Ingenier´ıa Civil. Matem´ aticas I. 2012-2013. Departamento de Matem´ atica Aplicada II. Escuela Superior de Ingenieros. Universidad de Sevilla.

Tema 4.- Espacios vectoriales. Transformaciones lineales. 4.1.- Espacios y subespacios vectoriales. 4.2.- Espacios vectoriales de coordenadas. Espacio nulo y espacio columna de una matriz. Dependencia e independencia lineal. Ecuaciones param´etricas y ecuaciones impl´ıcitas de un subespacio. 4.3.- Bases de un subespacio. Coordenadas. Dimensi´on. Rango de una matriz. El teorema del rango. Cambios de base. 4.4.- Ejercicios. Enunciados. Soluciones.

4.1.- Espacios y subespacios vectoriales. De forma gen´erica, un espacio vectorial es un conjunto donde hay definida una operaci´on suma (la suma de dos elementos del conjunto es otro elemento del conjunto) y una operaci´on producto por escalares (el producto de un escalar, real o complejo, por un elemento del conjunto es otro elemento del conjunto) con las propiedades que conocemos de la suma y producto por escalares para vectores de coordenadas (conmutatividad, asociatividad, existencia de elemento nulo, elemento opuesto, distributivas, etc.). Se dice que el espacio vectorial es real o es complejo en funci´on de que se consideren escalares reales o complejos respectivamente. Adem´as de los espacios de coordenadas, Rn y Cn , que manipulamos habitualmente, algunos ejemplos t´ıpicos de espacios vectoriales son, con las operaciones usuales de suma de matrices y funciones y de producto de una matriz o una funci´on por un escalar: El conjunto de todas las matrices de dimensiones determinadas, m × n. El conjunto de todos los polinomios en una variable. El conjunto de todos los polinomios en una variable de grado menor o igual que un cierto n ∈ N. 93

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Tema 4.- Espacios vectoriales. Transformaciones lineales. El conjunto de todas las funciones continuas (en un punto, en un intervalo). El conjunto de todas las funciones derivables (en un punto, en un intervalo). El conjunto de todas las funciones integrables en un intervalo. El conjunto de las funciones (continuas, derivables, integrables) que se anulan en un punto prefijado.

Y algunos ejemplos t´ıpicos de conjuntos que, con las operaciones usuales, no son espacios vectoriales: El conjunto de todas las matrices cuadradas de orden n que tienen inversa. El conjunto de los polinomios de un grado prefijado n ∈ N. El conjunto de las funciones continuas f (en un punto, en un intervalo) tales que f (x0 ) = 1 siendo x0 un punto del intervalo dado. El conjunto de los vectores de R2 cuya segunda coordenada es igual a uno. El conjunto de los vectores de R2 cuyas coordenadas verifican una ecuaci´on de segundo grado. El tipo de subconjuntos m´as importantes dentro de un espacio vectorial son los llamados subespacios vectoriales. En ellos se puede realizar las operaciones del espacio vectorial sin salirnos de dicho subconjunto. Definici´ on. Se dice que un subconjunto (no vacio) S de un espacio vectorial es un subespacio vectorial si, con las operaciones que hay definidas en el espacio vectorial, es un espacio vectorial. Es decir, si verifica que: (a) ∀u ∈ S, ∀α ∈ K =⇒ αu ∈ S. (b) ∀u, v ∈ S =⇒ u + v ∈ S. De forma equivalente, S es un subespacio vectorial si ∀u, v ∈ S y ∀α, β ∈ K =⇒ αu + βv ∈ S. Notemos que si S es un subespacio vectorial, el vector nulo tiene que pertenecer a S. La propiedad (a) nos dice que si tenemos un vector no-nulo de un subespacio vectorial, la recta determinada por dicho vector est´a contenida en el subespacio. La propiedad (b) nos dice que si tenemos dos vectores (que no sean uno m´ ultiplo del otro) de un subespacio vectorial, el plano determinado por dichos vectores est´ a contenido en el subespacio. { } n Obviamente S = ⃗0 y S = K son subespacios vectoriales (a veces llamados subespacios triviales). En el espacio tridimensional, cualquier recta o plano que pase por el origen es un subespacio vectorial. En el plano, los vectores de posici´on determinados por los puntos de una par´ abola NO forman un subespacio vectorial. Matem´aticas I.

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4.1.- Espacios y subespacios vectoriales.

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Proposici´ on. El conjunto de todas las combinaciones lineales de unos vectores dados es un subespacio vectorial. Es decir, dados {v1 , . . . , vn }, Gen {v1 , . . . , vn } = {c1 v1 + · · · + cn vn : c1 , . . . , cn ∈ K} es un subespacio vectorial (del espacio vectorial que se est´e considerando). Este subespacio vectorial se denomina subespacio generado por {v1 , . . . , vn }. Es f´acil comprobar que se cumplen las siguientes propiedades. Propiedades. (1) Gen {v2 , . . . , vn } ⊆ Gen {v1 , v2 , . . . , vn } . (2) Gen {v1 , v2 , . . . , vn } = Gen {cv1 , v2 , . . . , vn } si c ̸= 0. (3) Gen {v1 , v2 , . . . , vn } = Gen {v1 + αv2 , v2 , . . . , vn }. (4) El subespacio generado por un conjunto de vectores no cambia al a˜ nadir combinaciones lineales de dichos vectores o quitar vectores que sean combinaci´on lineal de los restantes. Ejemplos. Algunos ejemplos de subconjuntos que son o no son subespacios vectoriales. En el espacio vectorial de las matrices m × n, • el subconjunto de las matrices que tienen una fila (prefijada) nula es un subespacio vectorial. • el subconjunto de las matrices que tienen una fila (prefijada) no nula no es un subespacio vectorial. En el espacio vectorial de las matrices cuadradas n × n, • el subconjunto de las matrices sim´etricas es un subespacio vectorial. • el subconjunto de las matrices A cuadradas n × n que verfican que A2 = 0 no es un subespacio vectorial. • el subconjunto de las matrices cuadradas n × n con determinante cero no es un subespacio vectorial. En el espacio vectorial de todos los polinomios en una variable, • el subconjunto de los polinomios de grado par no es un subespacio vectorial. • el subconjunto de los polinomios de grado impar no es un subespacio vectorial. • el subconjunto de todos los polinomios en una variable de grado menor o igual que un cierto n ∈ N. Relacionados con los subespacios vectoriales est´an las llamadas variedades lineales (o afines). No son otra cosa que trasladados de subespacios vectoriales. Es decir, una variedad es un conjunto de vectores que se puede expresar de la forma p + S siendo p un vector dado y S un subespacio vectorial. Por ejemplo, en el plano o en el espacio, puesto que una recta que pase por el origen de coordenadas es un subespacio vectorial, cualquier recta Matem´aticas I.

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Tema 4.- Espacios vectoriales. Transformaciones lineales.

ser´a una variedad puesto que puede obtenerse trasladando, seg´ un un cierto vector, la recta paralela que pasa por el origen de coordenadas. El estudio que haremos a continuaci´on de la estructura de espacio vectorial se centrar´a en los subespacios vectoriales. No consideraremos de forma expl´ıcita el estudio de las variedades lineales aunque aparezcan: la soluci´on general de un sistema lineal es una variedad lineal porque la soluc´on general del sistema homog´eneo asociado es un subespacio vectorial. A partir de la secci´on siguientes no vamos a considerar espacios vectoriales gen´ericos. Consideraremos, exclusivamente, los espacios vectoriales de coordenadas Rn y Cn . Los espacios vectoriales de coordenadas Rn y Cn son los modelos para trabajar con espacios vectoriales de dimensi´on finita (reales y complejos, respectivamente). As´ı, Rn , n = 1, 2, . . . , es el modelo para el estudio de los espacios vectoriales reales de dimensi´on finita n. Por ejemplo, en lo que se refiere exclusivamente a las operaciones suma y produco por un escalar, trabajar con el espacio de las matrices reales de dimensiones 3 × 2 o con el espacio vectorial de los polinomios reales (en una variable) de grado menor o igual que 5 (6 coeficientes reales arbitrarios) es equivalente a trabajar con el espacio R6 . Obviamente, todo lo que no se refiera exclusivamente a las operaciones suma y producto por un escalar en el espacio de las matrices o de los polinomios, se pierde al representar dichos espacios como R6 (factorizaci´on de polinomios, producto de matrices,...).

4.2.- Espacios vectoriales de coordenadas. 4.2.1.- Espacio nulo y espacio columna de una matriz. Definici´ on. Sea A una matriz m × n con elementos en K. Se llama espacio nulo de A a Nul (A) := {x ∈ Kn : Ax = 0} . Es decir, al conjunto soluci´on del sistema homog´eneo Ax = 0. espacio columna de A al subespacio (de Km ) generado por las columnas de A, Col (A) := {y ∈ Km : y es combinaci´on lineal de las columnas de A} . Notemos que decir que un vector y ∈ Km es combinaci´on lineal de las columnas de A es equivalente a decir que el sistema Ax = y, con t´ermino independiente y e inc´ognita x, tiene soluci´on. Si llamamos v1 , . . . , vn a las columnas de A y se tiene que y = α1 v1 + · · · + αn vn entonces α = (α1 , . . . , αn )T es soluci´on de Ax = y puesto que y = Aα. Y viceversa, cada soluci´on de Ax = y (si existe) nos da los coeficientes de una combinaci´on lineal de v1 , . . . , vn que es igual a y. Es decir, Col (A) = {y ∈ Km : Ax = y es un sistema compatible} . No haremos especial referencia al espacio fila de A (subespacio vectorial generado por las filas de A). Cuando necesitemos referirnos a ´el lo haremos mediante Col (AT ). Proposici´ on. Sea A una matriz m × n con elementos en K. Nul (A) es un subespacio vectorial de Kn . Col (A) es un subespacio vectorial de Km . Matem´aticas I.

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4.2.- Espacios vectoriales de coordenadas.

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Puesto que Nul (A) es un subespacio vectorial, para cualquier vector p ∈ Kn , el conjunto p + Nul (A) es una variedad lineal. Para cualquier v ∈ p + Nul (A) tendremos un vector u ∈ Nul (A) tal que v = p + u y por tanto, Av = Ap + Au = Ap. Es decir, v es soluci´on del sistema Ax = b siendo b = Ap. Reciprocamente, si tenemos un sistema Ax = b compatible y p es una soluci´on, cualquier otra soluci´on v puede expresarse mediante v = p + (v − p) que es un vector de p + Nul (A) (puesto que A(v − p) = Av − Ap = b − b = 0). Por tanto, asociado a una matriz A, m × n tenemos: (1) Nul (A), el conjunto soluci´on del sistema homog´eneo Ax = 0 (es un subespacio vectorial de Kn ). (2) Col (A), el conjunto de t´erminos independientes y para los que el sistema Ax = y es compatible (es un subespacio vectorial de Km ) (3) Para cada y ∈ Km , el conjunto soluci´on del sistema Ax = y, {x ∈ Kn : Ax = y}. Si y ∈ Col (A) (el sistema Ax = y es compatible) es una variedad lineal de Kn . Si y ∈ / Col (A) (el sistema Ax = y es incompatible) no hay ning´ un vector en dicho conjunto. Ejercicio. (1) ¿Qu´e relaci´on hay entre el espacio columna de una matriz y el de la matriz que se obtiene al hacer operaciones columna sobre la matriz? (2) ¿Qu´e relaci´on hay entre el espacio nulo de una matriz y el de la matriz que se obtiene al hacer operaciones fila sobre la matriz? 4.2.2.- Dependencia e independencia lineal. Definici´ on. Consideremos un conjunto finito de vectores {v1 , . . . , vn }. (a) Se dice que {v1 , . . . , vn } es linealmente dependiente (L.D.) si existe alguna combinaci´on lineal no trivial de dichos vectores igual al vector nulo. Es decir, si existen coeficientes α1 , α2 , . . . , αn ∈ K no todos nulos tales que α1 v1 + α2 v2 + · · · + αn vn = 0. (b) Se dice que {v1 , . . . , vn } es linealmente independiente (L.I.) si no es linealmente dependiente. Si {v1 , . . . , vn } son vectores linealmente dependientes y tenemos una combinaci´on lineal de estos vectores igual al vector nulo α1 v1 + α2 v2 + · · · + αn vn = 0 y el coeficiente αk ̸= 0, entonces de la igualdad anterior se puede despejar vk que quedar´a expresado como combinaci´on lineal de los restantes vectores. Reciprocamente si tenemos un vector que es combinaci´on lineal de otros, el conjunto formado por estos y el vector combinaci´on lineal es un conjunto linealmente dependiente. Notemos adem´as de que si una combinaci´on lineal de vectores es igual al vector nulo, la combinaci´on lineal que resulta de multiplicar por cualquier coeficiente tambi´en es el vector nulo. Propiedades. Consideremos un conjunto finito de vectores {v1 , . . . , vn }. Matem´aticas I.

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Tema 4.- Espacios vectoriales. Transformaciones lineales.

(1) La dependencia o independencia lineal de {v1 , . . . , vn } no depende del orden en el que est´en dados los vectores. (2) Si uno de los vectores es nulo o hay vectores repetidos, entonces es L.D. (3) La dependencia/independencia lineal de un conjunto no cambia al sustituir un vector por un m´ ultiplo no-nulo. Siendo c ̸= 0 (c ∈ K), {v1 , . . . , vn } es L.D. ⇔ {u1 = cv1 , v2 , . . . , vn } es L.D. (4) La dependencia/independencia lineal de un conjunto no cambia al sumar a un vector un m´ ultiplo de otro (distinto). Siendo α ∈ K {v1 , . . . , vn } es L.D. ⇔ {v1 , u2 = v2 + αv1 , . . . , vn } es L.D. (5)

Al a˜ nadir vectores a un conjunto L.D. se obtiene un conjunto L.D. Al suprimir vectores de un conjunto L.I. se obtiene un conjunto L.I.

Teorema. Consideremos vectores {v1 , . . . , vn } en Km y sea A la matriz cuyas columnas son los vectores dados  . .  .. .. · · · ...   A =  v1 v2 · · · vn  . .. .. . . · · · .. Son equivalentes: (1) {v1 , . . . , vn } es un conjunto linealmente dependiente. (2) El sistema de ecuaciones Ax = 0 tiene infinitas soluciones. (3) Al reducir A a forma escalonada se obtienen r pivotes, r < n. (4) Alguno de los vectores vk es combinaci´on lineal de los restantes. (5) Si el primer vector v1 es no-nulo, alguno de los vectores es combinaci´on lineal de los anteriores. Observaci´ on. Interpretaci´on de la reducci´on por filas de una matriz A en relaci´on con la dependencia o independencia lineal de los vectores-columna de la matriz A. Notemos que dar una cierta combinaci´on lineal de vectores es lo mismo que multiplicar la matriz cuyas columnas son dichos vectores por el vector columna formado por los correspondientes coeficientes    .. .. .. x1 . . ··· .     x2   . x1 v1 +2 v2 + · · · + xn vn =  v1 v2 . . . vn   .   ..   .. .. .. . . ··· . xn Matem´aticas I.

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4.2.- Espacios vectoriales de coordenadas.

Si al reducir A a forma escalonada obtenemos U 

.. .

.. .

 A=  v1 v2 .. .. . .

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

*   ..  0 operaciones ··· .   fila - U =  ..   . vn   ..  ··· . 

∗ * 0

 ∗ ··· ∗ ∗  ∗ ··· ∗ ∗    0 ∗   *  

tenemos que: Cada columna de U en la aparece un pivote es linealmente independiente con las anteriores columnas de U . Por tanto, esto mismo es cierto para las correspondientes columnas de A. Cada columna de la matriz U en la que no hay pivote es combinaci´on lineal de las anteriores columnas de U . Por tanto, esto mismo es cierto para las correspondientes columnas de A. Si tenemos una cierta fila nula en la matriz U esto quiere decir que una cierta combinaci´on lineal de las filas de la matriz A es igual a la fila nula. Las filas pivote (de U y las correspondientes de A dependiendo de los intercambios de fila que se hayan hecho) son linealmente independientes. Es decir, en la situaci´on del esquema anterior, se verifica que la columna 3 de U es combinaci´on lineal de las columnas 1 y 2 (y lo mismo es cierto para las correspondientes columnas de A), las columnas {columna1, columna2, columna4} de U son linealmente independientes (y lo mismo es cierto para las correspondientes columnas de A.

4.2.3.- Ecuaciones param´ etricas y ecuaciones impl´ıcitas. Asociados a una matriz A, m × n,  . . .. .. · · ·  A =  v1 v2 · · · .. .. . . ···

 a11 a12 · · · a1n ..  .  a21 a22 · · · a2n   vn  =  .. .. .. ...  . . . .. . am1 am2 · · · amn

    

hemos considerado; El espacio nulo de la matriz A, esto es el conjunto de vectores x ∈ Kn caracterizados por las ecuaciones impl´ıcitas homog´eneas    a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn = 0      a21 x1 + a22 x2 + · · · + a2n xn = 0   Ax = 0 . .. .. ..   . . .     a x + a x + ··· + a x = 0   m1 1 m2 2 mn n Matem´aticas I.

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Tema 4.- Espacios vectoriales. Transformaciones lineales.

El espacio columna de la matriz A (y el subespacio generado por unos ciertos vectores), esto es, el conjunto de vectores y y = α1 v1 + α2 v2 + · · · + αn vn caracterizado por   y1    y2 ..  .    y

m

las ecuaciones param´etricas homog´eneas = = .. .

α1 a11 + α2 a12 + · · · + αn a1n α1 a21 + α2 a22 + · · · + αn a2n .. .

, α1 , α2 , . . . , αn ∈ K.

= α1 am1 + α2 am2 + · · · + αn amn

Resolviendo el sistema homog´eneo Ax = 0 podemos obtener los vectores del espacio nulo de A como el conjunto de vectores que se pueden expresar como combinaci´on lineal (arbitraria) de determinados vectores, es decir, como el subespacio generado por ciertos vectores o como el espacio columna de la matriz que tiene a dichos vectores como vectores columna. Por otra parte, puesto que el espacio columna de una matriz A est´a formado por los vectores, y, tales que el sistema de ecuaciones Ax = y es compatible, obteniendo las condiciones de compatibilidad de este sistema (en funci´on del t´ermino independiente y), tendremos unas ecuaciones lineales homog´eneas que permiten expresar el citado espacio columna como espacio nulo de otra matriz. Por tanto, hablar de espacio nulo o espacio columna de una matriz (o subespacio generado por ciertos vectores) no es hablar de conjuntos de vectores con caracter´ısticas distintas, sino que es hablar de un mismo tipo de conjunto de vectores, los subespacios vectoriales, pero expresados en forma distinta: (a) Cuando un subespacio vectorial viene dado como espacio nulo de una matriz tenemos una descripci´on impl´ıcita (ecuaciones impl´ıcitas) de dicho conjunto (un vector est´a en el conjunto considerado si, y s´olo si, sus coordenadas verifican el sistema homog´eneo asociado a la matriz). (b) Cuando uno de dichos conjuntos de vectores viene dado como espacio columna de una matriz tenemos una descripci´on param´etrica (ecuaciones param´ etricas) de dicho conjunto (un vector est´a en el conjunto considerado si, y s´olo si, puede expresarse como combinaci´on lineal de determinados vectores). Entre las descripciones impl´ıcitas de un subespacio vectorial habr´a unas mejores que otras, en el sentido de que una puede tener ecuaciones redundantes y otra no. De unas ecuaciones impl´ıcitas dadas Ax = 0 se podr´an suprimir las que sean redundantes, es decir las ecuaciones que sean combinaci´on lineal de las restantes. Dichas ecuaciones las podemos localizar sin m´as que reducir a forma escalonada por filas la matriz A dada. Las filas (tanto de la matriz original A como de la matriz escalonada final U ) que contengan alg´ un pivote nos dar´an unas ecuaciones impl´ıcitas, no redundantes, de dicho subespacio. Si resolvemos el sistema tendremos una descripcion param´etrica del conjunto soluci´on, es decir del subespacio dado, el espacio nulo de la matriz A original. Si en la descripci´on param´etrica eliminamos los par´ametros, llegaremos a unas ecuaciones homog´eneas que dar´an una descripci´on impl´ıcita del subespacio considerado. De la misma Matem´aticas I.

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4.2.- Espacios vectoriales de coordenadas.

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forma que en el caso de ecuaciones impl´ıcitas, entre las descripciones param´etricas de un subespacio vectorial, unas ser´an mejores que otras en el sentido de que unas involucren menos vectores que otras. Es decir, si tenemos el espacio columna de una cierta matriz A, m × n, y los vectores columna de A son linealmente dependientes, suprimiendo vectores que sean combinaci´on lineal de los que quedan, tendremos que el espacio columna de la matriz original tambi´en es el espacio columna de la matriz que resulta de la matriz anterior suprimiendo algunas columnas. Si nos quedamos con un conjunto de vectores linealmente independiente, tendremos que dichos vectores generan el espacio columna de la matriz original y cada vector de dicho espacio se puede expresar de forma u ´nica como combinaci´on lineal de los vectores linealmente independientes obtenidos. Dichos vectores constituyen lo que se denomina una base (es decir, un conjunto de vectores linealmente independiente que genera el subespacio) del subespacio vectorial considerado, el espacio columna de la matriz original. De la misma forma que un subespacio vectorial, S, puede caracterizarse mediante ecuaciones impl´ıcitas o ecuaciones param´etricas homog´ eneas, una variedad lineal, p + S, puede caracterizarse mediante ecuaciones impl´ıcitas, en general no homog´ eneas, y mediante ecuaciones param´etricas, en general no homog´ eneas, puesto que el vector nulo puede no pertenecer a la variedad. Una vez que se tienen unas ecuaciones param´etricas/impl´ıcitas de un subespacio S, puesto que la variedad p + S esta formada por los vectores v tales que u = v − p est´a en S, esto ser´a equivalente a decir que u = v − p verifica las citadas ecuaciones de S. Ejemplo.- (Ecuaciones impl´ıcitas −→ Ecuaciones impl´ıcitas no redundantes, Ecuaciones param´etricas y una base). Consideremos el espacio nulo de la matriz   −1 2 0 3 A =  3 0 1 −1  . 1 4 1 5 Es decir, estamos considerando el conjunto S de los vectores x ∈ R4 cuyas coordenadas (x1 , x2 , x3 , x4 ) verifican las ecuaciones (impl´ıcitas)  −x1 + 2x2 + 3x4 = 0  3x1 + x3 − x4 = 0 .  x1 + 4x2 + x3 + 5x4 = 0 Haciendo operaciones fila sobre la matriz A ecuaciones del sistema) tenemos    −1 2 0 3 −1 F2 + 3F1    3 0 1 −1 0 A= F3 + F1 1 4 1 5 0

(que se corresponden con operaciones sobre las  2 0 3 6 1 8  6 1 8



 −1 2 0 3 - U =  0 6 1 8 . 0 0 0 0

F3 − F2

De hecho, refiri´endonos a la matriz original tenemos que F3 (A) = F2 (A)+2F1 (A). Equivalentemente, la tercera ecuaci´on del sistema original es combinaci´on lineal de las dos primeras con lo cual si un vector es soluci´on de las dos primeras tambi´en lo es de la tercera. Resumiendo, tenemos que [ ] [ ] −1 2 0 3 −1 2 0 3 S = Nul (A) = Nul = Nul (U ) = Nul 3 0 1 −1 0 6 1 8 Matem´aticas I.

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Tema 4.- Espacios vectoriales. Transformaciones lineales.

con lo cual nuestro conjunto S de vectores est´a caracterizado por las ecuaciones (no redundantes) } ( }) −x1 + 2x2 + 3x4 = 0 −x1 + 2x2 + 3x4 = 0 o por . 6x2 + x3 + 8x4 = 0 3x1 + x3 + x4 = 0 Resolviendo el sistema U x = 0 tenemos     Variables libres -1 2 0 3 0   x3 y x4 .   0 6 1 8 0  =⇒   Variables fijas  =⇒ 0 0 0 0 0 x1 y x2 .   x2 = 61 (−x3 − 8x4 ) ⇒  x1 = 2x2 + 3x4 = 26 (−x3 − 8x4 ) + 3x4 = − 31 x3 + 13 x4 

  x1  x2     ⇒   x3  = x3  x4

  1  − 31 3  8  − 16   + x4  − 6  .  0  1  0 1

Por tanto,    



  1 − 13 3  −1   −8 6 6    Nul (A) = Gen v1 =   , v2 =  0 1    0 1 

 − 31 13  −1 −8  6 6  = Col = Col   1 0  0 1

     = Gen   

  −2     −1 6v1 =   6    0

 1       , 3v2 =  −4    0    3 





 −2 1  −1 −4   .  6 0  0 3

Los vectores {v1 , v2 } forman una base de S = Nul (A). Los vectores de Nul (A) son los que pueden expresarse como combinaci´on lineal de v1 y v2 y, como consecuencia de la independencia lineal, cada vector de S s´olo puede expresarse de una forma como combinaci´on lineal de v1 y v2 . Los coeficientes que aparezcan en dicha combinaci´on lineal son las coordenadas del vector de S respecto a la base {v1 , v2 } (de S). El vector v = [−8 5 18 − 6] est´a en S y sus coordenadas respecto a {v1 , v2 } son la soluci´on de  1 1      − 3 3 −8 [ ]  −1 −8 5  λ 6 6 , v = λv1 + µv2 ≡  v  =  v1 v2  ≡   1 µ 0 18  0 1 −6 es decir, λ = 18, µ = −6 (v = 18v1 − 6v2 ). Ejemplo.- (Ecuaciones param´etricas −→ Ecuaciones param´etricas y Ecuaciones impl´ıcitas no redundantes y una base). Vamos a utilizar la misma matriz A del ejemplo anterior. El espacio columna de dicha matriz es, por definici´on de espacio columna, el conjunto de Matem´aticas I.

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4.2.- Espacios vectoriales de coordenadas.

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vectores y que se pueden expresar como combinaci´on lineal de las columnas de A, es decir los vectores y (con 3 coordenadas!) que se pueden expresar mediante           y1 −1 2 0 3 y =  y2  = α  3  + β  0  + γ  1  + δ  −1  y3 1 4 1 5 para ciertos α, β, γ, δ ∈ R. Esto es lo mismo que decir que el espacio columna est´a formado por los vectores y ∈ R3 para los que el sistema de ecuaciones Ax = y tiene soluci´on. En dicho caso, cada soluci´on del sistema Ax = y nos dar´ıa una forma de expresar y como combinaci´on lineal de las columnas de A. Obtengamos, para un vector gen´erico y ∈ R3 las condiciones de compatibilidad del sistema Ax = y, reduciendo la matriz ampliada del sistema [A|y] a forma escalonada. Haciendo las mismas operaciones fila que hemos hecho cuando hemos obtenido el espacio nulo tenemos     −1 2 0 3 y1 F2 + 3F1 −1 2 0 3 y1 -  0 6 1 8 y + 3y  [A|y] =  3 0 1 −1 y2  2 1 1 4 1 5 y3 F3 + F1 0 6 1 8 y3 + y1 F3 − F2



-1 - U = 0 0

2 6 0

 0 3 y1 . 1 8 y2 + 3y1 0 0 y3 − y2 − 2y1

Por tanto, el sistema Ax = y es compatible (determinado o indeterminado) ⇐⇒ la tercera ecuaci´on tiene soluci´on ⇐⇒ y3 −y2 −2y1 = 0. Es decir, el espacio columna de A est´a formado por los vectores y ∈ R3 cuyas coordenadas verifican la ecuaci´on (lineal homog´enea) y3 − y2 − 2y1 = 0. Se trata, por tanto, de un plano (en R3 ) que pasa por el origen de coordenadas. Adem´as, teniendo la forma escalonada U que hemos obtenido, tenemos que: las columnas 1 y 2 de U son linealmente independientes y las columnas 3 y 4 son combinaci´on lineal de las columnas 1 y 2. Por tanto, lo mismo sucede con las columnas correspondientes de la matriz A. Es decir, el espacio columna de A (generado por las 4 columnas) coincide con el espacio generado por las columnas 1 y 2 de A (no de U !). Los vectores dados por las columnas 1 y 2 de A forman una base de Col (A) puesto que son linealmente independientes y generan dicho espacio. Si denotamos por v1 , v2 , v3 y v4 a los vectores columna de A, cada vector y ∈ Col (A) se puede expresar de infinitas formas distintas como combinaci´on lineal de v1 , v2 , v3 y v4 puesto que el sistema de ecuaciones Ax = y es compatible (puesto que y ∈ Col (A)) indeterminado (puesto que hay 2 variables libres). Sin embargo, dicho vector y ∈ Col (A) s´olo puede exprearse de una forma como combinaci´on lineal de v1 y v2 puesto que el sistema de ecuaciones     [ ] y1  v1 v2  λ =  y 2  µ y3 tiene soluci´on u ´nica. Para discutir, y resolver, este sistema basta con suprimir las columnas 3 y 4 de la reducci´on que hemos hecho del sistema Ax = y con lo cual tenemos     -1 2 y1 −1 2 y1  3 0 y2  → · · · →  0 6 1y2 + 3y1  . 1 4 y3 0 0 y3 − y2 − 2y1 Matem´aticas I.

2012-2013

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Tema 4.- Espacios vectoriales. Transformaciones lineales.

La soluci´on u ´nica (λ, µ) de este sistema (compatible cuando y ∈ Col (A)) nos dar´a los coeficientes para los cuales se verifica y = λv1 + µv2 . Estos coeficientes (λ, µ) (´ unicos para cada vector y ∈ Col (A)) se denominan coordenadas de y respecto de la base {v1 , v2 }. Por ejemplo, las coordenadas del vector   1  y= 1  (∈ Col (A) puesto que y3 − y2 − 2y1 = 3 − 1 − 2 = 0) 3 respecto a la base {v1 , v2 } de Col (A) vienen dadas      [ ] -1 1  v1 v2  λ =  1  −→  0 µ 3 0 Ejemplo. Consideremos la matriz

por la soluci´on del sistema  [ ] [ 1 ] 2 1 λ  = 34 . 6 4 =⇒ µ 6 0 0

 −1 0 1 2 1  −2 2 2 5 0   A=  1 −4 0 −3 3  . −1 2 1 3 −1 

Con el mismo proceso de reducci´on a forma escalonada vamos a obtener: S1 = Nul (A) ⊂ K5 , unas ecuaciones param´etricas de S1 , S2 = Col (A) ⊂ K4 , unas ecuaciones impl´ıcitas de S2 ,... Reducimos a forma escalonada un sistema de ecuaciones Ax = y siendo y un vector gen´erico de K4 ,

[A|y]

F2 − 2F1  -1 0 1 F3 + F1  F4 − F1  0 2 0  0 −4 1 0 2 0  -1 0 1 F3 + 2F2  0 F4 − F2  0 2  0 0 1 0 0 0

 2 1 y1 1 −2 y2 − 2y1   −1 4 y3 + y1  1 0 y4 − y1 2 1 y1 1 −2 y2 − 2y1 1 0 −3y1 + 2y2 + y3 0 0 y1 − y2 + y4

   

Por tanto, tenemos: (a) El espacio columna de A: El sistema Ax = y es compatible si, y s´olo si, el vector y ∈ K4 verifica y1 −y2 +y4 = 0. Es decir Col (A) = {y ∈ K4 : y1 − y2 + y4 = 0}. Por otra parte, teniendo en cuenta la reducci´on que hemos hecho, los dos u ´ltimos vectores columna de A son combinaci´on lineal de los tres primeros y estos tres primeros vectores columna son linealmente independientes. Si denotamos por {v1 , v2 , v3 , v4 , v5 } los vectores columna de A, tenemos   Col (A) = Col  v1 v2 v3 

Matem´aticas I.

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4.3.- Bases de un subespacio.

105

y cada vector y ∈ Col (A) se puede expresar de infinitas formas distintas (cada una de las soluuciones del sistema Ax = y) como combinaci´on lineal de los vectores columna de A, pero de una u ´nica forma como combinaci´on lineal de {v1 , v2 , v3 }. (b) El espacio nulo de A, las soluciones del sistema Ax = 0: Puesto que al reducir hemos obtenido 2 variables libres, la soluci´on general del sistema homog´eneo se podr´a expresar en funci´on de 2 par´ametros arbitrarios, 

-1  0 [A|0] →   0 0

0 2 0 0

1 0 1 0

  2 1 0 -1   1 −2 0  F1 −F3  0 −→  1 0 0  0 0 0 0 0 

   x1 = x4 + x5  1 x2 = − 2 x4 + x5 =⇒  ⇔    x3 = −x4

x1 x2 x3 x4 x5





    =    

0 2 0 0

α+β − 12 α + β −α α β

Por tanto, el espacio nulo de A est´a generado por dientes,     1     −1      2   −1  u1 =  , u2 =        1      0

0 0 1 0 

 1 1 0 1 −2 0   1 0 0  0 0 0 

     = α    

1 − 12 −1 1 0





    +β    

1 1 0 0 1

   .  

los vectores, linealmente indepen1 1 0 0 1

       .     

Notemos por u ´ltimo que, puesto que al hacer la reducci´on del sistema Ax = 0 hemos obtenido una fila de ceros, dicha ecuaci´on es redundante en el sistema homog´eneo y por tanto tenemos que 

-1  Nul (A) = Nul 0 0

0 2 0

   1 2 1 −1 0 1 2 1 0 1 −2  = Nul  −2 2 2 5 0  . 1 −4 0 −3 3 1 1 0

4.3.- Bases de un subespacio. Ya hemos citado lo que es una base de un subespacio vectorial. Definici´ on. Dado un subespacio S de Kn distinto del subespacio trivial nulo S ̸= {0}, se dice que un conjunto de vectores {v1 , v2 , . . . , vr } de S es una base de S si: (a) {v1 , v2 , . . . , vr } es Linealmente Independiente, (b) {v1 , v2 , . . . , vr } genera S, S = Gen {v1 , v2 , . . . , vr }. Matem´aticas I.

2012-2013

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Tema 4.- Espacios vectoriales. Transformaciones lineales.

Las anteriores condiciones se pueden expresar de la matriz cuyas columnas son los vectores dados  .. .. . . ···   A =  v1 v2 . . . .. .. . . ···

forma matricial: Si denotamos por A a .. .



 vr   .. .

las columnas de A forman una base de un subespacio vectorial S si: (a) El sistema homog´eneo Ax = 0 tiene soluci´on u ´nica (condici´on equivalente a que los vectores sean linealmente independientes) y (b) S = Col (A), es decir S est´a formado por los vectores y ∈ Km para los que el sistema de ecuaciones Ax = y es compatible. Ejemplos. (1) Los vectores can´onicos de Kn ,    1    0   e1 =  ..   .    0





     , e2 =   

 0     ..       , . . . , en =  .    0    0 1  0 1 .. .





forman una base de Kn . (2) Los vectores {e1 , e1 + e2 , · · · , e1 + e2 + · · · + en } tambi´en forman una base de Kn . (3) Si tenemos una matriz A, m × n, y al reducir a forma escalonada obtenemos n pivotes, entonces los vectores columna de A forman una base del espacio columna de dicha matriz. En general, si al reducir a forma escalonada obtenemos r pivotes, las r columnas pivote de A (no de la forma escalonada U ) forman una base de Col (A). (4) Si una matriz cuadrada A, n × n, tiene inversa, sus n columnas formam una base del espacio total Kn . 4.3.1- Coordenadas. Dimensi´ on. Teorema/Definici´ on. (Coordenadas respecto de una base) Sea S un subespacio vectorial (S ̸= {0}) y sea {v1 , v2 , . . . , vr } una base de S. (1) Teorema. cada vector v de S se puede expresar de forma u ´nica como combinaci´on lineal de los vectores de la base dada, v = c 1 v1 + c 2 v2 + · · · + c r vr . (2) Definici´ on. Los coeficientes que aparecen en dicha expresi´on (c1 , . . . , cr ) se denominan coordenadas de v respecto a la base dada B = {v1 , v2 , . . . , vr } y se suele denotar   c1   [v]B =  ...  . cr Matem´aticas I.

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4.3.- Bases de un subespacio.

107

Teorema/Definici´ on. Consideremos un subespacio vectorial S ̸= {0} de Km . (1) Teorema. Se verifica: (a) S tiene base. (b) Todas las bases de S tienen el mismo n´ umero de elementos. (2) Definici´ on. Al n´ umero de elementos de una base de S se le denomina dimensi´ on de S. Por definici´on, la dimensi´on del subespacio nulo es cero. Si, al igual que antes, denotamos por A a la matriz cuyas columnas son los vectores dados   .. .. . . . · · · ..   .. , A= . v v v 1 2 r   .. .. .. . . ··· . para cada vector v (vector columna) de S se verifica que v = Ac para alg´ un vector de coeficientes c. De esta forma, todo subespacio se puede expresar como espacio columna de una matriz cuyas columnas sean los vectores de una base. Por tanto, se puede expresar mediante ecuaciones param´etricas, y elminando los param´etros se podr´an obtener unas ecuaciones impl´ıcitas que caractericen al subespacio dado. Teorema (El Teorema de la Base). Consideremos un subespacio vectorial S de Km de dimensi´on p y un conjunto de vectores {u1 , . . . , uq } ⊂ S: (a) Si {u1 , . . . , uq } generan S, entonces q ≥ p. Adem´as, q = p ⇐⇒ {u1 , . . . , uq } es una base de S. (b) Si {u1 , . . . , uq } es linealmente independiente, entonces q ≤ p. Adem´as, q = p ⇐⇒ {u1 , . . . , uq } es una base de S. En particular, si tenemos un conjunto de n vectores de Km : Si n > m, los n vectores no pueden ser linealmente independientes, Si n < m, los n vectores no pueden generar Km . 4.3.2.- Rango de una matriz. El teorema del rango. Definici´ on. Dada una matriz A, m × n, se llama rango de A a la dimensi´on de su espacio columna, es decir, a la dimensi´on del subespacio vectorial (de Km ) Col (A) = {combinaciones lineales de las columnas de A} = {Ax : x ∈ Kn } = {y ∈ Km : Ax = y es un S.C.} . Teniendo en cuenta la relaci´on entre la dimensi´on del espacio columna de A y la reducci´on de A a forma escalonada tenemos que rango(A) = n´ umero de pivotes de A. Para una matriz cuadrada A de orden n, teniendo en cuenta los resultados sobre la existencia de la inversa obtenemos que: A tiene inversa ⇐⇒ rango(A) = n. Teorema. Consideremos una matriz A, m × n. Se verifican: Matem´aticas I.

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Tema 4.- Espacios vectoriales. Transformaciones lineales.

(a) rango(A) = rango(AT ). Es decir, la dimensi´on del subespacio vectorial (de Kn ) generado por las m filas de A coincide con la dimensi´on del espacio columna de A (subespacio vectorial de Km generado por las n columnas de A): ( ) dim (Col (A)) = dim Col (AT ) . Es decir, si por un lado reducimos la matriz A a forma escalonada por filas (mediante operaciones fila) y por otro reducimos a forma escalonada por columnas (mediante operaciones columna), el n´ umero de pivotes que se tienen en ambas reducciones es el mismo. (b) Teorema del rango: dim (Col (A)) + dim (Nul (A)) = n. (c) En t´erminos de la reducci´on por filas de A a forma escalonada, el Teorema del rango se puede expresar mediante: (n´ umero de pivotes) + (n´ umero de variables libres) = n.

La propiedad (a) anterior no es otra cosa que la expresi´on de que al reducir a forma escalonada el n´ umero de filas-pivote coincide con el n´ umero de columnas-pivote. Si consideramos la transformaci´on lineal T : Kn −→ Km , asociada a una matriz A, m × n, el espacio imagen de la transformaci´on es el espacio columna de la matriz de la matriz A, Imagen(T ) = T (Kn ) = {T (x) ∈ Km : x ∈ Kn } = = {y ∈ Km : y = T (x) para alg´ un x ∈ Kn } = Col (A). Se trata, por tanto, de un subespacio vectorial de Km cuya dimensi´on es rango(A). Dada una matriz Am × n, la imagen, mediante la transformaci´on lineal T (x) = Ax, de cualquier subespacio vectorial S de Kn ser´a un subespacio vectorial T (S) de Km contenido en el espacio imagen (columna) y por tanto la dimensi´on de dicho subespacio T (S) ser´a menor o igual que el rango (y menor o igual que la dimensi´on del subespacio S original). Adem´as, si el subespacio S puede generarse con ciertos vectores {u1 , . . . , up } (en particular si {u1 , . . . , up } es una base de S) entonces T (S) puede generarse con {T (u1 ), . . . , T (up )}, S = Gen ({u1 , . . . , up }) =⇒ T (S) = Gen ({T (u1 ), . . . , T (up )}) . No obstante, el que {u1 , . . . , up } sea una base de S no implica que {T (u1 ), . . . , T (up )} sea una base de T (S). Por otra parte, si consideramos un subespacio vectorial H de Km , el conjunto de los vectores x ∈ Kn cuyos transformados T (x) = Ax pertenecen a H forman un subespacio vectorial de Kn . Ejercicio. Sea A una matriz m × n y B una matriz n × p, prueba que rango(AB) ≤ m´ın {rango(A), rango(B)} . Matem´aticas I.

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4.3.- Bases de un subespacio.

109

4.3.3.- Cambios de Base. Todas las bases de Kn est´an formadas por n vectores. Puesto que en ese caso tendremos n vectores linealmente independientes con n coordenadas cada uno, la matriz cuadrada formada por dichos vectores como vectores columna tiene inversa (y los vectores columna de dicha matriz inversa formar´an otra base de Kn ). Por otra parte, tambi´en los vectores fila de cada una de las dos matrices citadas ser´an una base de Kn . Para comprobar si n vectores forman una base de Kn bastar´a con reducir a forma escalonada la matriz formada por dichos vectores como vectores columna y comprobar si se obtienen n pivotes o menos. Notemos que, puesto que el orden de los vectores no influye en si ´estos forman base o no, en la matriz citada podemos intercambiar las columnas. De hecho, podr´ıamos hacer operaciones columna. Ejemplo. Sean e1 , e2 , . . . , en los vectores can´onicos de Kn . Los vectores e1 , e1 + e2 , e1 + e2 + e3 , . . . , e1 + e2 + · · · + en forman una base de Kn . Para calcular las coordenadas de un vector gen´erico x ∈ Kn respecto de esta base basta con resolver el sistema (con t´ermino independiente x)      1 1 ··· 1 α1 x1  0 1 · · · 1   α2   x2        .. .. . . ..   ..  =  ..  .  . . . .  .   .  0 0 ··· 1 αn xn Resolvemos el sistema     





1 · · · 1 x1   1 · · · 1 x2    .. . . .. ..  −→   . . .  .  0 0 · · · 1 xn

1 0 .. .

0 0 · · · 0 x1 − x2 1 0 · · · 0 x2 − x3 .. .. . . . . . . . .. . . 0 0 · · · 1 0 xn−1 − xn 0 0 ··· 0 1 xn 1 0 .. .

    .  

Por tanto, las coordenadas de x respecto a la base dada son     α1 x1 − x2  α2   x2 − x3        ..   . . .  . = .      αn−1   xn−1 − xn  xn αn Dada una base V = {v1 , v2 , . . . , vn } de Kn , las coordenadas de un vector x ∈ Kn respecto a dicha base son los coeficientes (´ unicos) α1 , α2 , . . . , αn para los cuales se verifica      .. .. .. x1 α1 . . ··· .  x2        α2   = x = α1 v1 + α2 v2 + · · · + αn vn = x ≡  v1 v2 . . . vn   ..    .   ..   .  .. .. . . . · · · .. xn αn Matem´aticas I.

2012-2013

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Tema 4.- Espacios vectoriales. Transformaciones lineales.

S´olo vamos a considerar cambios de bases entre bases del espacio total Kn . No consideraremos el problema de cambio de base entre bases de un subespacio. Dadas dos bases U = {u1 , u2 , . . . , un }

y V = {v1 , v2 , . . . , vn }

de Kn se trata de hallar la relaci´on entre las coordenadas de un vector x ∈ Kn respecto de ambas bases. Las coordenadas de un vector x ∈ Kn respecto a U vienen dadas por un vector [x]U que verifica que    x= 

x1 x2 .. .



   , 

α1 α2 .. .

  [x]U =  

xn

    ⇔ x = α1 u1 + α2 u2 + · · · + αn un 

αn    ⇔ 

La matriz



.. .

x1 x2 .. .





.. .

.. .

     =  u1 u2  .. .. . . xn

 ···   .. . un    .. ··· . .. .

α1 α2 .. .

   . 

(∗)

αn

 . · · · ..  .. . un   .. ··· .

.. .

  u u  1 2 .. .. . .

que relaciona las coordenadas de un mismo vector x respecto a la base can´onica con las coordenadas del mismo vector x respecto a la base U se denomina matriz del cambio de base U −→ C de U a la base can´onica C = {e1 , e2 , . . . , en } y se denota por 

.. .

.. .



.. .

···   P  =  u1 u2 . . . un  , C←U .. .. .. . . ··· . Puesto que la  α1  α2   ..  . αn ( la matriz

igualdad (∗) es   .. .. .   .    =  u1 u2  .. .. . .

P C←U

equivalente a   .. −1 ··· .    .. . un     .. ··· .

P [x]U C←U

    

( ≡

[x]U =

P C←U

)−1 [x]C

xn

)−1 es la matriz del cambio de base C → U con lo cual P = U ←C

Matem´aticas I.

x1 x2 .. .

x = [x]C =

(

P C←U

)−1 . Ingenier´ıa Civil

4.3.- Bases de un subespacio.

111

De forma an´aloga, si tenemos dos bases distintas de Kn , B = {v1 , v2 , . . . , vn }

y U = {u1 , u2 , . . . , un }

podr´ıamos obtener las matrices de cambio de base B −→ U y U −→ B de la misma forma que lo que acabamos de hacer si conoci´eramos las coordenadas de los vectores de una base respecto a la otra. Si conocemos las coordenadas de los vectores de ambas bases respecto, por ejemplo, a la base can´onica, podemos considerar un planteamiento similar. Denotemos las coordenadas de un vector gen´erico, x ∈ Kn , respecto de ambas bases B y U mediante     β1 α1     [x]B =  ...  , [x]U =  ...  . βn αn Tenemos entonces que x = α1 v1 +· · ·+αn vn = β1 u1 +· · ·+βn un y expresando estas igualdades en forma matricial tenemos que         x1 α1 β1       x =  ...  =  v1 v2 · · · vn   ...  =  u1 u2 · · · un   ...  x3 αn βn es decir, siendo B la matriz cuyas columnas son los vectores de la base B y siendo U la matriz cuyas columnas son los vectores de la base U se verifica que x = B [x]B = U [x]U . De estas expresiones podemos obtener las matrices de cambio de base, [x]B = B −1 U [x]U =⇒

P = B −1 U, B←U

[x]U = U −1 B [x]B =⇒

P = U −1 B. U ←B

Ejemplos. (1) Vamos a calcular las matrices de cambio de base entre la base can´onica de R3 y la base { } B = v1 = [−2 1 0]T , v2 = [1 − 2 3]T , v3 = [−1 0 − 1]T . Siendo las coordenadas de un vector gen´erico x ∈ R3 respecto a B y respecto a la base can´onica respectivamente,     x1 α1 x =  x2  [x]B =  α2  , x3 α3 Matem´aticas I.

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Tema 4.- Espacios vectoriales. Transformaciones lineales.

se verifica que     x1 α1 x = α1 v1 + α2 v2 + α3 v3 ≡  x2  =  v1 v2 v3   α2  . x3 α3 

Por tanto, la matriz  P =  v1 v2





 −2 1 −1 v3  =  1 −2 0  0 3 −1

(cuyas columnas son las coordenadas de los vectores B respecto a la base C) es la matriz P del cambio de base B −→ C, puesto que C←B x = [x]C = P [x]B ,

∀x ∈ R3 .

Puesto que la inversa P −1 verifica [x]B = P −1 [x]C , ∀x ∈ R3 dicha matriz es la del cambio de base C −→ B. Resumiendo,     −2 1 −1 2 −2 −2 1 P P = P −1 = −  1 2 −1  . = P =  1 −2 0  , 6 B←C 0 3 −1 3 6 3 C←B (2) Calculemos las matrices de cambio de base entre las bases        −1  1 −2  y B = v1 =  1  , v2 =  −2  , v3 =  0    −1 3 0        1 −1 −1   U = u1 =  2  , u2 =  −2  , u3 =  3  .   1 2 2 Denotemos las coordenadas de un vector gen´erico x ∈ R3 respecto de ambas bases B y U mediante     β1 α1 [x]B =  α2  , [x]U =  β2  . β3 α3 Tenemos entonces que x = α1 v1 + α2 v2 + α3 v3 = β1 u1 + β2 u2 + β3 u3 . Escribiendo estas igualdades en forma matricial         −2 1 −1 1 −1 −1 x1 α1 β1  x2  =  1 −2 0   α2  =  2 −2 3   β2  x3 α3 β3 0 3 −1 1 2 2 obtenemos

Matem´aticas I.

  −1    −2 1 −1 α1 1 −1 −1 β1  α2  =  1 −2 0   2 −2 3   β2  . α3 0 3 −1 β3 1 2 2 

Ingenier´ıa Civil

4.3.- Bases de un subespacio.

113

Por tanto, 

−1      −2 1 −1 1 −1 −1 2 −2 −2 1 −1 −1 P =  1 −2 0   2 −2 3  = − 61  1 2 −1   2 −2 3  B←U 0 3 −1 1 2 2 3 6 3 1 2 2 

 4 2 12 = 16  −4 7 −3  . −18 9 −21 An´alogamente podr´ıamos obtener 

−1

 P P = U ←B B←U

Matem´aticas I.



 −20 25 −15 1  −5 22 −6  . = 15 15 −12 6

2012-2013

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Tema 4.- Espacios vectoriales. Transformaciones lineales.

4.4.- Ejercicios. 4.4.1.- Enunciados. Ejercicio 1. Determina cu´ales de los siguientes conjuntos de vectores son subespacios vectoriales, cu´ales son variadades y cu´ales no son ni lo uno ni lo otro: (a) El conjunto de los vectores (x1 , x2 ) ∈ R2 cuyas coordenadas verifican, respectivamente, (a1) x1 x2 = a (a ∈ R), (a2) x1 + 2x2 = 0 ´o x1 − x2 = 0, (a3) x21 + x22 = a (a ∈ R), (a4) x1 + 2x2 = a y x1 − x2 = b, (a, b ∈ R). (b) El conjunto de los vectores (x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 cuyas coordenadas verifican, respectivamente, (b1) (x1 + x2 )(x2 + x3 ) = 0, (b2) x1 = 0 y (x2 = 0 ´o x3 = 0),

    x1 = α, 2 x = α + α , (b3) Se pueden expresar de la forma 2   x3 = 0,

para alg´ un α ∈ R.

(b4) x1 + x2 + x3 ≤ 0. (c) El conjunto de los vectores (a1 , a2 , . . . , an ) ∈ Rn cuyas coordenadas verifican, respectivamente, (c1) Cada una de las coordenadas a3 , . . . , an es la media (aritm´etica) de las coordenadas anteriores, (c2) Cada una de las coordenadas a3 , . . . , an es la media geom´etrica de las dos coordenadas anteriores, a1 + a2 t + a3 t2 + · · · + an tn−1 vale 3 para t = 1. Ejercicio 2. Determina dos bases distintas de cada uno de los subespacios siguientes as´ı como ecuaciones impl´ıcitas independientes para cada uno de ellos: (a) Vectores de R3 que pueden expresarse como combinaci´on lineal de     −1 1    0 v1 = y v2 = 1  2 1 y cuyas coordenadas verifican la ecuaci´on x1 − x2 + x3 = 0. (b) Subespacio de R4 generado por los vectores      −1 2 1  0   0   1     v1 =   2  , v2 =  −4  v3 =  1 0 0 1 Matem´aticas I.





 3     y v4 =  2  .  0   2 Ingenier´ıa Civil

4.4.- Ejercicios.

115

(c) Subespacio de R4 definido por las ecuaciones impl´ıcitas   x1 − x2 + x3 − x4 = 0, −2x1 + x2 + x3 = 0,  3x1 − 2x2 − x4 = 0.

Ejercicio 3. Sea V la variedad de R4  x1    x2 x3    x4

dada por las ecuaciones param´etricas = = = =

1 + α − β + 2γ, −1 + 2α + β, 2 + 2α − 7γ, β + γ.

Determina una base (del subespacio director) y la dimensi´on de V y halla unas ecuaciones impl´ıcitas.

Ejercicio 4. (1) Determina el rango de las siguientes matrices:    0 1 −1 2 0 −1  0 2 1   2 −2  3 A= , B=  0 1 −1 2  2 0  0 0 −1 −2 3 0

 1 −1 2 2 3 2  . 1 2 2  1 0 −2

(2) Sea A una matriz 20 × 15 cuyo rango es rango(A) = 12. Determina la dimensi´on de los siguientes subespacios vectoriales, Col (A), Nul (A), Col (AT ) y Nul (AT ).

Ejercicio 5.  1  0 T  0 1

Determina la matriz de una       1 1 0   0   0   1  =  , T   =    1   1   1 2 2 0

aplicaci´on lineal T : R4 → R4 sabiendo         0 0 0 1   1   0   0   0 , T   =  , T   =    1   0   0   0 0 1 1 0

Ejercicio 6. Sea T : R3 → R4 la transformaci´on lineal que verifica            1 0 1 1 1  −1   −3       T 2 = , T 1 = , T 0 =    −1 0 0 0 1 2 3

que   . 

 1 −4  . −1  5

(a) Calclula la matriz A de dicha transformaci´on. Matem´aticas I.

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Tema 4.- Espacios vectoriales. Transformaciones lineales.

(b) Encuentra un sistema generador linealmente independiente y unas ecuaciones impl´ıcitas de Col (A). (c) Obt´en un conjunto linealmente independiente de vectores que genere el subespacio Nul (A). Ejercicio 7. Determina la matriz A de una transformaci´on lineal T : R3 −→ R2 sabiendo que el espacio nulo de A viene dado por la ecuaci´on impl´ıcita x1 − x2 − x3 = 0 y que   [ ] 1 2     1 T = . −1 1 Ejercicio 8. Se considera la transformaci´on lineal T cuya matriz asociada es [ ] 1 2 1 2 A= . 2 4 1 3 (a) Determina el espacio columna de A, Col (A). (b) Calcular los vectores del n´ ucleo de T que, a su vez, verifican el sistema de ecuaciones { x1 + 4x2 − 2x3 + x4 = 2, x1 + 6x2 − 4x3 + x4 = 4. (c) Sea V el conjunto de los vectores encontrados en el apartado anterior. ¿Es V un subespacio vectorial de R4 ? Justifica la respuesta. Ejercicio 9. Siendo e1 , e2 , e3 los vectores de la base can´onica de R3 y sabiendo que los vectores {u1 , u2 , u3 } e1 = 2u1 + 2u2 + u3 , e2 = u1 − 2u2 + 2u3 , e3 = −2u1 + u2 + 2u3 , se˜ nala la relaci´on correcta:   2 2 1 (a) [e1 e2 e3 ] =  1 −2 2  [u1 u2 u3 ] . −2 1 2  −1   2 2 1 2 1 −2 (b) [u1 u2 u3 ] =  1 −2 2  = 91  2 −2 1  . −2 1 2 1 2 2   −1  2 1 −2 2 2 1 (c) [u1 u2 u3 ] =  2 −2 1  = 91  1 −2 2  . 1 2 2 −2 1 2 Ejercicio 10. Consideremos los siguientes vectores de R5 ,       1 1 2  5   1   1         4   0 , , −1 v = v = v1 =  3 2        2   1   3  1 1 2 Matem´aticas I.

 y

  v4 =   

2 6 4 3 2

   .  

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4.4.- Ejercicios.

117

(a) ¿Son v1 , v2 , v3 y v4 linealmente independientes? (b) ¿Es v4 combinaci´on lineal de v1 , v2 y v3 ? (c) ¿Es v1 combinaci´on lineal de v2 , v3 y v4 ? (d) ¿Es v4 combinaci´on lineal de v1 y v2 ? (e) ¿Es v4 combinaci´on lineal de v2 y v3 ? (f ) ¿Son v1 , v2 y v3 linealmente independientes?

Ejercicio 11. Sea f : R3 → R4 la aplicaci´on lineal  1 2 −3  2 −1 4 f (x) =   3 a 1 b 4 −b

dada por     x1   x2  .  x3

Determinar las condiciones a satisfacer por a y b para que el vector v = (−1, 3, 2, b − 4) verifique respectivamente: (a) No pertenezca a la imagen de f . (b) Sea la imagen de un u ´nico vector de R3 . (c) Sea la imagen de infinitos vectores de R3 .

Ejercicio 12. Sea T : R2 → R2 la transformaci´on que hace corresponder al punto P = (x1 , x2 ) el punto Q = (−x1 , x2 ). Se˜ nala la u ´nica opci´on que es correcta. es una transformaci´on que no est´a bien definida. es una aplicaci´on lineal que se representa, respecto de las bases can´onicas, por la matriz [ ] −1 0 A= . 0 1 es una transformaci´on, pero no es lineal porque tiene por ecuaciones   y1 = −x1 cos π2 + x2 sen π2 , 

y2 = x1 sen π2 + x2 cos π2 .

Ejercicio 13. (a) Demuestra que para una matriz cuadrada A se verifica que Nul (A) ⊆ Nul (A2 ) ⊆ · · · y Col (A) ⊇ Col (A2 ) ⊇ · · · Matem´aticas I.

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Tema 4.- Espacios vectoriales. Transformaciones lineales.

(b) Demuestra que para dos matrices A y B con las dimensiones adecuadas se verifica que Nul (B) ⊆ Nul (AB) y Col (A) ⊇ Col (AB). Ejercicio 14. Extender a una base de Rn el conjunto linealmente independiente que se da: (a) {v1 = (1, 1, 1)} en R3 . (b) {v1 = (1, 3, 4), v2 = (1, 0, 2)} en R3 . (c) {v1 = (1, 1, 0), v2 = (1, 3, 0)} en R3 . (d) {v1 = (1, 1, 0, 1), v2 = (2, 1, 0, 3)} en R4 . Ejercicio 15. Dadas las bases de R2 [ ] [ ] −5 2 B1 = {u1 = , u2 = } y 2 1

[ B2 = {v1 =

−3 1

]

[ , v2 =

] −4 }, 1

se pide: (a) Hallar las matrices de cambio de base entre B1 y B2 . (b) Obtener las coordenadas, [ ]en la base B2 , del vector v cuyas coordenadas respecto de la 2 base B1 son [v]B1 = . 1 Ejercicio 16. Consideremos la base B = {(2, 1), (−3, −1)} de R2 . (a) Obtener, en dicha base, las ecuaciones impl´ıcitas y las param´etricas de los subespacios que en la base can´onica vienen definidos mediante: E ≡ x1 + x2 = 0, F ≡ x1 − 2x2 = 0, G = Gen {(3, 1)}. (b) Obtener, en la base can´onica, las ecuaciones impl´ıcitas y las param´etricas de los subespacios que en la base B vienen definidos mediante: E ≡ y1 + 5y2 = 0, F ≡ y2 = 0, G = Gen {(1, 0)B }.

Ejercicio 17. Halla las ecuaciones param´etricas de Nul (A), siendo A la matriz   1 −2 0 0  1 −3 3 0    1 −1 0  A=  0 .  −1 2 4 0  2 −3 −1 0

Matem´aticas I.

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4.4.- Ejercicios.

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4.5.1.- Soluciones. Ejercicio 1. (a) (a1) El conjunto considerado no es subespacio vectorial y es inmediato comprobar que tampoco es una variedad. (a2) x1 + 2x2 = 0 ´o x1 − x2 = 0. El conjunto considerado no es un subespacio vectorial. Puede comprobarse que tampoco es una variedad (al desplazar dos rectas que pasan por el origen se obtienen otras dos rectas). (a3) x21 + x22 = a (a ∈ R), Para a = 0 el u ´nico vector que verifica la ecuaci´on es el vector nulo y por tanto, se trata de un subespacio vectorial. Para a < 0, no hay ning´ un vector (x1 , x2 ) ∈ R2 que verifique la ecuaci´on. Por tanto, se trata del conjunto vac´ıo que no es ni un subespacio vectorial ni una variedad. Para a > 0, la ecuaci´o√n dada determina la circunferecia de centro el origen de coordenadas y radio a. Por tanto, no es ni un subespacio vectorial ni una variedad. (a4) Si a = b = 0, se trata de un subespacio vectorial puesto que el conjunto considerado est´a definido como el espacio nulo de una matriz, adems resolviendo el sistema que caracteriza al conjunto tenemos que el u ´nico vector que verifica las dos ecuaciones es el vector nulo. Si a ̸= 0 o b ̸= 0, el conjunto de vectores considerado es una variedad (es un u ´nico punto) cuyo subespacio director viene dado por las ecuaciones impl´ıcitas x1 + 2x2 = 0 y x1 − x2 = 0, es decir el subespacio director es el subespacio nulo. (b) (b1) Es el conjunto formado por dos planos (que no es lo mismo que la recta intersecci´on). Obviamente dicho conjunto no es ni un subespacio ni una variedad. (b2) Dicho conjunto no es ni un subespacio ni una variedad. (b3) Eliminando el par´ametro α, el conjunto citado es el de los vectores cuyas coordenadas verifican { x2 = x1 + x21 , x3 = 0. Es decir, se trata de una par´abola (en R3 ) que est´a contenida en uno de los planos coordenados. Obviamente dicho conjunto no es ni un subespacio ni una variedad. (b4) El vector (−1, 0, 0) verifica la inecuaci´on dada, sin embargo, −2(−1, 0, 0) = (2, 0, 0) no la verifica. Por tanto, no es un subespacio vectorial. De la misma forma, tampoco se trata de una variedad. (c) (c1) Las condiciones que caracterizan a los vectores del conjunto considerado vienen Matem´aticas I.

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Tema 4.- Espacios vectoriales. Transformaciones lineales.

dadas  a3       a4  ..   .    a n

por las siguientes ecuaciones,    = 12 (a1 + a2 ) ,    a + a − 2a = 0, 1 2 3                1 = 3 (a1 + a2 + a3 ) , a + a + a − 4a = 0, 1 2 3 4 ≡   .. .. .. .. ..       . . . . .          1 = n−1 (a1 + · · · + an−1 ) , a1 + · · · + an−1 − (n − 1)an = 0. 

Es decir, el conjunto considerado puede caracterizarse como el espacio nulo de una matriz. por tanto, es un subespacio vectorial. √ (c2) La media geom´etrica de dos n´ umeros (reales positivos) α y β es γ = αβ. Obviamente el conjunto considerado no es un subespacio vectorial puesto que un m´ ultiplo con coeficiente negativo de un elemento del conjunto no est´a en el conjunto. Tampoco es una variedad.

Ejercicio 2. (a) Se trata del subespacio generado por el vector v1 = [−2, −1, 1]T (la recta que pasa por el origen de coordenadas y tiene a dicho vector como vector direcci´on). Una base, {v1 }. Otra base, {−2v1 }. Ecuaciones imp´ıcitas:

(b)

{

x1 + 2x3 = 0, x2 + x3 = 0.

Observaci´ on.- El subespacio estaba originalmente definido como la intersecci´on de un plano que ven´ıa dado en forma param´etrica con un plano que ven´ıa dado en forma impl´ıcita. Lo u ´nico que hemos hecho ha sido expresar la recta intersecci´on en forma param´etrica y en forma impl´ıcita. { } 2x1 − 3x2 + x3 = 0 Ecuaciones impl´ıcitas no redundantes . −x2 + x4 = 0      −1 1       0   1      . ,v = Una base v1 =  2  3  1       0 1 Otra base {v1 , v3 + v1 }.

(c)

El subespacio considerado puede caracterizarse mediante cualesquiera de las siguientes parejas de ecuaciones impl´ıcitas no redundantes (y otras muchas), { } { } x1 − x2 + x3 − x4 = 0 x1 − 2x3 + x4 = 0, , y . −x2 + 3x3 − 2x4 = 0 −x2 + 3x3 − 2x4 = 0. Una base es

Matem´aticas I.

   



  2 −1  3   −2   v1 =   1  , v2 =  0    0 1

     .    Ingenier´ıa Civil

4.4.- Ejercicios.

121

Otra base es {v1 , v2 − 3v1 }.

Ejercicio 3.

La ecuaci´on impl´ıcita de V viene dada por: −12x1 + 13x2 − 7x3 − 25x4 = −39.

Una base de S, el subespacio       v1 =     

director de V , es     2 −1 1  0  1  2  ,v =  ,v =  2  2  0  3  −7 1 0 1

     .   

Ecuaci´on impl´ıcita de S : −12x1 + 13x2 − 7x3 − 25x4 = 0. dim (V ) = dim (S) = 3.

Ejercicio 4. (a) Reduciendo a forma escalonada se obtiene rango(A) = rango(B) = 3. (b)

dim (Col (A)) = 12. dim (Nul (A)) = 15 − 12 = 3. ( ) dim Col (AT ) = rango(AT ) = rango(A) = 12. ( ) dim Nul (AT ) = 20 − 12 = 8.

Ejercicio 5. La matriz A  1 0  0 1 A=  1 1 2 0

es 0 0 0 1

 1 1 −1 1   0   0 −1 1 1 0 0  0 −1 1 −1 0

  0 0 2 −2   0   0 −1 1 = 0   1 0 0 1 2 3 −2

 1 0  . 0  0

Ejercicio 6. (a) La matriz A asociada a la transformaci´on T es   −1 1 2  −5 2 1   A=  1 −1 −2  . 4 −1 1 Matem´aticas I.

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(b)

Tema 4.- Espacios vectoriales. Transformaciones lineales.

Un sistema generador linealmente independiente de Col (A) es      −1 1       −5   2     v1 =   1  , v2 =  −1       4 −1 Unas ecuaciones impl´ıcitas vienen dadas por { x1 − 2x2 − x4 = 0, x1 + x3 = 0. .

(c) Un conjunto generador linealmente independiente de Nul (A) es    5    u1 = 3  .   1

[ Ejercicio 7. A =

−2 2 2 1 −1 −1

] .

Ejercicio 8. (a) El espacio columna de A es Col (A) = R2 . (b)



  x1 −2  x2   1     x3  =  0 x4 0





 1     + λ  −1  , ∀λ ∈ R.   −1  1

(c) Obviamente V no es un subespacio vectorial, el vector nulo no est´a en V .

Ejercicio 9. Las relaciones dadas entre los vectores de la base can´onica {e1 , e2 , e3 } y los vectores de la base B = {u1 , u2 , u3 } pueden expresarse en forma matricial      2 1 −2  e1 e2 e3  =  u1 u2 u3   2 −2 1  =⇒ (c). 1 2 2

Ejercicio 10. (a) v1 , v2 , v3 y v4 no son linealmente independientes. (b) v4 es combinaci´on lineal de v2 y v3 , Matem´aticas I.

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4.4.- Ejercicios.

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(e) y, por tanto, de v1 , v2 y v3 . (c) v1 no es combinaci´on lineal de v2 , v3 y v4 . (d) v4 no es combinaci´on lineal de v1 y v2 . (f ) los vectores {v1 , v2 , v3 } son Linealmente Independientes.

Ejercicio 11. (Comparar con los resultados obtenidos en el Ejercicio 9 del Tema 3) (a) Para un vector v ∈ R3 , v∈ / Im (f ) ≡ f (R3 ) ⇔ Ax = v es un sistema incompatible ⇔ (ver Ejercicio 9) (b) Un vector v ∈ R3 es imagen de un u ´nico vector de R3 ⇔ Ax = v es un sistema compatible determinado ⇔ (ver Ejercicio 9) (c) Un vector v ∈ R3 es imagen de infinitos vectores de R3 ⇔ Ax = v es un sistema compatible indeterminado ⇔ (ver Ejercicio 9)

Ejercicio 12. X es una aplicaci´on lineal que se representa, respecto de las bases can´onicas, por la matriz ] [ −1 0 . A= 0 1

Ejercicio 13. (a) Comprobemos que Nul (A) ⊆ Nul (A2 ), las otras inclusiones se pueden obtener de forma an´aloga, Si x ∈ Nul (A) =⇒ Ax = 0 =⇒ AAx = 0 =⇒ x ∈ Nul (A2 ) Comprobemos que Col (A2 ) ⊆ Col (A), las otras inclusiones se pueden obtener de forma an´aloga: y ∈ Col (A2 ) =⇒ ∃x tal que A2 x = y =⇒ A(Ax) = y =⇒ y ∈ Col (A). (b)

Si x ∈ Nul (B) =⇒ Bx = 0 =⇒ ABx = 0 =⇒ x ∈ Nul (AB). y ∈ Col (AB) =⇒ ∃x tal que ABx = y =⇒ A(Bx) = y =⇒ y ∈ Col (A)puesto que ∃z = Bx tal que Az = y.

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Tema 4.- Espacios vectoriales. Transformaciones lineales.

Ejercicio 14. (a) Primero tomamos un vector que no est´e en la recta generada por v1 , por ejemplo v2 = e1 . A continuaci´on tomamos un vector que no est´e en el plano generado por v1 y v2 , por ejemplo v3 = (0, 1, 2). Y ya est´a. (b) Basta tomar un vector que no est´e en el plano determinado por v1 y v2 . Puesto que la ecuaci´on del plano es 6x1 + 2x2 − 3x3 =, podemos tomar v3 = e1 , por ejemplo. (c) Basta tomar v3 = e3 . (d) Para obtener una base de R4 hacen falta dos vectores linealmente independientes que sean linealmente independientes con v1 y v2 . Si obtenemos unas ecuaciones impl´ıtas del subespacio que generan v1 y v2 tendremos dos ecuaciones impl´ıtas. Si tomamos un vector v3 que verifique una de dichas ecuaciones y no la otra y un vector v4 que verifique la otra pero no la primera, ya estar´a.

Ejercicio 15. (a)

[ AB1 →B2 =

[ (b) [v]B2 =

3 −2 −1 1

]

[ AB2 →B1 =

1 2 1 3

]

] 4 . −1

Ejercicio 16. (a) Llamemos y1 e y2 las coordenadas en la base B, tenemos para E ≡ x1 + x2 = 0, ecuaciones impl´ıtas: 3y1 − 4y2 = 0 y las ecuaciones param´etricas: { y1 = 43 α α ∈ R. y2 = α para F ≡ x1 − 2x2 = 0, ecuaciones impl´ıtas: y2 = 0 y ecuaciones param´etricas: y1 = α, y2 = 0. para G, ecuacions impl´ıtas: y1 = 0 y ecuaciones param´etricas: y1 = 0, y2 = α. (b) Expresando, en cada caso, y1 e y2 en funci´on de x1 y x2 tenemos E ≡ −6x1 + 13x2 = 0, F ≡ −x1 + 2x2 = 0. G ≡ x1 − 2x2 = 0. Ejercicio 17. Una base de Nul (A) es e4 , por lo tanto Nul (A) = Gen {e4 } .

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