } es linealmente dependiente en V y v1 6= θ, entonces existe j ∈ {2, 3, ..., m} tal que vj ∈ h{v1 , v2 , ..., vj−2 , vj−1 }i h{v1 , ...., vj−1 , vj+1 , ...vm }i = h{v1 , v2 , ...., vm }i

28

Espacios Vectoriales Teorema Sea A un subconjunto finito de un K-espacio vectorial V . Las siguientes proposiciones son equivalentes: (a) A es l.i. (b) Toda c.l. de los vectores de A, cuyo resultado sea el vector nulo, es la trivial. (c) Ningún vector de A es c.l. de los demás. Análogamente, son equivalentes: (ã) A es l.d. ˜ Existe una c.l. de los vectores de A con escalares no todos nulos, (b) cuyo resultado es el vector nulo. (˜c) Algún vector de A es c.l. de los restantes. 29

Espacios Vectoriales

Definición Se dice que un K- espacio vectorial es finito dimensional si posee un sistema de generadores de cardinalidad finita. Teorema En un espacio finito dimensional, la cardinalidad de todo conjunto linealmente independiente (l.i.) es menor o igual a la cardinalidad de cualquier sistema de generadores. Proposición Todo subespacio de un espacio finito dimensional es finito dimensional. 30

Espacios Vectoriales Definición: Base vectorial Sea V un K-espacio vectorial. El subconjunto ordenado de V dado por B = {v1 , v2 , ..., vn } es una Base de V si: (i) B es l.i. (ii) V = hBi Proposición Sea V un K-espacio vectorial. Un subconjunto {v1 , v2 , ..., vn } es una base de V si y sólo si cada vector v ∈ V puede escribirse de manera única como la c.l.: v = α1 · v1 + α2 · v2 + · · · αn · vn , donde α1 , . . . , αn ∈ K. Proposición Dos bases de un espacio vectorial tienen la misma cardinalidad.

31

Espacios Vectoriales Dimensión de un espacio vectorial Se llama dimensión de un K -espacio vectorial V a la cardinalidad de una base de V, se denota dim (V ).

Proposición En un K-espacio vectorial V de dimensión n, todo subconjunto l.i. de cardinalidad n es una base de V . Observación Sea V un K-espacio vectorial de dimensión n: 1. Todo subconjunto de cardinalidad mayor que n es l.d. 2. Si W es subespacio de V , entonces dim (W ) ≤ n. 3. Si W es subespacio de V y dim (W ) = n, entonces V = W . 32

Espacios Vectoriales Teorema de Grassmann Sea V un K-espacio vectorial de dimensión finita, y sean U , W subespacios de V . Entonces: dim (U + W ) = dim (U ) + dim (W ) − dim (U ∩ W ) Proposición (Suma directa de varios Subespacios) Sea V un K-espacio vectorial, y sean U1 , U2 , . . . Un subespacios de V . L L L Entonces V = U1 U2 · · · Un ⇔ (1)

V = U1 + · · · + Un

(2)

La escritura de θ es única en la suma U1 + · · · + Un . ( θ = |θ + ·{z · · + θ} ) n

33

Espacios Vectoriales Proposición Sea V un K-espacio vectorial de dimensión finita, y sean U1 , U2 , . . . Un subespacios de V, tal que: • V = U1 + · · · + Un • dim (V ) = dim (U1 ) + · · · + dim (Un ) Entonces Proposición

V = U1

L

U2

L

···

L

Un

Sea V un K-espacio vectorial de dimensión finita, y sea U un subespacio de V . Entonces existe un subespacio W de V tal que V = U

M

W 34

Espacios Vectoriales Coordenadas Dada una base β = {v1 , . . . , vn } de un K-espacio vectorial V , la escritura única de cada v ∈ V como c.l. de los vectores de β, esto es v = α1 · v1 + · · · + αn · vn , establece la identificación, vía la base β: v∈V

←→

[v]β = [α1 , . . . , αn ] ∈ Kn

En tal caso, se dice que [v]β es el vector coordenada de v en la base β.

35

Espacios Vectoriales Ejemplo En el espacio vectorial M2 (R) considere los siguientes subespacios vectoriales de dimensión dos:     D 1 1 1 −1  E  ,  S =  1 1 0 1  T

    D 1 0 1 3 E  ,  = .  0 1  2 1

Caracterice T . Encuentre una base para S + T . ¿Es S ⊕ T ?

36

Espacios Vectoriales Solución       a b a b 1      ∈ M2 (R) : ∃α, β ∈ R, =α T =  c d c d 0

 0 1 3  +β  1 2 1  



De aquí se obtiene el sistema, con incógnitas α y β, que matricialmente lleva a: 

1   0    0  1

1 | a 3 | 2 | 1 |



 b   f4 − f1  ∼ c   d



1 1   0 3    0 2  0 0

|

a

|

b

|

c

| d−a



  f − 2f  3 3 2   ∼ 



1 1   0 3    0 0  0 0

|

a



  | b   2  | c − 3b  | d−a 37

Espacios Vectoriales Luego la caracterización de T queda:      a b 2  ∈ M2 (R) : d − a = 0 ∧ c − b = 0 . T =    c d 3

Por otro lado,  D 1  S+T =  1

 1 1 −1 1 0 1 3 E , , ,  1 0 1 0 1 2 1   

 

 

Veamos si el conjunto l.i. 

a

1

1

1

1





 + b

1

−1

0

1





 +c

1 0 0 1





 +d

1 3 2 1





=

0 0 0 0

 

38

Espacios Vectoriales



⇒

a+b+c+d

a − b + 3d

a + 2d

a+b+c+d

a + b + ⇒

a + b + 

1

1 1 1

  1 −1 0 3    1 0 0 2  1 1 1 1





1

1



=

c +

d

=0

3d

=0

+ 2d

=0

a − b + a



c +

1 1

d 

0 0 0 0

 

=0 

1

      0 −2 −1 2   0     ∼ ∼   0 −1 −1 1   0     0 0 0 0 0

1

1 1



 −2 −1 2    0 −1/2 0   0 0 0

39

Espacios Vectoriales

Así c = 0, b = d, a = −2d, por lo cual el rango de la matriz es 3 y como d es la variable dependiente, la base queda        1 1 1 −1 1 0   , ,  .  1 1 0 1 0 1 

Notemos que de lo anterior

dim(S + T ) = 3

y por teorema

dim(S ∩ T ) = −dim(S + T ) + dim(S) + dim(T ) = 1.

Finalmente, S ∩ T 6= {θ} y la suma no es directa.

40