Algebra Lineal XIII: Operaciones con Transformaciones Lineales. Jos´e Mar´ıa Rico Mart´ınez Departamento de Ingenier´ıa Mec´anica Facultad de Ingenier´ıa Mec´anica El´ectrica y Electr´onica Universidad de Guanajuato email: [email protected]

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Operaciones con Transformaciones Lineales.

En estas notas definiremos diferentes operaciones que se pueden realizar con transformaciones lineales. Definici´ on de suma de transformacionales lineales. Sean S y T dos transformaciones lineales de un espacio vectorial V sobre otro espacio vectorial V′ , ambos definidos sobre un campo K. La suma S + T de las transformaciones lineales se define como S + T : V → V′

(S + T )(~v ) ≡ S(~v ) + T (~v )

∀~v ∈ V.

Teorema. La suma de transformaciones lineales S+T : V → V′ es tambi´en una transformaci´on lineal. ´ Prueba: Como ya se indic´ o, en las notas Algebra Lineal X, es necesario probar que la transformaci´on es aditiva y homog´enea. Sean ~v1 , ~v2 ∈ V dos vectores arbitrarios y sea λ ∈ K tambi´en arbitrario. Entonces 1. Aditiva (S + T )(~v1 + ~v2 )

= =

S(~v1 + ~v2 ) + T (~v1 + ~v2 ) = S(~v1 ) + S(~v2 ) + T (~v1 ) + T (~v2 ) S(~v1 ) + T (~v1 ) + S(~v2 ) + T (~v2 ) = [S(~v1 ) + T (~v1 )] + [S(~v2 ) + T (~v2 )]

=

(S + T )(~v1 ) + (S + T )(~v2 )

2. Homog´enea (S + T )(λ~v1 )

= S(λ~v1 ) + T (λ~v1 ) = λS(~v1 ) + λT (~v1 ) = λ[S(~v1 ) + T (~v1 )] = λ(S + T )(~v1 )

Es importante notar que este resultado prueba que el conjunto de transformaciones lineales de un espacio vectorial V a otro espacio vectorial V′ est´ a cerrada bajo la operaci´ on de suma. Definici´ on de multiplicaci´ on por escalar de transformacionales lineales. Sea S una transformaci´on lineal de un espacio vectorial V sobre otro espacio vectorial V′ , ambos definidos sobre un campo K. La multiplicaci´ on por un escalar λ ∈ K de la transformaci´on lineal S, denotada por λS se define como λS : V → V′ (λS)(~v ) ≡ λ [S(~v )] ∀~v ∈ V. Teorema. La multiplicaci´ on por escalar de una transformaci´on lineal λS : V → V′ es tambi´en una transformaci´on lineal. ´ Prueba: Como ya se indic´ o, en las notas Algebra Lineal X, es necesario probar que la transformaci´on es aditiva y homog´enea. Sean ~v1 , ~v2 ∈ V dos vectores arbitrarios y sea µ ∈ K tambi´en arbitrario. Entonces 1

1. Aditiva (λS)(~v1 + ~v2 ) = λ[S(~v1 + ~v2 )] = λ[S(~v1 ) + S(~v2 )] = λ[S(~v1 )] + λ[S(~v2 )] = (λS)(~v1 ) + (λS)(~v2 ). 2. Homog´enea (λS)(µ~v1 )

=

λ[S(µ~v1 )] = λ[µS(~v1 )] = λµ[S(~v1 )] = µλ[S(~v1 )] = µ[λS(~v1 )] = µ[(λS)(~v1 )]

Es importante notar que este resultado prueba que el conjunto de transformaciones lineales de un espacio vectorial V a otro espacio vectorial V′ est´ a cerrada bajo la operaci´ on de multiplicaci´ on por escalar. Teorema. El conjunto de todas las transformaciones lineales de un espacio vectorial V sobre otro espacio vectorial V′ ambos definidos sobre un campo K, junto con las operaciones de adici´on y multiplicaci´ on por escalar, definidas en estas notas, constituye un espacio vectorial sobre el mismo campo K. Prueba: De ahora en adelante el conjunto de todas las transformaciones lineales de un espacio vectorial V sobre otro espacio vectorial V′ se denotar´a como L : V → V′ . Es necesario probar que L : V → V′ satisface los axiomas de un espacio vectorial, donde ya se probaron las clausuras respecto a la adici´on y la multiplicaci´ on por escalar. A continuaci´ on se probar´ a el resto de los axiomas. Sean R, S, T : V → V′ transformaciones lineales del espacio vectorial V al espacio vectorial y sean λ, µ ∈ K. Adem´ as, suponga que ~v ∈ V es arbitrario 1. Asociatividad de la suma, se necesita probar que R + (S + T ) = (R + S) + T , por lo tanto [R + (S + T )] (~v )

= =

R(~v ) + (S + T )(~v ) = R(~v ) + [S(~v ) + T (~v )] = [R(~v ) + S(~v )] + T (~v ) [(R + S)(~v )] + T (~v ) = [(R + S) + T ] ~v

2. Conmutatividad de la suma, se necesita probar que R + S = S + R, por lo tanto [R + S] (~v )

=

R(~v ) + S(~v ) = S(~v ) + R(~v ) = [S + R] (~v )

3. Existencia de un id´ entico aditivo. Existe la transformaci´on lineal Z : V → V′ definida como Z(~v ) = ~0 ∀~v ∈ V con la propiedad que, para todo S : V → V′ , satisface la condici´ on S + Z = S = Z + S (S + Z)~v = S~v + Z~v = S~v + ~0 = S~v

∀~v ∈ V

4. Existencia de un inverso aditivo. Para todo S : V → V′ existe −S : V → V′ , definida como (−S)(~v ) = −S(~v )

∀~v ∈ V

Esta transformaci´on lineal, satisface la condici´ on S + (−S) = Z = (−S) + S [S + (−S)] (~v ) = S(~v ) + (−S)(~v ) = S(~v ) − S(~v ) = ~0 ∀~v ∈ V Con lo que queda probado el axioma. 5. Propiedad Distributiva de la Suma de Transformaciones Lineales Respecto a la Multiplicaci´ on por Escalar, se necesita probar que λ(R + S) = λ S + λ R, por lo tanto [λ(R + S)] (~v )

= =

λ [(R + S)(~v )] = λ [R(~v ) + S(~v )] = λ R(~v ) + λ S(~v ) = (λ R)(~v ) + (λ S)(~v ) [λ R + λ S] (~v ) ∀~v ∈ V 2

6. Propiedad Distributiva de la Suma de Escalares Respecto a la Multiplicaci´ on por Escalar, se necesita probar que (λ + µ)R = λ R + µ R, por lo tanto [(λ + µ)R] (~v )

=

(λ + µ) R(~v ) = λ R(~v ) + µ R(~v ) = (λ R)(~v ) + (µ R)(~v ) = (λ R + µ R)(~v )

∀~v ∈ V

7. Propiedad Pseudoasociativa, se necesita probar que (λ µ)R = λ(µ R), por lo tanto [(λ µ)R] (~v )

=

(λ µ) R(~v ) = λ [µ R(~v )] = λ (µ R) (~v )

∀~v ∈ V

8. Propiedad del id´ entico multiplicativo del campo. Sea 1 ∈ k el id´entico multiplicativo del campo, entonces, se tiene que para todo S : V → V′ , se tiene que probar que 1 S = S (1 S) ~v = 1 [S(~v )] = S(~v )

∀~v ∈ V

Con esto queda probado que L : V → V′ constituye un espacio vectorial sobre el campo K.

Figure 1: Representaci´ on Gr´ afica de la Composici´on de Transformaciones Lineales. Definici´ on de Composici´ on de Transformaciones Lineales. Sean S : V → V′ y T : V′ → V′′ dos transformaciones lineales. El producto o composici´on de transformaciones lineales, T S, es el mapeo T S : V → V′′

(T S)(~v ) = T [S(~v )]

∀~v ∈ V.

La figura 1 provee de una representaci´ on gr´ afica de la composici´on o producto de transformaciones lineales. Note que, en general, el producto ST no est´ a definido. Teorema. El producto T S de dos transformaciones lineales S : V → V′ y T : V′ → V′′ es una transformaci´on lineal de V → V′′ . Prueba: En primer lugar debe notarse que el dominio de la transformaci´on lineal T S es efectivamente V y el rango est´ a contenido en V′′ . Considere dos vectores ~v1 , ~v2 ∈ V y λ ∈ K. Entonces (T S)(~v1 + ~v2 )

=

T [S(~v1 + ~v2 )] = T [S(~v1 )] + T [S(~v2 )] = (T S)(~v1 ) + (T S)(~v2 ).

Por lo tanto, la transformaci´on T S es aditiva. Similarmente (T S)(λ~v1 ) = T [S(λ~v1 )] = T [λS(~v1 )] = λT [S(~v1 )] = λ(T S)(~v1 ). Por lo tanto, la transformaci´on T S es homog´enea y es una transformaci´on lineal. Teorema. Suponga que las transformaciones lineales R, S y T tienen caracter´ısticas tales que en cada uno de los casos la composici´on o producto de transformaciones lineales est´ a bien definido y λ es un elemento del campo sobre el cual est´ an definidos los espacios vectoriales asociados a las transformaciones lineales. Entonces 3

1. El producto es asociativo R(ST ) = (RS)T. ′′

′′′

Prueba. Suponga que R : V → V , S : V′ → V′′ y T : V → V′ . Entonces, para todo ~v ∈ V, se tiene que [R (ST )] (~v ) = R [(ST ) (~v )] = R {S [T (~v )]} = (RS) [T (~v )] = [(RS) T ] (~v ) 2. El producto es distributivo respecto a la adici´on (R + S)T = RT + ST

R(S + T ) = RS + RT.

Prueba. Para la primera parte suponga que R : V′ → V′′ , S : V′ → V′′ y T : V → V′ Entonces, para todo ~v ∈ V, se tiene que [(R + S) T ] (~v ) = (R + S) [T (~v )] = {R [T (~v )]} + {S [T (~v )]} = (RT ) (~v ) + (ST ) (~v ) = (RT + ST ) (~v ) Para la segunda parte, las transformaciones deben definirse de manera diferente, pero el procedimiento permanece sin cambio. 3. El producto conmuta con respecto a la multiplicaci´ on por escalar λ(ST ) = (λS)T = S(λT ). Prueba. Suponga que S : V′ → V′′ y T : V → V′ Entonces, para todo ~v ∈ V, se tiene que [λ (ST )] (~v )

= λ [(ST )] (~v ) = λ [S (T (~v ))] = λ [S (T (~v ))]

[(λS)T ] (~v ) [S(λT )] (~v )

= (λS) [T (~v )] = λ {S [T (~v )]} = λ [S (T (~v ))] = S [(λT )(~v )] = {S [λ (T (~v ))]} = λ {S [(T (~v ))]} = λ [S (T (~v ))]

4. Si S : V → V′ e IV es el mapeo identidad sobre V e IV ′ , es el mapeo identidad sobre V′ entonces S = IV ′ S = SIV . Prueba. Suponga que S : V → V′ , IV : V → V y IV′ : V′ → V′ . Entonces, para todo ~v ∈ V, se tiene que

2

[SIV ] (~v )

=

{S [IV (~v )]} = [S(~v )] = S(~v )

[IV ′ S] (~v )

=

{IV ′ [S(~v )]} = [S(~v )] = S(~v )

Problemas Propuestos.

Problema 1. Sean T1 : R2 → R3 y T2 : R3 → R2 transformaciones lineales cuyas reglas de correspondencia est´ an dadas por T1 : R 2 → R 3

T1 (x, y) = (−x + 2y, x + y, x − y)

y T2 : R 3 → R 2

T2 (x, y, z) = (x − 3y, z + 3x)

Determine la regla de correspondencia de T2 · T1 : R 2 → R 2

y 4

T1 · T2 : R 3 → R 3

Soluci´ on. Para la transformaci´on T2 · T1 , se tiene que (T2 · T1 )(x, y)

=

T2 [T1 (x, y)] = T2 (−x + 2y, x + y, x − y) = [(−x + 2y) − 3(x + y), (x − y) + 3(−x + 2y)]

=

(−4x − y, −2x + 5y)

Para la transformaci´on T1 · T2 , se tiene que (T1 · T2 )(x, y, z)

=

T1 [T2 (x, y, z)] = T1 (x − 3y, z + 3x)

= =

[−(x − 3y) + 2(z + 3x), (x − 3y) + (z + 3x), (x − 3y) − (z + 3x)] (5x + 3y + 2z, 4x − 3y + z, −2x − 3y − z)

Este resultado ilustra adem´ as que la composici´on de transformaciones lineales no es conmutativa.

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Ejercicios.

Problema 1. Sea V = R2 y considere las transformaciones S:V→V

S(x, y) = (y, x)

y

T :V→V

T (x, y) = (−x, y)

Pruebe que S y T son transformaciones lineales y pruebe que ST 6= T S. Este contraejemplo muestra que, en general, la composici´ on o producto de transformaciones lineales no es conmutativa. Problema 2. Sean S y T las transformaciones definidas abajo. Determine la regla de correspondencia de un elemento arbitrario bajo las transformaciones S + T , ST , y T S si es que est´ an definidas. 1. T (x, y) = (x, −y, x + y) 2. T (x, y) = (−y, x)

S(x, y, z) = (x + y, x − z).

S(x, y) = (y, x).

3. T (x, y, z) = x + y + z

S(x) = (x, x, x).

Problema 3. Sean S y T transformaciones lineales del espacio de todos los polinomios de grado menor o igual a un valor apropiado. Considere p(x) = a0 + a1 x + a2 x2 , y determine la imagen de p(x) respecto a las transformaciones lineales ST y T S 1. S[p(x)] = p(x + 1), T [p(x)] =

dp dx

2. S[p(x)] = p(x + 1), T [p(x)] = p(0)

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