Polinomios Un poco de historia: En España, donde la influencia árabe fue muy importante, surgió el término álgebra, se utilizó para referirse al arte de restituir a su lugar los huesos dislocados y por ello, el término algebrista hacía referencia a la persona que sabía arreglar las dislocaciones (en El Quijote podemos encontrar estos términos en muchos de sus capítulos). El libro Kitab al-jabr wa al-muqabalah, fue la obra más importante del matemático árabe Al-Khowarizmi; parte de su título dio nombre a toda una disciplina matemática: el álgebra. Al-jabr quiere decir algo así como ”restitución”, que es lo que se intenta hacer cuando se resuelve una ecuación, restituir el valor de la incógnita.Con el álgebra pasamos del número al símbolo, de lo particular a lo general. La gran expresividad del lenguaje algebraico facilita la obtención de relaciones, propiedades y la resolución de problemas. Para trabajar eficazmente en matemáticas debemos operar convenientemente con expresiones algebraicas, de modo que se transformen las expresiones en otras idénticas, pero más fáciles de manejar. Repasemos algunos conceptos básicos: Variables o indeterminadas : se llaman así las letras que se utilizan en los polinomios, usaremos fundamentalmente una x, si necesitamos más usaremos y, z, t. El nombre alude a que pueden tomar distintos valores, por lo tanto ”varían”, y a que desconocemos su valor, por lo tanto ”no están determinados”. Constantes : son números o expresiones que representan números y acompañan a las variables, para ellas se usan las primeras letras del alfabeto: a, b, c... Se denominan constantes porque sus valores son fijos, es decir, ”constantes” (Nota la diferencia entre una variable y una constante). Monomios : son expresiones algebraicas en las que las variables están multiplicadas entre sí y/o por constantes. Se denominan así porque forman un solo ”bloque” (recuerda que √ el prefijo mono es indicativo de ”uno”). Ejemplos: x2 y, 13 x3 , − 5xyz 2 , 2at2 , −5x. La constante del monomio se llama coeficiente; en los ejemplos anteriores, son coeficientes: 1(cuando no aparece especificada la constante se interpreta que es 1), √ 1 2 , − 5, 2at , −5 respectivamente. A la, o las variables de un monomio se las 3 llama parte literal, por ejemplo en los casos anteriores, las partes literales son: x2 y, x3 , xyz 2 , t2 , x. El grado de un monomio se obtiene sumando los exponentes a los que están elevadas las variables. Así: x2 y es de grado 3 o tercer grado 1 3 es de tercer grado √ 3 x2 − 5xyz es de cuarto grado 2 2at es de segundo grado −5x es de primer grado Las constantes son monomios de grado cero, pues para cualquier constante k , puedo pensarla como: k = k.1 = kx0 (recordemos que cualquier número elevado a la cero es igual a 1). Definición: Dos monomios del mismo grado, con las mismas variables elevadas a las mismas potencias, se dice que son semejantes (ojo!!!. No dice que son iguales). Así, los monomios 3x2 y 3 y − 12 x2 y 3 son semejantes, también lo son 2x5 y ax5 . No son semejantes 3x2 y 3 y 2x5 a pesar que ambos tienen igual grado. 1

Para sumar o restar monomios semejantes (cuidado!!!. Los monomios deben ser semejantes, si no lo son, no se pueden sumar o restar), es muy sencillo: 2x3 + 4x3 = (2 + 4)x3 = 6x3

7x4 − 3x4 = (7 − 3)x4 = 4x4

1) Piensa un poco. ¿La inversa de qué propiedad de los números reales se está aplicando al sumar o restar monomios semejantes?. Polinomios : están formados por la suma algebraica de dos o más monomios (recuerda que el prefijo poli significa ”muchos”). Por ejemplo: a) 3x2 − 2x2 y + y b) x5 + 3x2 − 3x + 2 En adelante, trabajaremos solamente con polinomios en una sola variable, como el polinomio del ejemplo b). Este polinomio es suma de cuatro monomios no semejantes: x5 , 3x2 , −3x y 2. Los coeficientes de estos monomios, llamados también coeficientes del polinomio, son 1, 3, −3 y 2. Los grados de estos monomios son 5, 2, 1 y 0 respectivamente. El grado de un polinomio en una variable es el mayor de los grados de los monomios que lo forman. En este último caso el polinomio es de quinto grado. Cada monomio, se denomina término del polinomio, y el coeficiente del monomio de la potencia más alta del polinomio es el coeficiente principal . Algunos ejemplos: √ p(x) = 3x2 − x + 1 q(x) = x4 − 7x3 + 12 x r(x) = πx + 6 s(x) = −28 t(x) = 0 p(x), r(x), s(x) y t(x) son polinomios completos porque están todas las potencias decrecientes de x. q(x), es un polinomio incompleto porque faltan los términos de segundo y de grado cero, q(x) se puede completar agregando los términos que faltan con coeficientes iguales a cero 1 q(x) = x4 − 7x3 + 0x2 + x + 0 2 2) ¿El polinomio q(x) sigue siendo el mismo? ¿Por qué?. 3) Indica el grado, los coeficientes y el coeficiente principal de cada uno de los polinomios del ejemplo. Atención!!!, un caso especial: t(x) se denomina polinomio nulo, que es el único polinomio al cual no se le asigna grado. 4) ¿Por qué piensas que el polinomio nulo no tiene grado? Operaciones con polinomios De aquí en adelante podremos observar la gran similitud que existe entre las operaciones con polinomios y las operaciones con números enteros. Suma y resta Para sumar dos o más polinomios se agrupan los monomios semejantes. A la resta de dos polinomios la transformamos en suma, sumando al minuendo el opuesto del sustraendo. Ejemplo: Sumar y restar los siguientes polinomios: p(x) = 3x4 + 12 x3 − 4x2 + 12 x + 1 q(x) = x4 − x3 + 3x − 5 2

La forma práctica de sumar o restar es ubicando los polinomios uno debajo del otro, de manera que los términos semejantes (¿recuerdas cuándo dos monomios o términos son semejantes?), queden en una misma columna: p(x) = 3x4 + 12 x3 − 4x2 + 12 x + 1 + q(x) = x4 − x3 + 3x − 5 Suma : p(x) + q(x) = 4x4 − 12 x3 − 4x2 + 72 x − 4 Así la suma es: p(x) + q(x) = 4x4 − 12 x3 − 4x2 + 72 x − 4 p(x) = 3x4 + 12 x3 − 4x2 + 12 x + 1 − q(x) = x4 − x3 + 3x − 5 Resta :

p(x) − q(x) = 2x4 + 32 x3 − 4x2 − 52 x + 6 Así la resta es: p(x) − q(x) = 2x4 + 32 x3 − 4x2 − 52 x + 6 Multiplicación Necesitamos previamente repasar que : El producto de dos monomios es otro monomio con coeficiente igual al producto de los coeficientes de los factores y el grado es la suma de los grados de los factores. 5) ¿Por qué?¿Qué propiedades de los números reales se está aplicando? Ejemplos: 1 4 (3x3 − 15 x2 + 5x − 2) × 12 x2 = 32 x5 − 10 x + 52 x3 − x2 (2x2 − x + 5)(x + 2) = 2x2 (x + 2) − x(x + 2) + 5(x + 2) = 2x3 + 4x2 − x2 − 2x + 5x + 10 = 2x3 + 3x2 + 3x + 10 Otra forma de realizar la multiplicación de polinomios, efectuando los cálculos de manera ordenada y segura, es la siguiente: 2x4 − 5x3 −2x + 3 X

x2 − x 2x6 − 5x5 −2x3 + 3x2 −2x5 +5x4 −2x2 +3x 6 5 4 3 2x −7x +5x − 2x + x2

+3x

Recuerda dejar un espacio cuando falta el monomio de grado intermedio. División Comenzamos dividiendo monomios: El cociente de dos monomios, uno de grado m y otro de grado n, con m ≥ n , es otro monomio, cuyo grado es la diferencia de los grados, es decir, m − n, y el coeficiente se obtiene dividiendo los coeficientes de los monomios dados. 6) ¿Por qué? ¿Qué propiedad de los números reales se está aplicando? Ejemplos: 3x6 : 2x2 = 32 x4 (−8x4 ) : 4x3 = −2x (−3x5 ) : (− 32 x5 ) = 2 Recordemos como se procede en la división de dos polinomios realizando un ejemplo: q(x) = 4x + 6 para ello ubicamos los Dividir p(x) = 20x2 + 2x − 10 polinomios como sigue: 3

20x2 + 2x − 10 4x + 6 2 −(20x + 30x) 5x − 7 −28x − 10 −(−28x − 42) 32 ← resto

← cociente

Pasos realizados (puedes compararlo a la división entre dos números) 1. Ordenamos según las potencias decrecientes el dividendo (p(x)) y el divisor (q(x)). Completamos el dividendo (solamente!!!) en el caso que sea un polinomio incompleto. 2. Para calcular el primer término del cociente, dividimos el término de mayor grado del dividendo por el término de mayor grado del divisor: 20x2 ÷ 4x = 5x 3. El producto de 5x por q(x), se coloca bajo el dividendo (encolumnando los monomios semejantes obtenidos) y se resta. 4. El primer resto parcial es −28x, bajamos el término −10 y a partir de aquí procedemos a repetir lo realizado en 2 y 3. 5. Detenemos el proceso cuando el grado del resto es menor que el grado del divisor (igual que con los números). En nuestro ejemplo tenemos: c(x) = 5x − 7 (cociente) y r(x) = 32 (resto) En la división anterior, hemos dividido dos polinomios: el dividendo p(x) y el divisor q(x), obteniendo dos polinomios: el cociente c(x) y el resto r(x). Luego, aplicando la definición de cociente, tenemos que se debe cumplir que: p(x) = q(x).c(x) + r(x) 7) Comprueba en el ejemplo dado la fórmula anterior. Como dijimos antes, el resto r(x) , es un polinomio de grado menor que el grado del divisor q(x) . Cuando el resto de la división es cero, se dice que la división es exacta.Y cuando la división es exacta, el cociente es un polinomio. 8) Verifica que la siguiente es una división exacta: (6x5 + 7x3 − 12x2 + 2x − 8) ÷ (3x2 + 2) División de un polinomio por otro de la forma x − a−Regla de Ruffini La recordamos aplicándola a casos concretos: Ejemplo: Dividir el polinomio 3x4 − 2x3 + 5x − 1 por x − 2 usando la regla de Ruffini 3 −2 0

5

−1

6 4

16 21

42 41

2 3

8 8

Los pasos seguidos son los siguientes: 1. En la primera fila se colocan los coeficientes del dividendo completo y ordenado según las potencias decrecientes de x (si no está completo se lo completa!!!) 4

2. En la segunda fila, a la izquierda se escribe a, en este caso, 2. 3. En la tercer fila, se baja el coeficiente del término de mayor grado: 3 (éste será el coeficiente del 1o término del cociente). 4. Los otros números de la 2o y 3o fila se van obteniendo de la siguiente manera: multiplicamos, 2.3 = 6 que va debajo del coeficiente del 2o término y en la 2o fila y luego se suman, es decir, (−2) + 2.3 = 4 . Así obtenemos el 2o coeficiente del cociente, ubicado en la 3o fila. 5. Reiteramos el proceso: 2.4 + 0 = 8 , 2.8 + 5 = 21 , 2.21 + (−1) = 41 hasta terminar. 6. Este último número: 41, es el resto de la división (naturalmente nos tenía que dar un número porque el resto es siempre de menor grado que el divisor que acá es 1, por lo tanto, en nuestro caso el grado del resto debe ser 0). 7. Ahora podemos armar la expresión del cociente: el grado de éste es una unidad menor que el grado del dividendo puesto que estamos dividiendo por un polinomio de 1o grado: por lo que el cociente es: c(x) = 3x3 + 4x2 + 8x + 2 y el resto r(x) = 41 . 9) ¿Es una división exacta x3 + 4x2 + 16x + 39 dividido por x + 3?¿Por qué? 10) ¿Se puede aplicar la Regla de Ruffini en el ejercicio planteado en la actividad 8? ¿Por qué? Valor numérico de un polinomio para x = a El valor numérico de un polinomio p(x) para x = a es el número que se obtiene al sustituir x por a en p(x) y lo designamos por p(a) . Por ejemplo si p(x) = 2x3 − 4x2 − x + 7 * Para x = 2 obtenemos p(2) = 2.23 − 4.22 − 2 + 7 = 5, es decir el valor del polinomio p(x) en x = 2 es 5. * Para x = −1 obtenemos p(−1) = 2.(−1)3 − 4.(−1)2 − (−1) + 7 = 2 . Efectuemos ahora las divisiones: p(x) ÷ (x − 2) y p(x) ÷ (x + 1) (Observa que por la forma de los polinomios divisores se puede aplicar Ruffini !!!) 2 −4 −1 7 2 −4 −1 7 2

4 0 −2 −1 −2 6 −5 2 0 −1 5 2 −6 5 2 los restos 5 y 2 coinciden con p(2) y p(−1), respectivamente. Estos resultados no son casuales, según veremos a continuación: Teorema del resto El resto de la división de un polinomio p(x) por x−a es igual al valor numérico del polinomio cuando x = a , es decir r(x) = p(a) Es necesario comprender lo que nos dice el teorema: * Si dividimos el polinomio p(x) por x − a obtenemos, además de un cociente, un resto r. * Si calculamos el valor numérico del polinomio p(x) cuando x = a, obtenemos un número al que llamamos p(a) . El teorema nos asegura que r es igual a p(a). Ejemplo: ¿Cuál es el resto de la división de p(x) = 2x4 − 10x2 − 7 por x + 3 ? 5

r = p(−3) = 2.(−3)4 − 10.(−3)2 − 7 = 2.81 − 90 − 7 = 162 − 90 − 7 = 65 , entonces el resto es 65. ¿Y esto para qué nos sirve?. Una aplicación inmediata e interesante del teorema del resto es la posibilidad de determinar, con cálculos sencillos, cuando un polinomio es divisible por otro de la forma x − a. Es decir que: p(x) es divisible por x − a si y sólo si r = 0 Observa que es la misma idea que tenías sobre cuándo un número es divisible por otro. Ejemplo: ¿ El polinomio p(x) = x4 − 10x2 + 9 es divisible x + 3 ? No necesito hacer la división para saberlo!!!. El resto de la división es: r = p(−3) = (−3)4 − 10.(−3)2 + 9 = 81 − 90 + 9 = 0 . Por lo tanto la repuesta es afirmativa. Raíces de un polinomio Definición: Un número real a es raíz del polinomio p(x) si p(a) = 0 . Obtenemos así, una consecuencia importante si relacionamos lo que vimos sobre divisibilidad, Teorema del Resto y raíces de un polinomio: a es raíz de p(x) entonces p(a) = 0 entonces el resto de dividir p(x) por x − a es 0 entonces p(x) es divisible por x − a . Ahora, los polinomios, en similitud con los números enteros, se pueden descomponer en producto de factores, por ejemplo: 12 se puede descomponer como 22 .3. y el polinomio x2 +x, se pude descomponer como x(x+1). Luego, al igual que en el caso de los números enteros, cada uno de esos factores divide al polinomio exactamente. Entonces x − a es un factor de p(x) por lo tanto a p(x) podemos expresarlo de la forma p(x) = (x − a)c(x) donde c(x) es el cociente de dividir a p(x) por x − a . 11) ¿Por qué? Justifica que p(x) = (x − a)c(x). (Como sugerencia puedes ayudarte con la definición de cociente) 12) Prueba que x − 2 es un factor de p(x) = 2x3 − 2x2 − 28x + 48 Factorización de Polinomios

¿Pero por qué nos interesa encontrar los factores de un polinomio?. Diversas son las aplicaciones que irán viendo a lo largo de sus carreras. Factorizar un polinomio es expresarlo como producto de polinomios más simples que son factores del polinomio inicial.(En general se trata de que los factores sean polinomios de grado 1 o 0). Esto nos permitirá en algunos casos realizar simplificaciones o investigar para qué valores de x el polinomio toma valores positivos o negativos, entre muchas otras cosas. Entonces ahora la pregunta es: ¿Cómo lo hacemos? Algo de esto ya sabemos hacerlo. Veamos con un ejemplo:

6

En la actividad 12) probaste que x − 2 es un factor de p(x) = 2x3 − 2x2 − 28x + 48, entonces a p(x) lo podemos expresar como producto de dos polinomios: uno de 1o grado: x − 2 por otro de 2o grado: 2x2 + 2x − 24 . Es decir: p(x) = 2x3 − 2x2 − 28x + 48 = (x − 2)(2x2 + 2x − 24)(1) De igual manera, ahora podemos analizar si es posible encontrar un factor x − a que divida al polinomio 2x2 + 2x − 24. Para ello debemos encontrar las raíces de este polinomio de grado dos, lo cual podemos hacer mediante la fórmula cuadrática. Estas raíces son 2 y −4 (Puedes comprobarlo!!!) Entonces los factores del polinomio 2x2 +2x−24 son (x−2) y (x+4),pero puedes ver que 2x2 + 2x − 24 = (x − 2)(x + 4), entonces falta algo, ¿qué?. La respuesta es el 2, al factorizar nunca debo olvidar multiplicar los factores por el coeficiente principal (¿recuerdas quién era?). Por lo tanto: 2x2 + 2x − 24 = 2(x − 2)(x + 4) (Compruébalo!!!). Reemplazando este último resultado en la expresión (1) de p(x), nos queda: p(x) = 2(x − 2)(x − 3)(x + 4). Es decir, hemos logrado una factorización completa de p(x) pues existen tantos factores lineales (polinomios de grado 1), como sea el grado del polinomio a factorizar. Observación: El grado de p(x) es 3 y tiene 3 raíces. En general, se cumple: Si el polinomio p(x) es de grado n entonces tiene como máximo n raíces distintas 13) ¿Por qué máximo? 14) ¿Se podrá conseguir una factorización completa del polinomio p(x) = x3 − 2x2 + x − 2? Ahora, existen casos en los cuales la factorización se puede ralizar en forma más rápida si uno se da cuenta de cuál caso es, esto se consigue con mucha práctica, pero vale la pena porque se gana tiempo.(Piensa en los exámenes!!!) Veamos esos casos: Factor común : Es el caso cuando se observa un factor (numérico o no), común a cada uno de los monomios que forman el polinomio. Veamos algunos ejemplos: 1) Sea el polinomio c(x) = 2x + 8 . Vemos que el número 2 divide a cada término, entonces podemos extraerlo como factor común, es decir hacemos c(x) = 2(x + 4) . 2) Sea p(x) = 5x + 10x2 + 25x4 . Observamos que el factor 5x figura en todos los términos del polinomio, por lo que haciendo uso de la propiedad distributiva del producto con respecto a la suma para los números reales, se tiene: p(x) = 5x + 10x2 + 25x4 = 5x(1 + 2x + 5x3 ). 3) Sea q(x) = 2(x + 2)2 + 8(x + 2). Observamos que el factor 2(x + 2) figura en los dos términos de la suma, por lo que puede ser extraído como factor común haciendo q(x) = 2(x + 2)2 + 8(x + 2) = 2(x + 2) [(x + 2) + 4] = 2(x + 2)(x + 6) Factorización por grupos : 7

Es similar al caso anterior, pero requiere aplicar previamente la propiedad asociativa de los números reales para armar los grupos dentro de los cuales se va a sacar factor común. Por ejemplo: 1) Factoriza p(x) = 6x3 − 9x2 + 4x − 6. Podemos hacer: 6x3 − 9x2 + 4x − 6 = (6x3 − 9x2 ) + (4x − 6) = 3x2 (2x − 3) + 2(2x − 3) (1) = (2x − 3)(3x2 + 2) Observa que se sacó factor común primero dentro de cada grupo y luego entre los grupos.Ojo!!! La expresión (1) no indica una factorización, pues existe una suma algebraica y para factorizar se debe llegar a un producto. 2) Factoriza q(x) = x3 + x2 − x − 1. Solución En este caso resulta: x3 + x2 − x − 1 = (x3 + x2 ) − (x + 1) = x2 (x + 1) − (x + 1) = (x + 1)(x2 − 1) Cuidado!!! Aquí no se ha realizado aún la factorización completa pues requiere el uso de un caso que aún no se vió, pero puedes completarla encontrando los factores de x2 − 1 encontrando sus raíces como hicimos anteriormente. Trinomio Cuadrado Perfecto : Así como dado (a + b)2 sabemos desarrollarlo como a2 + 2ab + b2 , ahora será al revés, tendremos a2 + 2ab + b2 y querremos llevarlo a la forma (a + b)2 . (Observa que se llama trinomio porque tenemos tres sumandos) Por ejemplo: 1) Factoriza el siguiente polinomio p(x) = 9x2 + 30x + 25. Podríamos hacerlo buscando sus raíces y de allí los factores (sin olvidar multiplicar por 9), pero si lo miramos con un poco de atención vemos que p(x) = 9x2 + 30x + 25 = (3x + 5)2 (¿Dónde está el 9?) 2) Factorizar p(x) = 2x2 + 10x − 12. En este caso, no tenemos un trinomio cuadrado perfecto, por lo que la única manera de factorizarlo es encontrando sus raíces, quedando: p(x) = 2x2 + 10x − 12 = 2(x2 + 5x − 6) = 2(x − 1)(x + 6) 3) Factoriza p(x) = 2x3 + 8x2 + 8x. Observamos que el factor 2x figura en todos los términos del polinomio, estamos ante la presencia del caso de factor común y se tiene: p(x) = 2x3 + 8x2 + 8x = 2x(x2 + 4x + 4) Ahora bien, el polinomio x2 + 4x + 4 es un trinomio cuadrado perfecto y se expresa como (x + 2)2 . Luego resulta: p(x) = 2x3 + 8x2 + 8x = 2x(x + 2)2 Cuatrinomio Cubo Perfecto : 8

Es similar al caso anterior, si recordamos que el cubo de un binomio se escribe como:(x + a)3 = x3 + 3x2 a + 3xa2 + a3 Veamos algunos ejemplos: Factoriza p(x) = x3 + 6x2 + 12x + 8 El primero y el cuarto términos son, respectivamente, el cubo de x y de 2, mientras que los términos restantes son -alternadamente- el triplo del cuadrado de una de las bases por la otra. Luego, resulta: p(x) = x3 + 6x2 + 12x + 8 = (x + 2)3 Diferencia de cuadrados : Recordemos que una diferencia de cuadrados se expresa como: x2 − a2 = (x − a)(x + a) Por ejemplo: 1) Factoriza el polinomio x2 − 9 = x2 − 32 = (x − 3)(x + 3) 2) Factoriza x4 − 16 = (x2 )2 − 42 = (x2 − 4)(x2 + 4) = (x − 2)(x + 2)(x2 + 4) Suma o diferencia de potencias de igual grado : Se pueden presentar los siguientes casos:

1. n par i. El polinomio xn + an no es divisible ni por x + a ni por x − a. (Cuidado!!!) ii. El polinomio xn − an es divisible por x + a y por x − a. (Aca cae el caso de diferencia de cuadrados) 2. n impar i. El polinomio xn + an es divisible por x + a.(Compare con el caso de n par) ii. El polinomio xn − an es divisible por x − a.(Solamente!!!) Ejemplo: Factoriza cuando sea posible. 1. x3 + 8 = x3 + 23 = (x + 2)(x2 − 2x + 4) (el segundo factor se obtiene al realizar la división utilizando la Regla de Ruffini. Ojo!!! La factorización no está aún completa)). 1. x5 − 32 = x5 − 25 = (x − 2)(x4 + 2x3 + 4x2 + 8x + 16) 2. x4 − 1 = (x2 )2 − 1 = (x2 − 1)(x2 + 1) = (x − 1)(x + 1)(x2 + 1) 3. x6 + 32 = x6 + 26 no puede factorizarse. 4. x2 − 9 = (x − 3)(x + 3)

9