TEMA 4: Espacios y subespacios vectoriales

1.

Espacios vectoriales

Sea K un cuerpo. Denominaremos a los elementos de K escalares. Definici´ on 1. Un espacio vectorial sobre K es un conjunto V cuyos elementos se denominan vectores y en el cual hay definidas dos operaciones: una operaci´on interna o suma de vectores tal que (V, +) es un grupo abeliano El elemento neutro los denotamos como ~0 (para distinguirlo del elemento neutro del cuerpo K) , y lo llamaremos el vector cero. Adem´as hay definida una operaci´on llamada el producto de un escalar por un vector, es decir, una aplicaci´on K × V → V , verificando para cualesquiera λ, λ1 , λ2 ∈ K y para cualesquiera u, v ∈ V que: 1. λ(u + v) = λu + λv 2. (λ1 + λ2 )u = λ1 u + λ2 u 3. λ1 (λ2 u) = (λ1 · λ2 )u 4. 1 · u = u Ejemplos 2. 1. El conjunto V = R × R es un espacio vectorial sobre el cuerpo R con respecto de la operaciones (x1 , x2 ) + (y1 , y2 ) = (x1 + y1 , x2 + y2 ),

λ · (x1 , x2 ) = (λ · x1 , λ · x2 )

El vector cero es ~0 = (0, 0). 2. Sea V = Q[x]3 = {a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x3 | ai ∈ Q} el conjunto de todos los polinomios con coeficientes en Q y de grado menor o igual que tres. Entonces V es un espacio vectorial sobre Q con respecto de las operaciones suma de polinomios y el producto de un escalar por un polinomio: λ · (a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x3 ) = (λa0 ) + (λa1 )x + (λa2 )x2 + (λa3 )x3 3. Si V1 , V2 , . . . , Vn son espacios vectoriales sobre un mismo cuerpo K, entonces el producto cartesiano V = V1 × V2 × . . . × Vn es de nuevo un espacio vectorial sobre K respecto de las operaciones (u1 , u2 , . . . , un ) + (v1 , v2 , . . . , vn ) = (u1 + v1 , u2 + v2 , . . . , un + vn ) λ · (u1 , u2 , . . . , un ) = (λ · u1 , λ · u2 , . . . , λ · un ) El vector cero de V es ~0V = (~0V1 , ~0V2 , . . . , ~0Vn ). 1

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4. El conjunto V = {(x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 | x1 − 4x2 − 5x3 = 0} es un espacio vectorial sobre R. V tambi´en se puede describir como el conjunto {λ1 · (4, 1, 0) + λ2 · (5, 0, 1) | λ1 , λ2 ∈ R} 5. M´as generalmente, el conjunto de las soluciones de un sistema homog´eneo de ecuaciones lineales sobre un cuerpo K, es un espacio vectorial sobre K. 6. Es inmediato comprobar que todo cuerpo K se puede considerar como un espacio vectorial sobre s´ı mismo. En este caso, las operaciones sobre vectores coinciden con las correspondientes operaciones sobre escalares. 7. El conjunto Mm×n (K) es un espacio vectorial sobre K. Las siguientes propiedades generales se deducen de la definici´on de espacio vectorial: Propiedad 3. Sea V un espacio vectorial sobre K. Entonces: 1. ∀u ∈ V, 0 · u = ~0 2. ∀λ ∈ K, λ · ~0 = ~0 3. Dados λ ∈ K, u ∈ V , si λ · u = ~0 entonces λ = 0 ´ o u = ~0. 4. ∀λ ∈ K, ∀u ∈ V , (−λ)u = −(λu) = λ(−u) 5. ∀λ ∈ K, ∀u, v ∈ V , λ(u − v) = λu − λv 6. ∀λ1 , λ2 ∈ K, ∀u ∈ V , (λ1 − λ2 )u = λ1 u − λ2 u 7. Dados λ, µ ∈ K y u 6= ~0, si λ · u = µ · u entonces λ = µ. 8. Dados λ ∈ K,λ 6= 0, y u, v ∈ V , si λ · u = λ · v entonces u = v. Definici´ on 4. Dados los vectores u1 , u2 , . . . , un ∈ V , y los escalares λ1 , λ2 , . . . , λn ∈ K, un vector de la forma λ1 u 1 + λ 2 u 2 + . . . + λn u n se denomina una combinaci´ on lineal de los vectores u1 , u2 , . . . , un con coeficientes λ1 , λ2 , . . . , λn .

2.

Subespacios vectoriales

Dado un espacio vectorial V , decimos que un subconjunto no vac´ıo U ⊆ V , es un subespacio vectorial de V cuando al restringir las operaciones de suma y multiplicaci´on por escalares para V a U , ´este es un espacio vectorial. Formalmente, lo que estamos diciendo es que: 1. Para cualesquiera u, v ∈ U , se verifica que u + v ∈ U 2. Para cualesquiera λ ∈ K, u ∈ U se verifica que λ · u ∈ U Observar que la segunda condici´on anterior implica que el vector cero de V est´a tambi´en → − en U , ya que si u ∈ U , entonces 0 · u = 0 ∈ U . Propiedad 5. U es un subespacio vectorial de V si y s´ olo si ∀u, v ∈ U y ∀λ, µ ∈ K se verifica que λu + µv ∈ U .

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→ − Todo espacio vectorial V tiene siempre los subespacios vectoriales V y { 0 }, los cuales se denominan los subespacios vectoriales triviales de V . Un subespacio de V se dice propio si no es ninguno de los subespacios triviales. Ejemplo 6. Comprobamos que el subconjunto U = {(x, y, z) ∈ R3 | 2x − y + 5z = 0} es un subespacio vectorial de R3 . En primer lugar observamos que U es no vac´ıo ya que (0, 0, 0) ∈ U . Si u = (x1 , y1 , z1 ), v = (x2 , y2 , z2 ) ∈ U , y λ, µ ∈ R, entonces λu + µv = (λx1 + µx2 , λy1 + µy2 , λz1 + µz2 ), el cual pertenece de nuevo a U , ya que 2(λx1 + µx2 ) − (λy1 + µy2 ) + 5(λz1 + µz2 ) = λ(2x1 − y1 + 5z1 ) + µ(2x2 − y2 + 5z2 ) = 0 + 0 = 0 M´as generalmente, se puede comprobar que todo sistema homog´eneo de ecuaciones lineales en n inc´ognitas y con coeficientes en K, determina un subespacio vectorial de K n . Ejemplo 7. Sea V = R[x]8 el espacio vectorial (sobre R) de los polinomios con coeficientes en R y en la indeterminada x, y sea U = {p(x) ∈ V | p(−3) = 0}. Comprobamos que U es un subespacio vectorial de V . En primer lugar U es no vac´ıo ya que el polinomio nulo pertenece a U . Dados p(x), q(x) ∈ U , y λ, µ ∈ R, consideramos el polinomio t(x) = λ · p(x) + µ · q(x). Entonces t(−3) = λ · p(−3) + µ · q(−3) = λ · 0 + µ · 0 = 0, es decir, t(x) ∈ U , y por tanto U es subespacio vectorial de V . Ejemplo 8. Sea V = Mn (K). Entonces: El subconjunto de todas las matrices triangulares superiores de V , es un subespacio vectorial de V . El subconjunto formado por todas las matrices de V que son singulares no es un subespacio vectorial de V . El subconjunto de V formado por todas las matrices sim´etricas es un subespacio vectorial de V . Ejemplo 9. K[x]n es un subespacio vectorial de K[x]; adem´as si m ≤ n entonces K[x]m es un subespacio vectorial de K[x]n . Propiedad 10. Para un espacio vectorial V , la intersecci´ on de una colecci´ on de subespacios vectoriales de V es de nuevo un subespacio vectorial de V . Ejemplo 11. Sean V = Q3 , U1 = {(x, y, z) ∈ V | 7x − 4z = 0} y U2 = {(x, y, z) ∈ V | x − y + z = 0}. Entonces U1 ∩ U2 = {(x, y, z) ∈ V | 7x − 4z = 0, x − y + z = 0}. Definici´ on 12. Sea V un espacio vectorial sobre K y X un subconjunto no vac´ıo de V . Escribiremos hXi para representar el conjunto formado por todas las combinaciones lineales que se pueden formar utilizando un n´ umero finito de vectores en X, es decir: hXi = {λ1 u1 + · · · + λr ur | r ∈ N, λi ∈ K, ui ∈ X} Si X = ∅, entonces definimos hXi = {~0}.

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En algunos textos se escribe L(X) en vez de hXi. Propiedad 13. hXi es un subespacio vectorial de V , el cual se denomina el subespacio vectorial generado por el conjunto X. Adem´ as hXi es la intersecci´ on de todos los subespacios de V que contienen al subconjunto X. Definici´ on 14. Un subconjunto X de V se denomina un sistema de generadores para V si hXi = V , es decir, si cualquier vector de V se puede expresar como combinaci´on lineal de vectores de X. Se dice que un espacio vectorial V es finitamente generado, si admite un sistema de generadores finito. Ejemplos 15. 1. El conjunto X = {(1, 0), (0, 1)} es un sistema de generadores para R2 pues dado v = (x, y) ∈ R2 se verifica que v = x · (1, 0) + y · (0, 1). Por tanto R2 = h(1, 0), (0, 1)i 2. El conjunto X = {(1, 0, 1), (0, 1, 1), (1, 1, 1)} es un sistema de generadores para R3 , pero X 0 = {(1, 0, 1), (0, 1, 1), (1, 1, 2)} no lo es.

3.

Dependencia e independencia lineal

Definici´ on 16. Los vectores u1 , u2 , . . . , un de V se dicen linealmente dependientes si existen escalares, no todos nulos, tal que λ1 u1 + λ2 u2 + . . . + λn un = ~0 Definici´ on 17. Los vectores u1 , u2 , . . . , un de V se dicen linealmente independientes si no son linealmente dependientes, es decir, para cualesquiera escalares λ1 , λ2 , . . . , λn ∈ K, si λ1 u1 + λ2 u2 + . . . + λn un = ~0 entonces λ1 = λ2 = . . . = λn = 0. Definici´ on 18. Un subconjunto U de V se dice linealmente dependiente, si existe un subconjunto finito de U el cual es linealmente dependiente. En caso contrario, se dice que U es linealmente independiente (es decir, cuando todo subconjunto finito de U sea linealmente independiente). Ejemplos 19. 1. Los vectores u = (−4, 2), v = (6, −3) de R2 son linealmente dependientes, ya que verifican 3u + 2v = ~0. 2. Los vectores u = (1, −1), v = (0, −2) de R2 son linealmente independientes, pues de ocurrir λu + µv = (0, 0), vemos que la u ´nica posibilidad es λ = µ = 0. 3. Sea V = {(x1 , x2 , . . .) | xi ∈ R}, es decir, V es el conjunto de todas las sucesiones de n´ umeros reales. Entonces el subconjunto U = {(1, 0, 0, 0, . . .), (1, 1, 0, 0, . . .), (1, 1, 1, 0, . . .), . . .} de V es linealmente independiente.

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Comentario 20. Dos vectores u, v se dicen proporcionales si existe λ 6= 0 tal que u = λ · v. Para dos vectores no nulos u, v se verifica que el conjunto {u, v} es linealmente dependiente si y s´olo si u y v son vectores proporcionales. Las siguientes propiedades son consecuencias f´aciles de las definiciones, y su demostraci´on queda propuesta como ejercicio para el alumno. Propiedad 21. Para un espacio vectorial V : 1. Los vectores u1 , u2 , . . . , ur son linealmente dependientes si y s´ olo si alguno de dichos vectores es combinaci´on lineal de los restantes. 2. Si ~0 ∈ X ⊆ V entonces X es linealmente dependiente. Por tanto el conjunto {u} es linealmente independiente si y s´ olo si u 6= ~0. 3. Supongamos que existen subconjuntos de vectores tales que X ⊆ Y ⊆ V : a) Si X es linealmente dependiente, entonces Y es linealmente dependiente. b) Si Y es linealmente independiente, entonces X es linealmente independiente. Comentario 22. Recalcamos la importancia del cuerpo K sobre el cual se define el espacio vectorial a la hora de hablar de dependencia e independencia lineal de vectores. Por ejemplo, √ √ 2 supongamos que V = R y u = (1, 2), v = ( 2, 2). Si K = R entonces los vectores u, v son linealmente dependientes ya que son proporcionales. Sin embargo, si K = Q entonces ambos vectores son linealmente independientes. Definici´ on 23. Un subconjunto B de V se dice que es una base para V cuando: B es un sistema de generadores para V . B es un conjunto linealmente independiente. Ejemplos 24. 1. El conjunto B = {(1, 0, . . . , 0, 0), (0, 1, . . . , 0, 0), . . . , (0, 0, . . . , 1, 0), (0, 0, . . . , 0, 1)} es una base para V = K n y se denomina la base can´ onica de K n . 2. Para 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n sea Ai,j la matriz que tiene el valor 1 en la fila i, columna j, y el valor 0 en cualquier otra posici´on. Entonces el conjunto B = {Ai,j | 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n} es una base para el espacio vectorial Mm×n (K). B es la base can´onica para Mm×n (K). 3. El conjunto {1, x, x2 , . . . , xn } es la base can´onica para el espacio vectorial K[x]n . Notamos que al dar una base para un espacio vectorial, no s´olo estamos dando un conjunto sino adem´as una ordenaci´on para los elementos de dicho conjunto. El estudio de las bases de los espacios vectoriales es interesante por la siguiente propiedad: Propiedad 25. Sea V un espacio vectorial y B un subconjunto de V . Entonces B es una base de V si y s´olo si todo vector de V se expresa de manera u ´nica como una combinaci´on lineal de vectores de B. Definici´ on 26. Un espacio vectorial se dice de dimensi´ on finita (o finito-dimensional) si tiene al menos una base finita.

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Nosotros estudiaremos espacios vectoriales de dimensi´on finita. Propiedad 27. Si V es un espacio vectorial finitamente generado y distinto de {~0}, entonces V tiene al menos una base. En la secci´on siguiente veremos un m´etodo para obtener una base a partir de un sistema de generadores. Teorema 28. Si V es un espacio vectorial de dimensi´ on finita y {v1 , . . . , . . . , vn } es una base de V , entonces toda base de V es finita y tiene exactamente n elementos. Por tanto para un espacio vectorial V de dimensi´on finita definimos la dimensi´ on de V como el cardinal de cualquiera de sus bases y lo representaremos como dimK (V ). Si dimK (V ) = n se dice que V es un espacio vectorial de dimensi´on n (´o n-dimensional) sobre K. Para el caso particular de V = {~0}, definimos dimK (V ) = 0. Para el ejemplo 24 anterior, podemos escribir dimK (K n ) = n y dimK (Mm×n (K)) = m · n. La siguiente propiedad da un criterio pr´actico para saber si un conjunto de vectores es una base. Propiedad 29. Sea V un espacio vectorial de dimensi´ on n sobre un cuerpo K, y X un subconjunto de V de cardinal n. Entonces son equivalentes las siguientes afirmaciones: 1. X es una base para V . 2. X es un conjunto linealmente independiente. 3. X es un sistema de generadores para V . Es decir, conocida la dimensi´on de V , basta comprobar s´olo una de las dos condiciones que definen a una base. Como los subespacios vectoriales son espacios vectoriales en s´ı, toda la teor´ıa expuesta para espacios vectoriales es v´alida para los subespacios vectoriales. As´ı, se puede hablar de sistema de generadores, base, dimensi´on, etc de un subespacio vectorial. Si U es un subespacio vectorial de V y BU es una base para U , entonces BU es un subconjunto de V linealmente independiente por lo que dim(U )K ≤ dimK (V ). La siguiente propiedad es inmediata: Propiedad 30. Para un espacio vectorial V sobre un cuerpo K y un subespacio vectorial U de V , se verifica U = V ⇐⇒ dimK (U ) = dimK (V ) Adem´as se puede demostrar el siguiente teorema. Teorema 31. (de la ampliaci´ on de la base) Sea U un subespacio vectorial de un espacio vectorial V . Si BU es una base para U , entonces existen vectores v1 , . . . , vr ∈ V − BU de modo que BU ∪ {v1 , . . . , vr } es una base para V . Definici´ on 32. Con la notaci´on del teorema anterior, el subespacio de V generado por el conjunto {v1 , . . . , vr } se denomina un subespacio suplementario para U .

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Cerramos esta secci´on dado la definici´on siguiente: Definici´ on 33. Sea B = {v1 , v2 , . . . , vn } una base para V . Si w ∈ V entonces de acuerdo con la Propiedad 25 existen unos u ´nicos escalares λ1 , λ2 , . . . , λn ∈ K tal que w = λ1 v1 + λ2 v2 + . . . + λn vn . Diremos que λ1 , λ2 , . . . , λn son las coordenadas del vector w respecto de la base B y notaremos este hecho escribiendo B

w = (λ1 , λ2 , . . . , λn ) Ejemplo 34. Sean v1 = (−1, 1) y v2 = (1, 1); entonces B 0 = {v1 , v2 } es una base para R2 . B0

Si w = (8, −2), entonces w = (−5)v1 + 3v2 . Por tanto escribimos w = (−5, 2). Ejemplo 35. Las coordenadas de un vector w = (x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ K n respecto de la base B can´onica B son x1 , x2 , . . . , xn por lo cual w = (x1 , x2 , . . . , xn ).

4.

´cticos Criterios pra

Ahora relacionamos las operaciones sobre matrices vistas en el tema anterior con los conceptos sobre espacios vectoriales estudiados en este tema. Obtendremos m´etodos pr´acticos para hacer c´alculos sobre espacios y subespacios vectoriales. Supongamos que tenemos un conjunto X formado por m vectores no nulos de un espacio vectorial V de dimensi´on n sobre un cuerpo K y B es una base para V (Obsevar que m ≤ n). Sea A ∈ Mm×n (K) la matriz cuyas filas se obtienen al escribir las coordenadas de los vectores de X respecto de la base B. 1. Si A est´a en forma escalonada por filas (incluso sin exigirle que los pivotes sean iguales a 1), entonces X es un conjunto linealmente independiente de vectores. 2. Supongamos que le aplicamos operaciones elementales de filas a la matriz A y obtenemos una matriz A0 . Las filas de A0 representar´an las coordenadas respecto de la base B de los vectores de un cierto conjunto X 0 . Entonces se verifica que hXi = hX 0 i. 3. rg(A) = dimK (hXi). Por tanto X es linealmente independiente si y s´olo si rg(A) = m. 4. En el caso particular de m = n deducimos que X es una base de V si y s´olo si A es una matriz regular, es decir, si y s´olo si |A| = 6 0. Ejemplo 36. Calcular una base para el subespacio de R4 generado por los vectores (4, −1, 1, 7), (−1, −1, 11, 2), (1, 0, −2, 1), (4, 0, −8, 4). Dichos vectores vienen dados en t´erminos de la base can´onica, por lo cual la matriz A es igual a   4 −1 1 7  −1 −1 11 2     1 0 −2 1  4 0 −8 4

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Aplicando las operaciones elementales F4 ← F4 − 4F3 , F1 ↔ F3 , F2 ← F2 + F1 , F3 ← F3 − 4F1 , F3 ← F3 − F2 obtenemos la matriz   1 0 −2 1  0 −1 9 3     0 0 0 0  0 0 0 0 de lo cual deducimos que una base para U es {(1, 0, −2, 1), (0, −1, 9, 3)} y que dimK (U ) = 2. De hecho, dos cualesquiera de entre los tres primeros generadores dados inicialmente tambi´en forman una base para U (¿Por qu´e?). Ejemplo 37. Sea V = R[x]3 y U = hSi donde S = {1 + x2 − x3 , 1 − 5x2 + 4x3 , 2 − 4x2 + 3x3 , 4 − 2x2 + x3 }. Al igual que en el ejercicio anterior, calculamos la dimensi´on y una base para U . Con respecto de la base can´onica B = {1, x, x2 , x3 } de V , la matriz de coordenadas ser´ıa   1 0 1 −1  1 0 −5 4   A=  2 0 −4 3  4 0 −2 1 que es equivalente por filas con la siguiente matriz escalonada (observar que no exigimos que los pivotes tengan que ser iguales a 1)   1 0 1 −1  0 0 −6 5  .   0 0 0 0  0 0 0 0 ´ Esto significa que dimR (U ) = 2 y BU = {1 + x2 − x3 , −6x2 + 5x3 } es una base para U . Ejemplo 38. Sea V = R[x]3 y U = hSi donde S = {1 + x + x2 − x3 , 1 + x − x2 − x3 }. La matriz de coordenadas para los vectores de S con respecto de la base can´onica es   1 1 1 −1 , 1 1 −1 −1 que es equivalente por filas con la matriz escalonada   1 1 1 −1 . 0 0 −2 0 ¿Pertenece el vector p(x) = 1 + x − 5x2 − x3 a U ? Si a˜ nadimos la fila de las coordenadas de este vector a la matriz anterior obtenemos la matriz   1 1 1 −1  0 0 −2 0  1 1 −5 −1

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la cual es equivalente a 

1  0 0 Puesto que el n´ umero de filas no nulas podemos decir que el vector p(x) ∈ U .

 1 1 −1 0 −2 0 . 0 0 0 no ha aumentado al calcular la forma escalonada,

Ejemplo 39. Para V = R3 , estudiar cuando el conjunto S = {(3, −1, 2), (a, 1, −1), (a2 , 1, 4)} es una base para V seg´ un los valores de a. Para ello calculamos el determinante 3 a a2 −1 1 1 = −a2 + 6a + 15 2 −1 4 √

a2 − 6a − 15 = 0 si y s´olo si a = 6±2 96 , siendo ambos√valores de R. Por tanto S es una base para V si y s´olo si a 6= 6±2 96 Ejemplo 40. Para V = R3 , estudiar cuando el conjunto S = {(1, 0, 1), (2, a, −1), (0, 1, a)} es una base para V seg´ un los valores de a. Igual que antes calculamos el determinante 1 2 0 0 a 1 = a2 + 3 1 −1 a Ya que dicha ecuaci´on no tiene soluciones en R, que es el cuerpo que estamos considerando, podemos concluir que S es una base para V , para todo a ∈ R.

5.

Ecuaciones del cambio de base

Definici´ on 41. Sean B1 = {u1 , u2 , . . . , un } y B2 = {v1 , v2 , . . . , vn } dos bases para un espacio vectorial V . Dado un vector cualquiera w ∈ V , ´este siempre se puede expresar como combinaci´on lineal de los vectores de B1 as´ı como combinaci´on lineal de los vectores de B2 : B w =1 (λ1 , λ2 , . . . , λn ), B

w =2 (µ1 , µ2 , . . . , µn ). ¿Qu´e relaci´on existe entre los escalares λ1 , λ2 , . . . , λn y los escalares µ1 , µ2 , . . . , µn ? A las expresiones que representan los valores λi en funci´on de los µj las denominaremos unas ecuaciones del cambio de base de B2 a B1 . De manera similar, a las expresiones que representan los valores µj en funci´on de los λi las denominaremos unas ecuaciones del cambio de base de B1 a B2 . Para concretar ideas, supongamos que n = 2 y que v1 = a1,1 u1 + a2,1 u2 , v2 = a1,2 u1 + a2,2 u2 .

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Partimos de w = µ1 v1 + µ2 v2 . Reemplazando los vi por las igualdades anteriores, obtenemos: w = µ1 (a1,1 u1 + a2,1 u2 ) + µ2 (a1,2 u1 + a2,2 u2 ). Quitando par´entesis y sacando factor com´ un, se obtiene: w = (µ1 a1,1 + µ2 a1,2 )u1 + (µ1 a2,1 + µ2 a2,2 )u2 , es decir, B

w =1 (µ1 a1,1 + µ2 a1,2 , µ1 a2,1 + µ2 a2,2 ). B

Pero ten´ıamos adem´as que w =1 (λ1 , λ2 ), luego por la unicidad de las coordenadas de un vector respecto a una base, finalmente obtenemos que:  λ1 = a1,1 µ1 + a1,2 µ2 . λ2 = a2,1 µ1 + a2,2 µ2 ´ Estas son por tanto las ecuaciones del cambio de base de B2 a B1 . Dichas ecuaciones las podemos escribir matricialmente de la siguiente forma       λ1 a1,1 a1,2 µ1 = · λ2 a2,1 a2,2 µ2 La matriz cuadrada que aparece en dicha expresi´on es la matriz del cambio de base de B2 a B1 . Dicha matriz es regular, y su inversa es la matriz del cambio de base de B1 a B2 Ejemplo 42. Para V = R2 , B1 = {u1 , u2 } y B2 = {v1 , v2 }, tales que u1 = (2, 3), u2 = (1, 2), v1 = (−3, 2), v2 = (−5, 3), hallar las ecuaciones del cambio de base de B1 a B2 . Sea w ∈ V B B tal que w =1 (λ1 , λ2 ) y w =2 (µ1 , µ2 ). Resolviendo los oportunos sistemas de ecuaciones lineales se puede comprobar que u1 = 21 · v1 − 13 · v2 , u2 = 13 · v1 − 8 · v2 . De esta forma tenemos que las ecuaciones del cambio de base de B1 a B2 son:  µ1 = 21λ1 + 13λ2 . µ2 = −13λ1 + −8λ2     21 13 −8 −13 −1 La matriz del cambio de base de B1 a B2 es P = . Ya que P = −13 −8 13 21 las ecuaciones del cambio de base de B2 a B1 son:  λ1 = −8µ1 + −13µ2 . λ2 = 13µ1 + 21µ2 Como un rec´ıproco de las propiedades anteriores, se puede demostrar que toda matriz regular representa una matriz de cambio de base.

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 5 −10 Ejemplo 43. Sea B1 = {u1 , u2 } una base para R , y P = , una matriz regular. 7 4 Entonces, si v1 = 5u1 + 7u2 y v2 = −10u1 + 4u2 , el conjunto B2 = {v1 , v2 } es una base para R2 , y la matriz P es la matriz del cambio de base de B2 a B1 . 2

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´tricas y ecuaciones impl´ıcitas para un subespacio Ecuaciones parame

Sea un espacio vectorial V de dimensi´on n sobre K y U un subespacio vectorial de V de dimensi´on r. Sean B = {v1 , v2 , . . . , vn } y BU = {u1 , . . . , ur }, respectivamente, bases para V y U.   u1 = a11 v1 + a21 v2 + · · · + an1 vn .. .. .. Suponemos adem´as que . . .  ur = a1r v1 + a2r v2 + · · · + anr vn Entonces un vector w ∈ U se expresa en BU de la forma w = λ1 u 1 + λ2 u2 + · · · + λr u r y como vector de V se podr´a expresar con respecto a la base B de la forma w = x1 v1 + x2 v2 + · · · + xn vn Entonces w = λ1 u1 + λ2 u2 + · · · + λr ur = λ1 (a11 v1 + a21 v2 + · · · + an1 vn ) + λ2 (a12 v1 + a22 v2 + · · · + an2 vn ) + · · · + λr (a1r v1 + a2r v2 + · · · + anr vn ) = (λ1 a11 + · · · + λr a1r )v1 + · · · + (λ1 an1 + · · · + λr anr )vn . Por la unicidad de las coordenadas del vector w respecto de la base B obtenemos   x1 = a11 λ1 + · · · + a1r λr .. .. .. (∗) .  . . xn = an1 λ1 + · · · + anr λr As´ı obtenemos unas ecuaciones param´ etricas del subespacio U con respecto de la base B. Ejemplo 44. Sea U el subespacio vectorial de R3 generado por los vectores {(6, −9, 2), (−5, 7, 1)}. Puesto que dicho conjunto de generadores es una base para U , entonces las ecuaciones param´etricas de U (con respecto de la base can´onica de R3 ) son  6λ1 −5λ2  x1 = x2 = −9λ1 +7λ2  x = 2λ +λ2 3 1 Las ecuaciones param´etricas se pueden interpretar como las soluciones de un sistema homog´eneo de ecuaciones lineales con inc´ognitas x1 , . . . , xn . A cualquier sistema homog´eneo cuyas soluciones vienen dadas por las ecuaciones param´etricas para U , se denomina un sistema de ecuaciones impl´ıcitas o cartesianas para U con respecto de la base B. Una forma de obtener uno de dichos sitemas homog´eneos es la siguiente: Sea A la matriz de orden n×r formada por los coeficientes que aparecen en las ecuaciones param´etricas de U . Puesto que dichas columnas son las coordenadas para los vectores de

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una base de U con respecto de B, resulta que rg(A) = r, con lo cual sabemos que A contiene una submatriz cuadrada regular de orden r. Supongamos que una tal submatriz es   a1,1 . . . a1,r .. .. . C =  ... . . ar,1 . . . ar,r B

Entonces un vector w ∈ V , tal que w = (x1 , . . . , xn ), pertenecer´a adem´as a U si y s´olo si el sistema (∗) tiene soluci´on en las inc´ognitas λ1 , . . . , λr , lo cual equivale a que rg(A) = r = rg(A∗ ), donde a1,1 A =  ... 

... .. .

 a1,r ..  .

an,1 . . . an,r

a1,1 . ∗ y A =  .. an,1 

... .. .

a1,r .. .

 x1 ..  . .

. . . an,r xn

´ Esto equivale a decir que todas las submatrices cuadradas de A∗ de orden r + 1 que se obtienen al orlar o ampliar C con la columna de los elementos xj y cada una de las n − r filas restantes han de ser singulares, es decir, han de tener determinante nulo:

a1,1 .. .

... .. .

a1,r .. .

x1 .. .

an,1 . . . an,r xr ar+1,1 . . . ar+1,r xr+1

= 0, . . . ,

a1,1 .. .

... .. .

a1,r .. .

an,1 . . . an,r an,1 . . . an,r

= 0. xr xn x1 .. .

Desarrollando los n − r determinantes se obtienen n − r ecuaciones lineales independientes en las inc´ognitas x1 , . . . , xn , que son unas ecuaciones cartesianas o impl´ıcitas de U respecto de la base B Ejemplo 45. Calcular unas ecuaciones impl´ıcitas para el subespacio U = h(2, 2, −1, 3), (2, 2, 1, 3)i de R4 . Los dos generadores dados ya son una base para U , pues no son proporcionales. Unas ecuaciones param´etricas para U son  x = 2λ + 2µ    y = 2λ + 2µ . z = −λ + µ   t = 3λ + 3µ  Como submatriz regular cogemos la formada por la segunda y la tercera fila de A:   2 2 C= . −1 1

13

Entonces, unas ecuaciones impl´ıcitas para U se obtienen ampliando con la primera y cuarta filas: 2 2 x 2 2 y 2 2 y = 0, −1 1 z = 0, −1 1 z 3 3 t es decir, x − y = 0, 3y − 2t = 0. Deducimos adem´as de la discusi´on anterior que para un subespacio U de V se verifica siempre que dimK (V ) = dimK (U ) + m´ınimo n´ umero de ecuaciones impl´ıtas para U De esta f´ormula deducimos que el subespacio impropio V carece de ecuaciones impl´ıci→ − tas, mientras que el subespacio impropio { 0 } tiene tantas ecuaciones impl´ıcitas como la dimensi´on del espacio V . Ejemplo 46. x1 = 0, x2 = 0 son una ecuaciones impl´ıcitas para el subespacio cero (es decir, {~0}) de V = K 2 . x1 + x2 = 0, x1 − 2x2 = 0 tambi´en son otras ecuaciones impl´ıcitas para {~0} ⊆ K 2 . M´as generalmente, si A ∈ M2 (K) es regular, entonces     0 x1 =A· 0 x2 son unas ecuaciones impl´ıcitas para {~0}. Adem´as es inmediato que a partir de unas ecuaciones impl´ıcitas se pueden obtener unas ecuaciones param´etricas simplemente resolviendo el sistema homog´eneo correspondiente. 7.

Operaciones con subespacios vectoriales

Si U y W son dos subespacios vectoriales de un mismo espacio vectorial V , ya hemos mencionado en una secci´on anterior que U ∩ W es de nuevo un subespacio vectorial de V . Si disponemos de unas ecuaciones impl´ıcitas para U y otras para W , claramente el sistema obtenido al juntar ambos sistemas constituye unas ecuaciones impl´ıcitas para el subespacio U ∩ W . De hecho lo normal es que en dicho sistema ampliado se puedan suprimir algunas ecuaciones que dependan de otras ecuaciones del sistema. Ejemplo 47. Calcular una base para el subespacio intersecci´on de los subespacios siguientes de R3 : U = {(x, y, z) | 2x + y − 5z = 0}, W = {(x, y, z) |3x − y + 4z = 0}.   x = (1/5)λ 2x + y − 5z = 0 y = (23/5)λ ecuaciones Resolviendo el sistema obtenemos 3x − y + 4z = 0  z = λ  λ  x = y = 23λ , con lo cual una base para U ∩ W es {(1, 23, 5)}. que son equivalentes a  z = 5λ

14

Ejemplo 48. Calcular una base para el subespacio intersecci´on de los subespacios siguientes de R4 : U = {(x, y, z, t) | 2x + 5y − z − t = 0}, W = h(1, 2, 3, 4), (−1, 0, 1, −1)i. Una alternativa es obtener previamente unas ecuaciones impl´ıcitas para W (concretamente dos ecuaciones) y a continuaci´on resolver el sistema de tres ecuaciones resultante al juntar ´estas con las ecuaciones de U . Otra posibilidad (mejor para este ejemplo) es obtener unas ecuaciones param´etricas para W y substituirlas en las ecuaciones impl´ıcitas para U , con lo cual obtenemos un sistema de dos ecuaciones con dos inc´ognitas λ y µ (que son los par´ametros que aparecen en las ecuaciones param´etricas para W ). La soluci´on de este sistema nos dice qu´e relaci´on debe de cumplirse entre λ y µ para que un vector pertenezca a U y a W , es decir, a U ∩ W . Aplicamos este segundo m´etodo y obtenemos:  x = 1λ − µ    y = 2λ unas ecuaciones param´etricas para W . z = 3λ + µ    t = 4λ − µ Substituy´endolas en las ecuaciones impl´ıcitas para U resulta: 2(λ − µ) + 5(2λ) − (3λ + µ) − (4λ − µ) = 0 , es decir, 5λ − 2µ = 0. Por tanto el vector w = (x, y, z, t) de W pertenece a U si y s´olo si λ = 52 µ. Substituyendo en las ecuaciones param´etricas de W y simplificando resulta que w ∈ U ∩ W si y s´olo si w = (x, y, z, t) = (

−3 4 11 3 µ, µ, µ, µ) 5 5 5 5

Por consiguiente, dimK (U ∩ W ) = 1 y una base para U ∩ W es {(−3, 4, 11, 3)}. La uni´on de dos subespacios vectoriales no siempre es un subespacio vectorial: Ejemplo 49. Sean V = R2 , U = h(1, 0)i y W = h(0, 1)i. Entonces U ∪ W no es un subespacio vectorial de V ya que aunque (1, 0), (0, 1) ∈ U ∪ W , sin embargo (1, 0) + (0, 1) = (1, 1) 6∈ U ∪ W . Ver el ejercicio 17. Otra operaci´on que se puede definir es la suma de subespacios vectoriales: Para dos subespacios vectoriales U y W de V , se define la suma de U y W , y se representa por U + W , como el conjunto de todos los vectores que se obtienen sumando un vector de U con otro de W , es decir, U + W = {u + w | u ∈ U ∧ w ∈ W } Es inmediato ver que tanto U como W est´an incluidos en U + W . Adem´as U + W es un subespacio vectorial de V , el cual es el subespacio vectorial de V generado por el conjunto U ∪ W , es decir, U + W = hU ∪ W i. Dicho de otra forma, U + W es el menor subespacio vectorial de V el cual contiene a los subespacios U y W . De lo anterior deducimos que U + W estar´a generado por el conjunto que se obtiene al juntar un sistema de generadores para U con un sistema de generadores para W .

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Ejemplo 50. En R3 , si U = h(1, 2, −1), (0, 1, 3)i y W = h(2, 3, −1), (1, 0, 2)i entonces U + W = h(1, 2, −1), (0, 1, 3), (2, 3, −1), (1, 0, 2)i. Escribiendo dichos vectores como las filas de una matriz y calculando una forma escalonada obtenemos que U + W est´a generado por tres vectores linealmente independientes, con lo cual necesariamente U + W = R3 . Observar adem´as que U + W carece de ecuaciones impl´ıcitas, al ser todo R3 . → − Definici´ on 51. Decimos que el subespacio suma U +W es suma directa, si U ∩W = { 0 }, en cuyo caso se escribe U ⊕ W para representar este hecho. En el ejemplo anterior, la suma de los subespacios U y W no es directa, ya que como se → − puede comprobar facilmente, U ∩ W 6= { 0 }. Ejemplo 52. La suma de los subespacios U = {(x, y, z) | 2x + 5y + z = 0} y W = {(x, y, z) | x + y + z = 0} de R3 no es directa, ya U ∩ W tiene dimensi´on 1 (al resolver el sistema formado por ambas ecuaciones obtenemos un sistema compatible indeterminado). Proposici´ on 53. Supongamos que el espacio vectorial V es igual a la suma directa de los → − subespacios U y W , es decir, V = U + W y U ∩ W = { 0 }. Entonces todo vector de V se descompone de manera u ´nica como un vector de U mas otro vector de W . Demostraci´on. Por hip´otesis V = U + W , luego s´olo hay que demostrar la unicidad. Si → − v = u+w y v = u0 +w0 son dos descomposiciones, entonces 0 = (u+w)−(u0 +w0 ), es decir, u − u0 = w0 − w. Ya que u − u0 ∈ U y w0 − w ∈ W , deducimos que u − u0 = w0 − w ∈ U ∩ W . → − Puesto que U ∩ W = { 0 }, necesariamente u = u0 y w = w0 .  Definici´ on 54. Si U y W son dos subespacios vectoriales de un espacio vectorial V tales que V = U ⊕ W , se dice que U y W son subespacios vectoriales suplementarios. Ejemplo 55. Para el espacio vectorial R3 , los subespacios U = h(34, 89, −11)i y W = h(45, 0, 0), (−1, 2, 0)i son suplementarios debido a que {(34, 89, −11), (45, 0, 0), (−1, 2, 0)} forma una base para R3 y por tanto R3 = U + W . Por u ´ltimo, si (x, y, z) ∈ U ∩ W ´esto implica que δ(34, 89, −11) = (x, y, z) = λ(45, 0, 0) + µ(−1, 2, 0) es decir   34δ − 45λ + µ = 0 89δ − 2µ = 0  −11δ = 0 sistema cuya u ´nica soluci´on es la trivial. Por tanto U ∩ W = {~0} y R3 = U ⊕ W . El resultado obtenido en este ejemplo es una caso particular de la siguiente propiedad: Propiedad 56. Si {v1 , . . . , vr , vr+1 , . . . , vn } es una base para V entonces V = hv1 , . . . , vr i ⊕ hvr+1 , . . . , vn i Dado un subespacio U de un espacio vectorial V , ¿c´omo encontrar un subespacio suplementario para U ? Simplemente, partiendo de una base para U , la ampliamos hasta una base para V .

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Ejemplo 57. Encontrar un subespacio suplementario para el subespacio vectorial U de R4 generado por los vectores (1, 1, 0, −1), (2, 2, 4, 5), (3, 3, 4, 4). En primer lugar extraemos una base para U . Escribimos sus generadores como filas de una matriz y la transformamos en forma escalonada. Deducimos que una base para U es {(1, 1, 0, 1), (0, 0, 4, 7)}. Ampliamos este conjunto de vectores linealmente independientes hasta una base para R4 . Un posibilidad es a˜ nadirle los vectores (0, 1, 0, 0), (0, 0, 0, 1). Por tanto una posibilidad para W es h(0, 1, 0, 0), (0, 0, 0, 1)i. Por u ´ltimo, la siguiente proposici´on nos da una f´ormula que relaciona las dimensiones de los subespacios estudiados en esta secci´on. Dicha f´ormula se muestra u ´til a la hora de resolver ejercicios. Proposici´ on 58. Si U y W son dos subespacios de un espacio vectorial V de dimensi´on finita, se verifica que dimK (U + W ) = dimK (U ) + dimK (W ) − dimK (U ∩ W ) Un truco para acordarse de esta f´ormula es observar su gran parecido con la f´ormula para el cardinal de la uni´on de dos conjuntos: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|. Ejemplo 59. Sea V un espacio vectorial de dimensi´on 4, y U, W dos subespacios de V , ambos distintos y de dimensi´on 3. ¿Qu´e podemos afirmar acerca de la dimensi´on de U ∩W ? Puesto que U 6= W y ambos tienen dimensi´on 3, deducimos que ninguno puede estar incluido en el otro; por tanto existir´a alg´ un vector u ∈ U el cual no est´a en W . Si BW es una base para W , entonces el conjunto de cuatro vectores BW ∪ {u} es linealmente ´ independiente y por tanto es una base para V . Esto prueba que V = U + W . Aplicando la f´ormula anterior de las dimensiones obtenemos que 4 = 3 + 3 − dimK (U ∩ W ), es decir, que dimK (U ∩ W ) = 2. 8.

Ejercicios Propuestos

1. Demostrar los distintos apartados de la propiedad 3. 2. Sea V el conjunto de todas las funciones f : [0, 1] → R. Definimos la suma de dos funciones f, g ∈ V , como una nueva funci´on h : [0, 1] → R que obedece a la regla h(x) = f (x) + g(x), para todo x ∈ [0, 1], y definimos el producto de un escalar λ ∈ R por una funci´on f en V de la forma usual, es decir λf es la funci´on tal que (λf )(x) = λ · f (x) para todo x ∈ [0, 1]. a) Comprobar que V es un R-espacio vectorial.¿Qui´en es el vector cero? b) Sea U el subconjunto de V formado por aquellas funciones que verifican la condici´on de que el conjunto {x ∈ [0, 1] | f (x) 6= 0} es finito. Estudiar si U es o no es un subespacio vectorial de V . 3. Calcular todos los valores de a para los cuales los vectores (1, 2, −1, 2), (2, −1, 3, −1), (1, a, −6, a) de R4 son linealmente independientes.

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4.

a) Dado un espacio vectorial V de dimensi´on n sobre un cuerpo K, y dos bases B y B 0 para V , razonar que el conjunto U formado por aquellos vectores de V los cuales tienen las mismas coordenadas con respecto de la base B que con respecto de la base B 0 es un subespacio vectorial de V . b) Con la notaci´on del apartado anterior, si V = R3 , B = {(2, 5, 1), (0, 1, 2), (3, 1, 2)} y B 0 = {(1, 5, 0), (−1, 0, 1), (1, 0, 0)}, calcular una base para el subespacio vectorial U . 5. De los siguientes subconjuntos de R3 , estudiar cuales son subespacios vectoriales: a) {(x, y, z) | x2 + y − z = 0}. b) {(x, y, z) | x2 + y 2 + z 2 = 0}. c) {(x, y, z) | x = 2y = 3z}. d ) {(x, y, z) | x = y + 1 = z + 2}. 6. Sea E el conjunto de matrices de la forma   a b c  b a+b+c b  c b a

7. 8.

9.

10. 11.

12.

donde a, b, c ∈ R. Demostrar que E es un subespacio vectorial de M3 (R), de dimensi´on tres. Sea el conjunto U = {p(x) ∈ Q[x]3 | p(1) = p(2) y p(−1) = 0}. Probar que U es un subespacio vectorial de Q[x]3 y calcular una base para U . Sean B y B 0 dos bases de V y sean u, v, w ∈ V con coordenadas (2, −1, −1), (1, 0, −1) y (2, −2, 0) en la base B. Si las cordenadas de los mismos vectores respecto de B 0 son (1, 3, 0), (3, 4, −2) y (0, 2, 1) respectivamente, calcular las coordenadas de los vectores de B 0 respecto de los de B. Sean B = {e1 , e2 , e3 } y B 0 = {e01 = e1 + e2 + e3 , e02 = e1 + 2e2 + e3 , e03 = e1 + e2 + 3e3 } dos bases de R3 . Calcular las expresiones del cambio de base de B a B 0 y de B 0 a B B. Si v = (23, −7, 19) calcular las coordenadas de v en la base B 0 . Sea K un cuerpo finito con q elementos y V un espacio vectorial de dimensi´on n sobre K. ¿Cu´antos elementos distintos hay en V ? Demostrar que cada uno de los conjuntos siguientes son bases para el espacio vectorial K[x]n : a) B1 = {1, x, x(x − 1), x(x − 1)(x − 2), . . . , x(x − 1)(x − 2) · · · (x − n + 1)} b) B2 = {1, x − a1 , (x − a1 )(x − a2 ), . . . , (x − a1 )(x − a2 ) · · · (x − an )}, siendo a1 , . . . , an elementos distintos pertenecientes a K. c) B3 = {1, x − a, (x − a)2 , . . . , (x − a)n }, con a perteneciente a K. Dado el polinomio p(x) = a0 + a1 x + a2 x2 + · · · + an xn , calcular las coordenadas de dicho polinomio respecto de cada una de las bases anteriores. Sean a0 , a1 , . . . , an elementos distintos de un cuerpo K. Para cada i = 0, 1, . . . , n consideramos el polinomio pi (x) =

(x − a0 ) · · · (x − ai−1 )(x − ai+1 ) · · · (x − an ) . (ai − a0 ) · · · (ai − ai−1 )(ai − ai+1 ) · · · (ai − an )

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a) Demostrar que el conjunto de polinomios B = {p0 (x), p1 (x), . . . , pn (x)} es una base del espacio vectorial K[x]n . b) Sea p(x) ∈ K[x]n un polinomio tal que p(ai ) = bi para cada i = 0, 1, . . . , n. Probar que las coordenadas de p(x) respecto de la base B son (b0 , b1 , . . . , bn ). 13. Sabiendo que el conjunto de vectores {(1, 2), (3, 1)} es una base de R2 , ¿c´omo podemos calcular las coordenadas del vector v = (7, 8) respecto de la base anterior mediante operaciones elementales de filas sobre una matriz? 14. Sea U el subespacio vectorial V = (Z7 )3 dado por las siguientes ecuaciones impl´ıcitas respecto de la base can´onica de V :  2x + 3y + z = 0 3x + y + 4z = 0

15. 16. 17. 18.

19.

a) Calcular una base para U . b) Calcular un subespacio suplementario para U . Obtener una base para el subespacio intersecci´on de los subespacios siguientes de R4 : U = {(x, y, z, t) | 2x − y + z + 2t = 0}, W = h(1, 1, 2, 2), (1, −1, 1, −1)i. Calcular una base para el subespacio intersecci´on de los subespacios siguientes de R4 : U = h(1, 2, 4, 8), (−1, 1, 1, −1)i, W = h(1, −1, 2, 1), (1, 1, 1, 1)i. Sean U y W dos subespacios vectoriales de un espacio vectorial V . Probar que U ∪ W es un subespacio de V si y s´olo si U ⊆ W o bien W ⊆ U . Estudiar si la uni´on de los subespacios vectoriales siguientes de R4 U = {(x, y, z, t) | 4x − 7y + z − 9t = 0, 3x + 5y − 4z − 6t = 0} y W = {(x, y, z, t) | x − 12y + 5z − 3t = 0, 2x + 17y − 9z − 3t = 0} es o no un subespacio de R4 . Demostrar que el espacio vectorial Q3 es suma directa de los subespacios vectoriales U1 = {(x, y, z) | x − y + 4z = 0},

y U2 = {(λ, 2λ, −5λ) | λ ∈ Q}.

20. Calcular unas ecuaciones impl´ıcitas para E1 + E2 y para E1 ∩ E2 siendo E1 = h(1, 1, 1, 1, 1), (1, −1, 1, −1, 1)i E2 = h(1, 2, 0, 2, 0), (1, 2, 1, 2, 1), (3, 1, 3, 1, 0)i 21. Dados los subespacios vectoriales U = h(23, 12, −45, 17), (16, −32, 71, 11)i y W = h(94, −72, 123, 67), (4, −240, 606, −2)i de R4 , ¿s´on iguales? Proponer al menos dos m´etodos distintos para resolver este problema. 22. (En este ejercicio se construye la estructura de espacio vectorial cociente.) Sea V un K-espacio vectorial y U un subespacio vectorial de V . Entonces (V, +) es un grupo abeliano y por tanto, tal y como vimos en el Tema 2 sobre Grupos, (U, +) es un subgrupo normal de (V, +). Por tanto el conjunto cociente V /U es un grupo abeliano respecto de la suma de clases [v1 ] + [v2 ] = [v1 + v2 ] a) Ahora, si λ ∈ K, definimos el producto de un escalar por una clase: λ · [v] = [λ · v]

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Comprobar que esta definici´on es correcta y no depende de los representantes elegidos. Como consecuencia, el conjunto cociente V /U es un K-espacio vectorial, y se denomina el espacio vectorial cociente de V por el subespacio U . b) ¿Cual es el espacio vectorial cociente que resulta si U = V ? ¿Y si U = {~0}? c) Supongamos que dimK (V ) = n, U es un subespacio propio de V , dimK (U ) = s y BU = {u1 , . . . , us } es una base para U (observar que 0 < s < n). Ampliamos BU hasta una base B = {u1 , . . . , us , us+1 , . . . , un } de V . Observar que [u1 ] = . . . = [us ] = [~0], que es el vector cero de V /U . Sea B = {[us+1 ], . . . , [un ]}. Demostrar que B es una base del espacio vectorial cociente V /U , y por tanto dimK (V /U ) = dimK (V ) − dimK (U ). d ) Dado el R-espacio vectorial V = R2 y el subespacio U = {(x, y) | x = y}: 1) Determinar una base para V /U , e interpretar geom´etricamente los resultados obtenidos. 2) Calcular las coordenadas del vector [(4, −5)] de V /U con respecto de la base obtenida en el apartado anterior. 23. Para el espacio vectorial V = Q[x]3 se considera el subespacio vectorial U = {p(x) | p(−1) = 0 = p(1)}. Se pide: a) ¿Son iguales los elementos [4x3 −7x2 +3x+1] y [5x3 −4x2 +2x−2] del conjunto cociente V /U ? b) Calcular una base B para el espacio vectorial cociente V /U . c) Encontrar las coordenadas del vector [4x3 + 3x2 + 2x + 1] con respecto de la base B calculada en el apartado anterior. 24. Sea el espacio vectorial V = R[x]5 y el subespacio vectorial U = R[x]3 . Si p(x) = a0 + a1 x + . . . + a5 x5 y q(x) = b0 + b1 x + . . . + b5 x5 , ¿qu´e significa que [p(x)] = [q(x)] en V /U ? ¿Cual es la dimensi´on y una base para V /U ? 25. Sea {e1 , e2 , e3 , e4 , e5 } una base de R5 y sea W el subespacio vectorial de R5 generado por {e1 + e2 , e1 − e3 , e1 + e2 + e3 , e1 + 2e3 , e5 , e1 + e4 }. Sea U el subespacio vectorial de R5 generado por {e1 , e2 , e3 , e2 + e3 , e1 + e2 + e5 + 2e4 }. Calcular bases para U ∩ W, U + W y R5 /W. Calcular un subespacio W 0 de R5 tal que R5 = W ⊕ W 0 .

20

9.

´ EJERCICIOS APARECIDOS EN EXAMENES ANTERIORES

1. En Z47 consideramos los subespacios vectoriales de ecuaciones  x + 6z + t = 0 V1 ≡ {x + y + 6z + 6t = 0 V2 ≡ y + 5t = 0 Una base de V1 ∩ V2 es a) {(1, 1, 5, 4), (3, 3, 1, 5)} b) {(1, 0, 0, 1), (0, 1, 0, 1), (0, 0, 1, 6)} c) {(1, 0, 1, 0), (0, 1, 4, 4)} d ) {(1, 0, 1, 0), (1, 1, 5, 4), (0, 0, 0, 0)} 2. Sea U el subespacio vectorial de R4 generado por {(1, −1, 0, 0), (0, 0, 1, −1)}. Unas ecuaciones impl´ıcitas para U son: a)  x1 + x2 + x3 + x4 = 0 x1 + x3 = 1 b) x1 + x2 + x3 + x4 = 0  x1 + x2 = 0 c)  x3 + x4 = 0  x1 + x3 = 1 x1 + x2 = 0 d)  x1 + x2 + x3 = 0 3. Sean B1 = {u1 , u2 } y B2 = {v1 , v2 } dos bases de R2 tales que v1 = −2u1 − u2 y v2 = 5u1 + 2u2 . Si w es un vector de R2 cuyas coordenadas respecto de B1 son (a, b), entonces las coordenadas de w respecto de B2 son (a) (2a − 5b, a − 2b)

(b) (3a, 2a − b)

(c) (3a + b, a − 3b)

(d) (b, −a)

4. Sean B = {v1 , v2 , v3 } y B 0 = {v10 = v1 , v20 = v1 + v2 , v30 = v1 + v2 + v3 } dos bases de un espacio vectorial V sobre R. Si las coordenadas de x respecto de la base B 0 son (1, −1, 1), entonces las coordenadas de x respecto de B son (a) (1, 0, 1)

(b) (1, 0, −1)

(c) (1, 2, −1)

(d) (0, 0, 1)

5. Consideremos los siguientes subespacios de (Z5 )4 : U1 = h(1, 1, 2, 0), (3, 1, 4, 1)i, y U2 = h(0, 1, 0, 3), (1, 0, 1, 3)i. Una base de U1 ∩ U2 es a) {(2, 0, 2, 1)} b) {(1, 1, 2, 0), (3, 1, 4, 1), (0, 1, 0, 3), (1, 0, 1, 3)} c) {(1, 1, 2, 0)} d ) {(2, 0, 2, 1), (1, 0, 1, 3)} 6. Sea U = {(x, y, z) ∈ R3 | x+y +z = 0}. El subespacio vectorial W de R3 verificando que R3 = U ⊕ W es a) W = {(x, y, z) ∈ R3 | x − y − z = 0}. b) W = {0}. c) W = R3 .

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 =0 d ) W = (x, y, z) ∈ R3 | x−y x−z =0 . 7. Sea V = {A ∈ M2 (Q) | det(A) = 0}. Entonces a) V es un Q-espacio vectorial de dimensi´on 4. b) V es un Q-espacio vectorial de dimensi´on 0. c) V es un Q-espacio vectorial de dimensi´on 3. d ) V no es un Q-espacio vectorial. 8. Consideremos los subespacios de (Z5 )4 definidos por las ecuaciones   x + y + 2z = 0 y + 3t = 0 U1 = y U2 = 3x + y + 4z + t = 0 x + z + 3t = 0 Una base de U1 + U2 es a) {(1, 0, 4, 0), (1, 0, 0, 3), (0, 1, 0, 0)} b) {(1, 0, 4, 0), (1, 0, 0, 3), (0, 0, 1, 3)} c) {(1, 0, 4, 0), (1, 0, 0, 3), (1, 1, 1, 3)} d ) {(1, 0, 4, 0), (1, 0, 0, 3)} 9. Sean B = {v1 , v2 , v3 } y B 0 = {v10 , v20 , v30 } dos bases de un espacio vectorial V sobre R tales que v10 = v1 + 2v2 + v3 , v20 = −v2 + v3 y v30 = −v1 + v2 − 5v3 . Si las coordenadas de x respecto de la base B son (1, −2, 3), entonces las coordenadas de x respecto de B 0 son: (a) (3, 10, 2)

(b) (−2, 7, −16)

(c) (0, 5, −18)

(d) (−9, 4, 2)