TEMA 2. ESPACIOS VECTORIALES CÉSAR ROSALES GEOMETRÍA I

En este tema comenzaremos el estudio de los objetos que nos interesarán en esta asignatura: los espacios vectoriales. Estos son estructuras básicas en matemáticas que aparecen no sólo en geometría, sino también en álgebra o en cálculo (se verá en lo ejemplos). Los espacios vectoriales representan las estructuras más simples en las que se puede hacer geometría. A pesar de su sencillez, juegan un papel clave en el estudio de figuras complicadas como curvas o superficies; de hecho, el método que se sigue para estudiar estas figuras consiste en asociarles en cada punto un espacio vectorial que las “aproxime” bien en las cercanías del punto, y en analizar cómo este espacio vectorial cambia al movernos sobre la figura. Los espacios vectoriales también son muy importantes en otras ciencias, como la física, donde es habitual el empleo de magnitudes vectoriales en la resolución de problemas. También son muy relevantes en la teoría de la relatividad. 1.

Definición, ejemplos y primeras propiedades

Cuando hablamos de vectores pensamos en segmentos de recta orientados (flechas). Sabemos desde la enseñanza secundaria que en el plano o en el espacio dos vectores se pueden sumar obteniéndose otro vector. También se puede multiplicar un número real por un vector y el resultado es un nuevo vector. Además, estas operaciones cumplen propiedades muy parecidas a las que se vieron en la definición de anillo. Pues bien, los espacios vectoriales suponen la abstracción matemática de los conjuntos que admiten una suma interna y un producto por elementos de un cuerpo de modo que se cumplen las mismas propiedades. Definición 1.1. Sea K un cuerpo. Un espacio vectorial (e.v.) sobre K o K-espacio vectorial es un conjunto no vacío V tal que: I) Existe una operación + en V , que asocia a cada par u, v ∈ V un único u + v ∈ V . Además, (V, +) es un grupo abeliano, es decir, se cumplen estas propiedades: (i) asociativa: (u + v) + w = u + (v + w), para cualesquiera u, v, w ∈ V , (ii) hay neutro: existe e ∈ V tal que v + e = e + v = v, para cada v ∈ V , (iii) hay opuestos: para cada v ∈ V , existe w ∈ V tal que v + w = w + v = e, (iv) conmutativa: u + v = v + u, para cada u, v ∈ V . II) Existe una acción por la izquierda de K sobre V , esto es, una regla que asocia a cada a ∈ K y cada v ∈ V un único a · v ∈ V . Además, se cumplen estas propiedades: (i) pseudoasociativa: (a · b) · v = a · (b · v), para cada a, b ∈ K y cada v ∈ V , (ii) unimodular: 1 · v = v, para cada v ∈ V , (iii) distributiva respecto de la suma en K: (a + b) · v = a · v + b · v, para cualesquiera a, b ∈ K y cada v ∈ V , (iv) distributiva respecto de la suma en V : a · (u + v) = a · u + a · v, para cada a ∈ K y cada u, v ∈ V . Nota 1.2. En la definición anterior se usan con frecuencia los símbolos + y · para representar operaciones distintas. ¿Podrías decir qué significan estos símbolos cada vez que aparecen?

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Nota 1.3. Nótese que la definición de e.v. es muy parecida a la de anillo. No obstante, en un anillo, el producto · es una operación interna (se multiplican dos elementos del anillo resultando otro elemento del anillo) mientras que en un e.v. el producto · no es interno (se multiplica un elemento de K por otro de V resultando un elemento de V ). Esto justifica que la primera propiedad del producto · de un e.v. no sea una propiedad asociativa propiamente dicha. Es por ello que se llama “pseudoasociativa”. Definición 1.4. Si V es un e.v. sobre K, llamaremos escalares a los elementos de K y vectores a los elementos de V (aunque muchas veces estos no serán los vectores a los que estamos acostumbrados en la enseñanza secundaria). Usaremos las letras a, b, c, . . . para referirnos a los escalares y las letras u, v, w, . . . para referirnos a los vectores. La operación + de V se llama suma de vectores y la acción · de K sobre V se llama producto de escalares por vectores. A veces escribiremos a v para referirnos al vector a · v. Cuando K = R diremos que V es un e.v. real. Cuando K = C diremos que V es un e.v. complejo. Antes de introducir más terminología necesitamos probar algunos resultados que se deducen inmediatamente de la definición de e.v. Lema 1.5. En un espacio vectorial V hay un único neutro para la suma de vectores. Demostración. Supongamos que e1 y e2 son dos vectores de V que se comportan como neutros. Veamos que e1 = e2 . Usando que e2 es neutro tenemos e1 = e1 + e2 . Usando que e1 es neutro tenemos e1 + e2 = e2 . Encadenando ambas igualdades tenemos e1 = e2 .  Definición 1.6. Si V es un e.v., al único elemento neutro para la suma de vectores lo llamaremos vector cero o nulo, y lo denotaremos por 0 (no confundir con el neutro para la suma de escalares en K, que se denota igual). Ahora podemos reescribir la igualdad que define al vector cero como v + 0 = 0 + v = v, para cada v ∈ V . Lema 1.7. En un espacio vectorial V , cada vector v ∈ V tiene un único opuesto. Demostración. Sean w1 y w2 dos vectores opuestos para v. Veamos que w1 = w2 . Para ello: w1 = w1 + 0 = w1 + (v + w2 ) = (w1 + v) + w2 = 0 + w2 = w2 . La primera igualdad de arriba se debe a que 0 es el neutro. En la segunda se usa que w2 es un vector opuesto de v y, por tanto, v + w2 = 0. En la tercera se emplea la propiedad asociativa para la suma en V . En la cuarta se usa que w1 es un opuesto de v, por lo que w1 + v = 0. En la última se usa otra vez la propiedad del vector cero.  Definición 1.8. Si V es un e.v., al único vector opuesto de v ∈ V lo llamaremos vector opuesto de v y lo denotaremos por −v (más tarde veremos que este vector coincide con (−1) · v, como la notación parece sugerir). Ahora podemos reescribir la igualdad que define al vector opuesto como v + (−v) = (−v) + v = 0, para cada v ∈ V . Notación: Dados u, v ∈ V usaremos la notación u − v para referirnos al vector u + (−v). Esto se llamará diferencia de vectores y consiste en sumar al primero el opuesto del segundo. Ahora vamos a mostrar diversos ejemplos que reflejen la riqueza y abundancia de espacios vectoriales en distintas ramas de las matemáticas. En cada ejemplo indicaremos escalares, vectores, igualdad de vectores, suma de vectores y producto de escalares por vectores. Además, mostraremos cuáles son el vector cero y los vectores opuestos. Ejemplo 1.9 (Vectores libres en el plano). Un vector (fijo) en el plano es un segmento de recta orientado delimitado por dos puntos llamados respectivamente origen y extremo. Representaremos por F 2 al conjunto de los vectores libres en el plano, entendiendo que dos

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vectores libres son iguales si tienen igual dirección (están contenidos en rectas paralelas), sentido y longitud. Así, dos vectores fijos distintos pueden dar lugar al mismo vector libre. − − − − Dados dos vectores libres → u y→ v , su suma → u +→ v es el vector libre asociado a un vector → − − cuyo origen es el origen de u y cuyo extremo es el extremo de → v , una vez que tomamos → − → − → − como origen de v el extremo de u . Por otro lado, si a ∈ R y v es un vector libre, se define − − a·→ v como el vector libre con la misma dirección de → v , el mismo sentido si a > 0 o sentido → − contrario si a < 0, y cuya longitud es la de v multiplicada por |a|. No es difícil probar que, con estas operaciones, F 2 se convierte en un e.v. real. El vector nulo de F 2 es el vector libre de longitud 0 (el asociado a cualquier vector fijo donde el origen y el extremo coinciden). − Además, el opuesto de un vector → v es el vector libre asociado a cualquier vector con la misma dirección, la misma longitud y sentido contrario. Ejemplo 1.10 (Vectores libres en el espacio). Un vector (fijo) en el espacio es un segmento orientado de recta delimitado por dos puntos llamados respectivamente origen y extremo. Representaremos por F 3 al conjunto de los vectores libres en el espacio, entendiendo que dos de tales vectores son iguales si tienen la misma dirección (están contenidos en rectas paralelas), sentido y longitud. Siguiendo exactamente el mismo proceso que en el ejemplo anterior se puede dar estructura de e.v. real a F 3 . Ejemplo 1.11 (Los espacios R2 y R3 ). Representaremos por R2 al conjunto de los pares ordenados (x, y) donde x, y ∈ R. Es sabido que R2 constituye un modelo numérico del conjunto F 2 de los vectores libres en el plano. Recordemos esto con mayor detalle. Fijemos un sistema de referencia cartesiano R en el plano, con origen en un punto dado O − − − y vectores {→ e1 , → e2 } con origen en O. Afirmamos que todo vector libre → v queda unívocamente − determinado por un par de números reales. Para ello, se toma el representante de → v con → − → − origen en O y se descompone el vector fijo resultante como x · e1 + y · e2 con x, y ∈ R. − Esto permite asociar a → v sus coordenadas (x, y) ∈ R2 con respecto a R. Y, recíprocamente, − − 2 toda pareja (x, y) ∈ R determina un único vector libre asociado a x · → e1 + y · → e2 . ¿Cómo se realiza la suma en F 2 y el producto de números reales por elementos de F 2 en términos de − − coordenadas? No es difícil comprobar que si → u,→ v ∈ F 2 tienen coordenadas (x, y) y (x0 , y 0 ), → − → − entonces las coordenadas de u + v están dadas por (x + x0 , y + y 0 ). Además, si a ∈ R y → − − v ∈ F 2 entonces las coordenadas de a · v en función de las coordenadas (x, y) de → v se obtienen como (a · x, a · y). Las consideraciones anteriores nos llevan a definir en R2 la siguiente suma interna y producto por escalares reales: (x, y) + (x0 , y 0 ) = (x + x0 , y + y 0 ),

a · (x, y) = (a · x, a · y).

Usando las propiedades de la suma y del producto en R es fácil probar que, con estas operaciones, R2 es un e.v. real. El vector cero es (0, 0), mientras que el opuesto de (x, y) ∈ R2 es (−x, −y). Si trabajamos en F 3 en lugar de en F 2 entonces llegamos al conjunto R3 formado por las ternas (x, y, z) donde x, y, z ∈ R. Además, las operaciones geométricas de vectores libres en F 3 se traducen en operaciones con elementos de R3 efectuadas coordenada a coordenada. Concretamente, si en R3 definimos + y · como: (x, y, z) + (x0 , y 0 , z 0 ) = (x + x0 , y + y 0 , z + z 0 ),

a · (x, y, z) = (a · x, a · y, a · z),

entonces obtenemos un e.v. real que supone un modelo numérico de F 3 . El vector cero en este caso es (0, 0, 0), mientras que el opuesto de (x, y, z) ∈ R3 es (−x, −y, −z). Ejemplo 1.12 (Los espacios K n ). La estructura de e.v. estudiada en el ejemplo anterior se puede generalizar fácilmente sustituyendo R por un cuerpo K cualquiera y el exponente 2 o 3 por cualquier número natural. Veámoslo.

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Sea K un cuerpo y n ∈ N. Una n-upla en K es una colección de n elementos de K separados por comas y delimitados por paréntesis. Así, una n-upla es de la forma (x1 , . . . , xn ) donde xi ∈ K para cada i = 1, . . . , n. Diremos que dos n-uplas (x1 , . . . , xn ) e (y1 , . . . , yn ) son iguales si xi = yi para cada i = 1, . . . , n. Representaremos por K n al conjunto de todas las nuplas en K. Sobre este conjunto definimos las siguientes operaciones realizadas “coordenada a coordenada” mediante la suma y el producto de K: (x1 , . . . , xn ) + (y1 , . . . , yn ) = (x1 + y1 , . . . , xn + yn ),

a · (x1 , . . . , xn ) = (a · x1 , . . . , a · xn ).

Usando las propiedades de la suma y del producto en K es fácil verificar que las operaciones anteriores convierten a K n en un e.v. sobre K. En este caso, el vector nulo está dado por (0, . . . , 0), mientras que el opuesto de (x1 , . . . , xn ) es (−x1 , . . . , −xn ). Ejemplo 1.13 (Espacios de matrices). Sean m, n ∈ N. Denotaremos por Mm×n (K) al conjunto de todas las matrices de orden m × n con coeficientes en K. Cuando m = n (matrices cuadradas de orden n) denotaremos a Mm×n (K) como Mn (K). Veamos que Mm×n (K) se puede dotar de estructura de e.v. sobre K de manera natural. Dadas dos matrices A = (aij ) y B = (bij ) en Mm×n (K) definimos A + B como la matriz en Mm×n (K) cuyo elemento ij es aij + bij (con la suma de K). Esto significa que A + B = (aij + bij ). Por otro lado, dado a ∈ K y A = (aij ) en Mm×n (K), definimos a · A como la matriz en Mm×n (K) cuyo elemento ij es a·aij (con el producto de K). Esto significa que a · A = (a · aij ). Vamos a probar con detalle que Mm×n (K) es un e.v. sobre K con las operaciones anteriores. Veamos que la suma de matrices es asociativa. Sean A = (aij ), B = (bij ) y C = (cij ) tres matrices en Mm×n (K). Entonces: (A + B) + C = (aij + bij ) + (cij ) = ((aij + bij ) + cij ) = (aij + (bij + cij )) = (aij ) + (bij + cij ) = A + (B + C), donde hemos usado cómo se suman matrices y la propiedad asociativa de la suma en K. Veamos que la suma de matrices tiene neutro. Definimos la matriz nula de orden m × n como la matriz de Mm×n (K) cuyas entradas coinciden todas con el elemento 0 ∈ K. La denotaremos 0m×n . Dada cualquier matriz A = (aij ) en Mm×n (K), se tiene: A + 0m×n = (aij + 0) = (aij ) = A, 0m×n + A = (0 + aij ) = (aij ) = A, donde hemos usado cómo se suman matrices y que 0 es el neutro para la suma en K. Veamos que la suma de matrices tiene opuestos. Sea A = (aij ) una matriz en Mm×n (K). La matriz opuesta de A es la matriz en Mm×n (K) dada por −A = (−aij ). Se tiene que:
A + (−A) = aij + (−aij ) = (0) = 0m×n , −A + A = (−aij + aij ) = (0) = 0m×n , donde hemos usado cómo se suman matrices y que −aij es el opuesto de aij en K. Veamos que la suma de matrices es conmutativa. Sean A = (aij ) y B = (bij ) dos matrices en Mm×n (K). Entonces: A + B = (aij + bij ) = (bij + aij ) = B + A, donde hemos usado cómo se suman matrices y la propiedad conmutativa de la suma en K. Comprobemos ahora la propiedad pseudoasociativa. Dados a, b ∈ K y A = (aij ) en Mm×n (K), se tiene: (a · b) · A = ((a · b) · aij ) = (a · (b · aij )) = a · (b · aij ) = a · (b · A),

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donde hemos usado cómo se multiplican elementos de K por matrices y la propiedad asociativa del producto de K. Comprobemos la propiedad unimodular. Dada A = (aij ) en Mm×n (K), se tiene: 1 · A = (1 · aij ) = (aij ) = A, donde hemos usado que 1 es el neutro para el producto en K. Comprobemos por último las propiedades distributivas. Sean a, b ∈ K. Tomemos también A = (aij ) y B = (bij ) en Mm×n (K). Se tiene: (a + b) · A = ((a + b) · aij ) = (a · aij + b · aij ) = (a · aij ) + (b · aij ) = a · A + b · A, a · (A + B) = a · (aij + bij ) = (a · (aij + bij )) = (a · aij + a · bij ) = (a · aij ) + (a · bij ) = a · A + a · B, donde hemos usado cómo se suman matrices, cómo se multiplican elementos de K por matrices, y las propiedades distributivas en K. Todo lo anterior prueba que Mm×n (K) es un e.v. sobre K. Nótese que el vector nulo es la matriz 0m×n . Además, el vector opuesto de A es la matriz −A antes definida. Ejemplo 1.14 (Espacios de polinomios). El siguiente ejemplo es interesante en álgebra. Sea K un cuerpo. Un polinomio con coeficientes en K es una expresión del tipo: (1.1)

p(x) = a0 + a1 x + . . . + an xn ,

donde n ∈ N ∪ {0} y ai ∈ K para cada i = 0, . . . , n. Se define el polinomio nulo como 0 = 0 + 0 x + . . . + 0 xn . Diremos que un polinomio no nulo tiene grado n si se escribe como en (1.1) y an 6= 0. Representaremos por K[x] al conjunto de todos los polinomios con coeficientes en K. Veamos que K[x] tiene estructura de e.v. sobre K. Dados p(x) = a0 + a1 x + . . . + an xn y q(x) = b0 + b1 x + . . . + bm xm en K[x] con n 6 m, definimos: p(x) + q(x) = (a0 + b0 ) + (a1 + b1 ) x + . . . + (an + bn ) xn + bn+1 xn+1 + . . . + bm xm , es decir, sumamos los monomios del mismo grado. Dados a ∈ K y un polinomio p(x) = a0 + a1 x + . . . + an xn en K[x], definimos: a · p(x) = (a · a0 ) + (a · a1 ) x + . . . + (a · an ) xn . No es difícil comprobar que, con las operaciones anteriores, K[x] es un e.v. sobre K. El vector cero es el polinomio nulo, mientras que el opuesto de un polinomio p(x) = a0 +a1 x+. . .+an xn es el polinomio −a0 − a1 x − . . . − an xn . Ejemplo 1.15 (Espacios de funciones). Nuestro último ejemplo es relevante en análisis matemático. Sea X un conjunto y K un cuerpo. Una función de X en K es una regla f : X → K, que asocia a cada elemento x ∈ X un único elemento f (x) ∈ K. Dos funciones f, g : X → K son iguales y escribimos f = g si f (x) = g(x) para cada x ∈ X. Representaremos por F (X, K) al conjunto de todas las funciones de X en K. Veamos que F (X, K) admite una estructura natural de e.v. sobre K. Dadas dos funciones f, g : X → K definimos su suma como la función f + g : X → K dada por (f + g)(x) = f (x) + g(x), para cada x ∈ X. Dado a ∈ K y una función f : X → K definimos su producto como la función a · f : X → K dada por (a · f )(x) = a · f (x), para cada x ∈ X. Usando las propiedades de anillo de K se comprueba fácilmente que F (X, K) es un e.v. sobre K con las operaciones anteriores. El vector nulo es la función cero 0 : X → K que asocia a cada x ∈ X el elemento 0 ∈ K. Además el vector opuesto de una función f : X → K es la función de X en K que asocia a cada x ∈ X el opuesto −f (x) de f (x) en K.

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Como casos particular, si K = R y X ⊆ R, entonces F (X, R) es el e.v. real de todas las funciones reales de una variable real definidas en X. Cuando X = N obtenemos el e.v. real de las sucesiones de números reales. Nota 1.16. Es interesante observar que en los ejemplos anteriores la suma y el producto de escalares por vectores se construyen a partir de la suma y del producto en K. De hecho, las propiedades de e.v. se deducen a partir de las propiedades de anillo que cumple K. Nota 1.17. En la definición de e.v. el papel del cuerpo K es importante. De hecho, un mismo conjunto puede ser un e.v. sobre diferentes cuerpos. Por ejemplo C es un e.v. real y complejo. Veámoslo. Dados z = x + y i y w = x0 + y 0 i en C, su suma está dada por: z + w = (x + x0 ) + (y + y 0 ) i. Es fácil comprobar que (C, +) es un grupo abeliano. Dado a ∈ R y z = x + y i ∈ C definimos a · z = (a · x) + (a · y) i. Con estas operaciones C es un e.v. real. Por otro lado, gracias al Ejemplo 1.12 con K = C y n = 1 sabemos que C es también un e.v. complejo. Más adelante veremos que hay mucha diferencia entre ambas estructuras de e.v. sobre C. En este tema estudiaremos propiedades que cumplen todos los espacios vectoriales. Partiendo de los axiomas probaremos cada vez resultados más interesantes. Por ejemplo aún no sabemos que 0 · v = 0, para cada v ∈ V (no es un axioma). En la siguiente proposición mostraremos algunos hechos sencillos que se deducen directamente de los axiomas y que nos permiten operar de forma natural en un e.v. Proposición 1.18. Sea V un e.v. sobre un cuerpo K. Se cumplen estas propiedades: 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11)

Dados u, v, w ∈ V con u + v = u + w, entonces v = w. a · 0 = 0, para cada a ∈ K. 0 · v = 0, para cada v ∈ V . Dados a ∈ K y v ∈ V con a · v = 0, entonces a = 0 o v = 0. −(a · v) = (−a) · v = a · (−v), para cada a ∈ K y cada v ∈ V . −v = (−1) · v, para cada v ∈ V . −(u + v) = −u − v, para cada u, v ∈ V . (−a) · (−v) = a · v, para cada a ∈ K y cada v ∈ V . −(−v) = v, para cada v ∈ V . Si a · u = a · v con a ∈ K, a 6= 0 y u, v ∈ V , entonces u = v. Si a · v = b · v con a, b ∈ K y v ∈ V con v 6= 0, entonces a = b.

Demostración. Comenzamos con 1). Supongamos que u + v = u + w. Si en esta igualdad sumamos por la izquierda el opuesto de u a ambos lados, tenemos −u+(u+v) = −u+(u+w). Usando la asociatividad de la suma de vectores, junto con las propiedades del opuesto y del neutro, tenemos v = w. Vamos a probar 2). Se tiene: a · 0 + 0 = a · 0 = a · (0 + 0) = a · 0 + a · 0. Usando 1) acabamos. Probemos 3). Se tiene: 0 · v + 0 = 0 · v = (0 + 0) · v = 0 · v + 0 · v, y se acaba de nuevo por 1). Vamos a probar 4). Sean a ∈ K y v ∈ V con a · v = 0. Si a = 0 hemos acabado. Supongamos que a 6= 0 y veamos que v = 0. Como K es un cuerpo, existe a−1 . Multiplicando por a−1 a ambos lados de a · v = 0, y usando la propiedad 2), se tiene: 0 = a−1 · (a · v) = (a−1 · a) · v = 1 · v = v, donde hemos usado la propiedad pseudoasociativa y la unimodular.

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Vamos ahora con 5). Tenemos que probar dos igualdades. Nótese que: a · v + (−a) · v = (a + (−a)) · v = 0 · v = 0, −a · v + a · v = (−a + a) · v = 0 · v = 0. Como el opuesto es único, se tiene que −(a · v) = (−a) · v. La igualdad −(a · v) = a · (−v) se prueba de modo análogo. La igualdad en 6) se sigue tomando a = 1 en 5) y usando la propiedad unimodular. Para probar 7) nótese que, por 6) y una de las distributivas, se tiene: −(u + v) = (−1) · (u + v) = (−1) · u + (−1) · v = −u + (−v) = −u − v. Ahora vamos con 8). Por las propiedad 6) y la pseudoasociativa, se tiene: (−a) · (−v) = (−a) · ((−1) · v) = ((−a) · (−1)) · v = a · v. Para probar 9) usamos 8) de este modo: −(−v) = (−1) · (−v) = 1 · v = v. Para probar 10), basta multiplicar por a−1 a ambos lados de a · u = a · v, usar la pseudoasociativa y la unimodular. Vamos con 11). Tenemos la igualdad a · v = b · v, que equivale a a · v − (b · v) = 0. Por la propiedad 5) y una de las distributivas: 0 = a · v − (b · v) = a · v + (−b) · v = (a + (−b)) · v = (a − b) · v Por la propiedad 4) y como v 6= 0, se sigue que a − b = 0, es decir, a = b.



Nota 1.19. Una consecuencia inmediata de la propiedad 11) es la siguiente: si V es un e.v. sobre un cuerpo infinito K, entonces V tiene un único vector (el nulo) o infinitos. En efecto, supongamos que existe v ∈ V con v 6= 0. Afirmamos que la familia L(v) := {a · v /a ∈ K} es infinita. En efecto, si ocurriese a · v = b · v, entonces por la propiedad 11) se tendría a = b. Por tanto, para diferentes valores de a ∈ K los vectores a · v son distintos. Como K es infinito, entonces L(v) también lo es. Y como L(v) ⊆ V , entonces V es infinito. Ejercicio 1. Demostrar que si V es un e.v. sobre K entonces se cumplen las igualdades: a · (u − v) = a · u − a · v, (a − b) · v = a · v − b · v, para cada a, b ∈ K y cada u, v ∈ V . Ejercicio 2. Demostrar que en un e.v. la conmutatividad de la suma de vectores es una consecuencia de los otros axiomas que aparecen en la definición.