Geometría Analítica; C. H. Lehmann. Ejercicio 1, grupo 5, capítulo II, página 40. 1. Discute la ecuación 5x + 4y 20 = 0, estudiando las intersecciones, las simetrías y la extensión. Después traza la grá…ca correspondiente. Solución: 1) Intersecciones a) Con el eje X. 5x + 4y 20 = 0 Haciendo y = 0 5x + 4 (0) 20 = 0 5x 20 = 0 x=4 El eje X es intersectado en x = 4. b) Con el eje Y . 5x + 4y 20 = 0 Haciendo x = 0 5 (0) + 4y 20 = 0 4y 20 = 0 y=5 El eje Y es intersectado en y = 5. 2) Simetrías a) Respecto al eje Y . x! x 5x + 4y 20 = 0 ! 5 ( x) + 4y 20 = 0 ! 5x + 4y 20 = 0 La ecuación cambia de forma y por lo tanto la grá…ca no es simétrica respecto al eje Y: b) Respecto al eje X. y! y 5x + 4y 20 = 0 ! 5x + 4 ( y) 20 = 0 ! 5x 4y 20 = 0 La ecuación cambia de forma y por lo tanto la grá…ca no es simétrica respecto al eje X: c) Respecto al origen O. x! xyy! y 5x + 4y 20 = 0 ! 5 ( x) + 4 ( y) 20 = 0 ! 5x 4y 20 = 0 La ecuación cambia de forma y por lo tanto la grá…ca no es simétrica respecto al origen O. En resumen, la ecuación 5x + 4y 20 = 0 no tiene ninguna simetría. 3) Extensión a) En el eje X. Debemos despejar y en función de x. Tenemos 5 x+5 y= 4 Para todo valor de x real obtenemos un valor real de y, así que la extensión de x es todo el eje real.

1

b) En el eje Y . Debemos despejar x en función de y. Tenemos 4 x= y+4 5 Para todo valor de y real obtenemos un valor real de x, así que la extensión de y es todo el eje real. Resumiendo, la extensión de la curva es x 2 ( 1; +1) ; y 2 ( 1; +1) La grá…ca de la función 5x + 4y

20 = 0 es

y 10

-10

10

x

-10

En esta grá…ca podemos notar las intersecciones con los ejes (4 y 5), la falta de simetría y la extensión.

2

Geometría Analítica; C. H. Lehmann. Ejercicio 9, grupo 5, capítulo II, página 40. 9. Discute la ecuación 16y 2 x = 0, estudiando las intersecciones, las simetrías y la extensión. Después traza la grá…ca correspondiente. Solución: 1) Intersecciones a) Con el eje X. 16y 2 x = 0 Haciendo y = 0 2 16 (0) x=0 x=0 La curva intersecta al eje X en el origen. b) Con el eje Y . 16y 2 x = 0 Haciendo x = 0 16y 2 (0) = 0 y=0 La curva intersecta al eje Y en el origen. La única intersección con los ejes es en el origen. 2) Simetrías a) Respecto al eje Y . x! x 16y 2 x = 0 ! 16y 2 ( x) = 0 ! 16y 2 + x = 0 La ecuación cambia de forma y por lo tanto la grá…ca no es simétrica respecto al eje Y: b) Respecto al eje X. y! y 2 16y 2 x = 0 ! 16 ( y) x = 0 ! 16y 2 x = 0 La ecuación NO cambia de forma y por lo tanto la grá…ca es simétrica respecto al eje X: c) Respecto al origen O. x! xyy! y 2 16y 2 x = 0 ! 16 ( y) ( x) = 0 ! 16y 2 + x = 0 La ecuación cambia de forma y por lo tanto la grá…ca no es simétrica respecto al origen O. La ecuación es simétrica únicamente respecto al eje Y . 3) Extensión a) En el eje X. Debemos p despejar y en función de x. Tenemos x y= 4 Es claro que para que y sea real, debemos tener x b) En el eje Y . Debemos despejar x en función de y. Tenemos 1

0.

x = 16y 2 Para todo valor de y real obtenemos un valor real de x, así que la extensión de y es todo el eje real. La extensión de la curva es x 0 y y 2 ( 1; 1) La grá…ca de la función 16y 2

y

x = 0 es

1

-1

1

2

3

4

5

x

-1

Notese que la grá…ca sólo intersecta a los ejes en el origen, que es simétrica respecto al eje Y y que x sólo puede ser cero o positiva y y puede tomar cualquier valor real.

2

Geometría Analítica; C. H. Lehmann. Ejercicio 17, grupo 5, capítulo II, página 40. 17. Discute la ecuación x2 + y 2 4y = 0, estudiando las intersecciones, las simetrías y la extensión. Después traza la grá…ca correspondiente. Solución: 1) Intersecciones a) Con el eje X. x2 + y 2 4y = 0 Haciendo y = 0 2 x2 + (0) 4 (0) = 0 2 x =0 x=0 La curva intersecta al eje X en el origen. b) Con el eje Y . x2 + y 2 4y = 0 Haciendo x = 0 2 (0) + y 2 4y = 0 2 y 4y = 0 y (y 4) = 0 y 1 = 0 y y2 = 4 La curva intersecta al eje Y en el origen y en y = 4. 2) Simetrías a) Respecto al eje Y . x! x 2 x2 + y 2 4y = 0 ! ( x) + y 2 4y = 0 ! x2 + y 2 4y = 0 La ecuación NO cambia de forma y por lo tanto la grá…ca es simétrica respecto al eje Y: b) Respecto al eje X. y! y 2 x2 + y 2 4y = 0 ! x2 + ( y) 4 ( y) = 0 ! x2 + y 2 + 4y = 0 La ecuación cambia de forma y por lo tanto la grá…ca no es simétrica respecto al eje X: c) Respecto al origen O. x! xyy! y 2 2 x2 + y 2 4y = 0 ! ( x) + ( y) 4 ( y) = 0 ! x2 + y 2 + 4y = 0 La ecuación cambia de forma y por lo tanto la grá…ca no es simétrica respecto al origen O. La ecuación es simétrica únicamente respecto al eje Y . 3) Extensión a) En el eje X. Debemospdespejar y en función de x. Tenemos 4 x2 y=2 Es claro que para que y sea real, debemos tener b) En el eje Y . 1

2

x

2.

Debemos p despejar x en función de y. Tenemos x = 4y y 2 La valores de y que den un valor de x real son aquellos para los cuales 4y y 2 0 La forma más sencilla para ver en que valores de y la función 4y y 2 es mayor o igual a cero, lo que hacemos es la grá…ca de la función cuadrática, 4 2

-2

-1

1

2

-2

3

4

5

6

x

-4 -6 -8 -10 -12

De esta grá…ca es claro que 4y y 2 = y (4 y) 0 para los valores de y entre cero y cuatro. En resumen la extensión de y es [0; 4] La extensión de la curva es x 2 [ 2; 2] y y 2 [0; 4] La grá…ca de la función x2 + y 2

4y = 0 es

2

y 4

2

-2

2

x

Notese que la grá…ca intersecta al eje X en 0, al eje Y en 0 y 4; la curva es simétrica respecto al eje Y únicamente; es claro que la extensión de la curva se reduce al rectángulo x 2 [ 2; 2] y y 2 [0; 4].

3

Geometría Analítica; C. H. Lehmann. Ejercicio 25, grupo 5, capítulo II, página 40. 17. Discute la ecuación y 2 9x2 18x 8y 2 = 0, estudiando las intersecciones, las simetrías y la extensión. Después traza la grá…ca correspondiente. Solución: 1) Intersecciones a) Con el eje X. y 2 9x2 18x 8y 2 = 0 Haciendo y = 0 2 (0) 9x2 18x 8 (0) 2 = 0 2 9x 18x 2 = 0 1p 1p x1 = 7 1 x2 = 7 1 3 3 1p 1p La curva intersecta al eje X en 7 1 = 0:12 y en 7 1 = 1: 88 3 3 b) Con el eje Y . y 2 9x2 18x 8y 2 = 0 Haciendo x = 0 2 y 2 9 (0) 18 (0) 8y 2 = 0 2 y 8yp 2 = 0 p y1 = 3 2 + 4 y y2 = 3 2 + p 4 p La curva intersecta al eje Y en 3 2 + 4 = 8: 24 y en 3 2 + 4 = 0:24 2) Simetrías a) Respecto al eje Y . x! x 2 y 2 9x2 18x 8y 2 = 0 ! y 2 9 ( x) 18 ( x) 8y 2 = 0 ! 2 2 y 9x + 18x 8y 2 = 0 La ecuación cambia de forma y por lo tanto la grá…ca no es simétrica respecto al eje Y: b) Respecto al eje X. y! y 2 y 2 9x2 18x 8y 2 = 0 ! ( y) 9x2 18x 8 ( y) 2 = 0 ! 2 2 y 9x 18x + 8y 2 = 0 La ecuación cambia de forma y por lo tanto la grá…ca no es simétrica respecto al eje X: c) Respecto al origen O. x! xyy! y 2 2 y 2 9x2 18x 8y 2 = 0 ! ( y) 9 ( x) 18 ( x) 8 ( y) 2 = 0 ! y 2 9x2 + 18x + 8y 2 = 0 La ecuación cambia de forma y por lo tanto la grá…ca no es simétrica respecto al origen O. La ecuación no tiene ninguna simetría. 3) Extensión a) En el eje X.

1

Debemos p despejar y en función de x. Tenemos y = 4 3 x2 + 2x + 2 La valores de x que den un valor de y real son aquellos para los cuales x2 + 2x + 2 0 La forma más sencilla para ver en que valores de x la función x2 + 2x + 2 es mayor o igual a cero, lo que hacemos es la grá…ca de la función cuadrática, 2.0 1.9 1.8 1.7 1.6 1.5 1.4 1.3 1.2 1.1 1.0 -2.0

-1.8

-1.6

-1.4

-1.2

-1.0

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0.0

x

De esta grá…ca es claro que x2 + 2x + 2 0 para todos los valores de x reales. En resumen la extensión de x es ( 1; +1) b) En el eje Y . Debemos despejar x en función de y. Tenemos 1p x= 1 (y 1) (y 7) 3 La valores de y que den un valor de x real son aquellos para los cuales (y 1) (y 7) 0 La forma más sencilla para ver en que valores de y la función (y 1) (y 7) es mayor o igual a cero, lo que hacemos es la grá…ca de la función cuadrática,

2

16 14 12 10 8 6 4 2 -1

1

2

3

4

5

6

-2

7

8

9

x

-4 -6 -8

De esta grá…ca es claro que (y 1) (y 7) 0 para los valores que no estén entre uno y siete. En resumen la extensión de y 2 = [1; 7]. La extensión de la curva es x 2 ( 1; +1) y y 2 = [1; 7] La grá…ca de la función y 2

9x2

18x

8y

2 = 0 es

y 10

5

x

-5

1p 1p Notese que la grá…ca intersecta al eje X en 7 1 = 0:12 y en 7 3 3 p p 1 = 1: 880, al eje Y en en 3 2 + 4 = 8: 24 y en 3 2 + 4 = 0:24; la curva 3

no es simétrica; es claro que la extensión de la curva es x 2 ( 1; +1) y2 = [1; 7].

4

y

Geometría Analítica; C. H. Lehmann. Ejercicio 1, grupo 6, capítulo II, página 46. Construir la curva correspondiente a la ecuacion xy 2y 3 = 0. Solución: Para construir la curva que corresponde a una ecuación, antes que nada debemos hacer un análisis cuidadoso de la ecuación: 1) Intersecciones a) Con el eje X. xy 2y 3 = 0 Haciendo y = 0 x (0) 2 (0) 3 = 0 3=0 Esta última igualdad es imposible, por lo tanto la curva no intersecta al eje X. b) Con el eje Y . xy 2y 3 = 0 Haciendo x = 0 (0) y 2y 3 = 0 2y 3 = 0 3 y= 2 La curva intersecta al eje Y en 3=2. 2) Simetrías a) Respecto al eje Y . x! x xy 2y 3 = 0 ! ( x) y 2y 3 = 0 ! xy 2y 3 = 0 La ecuación cambia de forma y por lo tanto la grá…ca no es simétrica respecto al eje Y: b) Respecto al eje X. y! y xy 2y 3 = 0 ! x ( y) 2 ( y) 3 = 0 ! xy + 2y 3 = 0 La ecuación cambia de forma y por lo tanto la grá…ca no es simétrica respecto al eje X: c) Respecto al origen O. x! xyy! y xy 2y 3 = 0 ! ( x) ( y) 2 ( y) 3 = 0 ! xy + 2y 3 = 0 La ecuación cambia de forma y por lo tanto la grá…ca no es simétrica respecto al origen O. La ecuación no tiene ninguna simetría. 3) Extensión a) En el eje X. Debemos despejar y en función de x. Tenemos 3 y= x 2

1

El único valor que no puede tomar x es 2, así que la extensión de x es ( 1; +1) f2g. b) En el eje Y . Debemos despejar x en función de y. Tenemos 2y + 3 y El único valor que no puede tomar y es 0, así que la extensión de y es ( 1; +1) f0g. 4) Asíntotas a) Verticales Para encontrar las asíntotas verticales, despejamos y como función de x, 3 y= x 2 y hacemos los denominadores lineales igual a cero. En este caso x 2=0 es la ecuación de la línea recta vertical asíntota a la curva. b) Horizontales Para encontrar las asíntotas horizontales, despejamos x como función de y, 2y + 3 x= y y hacemos los denominadores lineales igual a cero. En este caso y=0 es la ecuación de la línea recta horizontal asíntota a la curva. 5) Construir una tabla con algunos valores de la función

2

x 0.00 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 0.80 0.90 1.00 1.10 1.20 1.30 1.40 1.50 1.60 1.70 1.80 1.90

y -1.50 -1.58 -1.67 -1.76 -1.88 -2.00 -2.14 -2.31 -2.50 -2.73 -3.00 -3.33 -3.75 -4.29 -5.00 -6.00 -7.50 -10.00 -15.00 -30.00

x 0.00 -0.10 -0.20 -0.30 -0.40 -0.50 -0.60 -0.70 -0.80 -0.90 -1.00 -1.10 -1.20 -1.30 -1.40 -1.50 -1.60 -1.70 -1.80 -1.90

y -1.50 -1.43 -1.36 -1.30 -1.25 -1.20 -1.15 -1.11 -1.07 -1.03 -1.00 -0.97 -0.94 -0.91 -0.88 -0.86 -0.83 -0.81 -0.79 -0.77

Con todos estos elementos trazamos las asíntotas que sirven como guía para el trazado de la curva y marcamos las intersecciones con los ejes

3

y

10

5

-10

-5

5

10

5

10

x

-5

-10

La grá…ca de la función xy

2y

y

3 = 0 es 10

5

-10

-5

-5

-10

donde hemos gra…cado también las asíntotas. Finalmente, ya sin asíntotas la grá…ca es

4

x

y

10

5

-10

-5

5

-5

-10

5

10

x

Geometría Analítica; C. H. Lehmann. Ejercicio 9, grupo 6, capítulo II, página 46. Construir la curva correspondiente a la ecuacion x2 +2xy+y 2 +2x 2y 1 = 0. Solución: Para construir la curva que corresponde a una ecuación, antes que nada debemos hacer un análisis cuidadoso de la ecuación: 1) Intersecciones a) Con el eje X. x2 + 2xy + y 2 + 2x 2y 1 = 0 Haciendo y = 0 2 x2 + 2x (0) + (0) + 2x 2 (0)p 1 = 0 p 2 2 1 x + 2x p 1 = 0, Solution is: 2 1; x= 1 2 p p La curva intersecta al eje X en 1 + 2 = 0:41 y en 1 2 = 2: 41. b) Con el eje Y . x2 + 2xy + y 2 + 2x 2y 1 = 0 Haciendo x = 0 2 (0) + 2 (0) y + y 2 + 2 (0) 2yp 1 = 0 p 2 y 2y p 1 = 0, Solution is: 2 + 1; 1 2 y=1 2 p p La curva intersecta al eje Y en 1 + 2 = 2: 41 y en 1 2 = 0:41 2) Simetrías a) Respecto al eje Y . x! x 2 x2 + 2xy + y 2 + 2x 2y 1 = 0 ! ( x) + 2 ( x) y + y 2 + 2 ( x) 2y 1 = 2 2 0!x 2xy + y 2x 2y 1 = 0 La ecuación cambia de forma y por lo tanto la grá…ca no es simétrica respecto al eje Y: b) Respecto al eje X. y! y 2 x2 + 2xy + y 2 + 2x 2y 1 = 0 ! x2 + 2x ( y) + ( y) + 2x 2 ( y) 1 = 2 2 0!x 2xy + y + 2x + 2y 1 = 0 La ecuación cambia de forma y por lo tanto la grá…ca no es simétrica respecto al eje X: c) Respecto al origen O. x! xyy! y 2 2 x2 + 2xy + y 2 + 2x 2y 1 = 0 ! ( x) + 2 ( x) ( y) + ( y) + 2 ( x) 2 2 2 ( y) 1 = 0 ! x + 2xy + y 2x + 2y 1 = 0 La ecuación cambia de forma y por lo tanto la grá…ca no es simétrica respecto al origen O. La ecuación no tiene ninguna simetría. 3) Extensión a) En el eje X. 1

Debemos despejar p p y en función de x. Tenemos 2 1 2x y=1 x Los valores de x posibles son aquellos que hacen que y sea real; es decir, sólo son admisibles los valores de x tales que 1 2x 0, ó bien 1 2x ó …nalmente 1 x. 2 1 La extensión de x es ( 1; ]. 2 b) En el eje Y . Debemos despejar x en función de y. Tenemos p p 2 2y + 1 y 1 x= Los valores de y posibles son aquellos que hacen que x sea real; es decir, sólo son admisibles los valores de y tales que 2y + 1 0, ó bien 2y 1 ó …nalmente 1 y . 2 1 ; +1). La extensión de y es [ 2 1 1 La curva está limitada al rectángulo ( 1; ] [ ; +1). 2 2 4) Asíntotas a) Verticales Para encontrar las asíntotas verticales, despejamos y como función de x, p p y=1 x 2 1 2x y hacemos los denominadores lineales igual a cero. En este caso no hay denominadores y la curva no tiene asíntotas verticales. b) Horizontales Para encontrar las asíntotas horizontales, despejamos x como función de y, p p x= 2 2y + 1 y 1 y hacemos los denominadores lineales igual a cero. En este caso no hay denominadores y la curva no tiene asíntotas horizontales. 5) Construir una tabla con algunos valores de la función

2

x 0.000 0.025 0.050 0.075 0.100 0.125 0.150 0.175 0.200 0.225 0.250 0.275 0.300 0.325 0.350 0.375 0.400 0.425 0.450 0.475

y

x 2.41 2.35 2.29 2.23 2.16 2.10 2.03 1.97 1.90 1.82 1.75 1.67 1.59 1.51 1.42 1.33 1.23 1.12 1.00 0.84

y

0.00 -0.10 -0.20 -0.30 -0.40 -0.50 -0.60 -0.70 -0.80 -0.90 -1.00 -1.10 -1.20 -1.30 -1.40 -1.50 -1.60 -1.70 -1.80 -1.90

La grá…ca de la función x2 + 2xy + y 2 + 2x

3

2y

2.41 2.65 2.87 3.09 3.30 3.50 3.70 3.89 4.08 4.27 4.45 4.63 4.81 4.98 5.16 5.33 5.50 5.67 5.83 6.00 1 = 0 es

20

y

18 16 14 12 10 8 6 4 2 -20 -18 -16 -14 -12 -10

4

-8

-6

-4

-2

2 -2x

Geometría Analítica. Charles H. Lehman. Limusa 1989. Capítulo II, grupo de problemas 6. Ejercicio 15, página 46. Construir la curva correspondiente a la ecuación xy 2 9x y 1 = 0: Solución: 1. Intersección con los ejes a) Intersección con el eje X. Para determinar las intersecciones con el eje X, debemos hacer y = 0 en la ecuación y resolver la ecuación resultante para x. Tenemos 1 2 xy 2 9x y 1 = 0 ! x (0) 9x (0) 1 = 0 ! 9x 1 = 0 ! x = 9 1 Por tanto, la curva intersecta al eje X en . 9 b) Intersección con el eje Y . Para determinar las intersecciones con el eje Y , debemos hacer x = 0 en la ecuación y resolver la ecuación resultante para y. Tenemos xy 2 9x y 1 = 0 ! (0) y 2 9 (0) y 1 = 0 ! y 1 = 0 ! y = 1 Por tanto, la curva intersecta al eje Y en 1. 2. Simetrías a) Simetría respecto al eje X: Para determinar las simetrías respecto al eje X, debemos sustituir y por y en la ecuación de la curva. Tenemos 2 xy 2 9x y 1 = 0 ! x ( y) 9x ( y) 1 = 0 ! xy 2 9x + y 1 = 0 Como la ecuación sí cambia de forma, la curva no es simétrica respecto al eje X. b) Simetría respecto al eje Y: Para determinar las simetrías respecto al eje Y , debemos sustituir x por x en la ecuación de la curva. Tenemos xy 2 9x y 1 = 0 ! ( x) y 2 9 ( x) y 1 = 0 ! xy 2 + 9x y 1 = 0 Como la ecuación sí cambia de forma, la curva no es simétrica respecto al eje Y . c) Simetría respecto al origen O: Para determinar las simetrías respecto al origen O, debemos sustituir x por x y y por y en la ecuación de la curva. Tenemos 2 xy 2 9x y 1 = 0 ! ( x) ( y) 9 ( x) ( y) 1 = 0 ! xy 2 + 9x + y 1 = 0 Como la ecuación sí cambia de forma, la curva no es simétrica respecto al origen O. 3. Extensión a) Extensión en el eje X: Para determinar la extensión en el eje X, debemos despejar a y como función de x en la ecuación de la curva. Primeramente vemos que si x = 0 en la ecuación xy 2 9x y 1 = 0; esta se reduce a la ecuación y 1 = 0; cuya solución es y = 1:Por tanto, x = 0 es un valor de la extensión en X: Si x = 6 0, la ecuación xy 2 9x y 1 = 0 es de segundo grado para y, y podemos resolverla con la fórmula general, q p 2 ( 1) ( 1) 4 (x) ( 9x 1) 36x2 + 4x + 1 1 y= = 2 (x) 2x Por tanto, los valores posibles de x son aquellos que hacen que 36x2 + 4x + 1 0. Es claro que todos los números reales satisfacen dicha desigualdad; es decir, x puede ser cualquier número real. Así que la extensión en X son todos los números reales. La curva ocupa de 1 hasta +1: b) Extensión en el eje Y: Para determinar la extensión en el eje Y , debemos despejar a x como función de y en la ecuación de la curva. Procedemos xy 2 9x y 1 = 0 y+1 y+1 xy 2 9x y 1 = 0 ! x y 2 9 y 1=0!x= 2 = y 9 (y + 3) (y 3) Por tanto, los valores que y no puede tomar son 3 y -3, así que la extensión en Y son todos los reales menos el 3 y el -3. 4. Asíntotas a) Asíntotas verticales Para determinar las asíntotas verticales debemos despejar a y como función de x en la ecuación de la curva. Eso ya lophicimos y obtuvimos 36x2 + 4x + 1 1 y= 2x con x 6= 0: Ahora hacemos cero los denominadores lineales. Es decir, x = 0: La única asíntota vertical es x = 0; el eje Y: b) Asíntotas horizontales Para determinar las asíntotas horizontales debemos despejar a x como función de y en la ecuación de la curva. Eso ya lo hicimos y obtuvimos y+1 x= con y 6= 3 y y = 6 3: (y + 3) (y 3)

Ahora hacemos cero los denominadores lineales. Es decir, y + 3 = 0 y y Se tienen dos asíntotas horizontales, y = 3 y y = 3: 5. Determinación de algunos puntos de la curva

x

y -0.099 -0.105 -0.111 -0.119 -0.127 -0.138 -0.150 -0.165 -0.185 -0.212 -0.250 -0.311 -0.429 -0.769

No existe 0.545 0.200 0.074 0.000 -0.057 -0.111 -0.171 -0.250 -0.370 -0.600

La grá…ca de

xy 2

x -10.000 -9.500 -9.000 -8.500 -8.000 -7.500 -7.000 -6.500 -6.000 -5.500 -5.000 -4.500 -4.000 -3.500 -3.000 -2.500 -2.000 -1.500 -1.000 -0.500 0.000 0.500 1.000 1.500 2.000

9x

y

3 = 0:

y -1.273

2.500 3.000 3.500 4.000 4.500 5.000 5.500 6.000 6.500 7.000 7.500 8.000 8.500 9.000 9.500 10.000 10.500 11.000 11.500 12.000 12.500 13.000 13.500 14.000 14.500

No existe 1.385 0.714 0.489 0.375 0.306 0.259 0.226 0.200 0.180 0.164 0.150 0.139 0.129 0.121 0.114 0.107 0.101 0.096 0.092 0.088 0.084 0.080 0.077

1=0

y

10

8

6

4

2

-5

-4

-3

-2

-1

1 -2

-4

-6

-8

-10

2

3

4

5

x

Geometría Analítica; C. H. Lehmann. Ejercicio 17, grupo 6, capítulo II, página 46. Construir la curva correspondiente a la ecuacion xy 2 + xy 2x 2 = 0. Solución: Para construir la curva que corresponde a una ecuación, antes que nada debemos hacer un análisis cuidadoso de la ecuación: 1) Intersecciones a) Con el eje X. xy 2 + xy 2x 2 = 0 Haciendo y = 0 2 x (0) + x (0) 2x 2 = 0 2x 2 = 0 x= 1 La curva intersecta al eje X en 1: b) Con el eje Y . xy 2 + xy 2x 2 = 0 Haciendo x = 0 (0) y 2 + (0) y 2 (0) 2 = 0 2=0 Esta última ecuación no tiene sentido y lo que indica es que la curva no intersecta jamás al eje Y . Resumen: La única intersección de la curva con los ejes es con el eje X en x = 1. 2) Simetrías a) Respecto al eje Y . x! x xy 2 + xy 2x 2 = 0 ! ( x) y 2 + ( x) y 2 ( x) 2 = 0 ! xy 2 xy + 2x 2 = 0 La ecuación cambia de forma y por lo tanto la grá…ca no es simétrica respecto al eje Y: b) Respecto al eje X. y! y 2 xy 2 +xy 2x 2 = 0 ! x ( y) +x ( y) 2x 2 = 0 ! xy 2 xy 2x 2 = 0 La ecuación cambia de forma y por lo tanto la grá…ca no es simétrica respecto al eje X: c) Respecto al origen O. x! xyy! y 2 xy 2 + xy 2x 2 = 0 ! ( x) ( y) + ( x) ( y) 2 ( x) 2 = 0 ! 2 xy + xy 2x 2 = 0 La ecuación cambia de forma y por lo tanto la grá…ca no es simétrica respecto al origen O. Resumen: La ecuación no tiene ninguna simetría. 3) Extensión a) En el eje X. 1

Debemos despejar y en función de x en la xy 2 + xy 2x 2 = 0. Tenemos si x = 0 la ecuación queda 2 = 0, que no tiene sentido, así que x no puede tomar el valor cero. p x (9x + 8) 1 Si x 6= 0 entonces y = 2 2x Los valores de x posibles son aquellos que hacen que y sea real; es decir, sólo son admisibles los valores de x tales que x (9x + 8) 0. Para ver que valores de x satisfacen esta desigualdad, gra…camos la función cuadrática x (9x + 8) = 9x2 + 8x 20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 -2.0 -1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1.0 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2

0.2 -2

0.4

0.6

0.8

1.0

x

Es claro que x (9x + 8) es negativo "entre" sus dos raices, 0 y 8=9: Como ya vimos que el 0 no pertenece a la extensión de la curva, la extensión de x son todos los valores reales fuera del intervalo ( 8=9; 0]. b) En el eje Y . Debemos despejar x en función de y en la xy 2 + xy 2x 2 = 0. Tenemos si y = 1 la ecuación queda 2 = 0, que no tiene sentido, así que y no puede tomar el valor 1, si y = 2 la ecuación queda 2 = 0, que no tiene sentido, así que y no puede tomar el valor 2, entonces ni 1 ni 2 pertencen a la extensión y de la curva. 2 Si y = 6 1yy= 6 2, x = 2 . y +y 2 Para cualquier valor de y, excepto los dos ya excluidos, esta expresión es real, así que la extensión de y es ( 1; +1) f 2; 1g Resumen: x 2 ( 1; +1) ( 8=9; 0] y 2 ( 1; +1) f 2; 1g 2

,

4) Asíntotas a) Verticales Para encontrar p las asíntotas verticales, despejamos y como función de x, p x (9x + 8) 1 1 x y= = x (9x + 8) si x 6= 0 2 2x 2x y hacemos los denominadores lineales igual a cero. En este caso tenemos x = 0 y el eje Y será una asíntota. b) Horizontales Para encontrar las asíntotas horizontales, despejamos x como función de y, 1 2 = x= 2 y +y 2 (y + 2) (y 1) y hacemos los denominadores lineales igual a cero. En este caso tenemos dos asíntotas horizontales, una dada por y+2=0 y la otra dada por y 1=0 Resumen: Hay tres asíntotas, una vertical que es el eje Y , y dos horizontales, y = 2 y y = 1. 5) Construir una tabla con algunos valores de la función usando la expresión de x en función de y; es decir, 2 1 x= 2 = , y +y 2 (y + 2) (y 1)

x -1.000 -1.058 -1.136 -1.242 -1.389 -1.600 -1.923 -2.469 -3.571 -6.897 No está definida 6.452 3.125 2.020 1.471 1.143 0.926 0.772 0.658 0.570 0.500 0.443 0.397

y

x 0.00 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 0.80 0.90 1.00 1.10 1.20 1.30 1.40 1.50 1.60 1.70 1.80 1.90 2.00 2.10 2.20

-1.000 -0.957 -0.926 -0.905 -0.893 -0.889 -0.893 -0.905 -0.926 -0.957 -1.000 -1.058 -1.136 -1.242 -1.389 -1.600 -1.923 -2.469 -3.571 -6.897 No está definida 6.452 3.125

y 0.00 -0.10 -0.20 -0.30 -0.40 -0.50 -0.60 -0.70 -0.80 -0.90 -1.00 -1.10 -1.20 -1.30 -1.40 -1.50 -1.60 -1.70 -1.80 -1.90 -2.00 -2.10 -2.20

Finalmente, para construir la grá…ca trazamos las tres asíntotas (que son las rectas verde azul, y morada (el eje Y )). La línea recta punteada de color rosa 3

delimita la extensión de la variable x: Notamos también la intersección y las simetrías,

y

6

4

2

-6

-4

-2

2

4

2

4

6

x

-2

-4

-6

Trazamos la grá…ca con sus asíntotas

y

6

4

2

-6

-4

-2 -2

-4

-6 2

y la grá…ca de la función xy + xy

2x

4

2 = 0 es

6

x

y

6

4

2

-6

-4

-2

2 -2

-4

-6

5

4

6

x

Geometría Analítica. Charles H. Lehman. Limusa 1989. Capítulo II, grupo de ejercicios 6, ejercicio 17, página 47 Construya la curva correspondiente a la ecuación

Solución: 1. Intersecciones a) Con el eje X Debemos hacer Por lo tanto,

en la ecuación y resolverla; es decir, debemos resolver . es la única intersección con el eje X.

b) Con el eje Y Debemos hacer

en la ecuación y resolverla; es decir, debemos resolver . es la única intersección con el eje Y

Por lo tanto, 2. Simetrías a) Simetría respecto al eje X Debemos sustituir

por en la ecuación original

.

Como la ecuación cambia, la curva no es simétrica respecto al eje X. b) Simetría respecto al eje Y Debemos sustituir

por en la ecuación original

.

Como la ecuación cambia, la curva no es simétrica respecto al eje Y. c) Simetría respecto al eje origen O Debemos sustituir

por y

por en la ecuación original

.

Como la ecuación cambia, la curva no es simétrica respecto al origen O. 3. Extensión de la curva a) Extensión en el eje X Debemos despejar a como función de y determinar los valores de que son posibles. Primero tenemos de donde es claro que si hacemos obtenemos la ecuación , ó sea contradicción que nos indica que el valor de no es una valor permitido. Si tenemos

. Encontramos una

Vemos claramente que el único valor que no puede tomar es 2. La extensión en el eje X es b) Extensión en el eje Y Debemos despejar a como función de y determinar los valores de que son posibles. Tenemos la ecuación

, y la podemos escribir como

para que quede claro que se trata de una ecuación de segundo grado para . Notamos facilmente que si la ecuación que resulta es , es decir, En el caso tenemos la ecuación que para resolverla usamos la fórmula general de la ecuación general de segundo grado, , que es

Tenemos entonces

Finalmente tenemos

Por tanto, no puede tomar ningun valor negativo, ya que en ese caso no existe como un número real. La extensión en el eje Y es . 4. Asíntotas. a) Asíntotas verticales. Para determinar las asíntotas verticales debemos despejar como función de e igualar los denominadores lineales a cero. Ya hemos despejado como función de y encontramos con

.

Hacemos ahora los denominadores lineales igual a cero; es decir, , y por lo tanto, la única asíntota vertical es la línea recta con ecuación b) Asíntotas horizontales. Para determinar las asíntotas horizontales debemos despejar como función de e igualar los denominadores lineales a cero. Ya hemos despejado como función de y encontramos con

.

Hacemos ahora los denominadores lineales igual a cero; es decir, asíntota horizontal es la línea recta con ecuación 5. Determinación de algunos puntos de la curva x -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0

y(x) 0.69 0.67 0.64 0.60 0.56 0.51 0.44 0.36 0.25 0.11 0.00

, y por lo tanto, la única

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1.00 No existe 9.00 4.00 2.78 2.25 1.96 1.78 1.65 1.56

Finalmente tenemos la gráfica

10

8

6 y 4

2

0

5 x

10

Geometría Analítica; C. H. Lehmann. Ejercicio 1, grupo 7, capítulo II, página 49. Factoriza la ecuación x2 4y 2 = 0 y traza la grá…ca correspondiente. Solución: Tenemos claramente que x2 4y 2 = (x + 2y) (x 2y) Dado que los dos factores son ecuaciones lineales en la dos variables, x y y, la grá…ca de cada factor es una linea recta; por lo tanto, basta encontrar dos puntos de cada una de las grá…cas para trazarlas. En el caso de x + 2y = 0, tenemos que si x = 0 también y = 0. Si x = 1 entonces y = 1=2. Así que la primer línea recta pasa por los puntos (0; 0) y (1; 1=2) : En el caso de x 2y = 0, tenemos que si x = 0 también y = 0. Si x = 1 entonces y = 1=2. Así que la primer línea recta pasa por los puntos (0; 0) y (1; 1=2) : Finalmente trazamos ambas líneas rectas, que son a su vez la grá…ca de la ecuación x2 4y 2 = 0,

y

5 4 3 2 1

-5

-4

-3

-2

-1

1 -1 -2 -3 -4 -5

1

2

3

4

5

x

Geometría Analítica; C. H. Lehmann. Ejercicio 9, grupo 7, capítulo II, página 49. Factoriza la ecuación x2 y + x2 xy 2 + xy + 2x = 0 y traza la grá…ca correspondiente. Solución: Para factorizar x2 y + x2 xy 2 + xy + 2x = 0 notamos primero que x es un factor comun, por tanto, x2 y + x2 xy 2 + xy + 2x = x xy + x y 2 + y + 2 , además xy +x y 2 +y +2 = x (y + 1) (y + 1) (y 2) = (y + 1) (x y + 2), así que …nalmente x2 y + x2 xy 2 + xy + 2x = x (y + 1) (x y + 2) Dado que los tres factores son ecuaciones lineales en la dos variables, x y y, la grá…ca de cada factor es una linea recta; por lo tanto, basta encontrar dos puntos de cada una de las grá…cas para trazarlas. En el caso x = 0, tenemos el eje Y y ya. En el caso de y + 1 = 0, ó bien y = 1 tenemos claramente una recta horizontal a una distancia 1 hacia abajo del eje X. En el caso de x y + 2 = 0, tenemos que si x = 0 también y = 2. Si y = 0 entonces x = 2. Así que la línea recta pasa por los puntos (0; 2) y ( 2; 0). Finalmente trazamos las tres líneas rectas, que son a su vez la grá…ca de la ecuación x2 y + x2 xy 2 + xy + 2x = 0,

y

5 4 3 2 1

-5

-4

-3

-2

-1

1 -1 -2 -3 -4 -5

1

2

3

4

5

x

Geometría Analítica; C. H. Lehmann. Ejercicio 17, grupo 7, capítulo II, página 49. Halla, analítica y grá…camente, los puntos de intersección, cuando los haya, para las curvas x2 + y 2 = 8 y y 2 = 2x. Solución: I) Tracemos primero la grá…ca de la ecuación x2 + y 2 = 8. Para ello llevamos a cabo todo el análisis de la ecuación que hemos aprendido. 1) Intersecciones a) Con el eje X. x2 + y 2 = 8 Haciendo y = 0 2 x2 + (0) p =8 8 x= p p La curva intersecta al eje X en 8 = 2: 83 y en 8 = 2: 83 b) Con el eje Y . x2 + y 2 = 8 Haciendo x = 0 2 (0) +p y2 = 8 y= 8 p p La curva intersecta al eje Y en 8 = 2: 83 y en 8 = 2: 83 2) Simetrías a) Respecto al eje Y . x! x 2 x2 + y 2 = 8 ! ( x) + y 2 = 8 ! x2 + y 2 = 8 La ecuación NO se altera y por lo tanto la grá…ca es simétrica respecto al eje Y: b) Respecto al eje X. y! y 2 x2 + y 2 = 8 ! x2 + ( y) = 8 ! x2 + y 2 = 8 La ecuación NO se altera y por lo tanto la grá…ca es simétrica respecto al eje X: c) Respecto al origen O. x! xyy! y 2 2 x2 + y 2 = 8 ! ( x) + ( y) = 8 ! x2 + y 2 = 8 La ecuación NO se altera y por lo tanto la grá…ca es simétrica respecto al origen O. La grá…ca es completamente simétrica, tanto respecto a los ejes como respecto al origen. 3) Extensión a) En el eje X. Debemos despejar y en función de x. Tenemos p y = 8 x2

1

La valores de x que den un valor de y real sonpaquellos para lospcuales 8 y menores que 8. x2 0. Es decir, los valores de x mayores p p que En resumen la extensión de x es 8; 8 b) En el eje Y . Debemos p despejar x en función de y. Tenemos x = 8 y2 La valores de y que den un valor de x real sonp aquellos para lospcuales 8 y 2 0. Es decir, los valores de y mayores 8 y menores que 8. p p que 8; 8 En resumen la extensión de y es p p p p La extensión de la curva es x 2 8; 8 y y 2 8; 8 . Es decir, la p p p p grá…ca está restringida al cuadrado 8; 8 8; 8 , que es un cuadrado p con centro en el origen y lado igual a 2 8. 8

4) Asíntotas. Dado que la grá…ca tiene una extensión limitada, no tiene asíntotas. Finalmente la grá…ca de la función x2 + y 2 = 8 es

y 2

-2

2

x

-2

Vemos p que se trata de una circunferencia con su centro en el origen y de radio 8. I) Tracemos ahora la grá…ca de la ecuación y 2 = 2x. Para ello llevamos a cabo todo el análisis de la ecuación que hemos aprendido. 1) Intersecciones a) Con el eje X. y 2 = 2x. Haciendo y = 0 2 (0) = 2x x=0 2

La curva intersecta al eje X en el origen. b) Con el eje Y . y 2 = 2x. Haciendo x = 0 y 2 = 2 (0) y= 0 La curva intersecta al eje Y en el origen. Resumen: Respecto a los ejes lo que sabemos es que sólo los intersecta en el origen. 2) Simetrías a) Respecto al eje Y . x! x y 2 = 2x.! y 2 = 2 ( x) ! y 2 = 2x. La ecuación se altera y por lo tanto la grá…ca NO es simétrica respecto al eje Y: b) Respecto al eje X. y! y 2 y 2 = 2x.! ( y) = 2x ! y 2 = 2x. La ecuación NO se altera y por lo tanto la grá…ca es simétrica respecto al eje X: c) Respecto al origen O. x! xyy! y 2 y 2 = 2x.! ( y) = 2 ( x) ! y 2 = 2x. La ecuación se altera y por lo tanto la grá…ca NO es simétrica respecto al origen O. Resumen: La única simetría de la grá…ca es con respecto al eje Y . 3) Extensión a) En el eje X. Debemos despejar y en función de x. Tenemos p y = 2x La valores de x que den un valor de y real son aquellos para los cuales 2x 0. Es decir, los valores de x mayores o iguales a cero. En resumen la extensión de x es [0; +1). b) En el eje Y . Debemos despejar x en función de y. Tenemos y2 x= 2 Es claro que cualquier valor real de y es permitido, y por tanto la extensión de y son todos los números reales. En resumen la extensión de y es ( 1; +1). La extensión de la curva es [0; +1) ( 1; +1). 4) Asíntotas.

3

p En el punto anterior vimos que y = 2x ó x = y 2 =2. En ningún caso tenemos denominadores y por lo tanto, la grá…ca de la ecuación no tiene asíntotas ni verticales ni horizontales. Finalmente la grá…ca de la función y 2 = 2x es

y 2

2

4

6

x

-2

Vemos que se trata de una parábola con su vertice en el origen y con su eje coincidente con el eje X. Trazamos ahora en un mismo grá…co las dos curvas para ver sus intersecciones. Tenemos

y 2

-2

2

-2

4

4

6

x

Grá…camente vemos que hay dos intersecciones. Una en el punto (2; 2) y otra en el punto (2; 2). Veri…caremos este resultado analiticamente. Para ello, debemos resolver simultaneamente las dos ecuaciones x2 + y 2 = 8 y y 2 = 2x. Es muy sencillo dado que y 2 ya está despejado en la segunda ecuación y sustituyendo en la primera tenemos x2 + 2x = 8 que es una ecuación x2 + 2x 8 = 0, de segundo grado en x, que se resuelve facilmente como x1 = 4 y x2 = 2. Ahora sustituimos de regreso para y, y 2 = 2 ( 4) que esp 8 y= que no existe en los números reales. Para el otro valor tenemos y 2 = 2 (2) y por p tanto, y= 4= 2 Así que los puntos de intersección son (2; 2) y (2; 2), como habíamos encontrado grá…camente.

5

Geometría Analítica; C. H. Lehmann. Ejercicio 1, grupo 8, capítulo II, página 54. Halla la ecuación del lugar geométrico de un punto que se mueve de tal manera que a) se conserva siempre a 2 unidades a la izquierda del eje Y ; b) está siempre 4 unidades arriba del eje X; c) está siempre a iguañ distancia de los ejes X y Y . Despues de haber obtenido la ecuación del lugar geométrico construye la curva de acuerdo a lo dicho en el artículo 19 del libro. Solución: a) La condición geométrica la debemos traducir a una condición analítica; es decir, la tenemos que expresar en términos de una ecuación. En este caso es muy sencillo, la distancia al eje Y es la abscisa x, así que la condición geométrica se traduce en x= 2 que es la ecuación buscada. Es evidente que todos los puntos que satisfacen la ecuación x = 2 satisfacen también la condición geométrica; es decir, todos ellos estan a una distancia 2 a la izquierda del eje Y . En el plano el lugar geométrico es

y

5 4 3 2 1

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

-1

5

x

-2 -3 -4 -5

o sea, una recta vertical a una distancia 2 a la izquierda del eje Y . b) La condición geométrica la debemos traducir a una condición analítica; es decir, la tenemos que expresar en términos de una ecuación. En este caso es muy sencillo, la distancia al eje X es la ordenada y, así que la condición geométrica se traduce en y=4

1

que es la ecuación buscada. Es evidente que todos los puntos que satisfacen la ecuación y = 4, satisfacen también la condición geométrica; es decir, todos ellos estan a una distancia 4 arriba del eje X. En el plano el lugar geométrico es

y

5 4 3 2 1

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

-1

4

5

x

-2 -3 -4 -5

o sea, una recta horizontal a una distancia 4 arriba del eje X. c) La condición geométrica la debemos traducir a una condición analítica; es decir, la tenemos que expresar en términos de una ecuación. En este caso, la distancia al eje Y es la abscisa x y la distancia al eje X es la ordenada y, así que la condición geométrica se traduce en x = y, que es la ecuación buscada. Es evidente que todos los puntos que satisfacen la ecuación x = y, satisfacen también la condición geométrica; es decir, todos ellos estan a la misma distancia de los dos ejes. En el plano el lugar geométrico es

2

y

5 4 3 2 1

-5

-4

-3

-2

-1

1 -1 -2 -3 -4 -5

o sea, una recta a 45 grados que pasa por el origen.

3

2

3

4

5

x

Geometría Analítica; C. H. Lehmann. Ejercicio 9, grupo 8, capítulo II, página 54. Una recta l, que pasa por el punto ( 5; 1), es perpendicular a otra recta cuya pendiente es 1/2. Expresar analíticamente el que un punto cualquiera P (x; y) esté sobre la recta l, y deducir a partir de aquí, su ecuación. Solución: Si la recta l es perpendicular a una recta cuya pendiente es 1/2, quiere decir que su pendiente es recíporca de signo contrario; es decir, es 2. Sabemos ademas que la recta pasa por el punto ( 5; 1) y que si P (x; y) es un punto cualquiera de ella, su pendiente es y 1 y 1 = m= x ( 5) x+5 Como ya sabemos que la pendiente es igual a 2, tenemos entonces y 1 =2 x+5 Esta es ya la ecuación de la recta l; sin embargo, es conveniente darla en la froma más simpli…cada posible, y 1 = 2 =) y 1 = 2 (x + 5) =) y 1 = 2x + 10 =) 2x y + 11 = 0 x+5 La ecuación es 2x y + 11 = 0 y la grá…ca es

y

12

10

8

6

4

2

-10

-9

-8

-7

-6

-5

-4

1

-3

-2

-1

1

2

x

Geometría Analítica; C. H. Lehmann. Ejercicio 17, grupo 8, capítulo II, página 55. Un punto se mueve de tal manera que la diferencia de sus distancias a los dos puntos A (3; 0) y B ( 3; 0) es siempre igual a 4. Hallar la ecuación de su lugar geométrico. Solución: Para hallar la ecuación del lugar geométrico debemos expresar la condición geométrica en forma analítica. En este caso la traducción de: "sus distancias a los dos puntos (3; 0) y ( 3; 0) es siempre igual a 4" a una condición analítica es jP Aj jP Bj = 4. Esta q condición se escribeqcomo 2 2 2 2 (x 3) + (y 0) (x + 3) + (y 0) = 4 que q q es (x =) q (x =)

2

3) + y 2

2

(x + 3) + y 2 = 4 q 2 2 3) + y 2 = 4 + (x + 3) + y 2

q 2 2 2 (x 3) + y 2 = 4 + (x + 3) + y 2 =) q 2 2 x2 6x + 9 + y 2 = 16 + 8 (x + 3) + y 2 + (x + 3) + y 2 =) q 2 2 x2 6x 7 = 8 (x + 3) + y 2 + (x + 3) =) q 2 x2 6x 7 = 8 (x + 3) + y 2 + x2 + 6x + 9 =) q 2 12x 16 = 8 (x + 3) + y 2 =) q 2 3x 4 = 2 (x + 3) + y 2 =) h i 2 2 ( 3x 4) = 4 (x + 3) + y 2 =) 9x2 + 24x + 16 = 4 x2 + 6x + 9 + y 2 =) 9x2 + 24x + 16 = 4x2 + 24x + 36 + 4y 2 =) 5x2 4y 2 20 = 0 =) x2 y2 =1 4 5 La ecuación del lugar geométrico es 5x2

1

4y 2

20 = 0 ó bien

x2 4

y2 = 1. 5

Para construir la curva que corresponde a esta ecuación, antes que nada debemos hacer un análisis cuidadoso de la ecuación: 1) Intersecciones a) Con el eje X. y2 x2 =1 4 5 Haciendo y = 0 2 x2 (0) =1 4 5 2 x =4 x= 2 La curva intersecta al eje X en 2 y 2. b) Con el eje Y . y2 x2 =1 4 5 Haciendo y = 0 2 y2 (0) =1 4 5 2 y = 5 Esta ecuación no tiene solución en los números reales y por lo tanto la curva no intersecta al eje Y . Resumen: La curva intersecta al eje X en 2 y 2, y no intersecta al eje Y . 2) Simetrías a) Respecto al eje Y . x! x 2 x2 y2 ( x) y2 x2 y2 = 1 =) = 1 =) =1 4 5 4 5 4 5 La ecuación no se altera y por lo tanto la grá…ca es simétrica respecto al eje Y: b) Respecto al eje X. y! y 2 x2 y2 x2 ( y) x2 y2 = 1 =) = 1 =) =1 4 5 4 5 4 5 La ecuación no se altera y por lo tanto la grá…ca es simétrica respecto al eje X: c) Respecto al origen O. x! xyy! y 2 2 y2 ( x) ( y) x2 y2 x2 = 1 =) = 1 =) =1 4 5 4 5 4 5 La ecuación no se altera y por lo tanto la grá…ca es simétrica respecto al origen O. Resumen: La curva tiene todas las simetrías que hemos estudiado. 3) Extensión a) En el eje X.

2

x2 y2 Debemos despejar y en función de x en la ecuación = 1, 4 5 1p p 2 y= 5 x 4 2 Por tanto, x podrá tomar únicamente aquellos valores que hagan a y real; es decir, tendremos que tener x2 4 0 que se traduce en que x 2 ó x 2. En otras palabras, la extensión de x es ( 1; 2] [ [2; +1). b) En el eje Y . y2 x2 = 1, Debemos despejar x en función de y en la ecuación 4 5 2p p 2 x= 5 y +5 5 Por tanto, y podrá tomar únicamente aquellos valores que hagan a y real; es decir, tendremos que tener y 2 + 5 0. Esto sucede siempre, sucede para cualquier valor real de y, así que la extensión en y son todos los números reales. Resumen: x 2 ( 1; 2] [ [2; +1) y 2 ( 1; +1). 4) Asíntotas. De los despejes del inciso anterior tenemos 1p p 2 y= 5 x 4 2 y 2p p 2 5 y +5 x= 5 y como las dos expresiones no tienen denominadores, podemos concluir que esta curva no tiene asíntotas ni verticales ni horizontales. En el capítulopVIII, veremos que p esta curva tiene asíntotas oblícuas, que están dadas como 5x + 2y = 0 y 5x 2y = 0. Finalmente, para construir la grá…ca marcamos las intersecciones: La curva intersecta al eje X en 2 y 2, y no intersecta al eje Y .

3

1.0

y

0.5

-2.0

-1.5

-1.0

-0.5

0.5

1.0

1.5

2.0

x

-0.5

-1.0

La gra…ca es simétrica respecto a los dos ejes y respecto al origen, por lo tanto basta construir la cruva en el primer cuadrante. La extensión es x 2 ( 1; 2][[2; +1) y y 2 ( 1; +1), y la representamos en el plano cartesiano,

y

5 4 3 2 1

-5

-4

-3

-2

-1

1 -1 -2 -3 -4 -5

Trazamos ahora las asíntotas

4

2

3

4

5

x

y

5 4 3 2 1

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

-1

5

x

-2 -3 -4 -5

Finalmente calculamos unos puntos en el primer cuadrante con la computadora

x

y

2.00 2.01 2.02 2.03 2.04 2.05 2.06 2.07 2.08 2.09 2.10 2.11 2.12 2.13 2.14 2.15 2.16 2.17 2.18 2.19 2.20 2.21 2.22 2.23 2.24

x

0.000 0.224 0.317 0.389 0.449 0.503 0.552 0.597 0.639 0.678 0.716 0.752 0.786 0.819 0.851 0.882 0.912 0.941 0.970 0.998 1.025 1.051 1.077 1.103 1.128

y

2.250 2.260 2.270 2.280 2.290 2.300 2.310 2.320 2.330 2.340 2.350 2.360 2.370 2.380 2.390 2.400 2.410 2.420 2.430 2.440 2.450 2.460 2.470 2.480 2.490

Grá…camos la curva en el primer cuadrante, 5

1.152 1.177 1.200 1.224 1.247 1.270 1.292 1.315 1.336 1.358 1.380 1.401 1.422 1.442 1.463 1.483 1.503 1.523 1.543 1.563 1.582 1.601 1.621 1.640 1.658

y

10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

x

Usando la simetría de la curva, la pintamos en los cuatro cuadrantes

y

5 4 3 2 1

-5

-4

-3

-2

-1

1 -1

2

3

4

5

x

-2 -3 -4 -5

Ahora presentamos la gra…ca sin todos los auxiliares para construirla,

6

y

5 4 3 2 1

-5

-4

-3

-2

-1

1 -1

2

3

4

5

x

-2 -3 -4 -5

Se trata de una hipérbola con centro en el origen y eje transverso coincidente con el eje X.

7

Geometría Analítica; C. H. Lehmann. Ejercicio 25, grupo 8, capítulo II, página 55. Los extremos de la base de un triángulo son los puntos A (0; 0) y B (3; 0). Hallar la ecuación del lugar geométrico del vértice opuesto C si se mueve de tal manera que el ángulo en la base CAB es siempre igual al doble del ángulo en la base CBA. Solución: A las coordenadas del punto C; general del lugar geométrico, las denotaremos como (x; y). ),C ( xy

0() ,0 A

)B3(,0

Lo primero que debe quedar claro es que siempre debemos considerar que y 6= 0, ya que si y = 0 el triángulo se colapsa. d es tal que tan CAB d = y. Del dibujo es muy claro que el ángulo CAB x d debemos recordar la fórmula para el ángulo Para encontrar el ángulo CBA entre dos rectas dadas sus pendientes. Si tenemos dos rectas, l1 y l2 , de pendientes m1 y m2 respectivamente, el ángulo formado por ellas es m2 m1 tan = 1 + m1 m2 siendo el ángulo que va de la recta l1 a la recta l2 . Usando está fórmula encontramos y 0 y x 3 d = tan CBA = y x 3 1+ (0) x 3 Debemos aplicar ahora la condición geométrica, que es d = 2CBA d CAB Tenemos entonces d d = tan 2CBA d = 2 tan CBA tan CAB d 1 tan2 CBA sustituyendo las expresiones que ya habíamos encontrado para las tangentes de estos ángulos, encontramos y 2 y x 3 = 2 x y 1 x 3 que si la desarrollamos nos da

1

y 3x2 12x y 2 + 9 =0 x x2 + 6x + y 2 9 como ya sabemos que y 6= 0, entonces la ecuación del lugar geométrico es 3x2 y 2 12x + 9 = 0 Para trazar en el plano cartesiano, la curva correspondiente a esta ecuación, debemos hacer el análisis de ella: Para construir la curva que corresponde a esta ecuación, antes que nada debemos hacer un análisis cuidadoso de la ecuación: 1) Intersecciones a) Con el eje X. 3x2 y 2 12x + 9 = 0 Haciendo y = 0 2 3x2 (0) 12x + 9 = 0 3x2 12x + 9 = 0 x1 = 1 y x2 = 3 La curva intersecta al eje X en 1 y 3. b) Con el eje Y . 3x2 y 2 12x + 9 = 0 Haciendo x = 0 2 3 (0) y 2 12 (0) + 9 = 0 2 y =9 y 1 = 3 y y2 = 3 La curva intersecta al eje Y en 3 y 3. Resumen: La curva intersecta al eje X en 1 y 3, y al eje Y en 3 y 3. 2) Simetrías a) Respecto al eje Y . x! x 2 3x2 y 2 12x + 9 = 0 =) 3 ( x) y 2 12 ( x) + 9 = 0 =) 3x2 y 2 + 12x + 9 = 0 La ecuación se altera y por lo tanto la grá…ca NO es simétrica respecto al eje Y: b) Respecto al eje X. y! y 2 3x2 y 2 12x+9 = 0 =) 3x2 ( y) 12x+9 = 0 =) 3x2 y 2 12x+9 = 0 La ecuación no se altera y por lo tanto la grá…ca es simétrica respecto al eje X: c) Respecto al origen O. x! xyy! y 2 2 3x2 y 2 12x + 9 = 0 =) 3 ( x) ( y) 12 ( x) + 9 = 0 =) 3x2 2 y + 12x + 9 = 0 La ecuación se altera y por lo tanto la grá…ca NO es simétrica respecto al origen O. Resumen: La curva es simétrica respecto al eje X.

2

3) Extensión a) En el eje X. Debemos despejar y en función de x en la ecuación 3x2 y 2 12x + 9 = 0, p p 3 (x 1) (x 3) y= Por tanto, x podrá tomar únicamente aquellos valores que hagan a y real; es decir, tendremos que tener (x 1) (x 3) 0. Para que esto suceda ambos factores debe ser del mismo signo; así que x 1 y x 3 o x 1 y x 3. Es claro que si x 3 también se cumple que x 1, así que en el primer caso basta con poner x 3. Ahora si x 1 se satisface también que x 3, así que en el segundo caso ambas condiciones se satisfacen si sólo pedimos que x 1. En resumen, (x 1) (x 3) 0 si x 3 o x 1. En otras palabras, la extensión de x es ( 1; 1] [ [3; +1). Otra manera de ver en que región de los números reales es la función cuadrática (x 1) (x 3) negativa, es haciendo una grá…ca de ella. Efectivamente en la grá…ca que presentamos a continuación se ve claramente que la función es negativa únicamente en el intervalo (1; 3) y por lo tanto esos valores de x no forman parte de la extensión de la curva: y

8 7 6 5 4 3 2 1

-1

1

2

3

4

-1

5

x

b) En el eje Y . Debemos despejar y en función de x en la ecuación 3x2 y 2 12x + 9 = 0, 1p p 2 x= 3 y +3+2 3 Por tanto, y podrá tomar únicamente aquellos valores que hagan a y real; 0. Esto sucede siempre, sucede para es decir, tendremos que tener y 2 + 3 cualquier valor real de y, así que la extensión en y son todos los números reales. Resumen: x 2 ( 1; 1] [ [3; +1) y 2 ( 1; +1). 4) Asíntotas. De lospdespejes del inciso anterior tenemos p y= 3 (x 1) (x 3) y 1p p 2 x= 3 y +3+2 3 3

y como las dos expresiones no tienen denominadores, podemos concluir que esta curva no tiene asíntotas ni verticales ni horizontales. En el capítulo VIII, veremos que esta curva tiene asíntotas oblícuas, que están dadas como x 2 + y y p = 0 y x 2 p = 0. 3 3 Finalmente, para construir la grá…ca marcamos las intersecciones: La curva intersecta al eje X en 1 y 3, y al eje Y en 3 y 3.

y

3

2

1

-3

-2

-1

1

2

3

x

-1

-2

-3

La grá…ca de la curva es simétrica respecto al eje X. La extensión es x 2 ( 1; 1][[3; +1) y y 2 ( 1; +1), y la representamos en el plano cartesiano,

4

y

5 4 3 2 1

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

1

2

3

4

-1

5

x

-2 -3 -4 -5

Trazamos ahora las asíntotas

y

5 4 3 2 1

-5

-4

-3

-2

-1 -1

5

x

-2 -3 -4 -5

Finalmente calculamos unos puntos, únicamente en la parte superior del plano, ya que la grá…ca es simétrica respecto al eje X:

5

x

y 3.00 3.01 3.02 3.03 3.04 3.05 3.06 3.07 3.08 3.09 3.10 3.11 3.12 3.13 3.14 3.15 3.16 3.17 3.18 3.19 3.20 3.21 3.22 3.23 3.24

x

y

0.000 0.246 0.348 0.427 0.495 0.555 0.609 0.659 0.707 0.751 0.794 0.834 0.874 0.911 0.948 0.984 1.018 1.052 1.085 1.117 1.149 1.180 1.210 1.240 1.270

1.00 0.99 0.98 0.97 0.96 0.95 0.94 0.93 0.92 0.91 0.90 0.89 0.88 0.87 0.86 0.85 0.84 0.83 0.82 0.81 0.80 0.79 0.78 0.77 0.76

0.000 0.246 0.348 0.427 0.495 0.555 0.609 0.659 0.707 0.751 0.794 0.834 0.874 0.911 0.948 0.984 1.018 1.052 1.085 1.117 1.149 1.180 1.210 1.240 1.270

Grá…camos la curva en el primer cuadrante,

y

5 4 3 2 1

-5

-4

-3

-2

-1

1 -1

2

3

4

5

x

-2 -3 -4 -5

Usando la simetría de la curva, la pintamos en los cuatro cuadrantes

6

y 4

2

-4

-2

2

4

x

-2

-4

Ahora presentamos la gra…ca sin todos los auxiliares para construirla,

y

5 4 3 2 1

-2

2 -1

4

x

-2 -3 -4 -5

Se trata de una hipérbola con centro en el punto (2; 0) y eje transverso coincidente con el eje X. Finalmente presentamos una grá…ca de la curva con uno de los triángulos motivo de este problema:

7

y

5 4 3 2 1

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

-1 -2 -3 -4 -5

EXTRAS: Calculo de puntos sobre la hipérbola para dibujar un triángulo 3x2 y 2 12x + 9 = 0 2 1 1 y 2 12 +9=0 3 2 2 1p 1p Solution is: 15; 15 2 p ! 2 1 15 ; 2 2 p y = 15x! p 15 1 ; ,(3; 0) 2 2 p 15 1p 3p 2 y= (x 3) = 15x + 15 1 5 5 3 2p p 15 3 15 y= x+ 5 p 5 15 2 (x 3) = y + 1 p15x 3 p15 y 1 5 5 3 2

8

3

4

5

x

Calculo de las asíntotas: 3x2 y 2 12x + 9 = 0 3 x2 4x y2 = 9 3 x2 4x + 4 y 2 = 9 + 12 2 2 3 (x 2) y =3 y2 2 (x 2) =1 3 y2 2 (x 2) =0 3 y y x 2+ p =0 x 2 p 3 3 y x 2 p =0 3 y x 2 + p = 0. 3

9

Geometría Analítica; C. H. Lehmann. Ejercicio 20, grupo 20, capítulo V, página 139. Simpli…que la ecuación 30xy + 24x 25y 80 = 0 por una traslación de los ejes coordenados. Solución: Sustituimos las coordenadas por las que se obtendrían con una translación del eje de coordenadas x = x0 + h y = y0 + k Sustituyendo en la ecuación 30 (x0 + h) (y 0 + k) + 24 (x0 + h) 25 (y 0 + k) 80 = 0 24h 25k + 24x0 25y 0 + 30hy 0 + 30kx0 + 30x0 y 0 + 30hk 80 = 0 30x0 y 0 + 24x0 + 30kx0 25y 0 + 30hy 0 + 24h 25k + 30hk 80 = 0 30x0 y 0 + (24 + 30k) x0 (25 30h) y 0 + 24h 25k + 30hk 80 = 0 Por lo tanto, sólo podemos hacer cero los coe…cientes de los términos lineales, 24 + 30k = 0 25 30h = 0 de donde 24 4 k= = 30 5 y 25 5 h= = 30 6 y la ecuación queda 4 5 5 4 30x0 y 0 + 24 + 30 x0 25 30 y 0 + 24 25 + 5 6 6 5 5 4 30 80 = 0 6 5 0 0 60 = 0 30x y x0 y 0 = 2

y

10

5

-10

-5

5

-5

-10

1

10

x

Geometría Analítica; C. H. Lehmann. Ejercicio 1, grupo 21, capítulo V, página 142. Hallar las nuevas coordenadas del punto (3; 4) cuando los ejes coordenados giran un ángulo de 30 . Solución: El cambio de coordenadas cuando se realiza una rotación en un ángulo esta dado por las expresiones x = x0 cos y 0 sin 0 y = x sin + y 0 cos La transformación inversa es x0 = x cos + y sin y 0 = x sin + y cos Así que el punto (3; 4) se transforma en x0 = 3 cos 30 4 sin 30 y 0 = 3 sin 30 4 cos 30 que da p ! 3 1 3p 0 3 2 4 = x =3 2 2 2 p ! p 1 3 3 0 y = 3 = 2 3 4 2 2 2 y …nalmente las nuevas coordenas del punto (3; 4) son p 3p 3 3 2; 2 3 2 2 p 3p 3 4: 96 3 2; 2 3 = 0:60 2 2

y

8 6 4 2

-10

-8

-6

-4

-2

2 -2 -4 -6 -8

1

4

6

8

10

x

Geometría Analítica; C. H. Lehmann. Ejercicio 8, grupo 21, capítulo V, página 143. Hallar la transformada de la ecuación x4 + y 4 + 6x2 y 2 32 = 0 al girar los ejes coordenados un ángulo de 45 . Solución: El cambio de coordenadas cuando se realiza una rotación en un ángulo esta dado por las expresiones x = x0 cos y 0 sin 0 y = x sin + y 0 cos así que p !4 p !4 p !2 p !2 p p p p 2 2 2 2 2 2 2 2 y0 + y0 y0 + y0 + x0 +6 x0 x0 x0 2 2 2 2 2 2 2 2 32 = 0 2(x0 )4 + 2(y 0 )4 32 = 0 Finalmente tenemos la ecuación en el nuevo sistema de coordenadas x04 + y 04 = 16

y

3

2

1

-3

-2

-1

1 -1

-2

-3

1

2

3

x

y

3

2

1

-3

-2

-1

1 -1

-2

-3

2

2

3

x

Geometría Analítica; C. H. Lehmann. Ejercicio 5, grupo 22, capítulo V, página 147. Simpli…ca la ecuación 2x2 + 2xy + 2y 2 2x 10y + 11 = 0 por una transformación de coordenadas. Solución: La grá…ca de la ecuación es

y

5 4 3 2 1

-3

-2

-1

1

-1

x

Hacemos una translación x = x0 + h y = y0 + k y la ecuación nos queda 2 2 2 (x0 + h) + 2 (x0 + h) (y 0 + k) + 2 (y 0 + k) 2 (x0 + h) 10 (y 0 + k) + 11 = 0 ó 2h2 + 2hk + 4hx0 + 2hy 0 2h + 2k 2 + 2kx0 + 4ky 0 10k + 2(x0 )2 + 2x0 y 0 0 2x + 2(y 0 )2 10y 0 + 11 = 0 ó 2x02 + 2x0 y 0 + 2y 02 + (4h + 2k 2) x0 + (2h + 4k 10) y 0 + 2h2 + 2hk 2h + 2 2k 10k + 11 = 0 Anulando los términos de primer grado 4h + 2k 2 = 0 2h + 4k 10 = 0 Con sumas y restas 2h + k = 1 2h 4k = 10 queda 3k = 9 k=3 y h = 5 2k = 5 2 (3) = 1 Resumen h= 1 k=3

1

¿Cómo queda la ecuación? 2x02 + 2x0 y 0 + 2y 02 + 2h2 + 2hk 2h + 2k 2 10k + 11 = 0 ó 2x02 + 2x0 y 0 + 2y 02 + 2h2 + 6h 2h + 18 30 + 11 = 0 ó 2 2x02 + 2x0 y 0 + 2y 02 + 2 ( 1) + 6 ( 1) 2 ( 1) + 18 30 + 11 = 0 ó 2x0 y 0 + 2x20 + 2y 20 3 = 0 y …nalmente 3 x2 + xy + y 2 = 2 Ahora rotamos para quitar el término cruzado x0 = x00 cos y 00 sin 0 00 y = x sin + y 00 cos y la ecuación queda 2 2 (x00 cos y 00 sin ) +(x00 cos y 00 sin ) (x00 sin + y 00 cos )+(x00 sin + y 00 cos ) 3=0 ó 2 2 (x00 cos y 00 sin ) +(x00 cos y 00 sin ) (x00 sin + y 00 cos )+(x00 sin + y 00 cos ) 3= ó (x00 )2 +(y 00 )2 +(x00 )2 sin cos (y 00 )2 sin cos + cos2 sin2 x00 y 00 3 = 0 así que tenemos que hacer cos2 sin2 = 0 ó bien = 45 Entonces p p 2 2 sin = cos = 2 2 y nos queda 1 00 2 1 (y ) 3=0 (x00 )2 + (y 00 )2 + (x00 )2 2 2 ó 3 00 2 1 00 2 3 (x ) + (y ) =0 2 2 2 ó 3(x00 )2 + (y 00 )2 = 3

2

y

5

4

3

2

1

-3

-2

-1

1

x -1

3

Geometría Analítica; C. H. Lehmann. Ejercicio 11, grupo 23, capítulo VI, página 154. 11. Hallar la ecuación de la parábola de vértice en el origen y directriz la recta x + 5 = 0. Solución: Como el vértice es el punto medio del segmento formado por el foco y la intersección del eje con la directriz, si llamamos a y b a las coordenadas del foco tenemos 0+0 a + ( 5) y b= 0= 2 2 ó sea a=5 y b=0 es decir, el foco está en el punto (5; 0). Tenemos entonces que la distancia entre el foco y el vértice es igual a 5; es decir, p = 5: Por tanto, la ecuación de la parábola es y 2 = 20x

y

14 12 10 8 6 4 2

-5

-2

5

10

x

-4 -6 -8 -10 -12 -14

1

Geometría Analítica; C. H. Lehmann. Ejercicio 14, grupo 23, capítulo VI, página 154. 14. Hallar la longitud de la cuerda focal de la parábola x2 + 8y = 0 que es paralela a la recta 3x + 4y 7 = 0. Solución: La recta 3x + 4y 7 = 0 se puede reeescribir como 7 3 x+ y= 4 4 3 y vemos que su pendiente es m = . Por tanto, esa es también la pendiente 4 de la recta que buscamos. Pasa por el foco, ¿Dónde está el foco? x2 = 8y es de la forma x2 = 4py es decir, es una parábola con vértice en el origen, su eje es el eje Y y su distancia focal es 2. Su foco está entonces en el punto (0; 2) Ecuación de la recta 3 (y + 2) = (x 0) 4 3 y= x 2 4 ¿En donde intersecta esta recta a la parábola x2 + 8y = 0? 3 Como y = x 2 tenemos 4 3 x2 + 8 x 2 =0 4 x2 6x 16 = 0 x1 = 8 x2 = 2 3 y= x 2 4 3 y1 = 8 2= 8 4 3 1 y2 = ( 2) 2 = 4 2 Intersecta en los puntos 1 (8; 8) 2; 2 que son los extremos de la cuerda focal. Por q tanto, 25 2 2 d = (8 ( 2)) + ( 8 ( 1=2)) = 2 25 d= 2

1

y -10

-8

-6

-4

-2

2

-2

-4

-6

-8

-10

2

4

6

8

10

x

Geometría Analítica; C. H. Lehmann. Ejercicio 7, grupo 24, capítulo VI, página 159. 7. Hallar la ecuación de la parábola cuyos vértice y focos son los puntos (4, 3 ) y (- 1, 3 ), respectivamente. Hallar también las ecuaciones de su directriz y de su eje. Solución: Vértice: ( 4; 3) Foco: ( 1; 3) 4

y

3

2 -4

(y (y y2

-3

-2

-1

x

2

3) = 4 (3) (x + 4) 2 3) 4 (3) (x + 4) = 0 6y 12x 39 = 0

Ecuación de la directriz: x= 7 El eje pasa por el vértice y por el foco, así que su ecuación es y=3

y

15

10

5

-10

-5

5 -5

-10

1

10

x

Geometría Analítica; C. H. Lehmann. Ejercicio 11, grupo 24, capítulo VI, página 159. 11. Reduzca la ecuación 4y 2 48x 20y = 71 a la segunda forma ordinaria de la ecuación de la parábola, y halle las coordenadas del vértice y del foco, las ecuaciones de la directriz y eje, y la longitud del lado recto. Solución: 4y 2 20y = 48x + 71 71 y 2 5y = 12x + 4 2 2 71 5 5 2 = 12x + = 12x + 24 y 5y + + 2 4 2 2 5 y = 12 (x + 2) 2 Por tanto, es una parábola 5 con vértice= 2; 2 eje paralelo al eje X con p = 3 > 0 y por lo tanto crece hacía la derecha. 5 Su foco está en 1; 2 La ecuación de la directriz es x = 5 5 La ecuación del eje es y = 2 El lado recto mide 12

1

y

10 8 6 4 2

-10

-8

-6

-4

-2

2 -2 -4 -6 -8 -10

2

4

6

8

10

x

Geometría Analítica; C. H. Lehmann. Ejercicio 23, grupo 24, capítulo VI, página 159. 23. La ecuación de una familia de parábolas es y = ax2 + bx. Hállese la ecuación del elemento de la familia que pasa por los dos puntos (2; 8) y ( 1; 5) Solución: y = ax2 + bx (2; 8) ( 1; 5) 2

8 = a (2) + b (2) = 4a + 2b 2 5 = a ( 1) + b ( 1) = a b 4a + 2b = 8 a b=5 a=5+b 4 (5 + b) + 2b b= 2 a=5 2=3 y = 3x2 2x

8 = 6b + 12 = 0

y 80

60

40

20

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

1

2

3

4

5

x

Geometría Analítica; C. H. Lehmann. Ejercicio 9, grupo 25, capítulo VI, página 163. 9. Hallar la ecuación de la tangente de pendiente - 1 a la parábola y 2 8x = 0: Solución: La familia de rectas de pendiente 1 es y = x+k Debemos encontrar la intersección de dicha familia con la parábola y 2 8x = 0 es decir, debemos resolver 2 ( x + k) 8x = 0 que se reduce a k 2 2kx + x2 8x = 0 Para que esta ecuación tenga una única solución, el discriminante debe ser cero, así que 2 ( 2k 8) 4 (1) k 2 = 32k + 64 = 0 que se reduce a 32k + 64 = 0 y cuya única solución es k= 2 Por tanto, la tangente de pendiente 1 a la parábola y 2 8x = 0 es y= x 2 10

y

8 6 4 2

-10

-8

-6

-4

-2

2 -2 -4 -6 -8

-10

1

4

6

8

10

x

Geometría Analítica; C. H. Lehmann. Ejercicio 17, grupo 24, capítulo VI, página 159. 17. Hallar el ángulo agudo de intersection de la circunferencia x2 + y 2 = 25 y la parábola x2 4y 4 = 0 en uno cualquiera de sus dos puntos de intersección. Solución: x2 + y 2 = 25 x2 4y 4 = 0 Despejamos y en la segunda 1 y = x2 1 4 Sustituimos en la primera 2 1 2 1 x 25 = 0 x2 + 4 Desarrollamos 1 4 1 2 x + x 24 = 0 16 2 Hay cuatro soluciones p p p p 2i 2 3; 4; 4 2i 2 3; 1 2 El valor 4 sustituido en y = x 1 nos da 4 1 y = 42 1 = 3 4 1 El valor 4 sustituido en y = x2 1 nos da 4 1 2 y= 4 1=3 4 Los puntos de intersección son (4; 3) y ( 4; 3) Escojo el (4; 3) 3 mRadio = 4 4 mC = 3 De las fórmulas que tenemos y1 mp = 2x1 que nos da 3 mP = 8 Por tanto, 4 3 41 tan = 3 8 = 43 12 1 38 41 arctan 180 12 = 0:499 48

1

y 4 2

-4

-2

2

4

-2 -4

x2 + y 2 = 25 x2 4y 4 = 0 1 y = x2 1 4 1 y0 = x 2 y0 = 2

2

x

Geometría Analítica; C. H. Lehmann. Ejercicio 9, grupo 26, capítulo VI, página 171. 9. Hallar los valores de x para los cuales la función x2 5x + 4 es positiva, negativa y cero, y tiene un máximo o un mínimo. Comprobar los resultados gra…camente. Solución: y = x2 5x + 4 2 2 5 5 = x2 5x + y 4+ 2 2 2 9 5 y+ = x 4 2 5 9 ; Vértice en 2 4 Eje paralelo al eje Y 1 Distancia focal p = 4 Como p es positivo, la función cuadrática crece hacía arriba. 5 Por lo tanto, tiene un mínimo en el vértice. Dicho mínimo ocurre para x = 2 9 y su valor es . 4 Los ceros de la función se obtienen de la ecuación x2 5x + 4 = 0 Son 4; 1 La función es negativa en el intervalo (1; 4) La función es positiva en ( 1; 1) [ (4; 1) La función es cero en 4 y 1.

y

10 8 6 4 2

-1

1

2

3

4

-2

1

5

6

x

Geometría Analítica; C. H. Lehmann. Capitulo VII, Grupo 27, Ejercicio 7, página 178. Hallar las coordenadas de los vértices y focos, las longitudes de los ejes mayor y menor, la excentricidad y la longitud de cada uno de sus lados rectos de la elipse 4x2 + 9y 2 = 36 Trazar y discutir el lugar geométrico. Solución: La ecuación de la elipse 4x2 + 9y 2 = 36 la dividimos entre 36 y obtenmos y2 x2 + =1 9 4 ó bien y2 x2 + 2 =1 2 3 2 que es la forma canónica. Esta forma pone en evidencia: La longitud del semieje mayor a = 3 La longitud del semieje menor b = 2 Los vértices están en ( 3;p0) y (3; 0) 2 La distancia focal b2 , por tanto, p p es c = a 2 2 c= 3 2 = 5 p p Los focos están en 5; 0 y 5; 0 2b2 ; es decir, Los dos lados rectos valen a 2 2 (2) 8 Lado recto= = 3 3 c La excentricidad es e = ; es decir, a p 5 e= 0:75 3

1

y

5 4 3 2 1

-5

-4

-3

-2

-1

1 -1 -2 -3 -4 -5

2

2

3

4

5

x

Geometría Analítica; C. H. Lehmann. Capitulo VII, Grupo 27, Ejercicio 12, página 178. 12. Hallar la ecuación de la elipse cuyos focos son los puntos (2; 0) y ( 2; 0), y su excentricidad es igual a 2=3. Solución: El centro de la elipse es el punto medio del segmento que une los dos focos, así que en este caso el centro de la elipse es el origen del sistema de coordenadas. La distancia focal c es la distancia de cualquiera de los dos focos al centro; en este caso es c = 2. Evidentemente el eje focal de la elipse coincide con el eje X. c Sabemos que la excentricidad e está dada como e = . Por lo tanto, podemos a determinar la longitud del semieje mayor; tenemos 2 c = 3. a = que sustituyendo los valores nos da a = e 2=3 Finalmente determinamos la longitud del semieje menor mediante la relación a2 = b2 p + c2 , despejando b; p p b = a2 c2 que nos da b = 32 22 = 5 Finalmente tenemos para la ecuación de la elipse x2 y2 + =1 9 5

y

5 4 3 2 1

-5

-4

-3

-2

-1

1 -1 -2 -3 -4 -5

1

2

3

4

5

x

Geometría Analítica; C. H. Lehmann. Capitulo VII, Grupo 27, Ejercicio 15, página 178. 15. Una elipse tiene su centro en el origen y su eje mayor p coincide con p el eje 6; 1 y 2; 2 . X. Hallar su ecuación sabiendo que pasa por los puntos Solución: Cuando la elipse tiene centro en el origen y su eje coincide con el eje X, su ecuación es de la forma y2 x2 + =1 a2 b2 donde a es la longitud del semieje mayor y b es la longitud del semieje menor. Tenemos entonces dos constantes o parámetros por determinar, a y b. Para determinar esas dos constantes utilizamos el que la elipse pase por los dos puntos dados. Tenemos entonces p 2 2 6 ( 1) + =1 a2 b2 p 2 2 2 (2) + =1 a2 b2 Estas dos ecuaciones se reducen a 6 1 + 2 =1 2 a b 4 2 + =1 2 a b2 ó bien 6b2 + a2 = a2 b2 4b2 + 2a2 = a2 b2 Despejando b en la primera p a b= p 6 con a 6= a2 6 Sustituyendo en la segunda 2 2 a a p p 4 + 2a2 = a2 a2 6 a2 6 que se pone como 4a2 a4 2 + 2a = a2 6 a2 6 o bien 4a2 a4 + 2a2 =0 2 2 a 6 a 6 y …nalmente a2 a2 8 =0 a2 6 Las raices que tenemos son: Dos veces p a=0 a=p 8 a= 8 p La única que tiene sentido para este problema es a = 8: Ahora podemos determinar b. Usando que p a b= p con a 6= 6 a2 6

1

tenemos p 8 b= q = 2 p 2 8 6 La respuesta con el signo negativo no tiene signi…cado para este problema, así que …nalmente x2 y2 + =1 8 4

y

5 4 3 2 1

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

-1 -2 -3 -4 -5

p

6; 1 = 2: 449 5

p

1:0 y 2; 2 = 2:0

2

1: 414 2

3

4

5

x

Geometría Analítica; C. H. Lehmann. Capitulo VII, Grupo 28, Ejercicio 9, página 184. 9. Los focos de una elipse son los puntos (3; 8) y (3; 2), y la longitud de su eje menor es 8. Hallar la ecuación de la elipse, las coordenadas de sus vértices y su excentricidad. Solución: El centro de la elipse es el punto medio del segmento formado por los dos focos. Recordemos que el punto medio del segmento formado por los puntos P1 (x1 ; y1 ) y P2 (x2 ; y2 ) es y1 + y2 x1 + x2 y y= x= 2 2 Por tanto, 3+3 8+2 ; = (3; 5) C= 2 2 Ademas, la distancia focal c es la distancia de cualquiera de los focos al centro; es decir, en este caso c=3 Teniendo el semieje menor b y la distancia focal c, podemos determinar el semieje p mayor a mediante la fórmula a = b2 + c2 que en p este caso es a = 42 + 32 = 5 Los vértices están en (3; 10) y (3; 0) La excentricidad e es c 3 e= = a 5 La ecuación es 2 2 (x 3) (y 5) + =1 25 16 2 2 25x + 16y 150x 160y + 225 = 0

1

y

10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

-1

1

2

3

4

-1

2

5

6

7

8

9

10

x

Geometría Analítica; C. H. Lehmann. Capitulo VII, Grupo 28, Ejercicio 14, página 184. Reducir la ecuación 4x2 + 9y 2 + 32x 18y + 37 = 0 a la segunda forma ordinaria de la ecuación de una elipse, y determinense las coordenadas del centro, vertices y focos, las longitudes de los ejes mayor y menor, y la de cada lado recto y la excentricidad. Solución: 4x2 + 9y 2 + 32x 18y + 37 = 0 4x2 + 32x + 9y 2 18y = 37 4 x2 + 8x + 9 y 2 2y = 37 4 x2 + 8x + 16 + 9 y 2 2y + 1 = 37 + 4 16 + 9 1 2 2 4 (x + 4) + 9 (y 1) = 36 2 2 (y 1) (x + 4) + =1 32 22 ——————————— Centro en ( 4; 1) Su eje focal es paralelo al eje X a=3 b = 2p p p c = a2 b2 = 32 22 = 5 V 0 = ( 7; 1)p V = ( 1; 1) p 5; 1 F = 4 + 5; 1 F0 = 4 2b2 2 4 8 Lado recto= = = 3 3 p a c 5 e= = a 3

1

4

y

3 2 1

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

-1 -2 -3 -4

2

x

Geometría Analítica; C. H. Lehmann. Capitulo VII, Grupo 28, Ejercicio 15, página 184. reducir la ecuacidn x2 + 4y 2 10x 40y + 109 = 0 a la segunda forma ordinaria de la ecuaci6n de una elipse, y determinense las coordenadas del centro, vertices y focos, las longitudes de 10s ejes mayor y menor, y la de cada lado recto y la excentricidad. Solución: x2 + 4y 2 10x 40y + 109 = 0 x2 10x + 4y 2 40y = 109 x2 10x + 4 y 2 10y = 109 x2 10x + 25 + 4 y 2 10y + 25 = 109 + 25 + 100 2 2 (x 5) + 4 (y 5) = 16 2 (x 5) (y 5) + =1 42 22 ——————————— Centro en (5; 5) Su eje focal es paralelo al eje X a=4 b = 2p p p c = a2 b2 = 42 22 = 2 3 V 0 = (1; 5) p V = (9; 5) p F 0 = 5 2 3; 5 F = 5 + 2 3; 5 2b2 2 4 Lado recto= = =2 a p p 4 2 3 c 3 = e= = a 4 2

1

Geometría Analítica; C. H. Lehmann. Capitulo VII, Grupo 29, Ejercicio 8, página 188. 8. Encontrar las ecuaciones de las tangentes de pendiente 2 a la elipse 4x2 + 5y 2 = 8. Solución: 4x2 + 5y 2 = 8 y = 2x + k ———— 2 4x2 + 5 (2x + k) 8=0 2 5k + 20kx + 24x2 8 ————– 2 (20k) 4 (24) 5k 2 8 = 0 768 80k 2 = 0 4p p 4p p k1 = 3 5; k2 = 3 5 5 5 p 4 15 y = 2x + p5 4 15 y = 2x 5 ——————-

y

3

2

1

-3

-2

-1

1 -1

-2

-3

1

2

3

x

Geometría Analítica; C. H. Lehmann. Capitulo VII, Grupo 29, Ejercicio 10, página 188. 10. Encontrar las ecuaciones de las tangentes trazadas desde el punto (3; 1) a la elipse 2x2 + 3y 2 + x y 5 = 0. Solución: 2x2 + 3y 2 + x y 5 = 0 y + 1 = m (x 3) y = mx 3m 1 ——————– 2 2x2 + 3 (mx 3m 1) + x (mx 3m 1) 5 = 0 2 2 2 3m x 18m x + 27m2 7mx + 21m + 2x2 + x 1 = 0 —————————– 2 18m2 7m + 1 4 3m2 + 2 27m2 + 21m 1 = 0 2 191m 182m + 9 = 0 9 m1 = ; m2 = 1 191 ————————— 9 y+1= (x 3) 9x + 191y + 218 = 0 191 y + 1 = (x 3) x+y 2=0

y

3

2

1

-3

-2

-1

1 -1

-2

-3

1

2

3

x

Geometría Analítica; C. H. Lehmann. Capitulo VIII, Grupo 30, Ejercicio 10, página 196. 10. Los vértices de una hipérbola son los puntos V (2; 0) y V 0 ( 2; 0) y sus focos son los puntos F (3; 0) y F 0 ( 3; 0). Hallar su ecuación y su excentricidad. Solución: Es claro que a=2 ya que 2a es la longitud del eje transverso que es la distancia entre los dos vertices que es claramente 4. También es evidente que c=3 ya que c es la distancia del centro a cualquiera p de los focos. Parapdeterminarpb usamos su de…nición b = c2 a2 y obtenemos b = 32 22 = 5 La excentricidad es c 3 e= = >1 a 2 Como el eje focal coincide con el eje X, tenemos x2 y2 p 2 =1 22 5 ó bien x2 y2 =1 4 5 La forma general es 5x2 4y 2 20 = 0

y

5 4 3 2 1

-5

-4

-3

-2

-1

1 -1 -2 -3 -4 -5

1

2

3

4

5

x

Geometría Analítica; C. H. Lehmann. Capitulo VIII, Grupo 30, Ejercicio 12, página 196. 12. Los extremos del eje conjugado de una hipérbola son los puntos (0,3) y (0,-3), y la longitud de cada lado recto es 6. Hallar la ecuación de la hipérbola y su excentricidad. Solución:

y

3 2 1

-1

1

-1

x

-2 -3

Dado que los extremos del eje conjugado de la hipérbola son los puntos (0,3) y (0,-3), su centro, que es el punto medio del eje, tiene coordenadas (0; 0); es decir, el centro de la hipérbola es el origen. Dado que el eje conjugado es el eje Y , el eje focal será el eje X. La distancia del centro a los extremos del eje conjugado es b, así que en este caso b = 3. Dado que el lado recta está dado por 2b2 =a y tiene un valor igual a 6, podemos despejar a y calcularlo. En efecto, 2b2 2 32 2b2 l= )a= = =3 a l 6 a=3 p 2 2 Usando p la expresión p c = a + b tenemos c = 32 + 32 = 3 2 La excentricidad es p c 3 2 p e= = = 2 = 1: 41 > 1 a 3 V = (3;p0) V 0 = ( 3; 0) p F = 3 2; 0 F0 = 3 2; 0 Finalmente la ecuación de la hipérbola es x2 y2 =1 32 32 ó bien x2 y2 =1 9 9 La froma general es x2 y 2 9 = 0

1

y

5 4 3 2 1

-5

-4

-3

-2

-1

1 -1 -2 -3 -4 -5

Hipérbola

2

2

3

4

5

x

Geometría Analítica; C. H. Lehmann. Capitulo VIII, Grupo 31, Ejercicio 4, página 202. 4. Hallar y trazar las ecuaciones de las asintotas de la hipérbola 4x2 5y 2 = 7. Solución: La ecuación de la hipérbola es 4x2 5y 2 = 7 Las asíntotas son 4x2 5y 2 = 0 es decir p p 5y = 0 2x + 5y 2x ó p 2x + p5y = 0 2x 5y = 0

y

3

2

1

-3

-2

-1

1 -1

-2

-3

1

2

3

x

y

20

10

-20

-15

-10

-5

5

-10

-20

2

10

15

20

x

Geometría Analítica; C. H. Lehmann. Capitulo VIII, Grupo 31, Ejercicio 7, página 202. 7. Hallar la ecuación de la hipérbola que pasa por el punto (2,3), tiene su centro en el origen, p su eje transverso está sobre el eje Y y una de sus asíntotas 7x = 0. es la recta 2y Solución: x2 y2 =1 2 a b2 2 2 2 2 b y a x = a2 b2 2 2 b y a2 x2 = 0 (by + ax) (by ax) = 0 by + ax = 0 by ax = 0 a y= x bp a 7 = b p2 7 a= b 2 2 y x2 =1 ! p 2 b2 7 b 2 4 2 1 2 y x =1 7b2 b2 4 2 1 2 3 2 =1 7b2 b2 8 =1 7b2 p 2 14 b= = 1: 069 p 7 7 a= b 2 p p ! p 7 2 14 98 a= = = 1: 414 2 2 7 7 x2 y2 ! p p !2 = 1 2 98 2 14 7 7 7 2 1 2 x + y 1 8 2 2 2 7x 4y + 8 = 0

1

y

5 4 3 2 1

-5

-4

-3

-2

-1

1 -1 -2 -3 -4 -5

2

2

3

4

5

x

Geometría Analítica; C. H. Lehmann. Capitulo VIII, Grupo 32, Ejercicio 11, página 206. 11. Los vértices de una hipérbola son los puntos (- 3, 2) y (- 3, - 2 ), y la longitud de su eje conjugado es 6. Hallar la ecuación de la hipérbola, las coordenadas de sus focos y su excentricidad. Solución: Vértices: V = ( 3; 2) V 0 = ( 3; 2) El centro es el punto medio del segmento formado por los vértices. Como el punto medio está dado por y1 + y2 x1 + x2 y0 = x0 = 2 2 entonces 3 + ( 3) 2 + ( 2) C= ; ( 3; 0) 2 2 Longitud del eje conjugado es 2b, así que b = 3. La distancia del centro a cualquiera de los vértices es la longitud del semieje transverso; es decir, q a, así que q p 2 2 2 2 a = d (V C) = ( 3 ( 3)) + (0 2) = ( 3 + 3) + ( 2) = 02 + 4 = p 4=2 El valor focalpc, es p p de la distancia c = a2 + b2 = 22 + 32 = 13 Como el eje focal es paralelo al eje Y , por tanto la ecuación es de la forma 2 2 (y k) (x h) =1 a2 b2 Sustituyendo los valores 2 2 (y 0) (x ( 3)) =1 22 32 ó bien 4x2 9y 2 + 24x + 72 = 0 La excentricidad es p c 13 = 1: 80 > 1 e= = a 2 Los focos p están en p F0 = 3; 13 F = 3; 13 La grá…ca es

1

y

14 12 10 8 6 4 2

-14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 -2 -4 -6 -8 -10 -12 -14

2

2

4

6

8 10 12 14

x

Geometría Analítica; C. H. Lehmann. Capitulo VIII, Grupo 32, Ejercicio 17, página 206. 17. Reducir la ecuación 9x2 4y 2 + 54x + 16y + 29 = 0 a la segunda forma ordinaria de la ecuación de la hipérbola y determinar las coordenadas del centro, vertices y focos, las longitudes de los ejes transverso y conjugado, y del lado recto, la excentricidad y las ecuaciones de las asíntotas. Solución: 9x2 4y 2 + 54x + 16y + 29 = 0 9x2 + 54x 4y 2 + 16y = 29 9 x2 + 6x 4 y 2 4y = 29 2 9 x + 6x + 9 4 y 2 4y + 4 = 29 + 9 9 4 4 2 2 9 (x + 3) 4 (y 2) = 36 2 2 (y 2) (x + 3) =1 4 9 El eje focal es paralelo al eje X: C = ( 3; 2) a = 2 =)Eje transveso= 4 b = 3p=)Eje conjugado= 6 p p c = a2 + b2 = 22 + 32 = 13 = 3: 60 2b2 2 32 Lado recto= = =9 2 p a c 13 e= = = 1: 8 a 2 V = ( 1; 2)p V 0 = ( 5; 2) p F = 3 + 13; 2 F0 = 3 13; 2 2 2 9 (x + 3) 4 (y 2) = 36 2 2 9 (x + 3) 4 (y 2) = 0 [3 (x + 3) + 2 (y 2)] [3 (x + 3) 2 (y 2)] = 0 3 (x + 3) + 2 (y 2) = 0 =) 3x + 2y + 5 = 0 3 (x + 3) 2 (y 2) = 0 =) 3x 2y + 13 = 0 9x2 4y 2 + 54x + 16y + 29 = 0

1

y

20

10

-20

-15

-10

-5

5

-10

-20

2

10

15

20

x

Geometría Analítica; C. H. Lehmann. Capitulo VIII, Grupo 33, Ejercicio 8, página 208. 8. Hallar las ecuaciones de las tangentes a la hipérbola x2 2y 2 + 4x 8y 6 = 0 que son paralelas a la recta 4x 4y + 11 = 0. Solución: Primero debemos determinar la pendiente de la recta 4x 4y + 11 = 0 Para ello la escribimos en la forma y = mx + b, 11 y =x+ 4 así que la pendiente es m=1 Por tanto, la tangente que buscamos forma parte de la familia de rectas, y =x+k Debemos de estudiar ahora las intersecciones de esta familia de líneas rectas con la hipérbola. Para ello resolvemos sus ecuaciones simultaneamente, sustituyendo y = x + k en la ecuación de la hipérbola, 2 x2 2 (x + k) + 4x 8 (x + k) 6 = 0 Desarrollando 2k 2 4kx 8k x2 4x 6 = 0 que se escribe como x2 + 4 (k + 1) x + 2k 2 + 8k + 6 = 0 El discriminante de esta ecuación de segun grado debe ser cero para que la recta intersecte a la hipérbola en un solo punto. Haciendo el discriminante igual a cero, obtenemos la ecuación de segundo grado para el parámetro k ; 2 16 (k + 1) 4 (1) 2k 2 + 8k + 6 = 0 que se reduce a 8k 2 8 = 0 y que tiene las soluciones k= 1 que corresponden a dos líneas rectas tangentes y =x+1 y y =x 1

1

y

2 1

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1 -1 -2 -3 -4 -5

x2 + 4 (k + 1) x + 2k 2 + 8k + 6 = 0 x2 + 4 (1 + 1) x + 2 + 8 + 6 = 0 x= 4 y =x+1= 4+1= 3 ( 4; 3)

x2 + 4 (k + 1) x + 2k 2 + 8k + 6 = 0 x2 + 2 8 + 6 = 0 x=0 y=x 1= 1 (0; 1)

2

2

3

x