PROBLEMAS RESUELTOS ÁLGEBRA LINEAL

Tema 3. Transformaciones Lineales

SUBTEMA: MATRICES ASOCIADAS A UNA TRANSFORMACIÓN Problema 1: Sean P≤ 2 y P≤3 los espacios vectoriales de lo polinomios de grado menor o igual a dos y menor o igual a tres, respectivamente, y sea T : P≤ 2 → P≤3 la transformación definida por: T ( p ( x)) = x ⋅ p( x)

(a) Determinar la matriz asociada con T . (b) Obtener la matriz asociada con T y referida a las bases:

A : {1 − x 2 ,1 + 3x + 2 x 2 ,5 + 4 x + 4 x 2 } y B : {1, x, x 2 , x3 }

(c) Con las matrices de los incisos anteriores calcular la imagen del vector v = 1 + 5 x − x 2 . SOLUCIÓN: (a) • Para obtener la matriz asociada con T , M (T ) , se calculan las imágenes de la base

{

}

canónica del dominio P≤ 2 = a + bx + cx 2 a, b, c ∈ R . • Imágenes de Bcanonica de P≤ 2 = {1, x, x 2 } : T (1) = x T ( x) = x 2 T ( x 2 ) = x3

• Las imágenes anteriores escritas como columnas (aplicando isomorfismo) son las columnas de la matriz buscada: ⎡0 ⎢1 M (T ) = ⎢ ⎢0 ⎢ ⎣0

(b)

0 0 1 0

0⎤ 0 ⎥⎥ 0⎥ ⎥ 1⎦

Matriz asociada con T

• La imagen del vector v = 1 + 5 x − x 2 se determina con la expresión T (v) = M (T ) ⋅ v , es decir, multiplicando:

DIVISIÓN: CIENCIAS BÁSICAS FACULTAD DE INGENIERÍA, UNAM

1 de 7

COORDINACIÓN: MATEMÁTICAS

Profra. Norma Patricia López Acosta

PROBLEMAS RESUELTOS ÁLGEBRA LINEAL

Tema 3. Transformaciones Lineales ⎡0 ⎢1 T (v) = M (T ) ⋅ v = ⎢ ⎢0 ⎢ ⎣0

(c)

0⎤ ⎡0⎤ ⎡1⎤ ⎢ ⎥ ⎥ 0⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 1 ⎥ 5 = ⇒ T (1 + 5 x − x 2 ) = x + 5 x 2 − x3 0⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 5 ⎥ ⎥ ⎢ −1⎥ ⎢ ⎥ 1 ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ −1⎦

0 0 1 0

Imagen pedida (obtenida con M (T ) )

• Para determinar la matriz asociada con T y referida a las bases A y B , se calculan primero las imágenes de los vectores de la base A : T (1 − x 2 ) = x − x3 = T (a1 ) T (1 + 3 x + 2 x 2 ) = x + 3 x 2 + 2 x 3 = T (a2 ) T (5 + 4 x + 4 x 2 ) = 5 x + 4 x 2 + 4 x3 = T (a3 )

• Se escriben a las imágenes anteriores como combinación lineal de los vectores de la base B , es decir: T (a1 ) = x − x 3 = α1 (1) + α 2 ( x) + α 3 ( x 2 ) + α 4 ( x 3 )

Igualando términos: - α1 = 0 ;

α2 x = x α2 = 1

α3 x = 0 x 2

;

α4 x = −x

2

α3 = 0

3

;

⎡0⎤ ⎢1⎥ ⎡T (a1 ) ⎤ = ⎢ ⎥ ⎣ ⎦B ⎢ 0 ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ −1⎦

3

α 4 = −1

T (a2 ) = x + 3 x 2 + 2 x 3 = β1 + β 2 x + β 3 x 2 + β 4 x 3

Igualando términos: β1 = 0 ;

β2 x = x β2 = 1

β3 x = 3x 2

;

2

β3 = 3

β4 x = 2x 3

;

3

β4 = 2

⎡0⎤ ⎢1 ⎥ ⎡T (a2 ) ⎤ = ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ B ⎢ 3⎥ ⎢ ⎥ ⎣ 2⎦

T (a3 ) = 5 x + 4 x 2 + 4 x 3 = γ 1 + γ 2 x + γ 3 x 2 + γ 4 x 3

Igualando términos: γ 1 = 0 ;

DIVISIÓN: CIENCIAS BÁSICAS FACULTAD DE INGENIERÍA, UNAM

γ 2 x = 5x γ2 = 5

γ 3x = 4x 2

;

γ3 = 4

2 de 7

2

γ 4 x = 4x 3

;

γ4 = 4

3

⎡0⎤ ⎢5⎥ ⎡T (a3 ) ⎤ = ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ B ⎢4⎥ ⎢ ⎥ ⎣4⎦

COORDINACIÓN: MATEMÁTICAS

Profra. Norma Patricia López Acosta

PROBLEMAS RESUELTOS ÁLGEBRA LINEAL

Tema 3. Transformaciones Lineales ⎡0 ⎢1 A • Finalmente la matriz buscada es: M B (T ) = ⎢ ⎢0 ⎢ ⎣ −1

(d)

0 0⎤ 1 5 ⎥⎥ 3 4⎥ ⎥ 2 4⎦

Matriz asociada con T y referida a las bases A y B

• La imagen del vector v = 1 + 5 x − x 2 se obtiene con la expresión: ⎡T (v) ⎤ = M BA (T ) ⋅ (v) A ⎣ ⎦B

• Escribiendo a v = 1 + 5 x − x 2 como combinación lineal de la base A = {1 − x 2 ,1 + 3x + 2 x 2 ,5 + 4 x + 4 x 2 } , se tiene: v = α(1 − x 2 ) + β(1 + 3x + 2 x 2 ) + γ (5 + 4 x + 4 x 2 ) 1 + 5 x − x 2 = (α + β + 5γ ) + (3β + 4λ ) x + (−α + 2β + 4γ ) x 2

• Igualando términos:

α + β + 5γ = 1 3β + 4γ = 5 −α + 2β + 4 γ = −1

• Resolviendo el sistema de ecuaciones anterior matricialmente: ⎛ 1 1 5 1 ⎞ (1) ⎛ 1 1 5 1 ⎞ ⎛1 1 5 1 ⎞ ⎛1 1 5 1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ∼ ⎜0 3 4 5 ⎟ ⎜ 0 3 4 5 ⎟ ∼ ⎜ 0 3 4 5 ⎟ (−1) ∼ ⎜ 0 3 4 5 ⎟ ⎜ −1 2 4 − 1 ⎟ ⎜ 0 3 9 0⎟ ⎜ 0 0 5 −5 ⎟ (1/ 5) ⎜ 0 0 1 −1⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

• Se llega a: 5 − 4 γ 5 − 4(−1) α = 1 − β − 5γ α + β + 5γ = 1 β= = 3 3 3β + 4γ = 5 ; donde: y α = 1 − 3 − 5(−1) β=3 α=3 γ = −1

(v)

A

⎡3⎤ = ⎢⎢ 3 ⎥⎥ ⎢⎣ −1⎥⎦

• Realizando la multiplicación:

DIVISIÓN: CIENCIAS BÁSICAS FACULTAD DE INGENIERÍA, UNAM

3 de 7

COORDINACIÓN: MATEMÁTICAS

Profra. Norma Patricia López Acosta

PROBLEMAS RESUELTOS ÁLGEBRA LINEAL

Tema 3. Transformaciones Lineales ⎡0 ⎢1 ⎡T (v) ⎤ = ⎢ ⎣ ⎦B ⎢ 0 ⎢ ⎣ −1

0 1 3 2

0⎤ 0 ⎡ ⎤ ⎡3⎤ ⎢ ⎥ 5 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 3 + 3 − 5 ⎥⎥ = 3 = 4⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 9 − 4 ⎥ ⎥ ⎢ −1⎥ ⎢ ⎥ 4 ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ −3 + 6 − 4 ⎦

⎡0⎤ ⎢1⎥ ⎢ ⎥ ⎢5⎥ ⎢ ⎥ ⎣ −1⎦

Vector de coordenadas de T (v) en la base B

• Escribiendo a T (v) como combinación lineal de la base B = {1, x, x 2 , x3 } : T (v) = α + βx + γx 2 + δx 3 = (0)(1) + (1)( x) + (5)( x 2 ) + (−1)( x 3 )

• Se obtiene finalmente, la imagen pedida: T (1 + 5 x − x 2 ) = x + 5 x 2 − x 3

Imagen del vector v pedida (obtenida con M BA (T ) )

Problema 2: Sea H : R 2 → R 2 la transformación lineal cuya matriz asociada es ⎡ −1 2 ⎤ M AA ( H ) = ⎢ ⎥ , y donde A = {(−1, 0), (0, 2)} . Determinar: ⎣ −2 3 ⎦ (a) La regla de correspondencia de la transformación H . (b) La imagen del vector u = (−1,3) utilizando la matriz M AA ( H ) . SOLUCIÓN: (a)

• A partir de la expresión ⎡⎣ H (v) ⎤⎦ = M AA ( H ) ⋅ (v) A puede determinarse la regla de A

correspondencia de H , de la siguiente manera: • Se propone al vector v = ( x, y ) ∈ R 2 . • Se escribe a v como combinación lineal de la base A: v = α(−1, 0) + β(0, 2) = (−α, 2β) ( x, y ) = (−α, 2β)

DIVISIÓN: CIENCIAS BÁSICAS FACULTAD DE INGENIERÍA, UNAM

4 de 7

COORDINACIÓN: MATEMÁTICAS

Profra. Norma Patricia López Acosta

PROBLEMAS RESUELTOS ÁLGEBRA LINEAL

Tema 3. Transformaciones Lineales • Igualando términos: α = − x

β = 12 y →

(v)

A

⎡−x⎤ = ⎢1 ⎥ ⎣ 2 y⎦

Vector de coordenadas de v en la base A

• Multiplicando: −1 2 ⎤ ⎡ − x ⎤ ⎡ H v ⎤ = ⎡⎢ = ⎣ ⎦ A ⎣ −2 3 ⎦⎥ ⎣⎢ 12 y ⎦⎥

()

⎡ x+ y ⎤ ⎡ = H v ⎤ ⎢ 3 ⎥ ⎦A ⎣2x + 2 y ⎦ ⎣

()

Vector de coordenadas de H v en la base A

()

• Escribiendo a H ( v ) como combinación lineal de la base A :

()

H v = γ (−1, 0) + δ ( 0, 2 ) = ( x + y )(−1, 0) + (2 x + 32 y )(0, 2) = (− x − y, 4 x + 3 y )

• Se llega finalmente a: H ( x, y ) = ( − x − y , 4 x + 3 y )

(b)

Regla de correspondencia de H

• La imagen de u se determina con la misma expresión ⎡⎣ H (u ) ⎤⎦ = M AA ( H ) ⋅ (u ) A . A

• Se escribe a u como combinación lineal de la base A : u = α ( −1, 0 ) + β(0, 2) (−1,3) = (−α, 2β)

• Igualando términos: α = 1

β = 32

→

(u )

A

⎡1⎤ =⎢ ⎥ ⎣32⎦

Vector de coordenadas de u en la base A

• Multiplicando: −1 2 ⎤ ⎡ 1 ⎤ ⎡ − 1 + 3 ⎤ ⎡ 2 ⎤ ⎡ H u ⎤ = ⎡⎢ = = = ⎡H u ⎤ ⎣ ⎦ A ⎣ −2 3 ⎥⎦ ⎢⎣ 3 2 ⎥⎦ ⎢⎣ −2 + 9 2 ⎥⎦ ⎢⎣ 5 2 ⎥⎦ ⎣ ⎦A

()

()

Vector de coordenadas de H ( u ) en la base A

• Escribiendo a H ( u ) como combinación lineal de la base A :

DIVISIÓN: CIENCIAS BÁSICAS FACULTAD DE INGENIERÍA, UNAM

5 de 7

COORDINACIÓN: MATEMÁTICAS

Profra. Norma Patricia López Acosta

PROBLEMAS RESUELTOS ÁLGEBRA LINEAL

Tema 3. Transformaciones Lineales

()

H u = γ ( −1, 0 ) + δ ( 0, 2 ) = (2)(−1, 0) + ( 5 2 )(0, 2) = (−2, 0) + (0,5) = (−2,5)

• Se obtiene finalmente:

()

H u = (−2,5)

Imagen del vector u

Problema 3: Sea la transformación lineal S : R 2 → R 3 , cuya matriz asociada es M

A B

B =

⎡1 1 ⎤ = ⎢⎢0 1⎥⎥ , ⎢⎣1 0 ⎥⎦

referida

a

las

bases

A =

{(1,1) , ( 0, −1)}

del

dominio

y

{(1, 0,1) , ( 0,1,1) , (1,1, 0 )} del codominio. Determinar la regla de correspondencia de

la transformación S. SOLUCIÓN: • Para determinar la regla de correspondencia se utiliza la expresión: M BA (S) ⋅ (v )A = [T(v )]B

• Se propone al vector v =

( x,y ) ∈ R 2 .

• Se escribe a v como combinación lineal de la base A: v = α1 a1 + α 2 a 2 . • Sustituyendo e igualando términos se obtiene:

( x, y )

= α1 (1,1) + α 2 ( 0,-1) = ∴ α1 = x

(v)

A

=

( α1 , α 2 )

T

( α1 ,α1 − α 2 )

α 2 = x-y ⎡ x ⎤

= ⎢ ⎥ ⎣x − y⎦

Vector de coordenadas de v en la base A

• Realizando la multiplicación M BA (S) (v )A = [S (v )]B , se obtiene el vector de

()

coordenadas de S v en la base B:

DIVISIÓN: CIENCIAS BÁSICAS FACULTAD DE INGENIERÍA, UNAM

6 de 7

COORDINACIÓN: MATEMÁTICAS

Profra. Norma Patricia López Acosta

PROBLEMAS RESUELTOS ÁLGEBRA LINEAL

Tema 3. Transformaciones Lineales ⎡β1 ⎤ ⎡1 1 ⎤ ⎡ x + x-y ⎤ ⎡ 2x-y ⎤ x ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎡ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎤ ⎢0 1⎥ ⋅ ⎢ x-y ⎥ = ⎢0 + x-y ⎥ = ⎢ x-y ⎥ = ⎢β1 ⎥ = ⎣ S v ⎦ B ⎢⎣β1 ⎥⎦ ⎢⎣0 1⎥⎦ ⎣ ⎦ ⎢⎣ x + 0 ⎥⎦ ⎢⎣ x ⎥⎦

()

()

• Escribiendo a S v como combinación lineal de v :

()

S v

= β1 b1 + β2 b2 + β3 b3

• Sustituyendo valores:

( ) ( 2x-y )(1,0,1) + ( x − y )( 0,1,1) + x (1,1,0 ) S ( v ) = ( 2x-y,x-y + x,2x-y + x-y ) = ( 3x-y,2x-y,3x-2y ) S v =

• Se llega finalmente a:

S ( x, y ) = ( 3x − y,2x − y,3x − 2 y )

DIVISIÓN: CIENCIAS BÁSICAS FACULTAD DE INGENIERÍA, UNAM

7 de 7

Regla de correspondencia pedida

COORDINACIÓN: MATEMÁTICAS

Profra. Norma Patricia López Acosta