Semana 8 [1/62]

Transformaciones lineales

8 de septiembre de 2007

Transformaciones lineales

Semana 8 [2/62]

Definiciones básicas

Definición

Transformación lineal

K

U, V dos espacios vectoriales sobre el mismo cuerpo . T : U → V es una transformación (o función) lineal si y sólo si satisface: 1. ∀u1, u2 ∈ U, T (u1 + u2 ) = T (u1) + T (u2 ) 2. ∀u ∈ U, λ ∈ K , T (λu) = λT (u)

La propiedad (1) establece un homomorfismo entre los grupos (U, +) y (V , +).

Transformaciones lineales

Semana 8 [3/62]

Definiciones básicas

Definición

Transformación lineal

K

U, V dos espacios vectoriales sobre el mismo cuerpo . T : U → V es una transformación (o función) lineal si y sólo si satisface: 1. ∀u1, u2 ∈ U, T (u1 + u2 ) = T (u1) + T (u2 ) 2. ∀u ∈ U, λ ∈ K , T (λu) = λT (u)

La propiedad (1) establece un homomorfismo entre los grupos (U, +) y (V , +).

Transformaciones lineales

Semana 8 [4/62]

Definiciones básicas

Definición

Transformación lineal

K

U, V dos espacios vectoriales sobre el mismo cuerpo . T : U → V es una transformación (o función) lineal si y sólo si satisface: 1. ∀u1, u2 ∈ U, T (u1 + u2 ) = T (u1) + T (u2 ) 2. ∀u ∈ U, λ ∈ K , T (λu) = λT (u)

La propiedad (1) establece un homomorfismo entre los grupos (U, +) y (V , +).

Transformaciones lineales

Semana 8 [5/62]

Definiciones básicas

Definición

Transformación lineal

K

U, V dos espacios vectoriales sobre el mismo cuerpo . T : U → V es una transformación (o función) lineal si y sólo si satisface: 1. ∀u1, u2 ∈ U, T (u1 + u2 ) = T (u1) + T (u2 ) 2. ∀u ∈ U, λ ∈ K , T (λu) = λT (u)

La propiedad (1) establece un homomorfismo entre los grupos (U, +) y (V , +).

Transformaciones lineales

Semana 8 [6/62]

Definiciones básicas

Ejemplos

Rn → Rm, X → AX , es lineal. El caso particular, f : R → R, x → ax, a ∈ R es lineal. f : R → R, x → x 2, no es lineal. f : P3 (R) → R4, p(x) = a0 + a1x + a2x 2 + a3x 3 → f (p) = (a0 , a1, a2 , a3), es Cualquier función T :

lineal.

RR

Fd ( , ) el conjunto de las funciones reales derivables.

RR

RR

T : Fd ( , ) → F( , ) df (x) f → T (f ) = dx es lineal.

Transformaciones lineales

Semana 8 [7/62]

Definiciones básicas

Ejemplos

Rn → Rm, X → AX , es lineal. El caso particular, f : R → R, x → ax, a ∈ R es lineal. f : R → R, x → x 2, no es lineal. f : P3 (R) → R4, p(x) = a0 + a1x + a2x 2 + a3x 3 → f (p) = (a0 , a1, a2 , a3), es Cualquier función T :

lineal.

RR

Fd ( , ) el conjunto de las funciones reales derivables.

RR

RR

T : Fd ( , ) → F( , ) df (x) f → T (f ) = dx es lineal.

Transformaciones lineales

Semana 8 [8/62]

Definiciones básicas

Ejemplos

Rn → Rm, X → AX , es lineal. El caso particular, f : R → R, x → ax, a ∈ R es lineal. f : R → R, x → x 2, no es lineal. f : P3 (R) → R4, p(x) = a0 + a1x + a2x 2 + a3x 3 → f (p) = (a0 , a1, a2 , a3), es Cualquier función T :

lineal.

RR

Fd ( , ) el conjunto de las funciones reales derivables.

RR

RR

T : Fd ( , ) → F( , ) df (x) f → T (f ) = dx es lineal.

Transformaciones lineales

Semana 8 [9/62]

Definiciones básicas

Ejemplos

Rn → Rm, X → AX , es lineal. El caso particular, f : R → R, x → ax, a ∈ R es lineal. f : R → R, x → x 2, no es lineal. f : P3 (R) → R4, p(x) = a0 + a1x + a2x 2 + a3x 3 → f (p) = (a0 , a1, a2 , a3), es Cualquier función T :

lineal.

RR

Fd ( , ) el conjunto de las funciones reales derivables.

RR

RR

T : Fd ( , ) → F( , ) df (x) f → T (f ) = dx es lineal.

Transformaciones lineales

Semana 8 [10/62]

Definiciones básicas

Ejemplos

Rn → Rm, X → AX , es lineal. El caso particular, f : R → R, x → ax, a ∈ R es lineal. f : R → R, x → x 2, no es lineal. f : P3 (R) → R4, p(x) = a0 + a1x + a2x 2 + a3x 3 → f (p) = (a0 , a1, a2 , a3), es Cualquier función T :

lineal.

RR

Fd ( , ) el conjunto de las funciones reales derivables.

RR

RR

T : Fd ( , ) → F( , ) df (x) f → T (f ) = dx es lineal.

Transformaciones lineales

Semana 8 [11/62]

Definiciones básicas

Ejemplos

Rn → Rm, X → AX , es lineal. El caso particular, f : R → R, x → ax, a ∈ R es lineal. f : R → R, x → x 2, no es lineal. f : P3 (R) → R4, p(x) = a0 + a1x + a2x 2 + a3x 3 → f (p) = (a0 , a1, a2 , a3), es Cualquier función T :

lineal.

RR

Fd ( , ) el conjunto de las funciones reales derivables.

RR

RR

T : Fd ( , ) → F( , ) df (x) f → T (f ) = dx es lineal.

Transformaciones lineales

Semana 8 [12/62]

Definiciones básicas

Ejemplos

Sea V e.v sobre

K, V = V1 ⊕ V2 y sean: P1 : V → V1 ,

v = v1 + v2 → P1 (v ) = v1

P2 : V → V2 v = v1 + v2 → P2 (v ) = v2.

Ambas son lineales y: Pi : Proyección de V sobre Vi

Transformaciones lineales

Semana 8 [13/62]

Definiciones básicas

Ejemplos

Sea V e.v sobre

K, V = V1 ⊕ V2 y sean: P1 : V → V1 ,

v = v1 + v2 → P1 (v ) = v1

P2 : V → V2 v = v1 + v2 → P2 (v ) = v2.

Ambas son lineales y: Pi : Proyección de V sobre Vi

Transformaciones lineales

Semana 8 [14/62]

Definiciones básicas

Ejemplos

Sea V e.v sobre

K, V = V1 ⊕ V2 y sean: P1 : V → V1 ,

v = v1 + v2 → P1 (v ) = v1

P2 : V → V2 v = v1 + v2 → P2 (v ) = v2.

Ambas son lineales y: Pi : Proyección de V sobre Vi

Transformaciones lineales

Semana 8 [15/62]

Propiedades

Propiedades

Propiedades Sea T : U → V una transformación lineal. Se tiene entonces: 1

T (0) = 0 ∈ V

2

T (−u) = −T (u)

3

T es lineal si y sólo si ∀λ1, λ2 ∈ K , ∀u1, u2 ∈ U T (λ1u1 + λ2 u2) = λ1 T (u1) + λ2 T (u2)

Transformaciones lineales

Semana 8 [16/62]

Propiedades

Propiedades

Propiedades Sea T : U → V una transformación lineal. Se tiene entonces: 1

T (0) = 0 ∈ V

2

T (−u) = −T (u)

3

T es lineal si y sólo si ∀λ1, λ2 ∈ K , ∀u1, u2 ∈ U T (λ1u1 + λ2 u2) = λ1 T (u1) + λ2 T (u2)

Transformaciones lineales

Semana 8 [17/62]

Propiedades

Propiedades

Propiedades Sea T : U → V una transformación lineal. Se tiene entonces: 1

T (0) = 0 ∈ V

2

T (−u) = −T (u)

3

T es lineal si y sólo si ∀λ1, λ2 ∈ K , ∀u1, u2 ∈ U T (λ1u1 + λ2 u2) = λ1 T (u1) + λ2 T (u2)

Transformaciones lineales

Semana 8 [18/62]

Propiedades

Caracterización de una T.L. Dada una combinación lineal n X

λi x i ∈ U

i=1

y la transformación lineal, T : U → V . Si dim U = n y β = {ui }ni=1 es base de U, u=

n X

αi ui .

i=1

α = (α1 , ..., αn ): coordenadas de u con respecto a la base β. Aplicando T : n n X X αi T (ui ) αi ui ) = T (u) = T ( i=1

i=1

Basta definir T sobre una base de U! Transformaciones lineales

Semana 8 [19/62]

Propiedades

Caracterización de una T.L. Dada una combinación lineal n X

λi x i ∈ U

i=1

y la transformación lineal, T : U → V . Si dim U = n y β = {ui }ni=1 es base de U, u=

n X

αi ui .

i=1

α = (α1 , ..., αn ): coordenadas de u con respecto a la base β. Aplicando T : n n X X αi T (ui ) αi ui ) = T (u) = T ( i=1

i=1

Basta definir T sobre una base de U! Transformaciones lineales

Semana 8 [20/62]

Propiedades

Caracterización de una T.L. Dada una combinación lineal n X

λi x i ∈ U

i=1

y la transformación lineal, T : U → V . Si dim U = n y β = {ui }ni=1 es base de U, u=

n X

αi ui .

i=1

α = (α1 , ..., αn ): coordenadas de u con respecto a la base β. Aplicando T : n n X X αi T (ui ) αi ui ) = T (u) = T ( i=1

i=1

Basta definir T sobre una base de U! Transformaciones lineales

Semana 8 [21/62]

Propiedades

Caracterización de una T.L. Dada una combinación lineal n X

λi x i ∈ U

i=1

y la transformación lineal, T : U → V . Si dim U = n y β = {ui }ni=1 es base de U, u=

n X

αi ui .

i=1

α = (α1 , ..., αn ): coordenadas de u con respecto a la base β. Aplicando T : n n X X αi T (ui ) αi ui ) = T (u) = T ( i=1

i=1

Basta definir T sobre una base de U! Transformaciones lineales

Semana 8 [22/62]

Propiedades

Caracterización de una T.L. Dada una combinación lineal n X

λi x i ∈ U

i=1

y la transformación lineal, T : U → V . Si dim U = n y β = {ui }ni=1 es base de U, u=

n X

αi ui .

i=1

α = (α1 , ..., αn ): coordenadas de u con respecto a la base β. Aplicando T : n n X X αi T (ui ) αi ui ) = T (u) = T ( i=1

i=1

Basta definir T sobre una base de U! Transformaciones lineales

Semana 8 [23/62]

Propiedades

Isomorfismos de e.v.’s

Isomorfismo Sea T : U → V una transformación lineal, diremos que es un isomorfismo si T es biyectiva.

U y V son isomorfos si existe un isomorfísmo entre U y V , en cuyo caso lo denotaremos como U∼ = V.

Transformaciones lineales

Semana 8 [24/62]

Propiedades

Isomorfismos de e.v.’s

Isomorfismo Sea T : U → V una transformación lineal, diremos que es un isomorfismo si T es biyectiva.

U y V son isomorfos si existe un isomorfísmo entre U y V , en cuyo caso lo denotaremos como U∼ = V.

Transformaciones lineales

Semana 8 [25/62]

Propiedades

Ejemplo

Consideremos:

K

f :U→ n . u → f (u) = α = (α1 , ..., αn )

Aa u le asocia las coordenadas con respecto a una base fija β = {ui }ni=1. Es un isomorfismo. Esto quiere decir que si U tiene dimensión finita n se “comporta” como

Veamos la imagen de una base {ui }ni=1 del U. f (ui ) = f (0u1 + ... + 1ui + ... + 0un ) = (0, ..., 1, ..., 0) = ei ∈ Luego, la base asociada a {ui }ni=1 es la base canónica de

Transformaciones lineales

Kn .

Kn

Kn .

Semana 8 [26/62]

Propiedades

Ejemplo

Consideremos:

K

f :U→ n . u → f (u) = α = (α1 , ..., αn )

Aa u le asocia las coordenadas con respecto a una base fija β = {ui }ni=1. Es un isomorfismo. Esto quiere decir que si U tiene dimensión finita n se “comporta” como

Veamos la imagen de una base {ui }ni=1 del U. f (ui ) = f (0u1 + ... + 1ui + ... + 0un ) = (0, ..., 1, ..., 0) = ei ∈ Luego, la base asociada a {ui }ni=1 es la base canónica de

Transformaciones lineales

Kn .

Kn

Kn .

Semana 8 [27/62]

Propiedades

Ejemplo

Consideremos:

K

f :U→ n . u → f (u) = α = (α1 , ..., αn )

Aa u le asocia las coordenadas con respecto a una base fija β = {ui }ni=1. Es un isomorfismo. Esto quiere decir que si U tiene dimensión finita n se “comporta” como

Veamos la imagen de una base {ui }ni=1 del U. f (ui ) = f (0u1 + ... + 1ui + ... + 0un ) = (0, ..., 1, ..., 0) = ei ∈ Luego, la base asociada a {ui }ni=1 es la base canónica de

Transformaciones lineales

Kn .

Kn

Kn .

Semana 8 [28/62]

Propiedades

Ejemplo

Consideremos:

K

f :U→ n . u → f (u) = α = (α1 , ..., αn )

Aa u le asocia las coordenadas con respecto a una base fija β = {ui }ni=1. Es un isomorfismo. Esto quiere decir que si U tiene dimensión finita n se “comporta” como

Veamos la imagen de una base {ui }ni=1 del U. f (ui ) = f (0u1 + ... + 1ui + ... + 0un ) = (0, ..., 1, ..., 0) = ei ∈ Luego, la base asociada a {ui }ni=1 es la base canónica de

Transformaciones lineales

Kn .

Kn

Kn .

Semana 8 [29/62]

Propiedades

Ejemplo

Consideremos:

K

f :U→ n . u → f (u) = α = (α1 , ..., αn )

Aa u le asocia las coordenadas con respecto a una base fija β = {ui }ni=1. Es un isomorfismo. Esto quiere decir que si U tiene dimensión finita n se “comporta” como

Veamos la imagen de una base {ui }ni=1 del U. f (ui ) = f (0u1 + ... + 1ui + ... + 0un ) = (0, ..., 1, ..., 0) = ei ∈ Luego, la base asociada a {ui }ni=1 es la base canónica de

Transformaciones lineales

Kn .

Kn

Kn .

Semana 8 [30/62]

Propiedades

Composición entre T.L.

Consideremos U, V , W espacios vectoriales sobre el mismo cuerpo. T : U → V y L : V → W dos transformaciones lineales, L◦T :U →W es una función lineal. Si además L y T son biyectivas (isomorfísmos) entonces también lo es L ◦ T. Si T : U → V es un isomorfísmo, entonces T −1 : V → U lo es también. ∼ = es relación de equivalencia!

Transformaciones lineales

Semana 8 [31/62]

Propiedades

Composición entre T.L.

Consideremos U, V , W espacios vectoriales sobre el mismo cuerpo. T : U → V y L : V → W dos transformaciones lineales, L◦T :U →W es una función lineal. Si además L y T son biyectivas (isomorfísmos) entonces también lo es L ◦ T. Si T : U → V es un isomorfísmo, entonces T −1 : V → U lo es también. ∼ = es relación de equivalencia!

Transformaciones lineales

Semana 8 [32/62]

Propiedades

Composición entre T.L.

Consideremos U, V , W espacios vectoriales sobre el mismo cuerpo. T : U → V y L : V → W dos transformaciones lineales, L◦T :U →W es una función lineal. Si además L y T son biyectivas (isomorfísmos) entonces también lo es L ◦ T. Si T : U → V es un isomorfísmo, entonces T −1 : V → U lo es también. ∼ = es relación de equivalencia!

Transformaciones lineales

Semana 8 [33/62]

Propiedades

Composición entre T.L.

Consideremos U, V , W espacios vectoriales sobre el mismo cuerpo. T : U → V y L : V → W dos transformaciones lineales, L◦T :U →W es una función lineal. Si además L y T son biyectivas (isomorfísmos) entonces también lo es L ◦ T. Si T : U → V es un isomorfísmo, entonces T −1 : V → U lo es también. ∼ = es relación de equivalencia!

Transformaciones lineales

Semana 8 [34/62]

Propiedades

Composición entre T.L.

Consideremos U, V , W espacios vectoriales sobre el mismo cuerpo. T : U → V y L : V → W dos transformaciones lineales, L◦T :U →W es una función lineal. Si además L y T son biyectivas (isomorfísmos) entonces también lo es L ◦ T. Si T : U → V es un isomorfísmo, entonces T −1 : V → U lo es también. ∼ = es relación de equivalencia!

Transformaciones lineales

Semana 8 [35/62]

Propiedades

Composición entre T.L.

Consideremos U, V , W espacios vectoriales sobre el mismo cuerpo. T : U → V y L : V → W dos transformaciones lineales, L◦T :U →W es una función lineal. Si además L y T son biyectivas (isomorfísmos) entonces también lo es L ◦ T. Si T : U → V es un isomorfísmo, entonces T −1 : V → U lo es también. ∼ = es relación de equivalencia!

Transformaciones lineales

Semana 8 [36/62]

Subespacios asociados a una T.L.

Núcleo

Núcleo T : U → V transformación lineal. Definimos el núcleo de T como el conjunto: KerT = {x ∈ U/T (x) = 0}

KerT 6= φ ya que T (0) = 0. KerT es un s.e.v. de U.

Transformaciones lineales

Semana 8 [37/62]

Subespacios asociados a una T.L.

Núcleo

Núcleo T : U → V transformación lineal. Definimos el núcleo de T como el conjunto: KerT = {x ∈ U/T (x) = 0}

KerT 6= φ ya que T (0) = 0. KerT es un s.e.v. de U.

Transformaciones lineales

Semana 8 [38/62]

Subespacios asociados a una T.L.

Núcleo

Núcleo T : U → V transformación lineal. Definimos el núcleo de T como el conjunto: KerT = {x ∈ U/T (x) = 0}

KerT 6= φ ya que T (0) = 0. KerT es un s.e.v. de U.

Transformaciones lineales

Semana 8 [39/62]

Subespacios asociados a una T.L.

Núcleo

Núcleo T : U → V transformación lineal. Definimos el núcleo de T como el conjunto: KerT = {x ∈ U/T (x) = 0}

KerT 6= φ ya que T (0) = 0. KerT es un s.e.v. de U.

Transformaciones lineales

Semana 8 [40/62]

Subespacios asociados a una T.L.

Imagen

Imagen T : U → V transformación lineal. Definimos la imagen de T como el conjunto: ImT = T (U) = {v ∈ V /∃u ∈ U : v = f (u)}

ImT es un s.e.v de V .

Transformaciones lineales

Semana 8 [41/62]

Subespacios asociados a una T.L.

Imagen

Imagen T : U → V transformación lineal. Definimos la imagen de T como el conjunto: ImT = T (U) = {v ∈ V /∃u ∈ U : v = f (u)}

ImT es un s.e.v de V .

Transformaciones lineales

Semana 8 [42/62]

Subespacios asociados a una T.L.

Imagen

Imagen T : U → V transformación lineal. Definimos la imagen de T como el conjunto: ImT = T (U) = {v ∈ V /∃u ∈ U : v = f (u)}

ImT es un s.e.v de V .

Transformaciones lineales

Semana 8 [43/62]

Subespacios asociados a una T.L.

Rango y nulidad

Definición dim(ImT ): rango de la transformación T y se nota r . dim(KerT ): nulidad y se suele denotar por ν.

Transformaciones lineales

Semana 8 [44/62]

Subespacios asociados a una T.L.

Rango y nulidad

Definición dim(ImT ): rango de la transformación T y se nota r . dim(KerT ): nulidad y se suele denotar por ν.

Transformaciones lineales

Semana 8 [45/62]

Subespacios asociados a una T.L.

Ejemplo

Sea la transformación lineal:

R

R

T : 4→ 3 (x1 , x2, x3, x4) → (x1 + x2 , x2 − x3, x1 + x3 ) o en términos matriciales: 

1 1 T (x) =  0 1 1 0

 x1 0 0   x2  −1 0    x3  1 0 x4 



Determinemos KerT e ImT .

Transformaciones lineales

Semana 8 [46/62]

Subespacios asociados a una T.L.

Ejemplo

Sea la transformación lineal:

R

R

T : 4→ 3 (x1 , x2, x3, x4) → (x1 + x2 , x2 − x3, x1 + x3 ) o en términos matriciales: 

1 1 T (x) =  0 1 1 0

 x1 0 0   x2  −1 0    x3  1 0 x4 



Determinemos KerT e ImT .

Transformaciones lineales

Semana 8 [47/62]

Subespacios asociados a una T.L.

Ejemplo

Sea la transformación lineal:

R

R

T : 4→ 3 (x1 , x2, x3, x4) → (x1 + x2 , x2 − x3, x1 + x3 ) o en términos matriciales: 

1 1 T (x) =  0 1 1 0

 x1 0 0   x2  −1 0    x3  1 0 x4 



Determinemos KerT e ImT .

Transformaciones lineales

Semana 8 [48/62]

Subespacios asociados a una T.L.

Ejemplo x ∈ KerT ⇔ T (x) = 0 equivale a



1 1 0 1 1 0

   x1 0 0 0   x 2    −1 0    x3  = 0 0 1 0 x4 



Escalonando:       1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0  0 1 −1 0  →  0 1 −1 0  →  0 1 −1 0  1 0 1 0 0 −1 1 0 0 0 0 0 x1 = −x3 x2 = x3 x3 = x3 x4 = x4

     −1 x1 0   x2       = x3  1  + x4  0   1   x3  0 x4 0 1 

⇔

Transformaciones lineales

Semana 8 [49/62]

Subespacios asociados a una T.L.

Ejemplo x ∈ KerT ⇔ T (x) = 0 equivale a



1 1 0 1 1 0

   x1 0 0 0   x 2    −1 0    x3  = 0 0 1 0 x4 



Escalonando:       1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0  0 1 −1 0  →  0 1 −1 0  →  0 1 −1 0  1 0 1 0 0 −1 1 0 0 0 0 0 x1 = −x3 x2 = x3 x3 = x3 x4 = x4

     −1 x1 0   x2       = x3  1  + x4  0   1   x3  0 x4 0 1 

⇔

Transformaciones lineales

Semana 8 [50/62]

Subespacios asociados a una T.L.

Ejemplo x ∈ KerT ⇔ T (x) = 0 equivale a



1 1 0 1 1 0

   x1 0 0 0   x 2    −1 0    x3  = 0 0 1 0 x4 



Escalonando:       1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0  0 1 −1 0  →  0 1 −1 0  →  0 1 −1 0  1 0 1 0 0 −1 1 0 0 0 0 0 x1 = −x3 x2 = x3 x3 = x3 x4 = x4

     −1 x1 0   x2       = x3  1  + x4  0   1   x3  0 x4 0 1 

⇔

Transformaciones lineales

Semana 8 [51/62]

Subespacios asociados a una T.L.

Ejemplo x ∈ KerT ⇔ T (x) = 0 equivale a



1 1 0 1 1 0

   x1 0 0 0   x 2    −1 0    x3  = 0 0 1 0 x4 



Escalonando:       1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0  0 1 −1 0  →  0 1 −1 0  →  0 1 −1 0  1 0 1 0 0 −1 1 0 0 0 0 0 x1 = −x3 x2 = x3 x3 = x3 x4 = x4

     −1 x1 0   x2       = x3  1  + x4  0   1   x3  0 x4 0 1 

⇔

Transformaciones lineales

Semana 8 [52/62]

Subespacios asociados a una T.L.

Ejemplo Luego: KerT = < {(−1, 1, 1, 0), (0, 0, 0, 1)} > . Con dim(KerT ) = 2. Sea (y1 , y2, y3 ) ∈ ImT , es decir:  x1 1 1 0 0   y1  y2  =  0 1 −1 0   x2   x3  y3 1 0 1 0 x     4   1 1 0 = x1  0  + x2  1  + x3  −1  1 0 1 









Luego ImT =< {(1, 0, 1), (1, 1, 0), (0, −1, 1)} >=< {(1, 0, 1), (1, 1, 0)} >. Y dim(ImT ) = 2. Transformaciones lineales

Semana 8 [53/62]

Subespacios asociados a una T.L.

Ejemplo Luego: KerT = < {(−1, 1, 1, 0), (0, 0, 0, 1)} > . Con dim(KerT ) = 2. Sea (y1 , y2, y3 ) ∈ ImT , es decir:  x1 1 1 0 0   y1  y2  =  0 1 −1 0   x2   x3  y3 1 0 1 0 x     4   1 1 0 = x1  0  + x2  1  + x3  −1  1 0 1 









Luego ImT =< {(1, 0, 1), (1, 1, 0), (0, −1, 1)} >=< {(1, 0, 1), (1, 1, 0)} >. Y dim(ImT ) = 2. Transformaciones lineales

Semana 8 [54/62]

Subespacios asociados a una T.L.

Ejemplo Luego: KerT = < {(−1, 1, 1, 0), (0, 0, 0, 1)} > . Con dim(KerT ) = 2. Sea (y1 , y2, y3 ) ∈ ImT , es decir:  x1 1 1 0 0   y1  y2  =  0 1 −1 0   x2   x3  y3 1 0 1 0 x     4   1 1 0 = x1  0  + x2  1  + x3  −1  1 0 1 









Luego ImT =< {(1, 0, 1), (1, 1, 0), (0, −1, 1)} >=< {(1, 0, 1), (1, 1, 0)} >. Y dim(ImT ) = 2. Transformaciones lineales

Semana 8 [55/62]

Subespacios asociados a una T.L.

Ejemplo Luego: KerT = < {(−1, 1, 1, 0), (0, 0, 0, 1)} > . Con dim(KerT ) = 2. Sea (y1 , y2, y3 ) ∈ ImT , es decir:  x1 1 1 0 0   y1  y2  =  0 1 −1 0   x2   x3  y3 1 0 1 0 x     4   1 1 0 = x1  0  + x2  1  + x3  −1  1 0 1 









Luego ImT =< {(1, 0, 1), (1, 1, 0), (0, −1, 1)} >=< {(1, 0, 1), (1, 1, 0)} >. Y dim(ImT ) = 2. Transformaciones lineales

Semana 8 [56/62]

Subespacios asociados a una T.L.

Ejemplo Luego: KerT = < {(−1, 1, 1, 0), (0, 0, 0, 1)} > . Con dim(KerT ) = 2. Sea (y1 , y2, y3 ) ∈ ImT , es decir:  x1 1 1 0 0   y1  y2  =  0 1 −1 0   x2   x3  y3 1 0 1 0 x     4   1 1 0 = x1  0  + x2  1  + x3  −1  1 0 1 









Luego ImT =< {(1, 0, 1), (1, 1, 0), (0, −1, 1)} >=< {(1, 0, 1), (1, 1, 0)} >. Y dim(ImT ) = 2. Transformaciones lineales

Semana 8 [57/62]

Subespacios asociados a una T.L.

KerT e inyectividad

Teorema Sea T : U → V una transformación lineal entonces T es inyectiva ⇔ KerT = {0}.

Corolario T : U → V es un isomorfismo si y sólo si KerT = {0} ∧ ImT = V , o equivalentemente dim ImT = dim V y dim KerT = 0.

Transformaciones lineales

Semana 8 [58/62]

Subespacios asociados a una T.L.

KerT e inyectividad

Teorema Sea T : U → V una transformación lineal entonces T es inyectiva ⇔ KerT = {0}.

Corolario T : U → V es un isomorfismo si y sólo si KerT = {0} ∧ ImT = V , o equivalentemente dim ImT = dim V y dim KerT = 0.

Transformaciones lineales

Semana 8 [59/62]

Subespacios asociados a una T.L.

KerT e inyectividad

Teorema Sea T : U → V una transformación lineal entonces T es inyectiva ⇔ KerT = {0}.

Corolario T : U → V es un isomorfismo si y sólo si KerT = {0} ∧ ImT = V , o equivalentemente dim ImT = dim V y dim KerT = 0.

Transformaciones lineales

Semana 8 [60/62]

Subespacios asociados a una T.L.

Inyectividad y conjuntos l.i.

Teorema Si T : U → V es inyectiva, entonces {ui }ki=1 es ℓ.i. en U ⇒ {T (ui )}ki=1 es ℓ.i. en V .

Transformaciones lineales

Semana 8 [61/62]

Subespacios asociados a una T.L.

Inyectividad y conjuntos l.i.

Teorema Si T : U → V es inyectiva, entonces {ui }ki=1 es ℓ.i. en U ⇒ {T (ui )}ki=1 es ℓ.i. en V .

Transformaciones lineales

Semana 8 [62/62]

Subespacios asociados a una T.L.

Ejemplo

Un ejemplo importante

Rn+1 ∼= Pn(R). En efecto, sea T : n+1 → Pn ( ) tal que:

R

R

(a0, a1 , ..., an ) →

n X

R

ai x i ∈ P n ( )

i=0

Es un isomorfismo.

Transformaciones lineales

Semana 8 [63/62]

Subespacios asociados a una T.L.

Ejemplo

Un ejemplo importante

Rn+1 ∼= Pn(R). En efecto, sea T : n+1 → Pn ( ) tal que:

R

R

(a0, a1 , ..., an ) →

n X

R

ai x i ∈ P n ( )

i=0

Es un isomorfismo.

Transformaciones lineales

Semana 8 [64/62]

Subespacios asociados a una T.L.

Ejemplo

Un ejemplo importante

Rn+1 ∼= Pn(R). En efecto, sea T : n+1 → Pn ( ) tal que:

R

R

(a0, a1 , ..., an ) →

n X

R

ai x i ∈ P n ( )

i=0

Es un isomorfismo.

Transformaciones lineales

Semana 8 [65/62]

Subespacios asociados a una T.L.

Ejemplo

Un ejemplo importante

Rn+1 ∼= Pn(R). En efecto, sea T : n+1 → Pn ( ) tal que:

R

R

(a0, a1 , ..., an ) →

n X

R

ai x i ∈ P n ( )

i=0

Es un isomorfismo.

Transformaciones lineales