Espacios vectoriales. Matrices

2.- ESPACIOS VECTORIALES. MATRICES. 2.1. - ESPACIOS VECTORIALES Sea un conjunto V, entre cuyos elementos (a los que llamaremos vectores) hay definidas dos operaciones:

• SUMA DE DOS ELEMENTOS DE V: Si u , v ∈ V, entonces u + v ∈ V • PRODUCTO POR UN NÚMERO REAL: Si a ∈ R y u ∈ V, entonces a ⋅ u ∈ V Se dice que V, +, ⋅ es un espacio vectorial sobre R si las operaciones cumplen las siguientes propiedades:

• SUMA DE VECTORES: ▸ ASOCIATIVA u + v + w = u + v + w ▸ CONMUTATIVA u + v = v + u ▸ ELEMENTO NEUTRO Es un vector al que llamaremos 0 tal que si v ∈ V entonces ▸

v+0 = v ELEMENTO OPUESTO. Para todo vector v ∈ V existe un vector al que llamaremos opuesto y designaremos − v ∈ V, tal que v + − v = 0

• PRODUCTO POR UN NÚMERO REAL: ▸ ASOCIATIVA a ⋅ b ⋅ u = a ⋅ b ⋅ u ▸ DISTRIBUTIVA RESPECTO DE LA SUMA DE ESCALARES a + b ⋅ u = a ⋅ u + b ⋅ u ▸ DISTRIBUTIVA RESPECTO DE LA SUMA DE VECTORES a ⋅ u + v = a ⋅ u + a ⋅ v ▸ ELEMENTO UNIDAD Si v ∈ V entonces 1 ⋅ v = v

2.2. - N-UPLAS DE NÚMEROS REALES A una colección de n números reales dados en un cierto orden se llama una n-upla. El conjunto de todas las n-uplas de números reales forman un espacio vectorial, y se designa por R n . Una n-upla de dos elementos se llama par, una de tres terna, y de cuatro cuaterna. Ejemplo

R 2 es el conjunto de todos los pares de números reales como por ejemplo 2, 3 ó −3,

Ejemplo

R 3 es el conjunto de todas las ternas como por ejemplo 2,

1 3

, −6 ó

1 5

.

2 , 1, 0

Considera u2, −1, 3, v −1, 2, 0, w3, 0, 1, a = 8, b = −5 elementos de R 3 y R. Comprueba que se cumplen las ocho propiedades de espacio vectorial. Ejercicio

2.3. - COMBINACIÓN LINEAL DE VECTORES Dados los vectores v 1 , v 2 , v 3 ........v n y los números reales a 1 , a 2 , a 3 .........a n , una combinación lineal de los vectores v 1 , v 2 , v 3 ........v n , es un vector formado de la siguiente forma: a 1 v 1 + a 2 v 2 + a 3 v 3 + ...... + a n v n

1

MATEMÁTICAS II

Por ejemplo una combinación lineal de los vectores −2, 5, 8, 4, 1, 7, 3, −1, 0, 5, −1, −2 sería: 3−2, 5, 8, 4 + 21, 7, 3, −1 − 40, 5, −1, −2 = −4, 9, 34, 18 1, 7, 3, −1,

Por tanto −4, 9, 34, 18 es combinación lineal de los vectores −2, 5, 8, 4,

0, 5, −1, −2

2.4. - DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA LINEAL Un conjunto de vectores v 1 , v 2 , v 3 ........v n de V se dice que son linealmente dependientes (L.D.) si alguno de ellos se puede poner como combinación lineal de los demás. Un conjunto de vectores u 1 , u 2 , u 3 ........u n de V se dice que son linealmente independientes (L.I.) si ninguno de ellos se puede poner como combinación lineal de los demás. Por ejemplo las cuaternas −4, 9, 34, 18, −2, 5, 8, 4, 1, 7, 3, −1, 0, 5, −1, −2 son linealmente dependientes, ya que, según vimos antes la primera de ellas es una combinación lineal de las demás. La cuaterna 0, 0, 0, 0 es combinación lineal de cualquier conjunto de cuaternas, pues se obtiene sumando el resultado de multiplicar cada una de ellas por 0. Las cuaternas 1, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 1 son linealmente independientes, pues ninguna de ellas se puede poner como combinación lineal de las demás. Salvo en algunos casos en los que resulta evidente la dependencia o independencia lineal de varios vectores, el recurso más seguro para averiguar si un conjunto de vectores es LD o LI, es la aplicación de la siguiente propiedad:

PROPIEDAD FUNDAMENTAL La condición necesaria y suficiente para que los vectores u 1 , u 2 , u 3 ........u n sean linealmente independientes, es que la igualdad x 1 u 1 + x 2 u 2 + x 3 u 3 + ........ + x n u n = 0 sólo sea cierta cuando todos los coeficientes sean ceros:

(*)

x 1 = x 2 = x 3 = ........ = x n = 0 Es decir, si los vectores son L.D., existen números x 1 , x 2 , x 3 , ........, x n no todos nulos para los cuales se cumple la igualdad (*), mientras que si los vectores son L.I., la única combinación lineal de ellos que da como resultado el vector 0 es 0u 1 + 0u 2 + 0u 3 + ........ + 0u n

NÚMERO DE N-UPLAS L.I. El máximo número posible de n-uplas L.I. es n. Es decir:

• Dos pares pueden ser L.I., pero tres pares son con seguridad, L.D. • Tres ternas pueden ser L.I., pero cuatro ternas son, con seguridad, L.D. • y así sucesivamente....

2.5. - PROPIEDADES DE LA DEPENDENCIA LINEAL • El conjunto v , formado por un único vector v distinto de 0 es L.I., pues a v = 0 sólo es cierto si a=0

• El conjunto 0 formado por el vector 0 es L.D. • Si un conjunto de vectores contiene al vector 0 entonces es un conjunto L.D. Es decir, si tenemos 0 , u 1 , u 2 , u 3 ........u n , es evidente que la combinación lineal: λ 1 0 + 0u 1 + 0u 2 + 0u 3 + ........ + 0u n = 0 siendo λ 1 ≠ 0 Cualquier conjunto que contenga dos vectores iguales es un conjunto L.D.

• • Todo subconjunto de vectores de un conjunto L.I. es también L.I • Si el conjunto de vectores u 1 , u 2 , ........, u k es L.D. y añadimos los vectores v 1 , v 2 , ........, v j , el

2

Espacios vectoriales. Matrices

conjunto resultante

u 1 , u 2 , ........, u k , v 1 , v 2 , ........, v j

es también L.D

2.6. - BASE DE UN ESPACIO VECTORIAL Un conjunto de vectores B = v 1 , v 2 , ........, v n es un base de un espacio vectorial V si son un conjunto de vectores linealmente independientes de orden máximo. Así pues: En ℜ 2 dos vectores L.I. son base. En ℜ 3 tres vectores L.I. son base. Y en general en ℜ n n vectores L.I. son base

3

MATEMÁTICAS II

MATRICES 2.7. - DEFINICIÓN Y TIPOS DE MATRICES Se llama matriz real de dimensión m × n o de orden m × n al conjunto de m ⋅ n números reales ordenados en m filas y n columnas. a 11 a 12 ...... a 1n a 21 a 22 ...... a 2n ...... ...... ...... ...... a m1 a m2 .....

a mn

Los m ⋅ n números reales a ij se llaman términos o elementos de la matriz. Los números naturales i y j designan, respectivamente, la fila (i) y la columna (j) a las que pertenece el elemento a ij . Las matrices se suelen representar por las letras mayúsculas, A, B, ...., o A m×n , B p×q , ... cuando sea conveniente indicar su dimensión, o bien por a ij , b ij , ....o a ij  m×n , b ij  p×q , ...

A 2×3 =

−1 5 0 −3 2 4

−2 1 ;

A 3×2 =

−3 2 −8 5

Dos matrices son equidimensionales cuando tienen el mismo número de filas y de columnas. El conjunto de matrices equidimensionales, de m filas y n columnas se simboliza por M m×n Dos matrices A =sa ij  y B = b ij  son iguales si son equidimensionales e iguales todos los elementos correspondientes. Las matrices A =

a b c d e f

yB=

1 2 3 4 5 6

son iguales si y sólo si a = 1, b = 2, c = 3, D = 4,

e = 5 y f = 6. Matriz nula es la que tiene todos sus elementos iguales a 0. Se simboliza por 0 mxn o por 0 cuando no haya duda de su dimensión. Matriz fila es la que tiene una sola fila y matriz columna es la que tiene una sola columna. Matriz opuesta de la matriz A = a ij  es la matriz B = −a ij . Se escribe B = −A. Matriz cuadrada es la que tiene el mismo número de filas que de columnas. Las matrices cuadradas de n filas y n columnas, diremos que son de dimensión n. Se llama diagonal principal de una matriz cuadrada a la formada por los elementos a ii . La otra diagonal se llama secundaria. Se llama traza de una matriz cuadrada a la suma de los elementos de la diagonal principal. TrA = a 11 + a 22 + a 33 + .......... + a nn En una matriz cuadrada se llama conjugado del elemento a ij al elemento a ji . Matriz diagonal es la matriz cuadrada cuyos términos no situados en la diagonal principal son nulos.

4

Espacios vectoriales. Matrices

5 0 0 Ejemplo

La matriz A =

es diagonal

0 2 0 0 0 −8

Matriz escalar es la matriz diagonal que tiene iguales todos los elementos de la diagonal principal. k 0 0 k≠0

0 k 0 0 0 k

Matriz unidad es la matriz diagonal que tiene todos los elementos de la diagonal principal iguales a 1. La matriz diagonal de orden n se simboliza por I n , o por I cuando no hay duda sobre su orden. 1 5 La matriz

7

0 −5 3 0 0

2

0 0

−5 3 0

es triangular superior, y

4

4

es triangular inferior.

7 1

Matriz simétrica es la matriz cuadrada que tiene iguales sus elementos conjugados, es decir, a ij = a ji para todo i y todo j a b c b d e c e f Matriz antisimétrica es la matriz cuadrada que verifica la propiedad: a ij = −a ji para todo valor de i y todo valor de j. Los elementos de la diagonal principal son nulos. 0

b c

−b 0 −e −c e 0

2.8. - SUMA DE MATRICES La suma de dos matrices A y B del mismo orden, m × n, es otra matriz C, de orden m × n, cuyos elementos se obtienen sumando los elementos de A y de B que ocupen lugares homólogos. a 11 a 12 ... a 1n a 21 a 22 ... a 2n

A+B =

..... ..... ... .....

b 11 b 12 ... b 1n +

a m1 a m2 ... a mn

=

b 21 b 22 ... b 2n ..... ..... ... .....

=

b m1 b m2 ... b mn

a 11 + b 11

a 12 + b 12

.... a 1n + b 1n

a 21 + b 21

a 22 + b 22

.... a 2n + b 2n

............

............

.... .............

a m1 + b m1 a m2 + b m2 .... a mn + b mn Dos matrices se podrán sumar si y solo si son equidimensionales.

Propiedades de la suma de matrices: La suma de matrices es una operación interna, ya que:

5

MATEMÁTICAS II

√A, B ∈ M m×n ␣ A + B ∈ M m×n verifica las siguientes propiedades:

• • • •

ASOCIATIVA: A + B + C = A + B + C CONMUTATIVA: A + B = B + A

√A, B, C ∈ M m×n

√A, B ∈ M m×n

ELEMENTO NEUTRO: Es la matriz nula que simbolizaremos por 0 ELEMENTO OPUESTO O MATRIZ OPUESTA: √A ∈ M m×n

∝ − A ∈ M m×n / A + −A = 0

2.9. - PRODUCTO DE UNA MATRIZ POR UN NÚMERO El producto de la matriz A = a ij , de orden m × n por el número real λ es la matriz λ ⋅ A = λ ⋅ a ij , de orden m × n, cuyos elementos se obtienen multiplicando todos los elementos de A por λ. λa 11 λa 12 ...... λa 1n λ⋅A =

λa 21 λa 22 ...... λa 2n ......

......

...... ......

λa m1 λa m2 ...... λa mn

Propiedades del producto por un número real: • • • •

ASOCIATIVA: λ ⋅ μ ⋅ A = λ ⋅ μ ⋅ A DISTRIBUTIVA I: λ + μ ⋅ A = λ ⋅ A + μ ⋅ A DISTRIBUTIVA II: λ ⋅ A + B = λ ⋅ A + λ ⋅ B

ELEMENTO UNIDAD: 1 ⋅ A = A Por cumplir estas cuatro propiedades y las de la suma, el conjunto M m×n de matrices de orden m × n, tiene estructura de espacio vectorial sobre el cuerpo ℜ de los números reales.

2.10. - PRODUCTO DE MATRICES Dadas las matrices A = a ij  de dimensión m × n y la matriz B = b ij  de dimensión n × p, se llama producto de A por B a la matriz C = c ij  de dimensión m × p, en donde el elemento genérico c ij es: n

c ij = a i1 b 1j + a i2 b 2j + a i3 b 3j + ...... + a in b nj =∑ a ik b kj k↧1

b 11 b 12 .... b 1p

a 11 a 12 .... a 1n a 21 a 22 .... a 2n

⋅

..... ..... .... ..... a m1 a m2 .... a mn

b 21 b 22 .... b 2p ....

....

.... ....

=

b n1 b n2 .... b np

n

n

n

k↧1 n

k↧1 n

k↧1 n

∑ a 1k b k1 ∑ a 1k b k2 ..... ∑ a 1k b kp =

∑ a 2k b k1 ∑ a 2k b k2 ..... ∑ a 2k b kp k↧1

k↧1

.........

..........

k↧1

..... ...........

n

n

n

k↧1

k↧1

k↧1

∑ a mk b k1 ∑ a mk b k2 ..... ∑ a mk b kp Sólo será posible el producto de A por B si el número de columnas de A es igual al número de filas de B.

6

Espacios vectoriales. Matrices

Ejemplo

1 3

a

2 4

b

2a + 4b

a d g

1 3 5

Ejemplo

a + 3b

=

2 4 6

a + 3b + 5c

=

b e h

d + 3e + 5f

g + 3h + 5i

2a + 4b + 6c 2d + 4e + 6f 2g + 4h + 6i

c f i

Propiedades del producto de matrices: • ASOCIATIVA: A m×n ⋅ B n×p ⋅ C p×q  = A m×n ⋅ B n×p  ⋅ C p×q • DISTRIBUTIVA DEL PRODUCTO RESPECTO

DE

LA

SUMA:

A m×n ⋅ B n×p + C n×p  = A m×n ⋅ B n×p + A m×n ⋅ C n×p En general no se verifica la propiedad conmutativa: 2 1

A⋅B =

3

−2 7 4

0

3

4 2 1

0

=

−2 7

4 −2 1 1

B⋅A =

1

0

12 −2

0 0

4 −2 1

13

14 −5 3 =

␣ A⋅B ≠ B⋅A

24 −16 7 8

4

0

Hay casos en los que existe A ⋅ B y no existe B ⋅ A

2.11. - MATRIZ TRASPUESTA Matriz traspuesta de la matriz A m×n es la matriz B n×m que resulta de cambiar ordenadamente sus filas por sus columnas. La matriz traspuesta de A se simboliza por A t o por A  . a d A=

b e

␣ At =

c f

a b c d e f

Propiedades de la matriz traspuesta: • • • • • •

A t  t = A A + B t = A t + B t kA t = kA t AB t = B t A t Si A es simétrica: A t = A Si A es antisimétrica: −A t = A o bien A t = −A

2.12. - MATRIZ INVERSA Sea A una matriz cuadrada de orden n. Se dice que A tiene inversa si existe una matriz B, cuadrada se orden n, tal que AB = I n . Se dice que B es la matriz inversa de A. La matriz inversa de A, cuando existe, se simboliza por A −1 , verificándose: A ⋅ A −1 = A −1 ⋅ A = I La matriz inversa de A, cuando existe, es única.

7

MATEMÁTICAS II

Cálculo de la matriz inversa por el método de Gauss: Una matriz cuadrada tiene inversa si y sólo si es posible pasar, por transformaciones elementales sobre las filas, del cuadro: A/I al cuadro: I/A −1  Una transformación elemental sobre las filas de una matriz es cualquiera de las operaciones siguientes:

• Multiplicar, o dividir, los elementos de una fila por un número. • Sumar a los elementos de una fila, multiplicados o no por un número, los correspondientes elementos de otra fila multiplicados por otro número. Si en alguno de los pasos del cálculo de la matriz inversa de A, en la parte izquierda de la recta vertical aparece una fila de ceros o dos filas proporcionales, la matriz A no tiene inversa.

1 0 0 Ejercicio

Calcula la matriz inversa de A =

3 1 5

.

4 0 −2 1 Ejercicio

Comprueba que la matriz A =

3 2

−2 1 3 3

no tiene inversa.

2 −1

Las ecuaciones matriciales de la forma: AX + B = C Cuando A es una matriz cuadrada e inversible se resuelven del siguiente modo: AX + B = C restamos la matriz B en los dos lados de la igualdad AX = C − B multiplicamos por la izquierda por A −1 A −1 AX = A −1 C − B utilizamos la propiedad asociativa A −1 AX = A −1 C − B X = A −1 C − B

Encuentra una matriz X que satisfaga la ecuación AX + B = C, siendo: 1 0 1 2 0 3 1 1 ; B= ; C= 2 3 0 0 3 2 0 0

Ejercicio

A=

2.13. - RANGO DE UNA MATRIZ Rango de una matriz es el número de filas o columnas que hay linealmente independientes.

Cálculo del rango por el método de Gauss: Las siguientes transformaciones elementales de filas o columnas dejan invariante el rango de una matriz:

• Permutar dos filas o columnas. • Multiplicar o dividir una fila o columna por un número real no nulo. • Sumar a una fila o columna otra multiplicada por un número no nulo.

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Espacios vectoriales. Matrices

El rango de una matriz no varia si se suprimen:

• Las filas o columnas nulas. • Las filas o columnas proporcionales a otras. • Las filas o columnas combinación lineal de otras. Las transformaciones anteriores nos permiten calcular el rango de una matriz.

1 0 Ejercicio

Calcula por el método de Gauss el rango de

−1 2 3

2 −1 0

1 3

3 −1 −1 3 6 5 −2 −1 4 9

9