IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas

TEMA 3: POLINOMIOSS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS 4º ESO Matemáticas B

FACTORIZACI CIÓN DE POLINOMIOS. SOLUC UCIONES 1. Factoriza los siguientes polinomio ios e indica las raíces en cada caso: a) 2 x − 8 = 2( x − 4)

Raíz = {4}

b) − 5x + 15 = −5( x − 3) c) 5x − 25 = 5( x − 5)

Raíz = {3} Raíz = {5}

13   d) 4a + 13 = 4 a +  4 

 13  Raíz = −   4

11   e) 3x − 11 = 3 x −  3 

11 Raíz =   3

f)

15   5  6 x + 15 = 6 x +  = 6 x +  6  2 

 5 Raíz = −   2

8 24    g) − 9 x + 24 = −9 x −  = −9 x −  9  3   h) 2 x +

1 1  = 2 x +  3 6 

 1 Raíz = −   6

2 1  1  = −8 x −  Raíz =   5 20   20  

i)

− 8x +

j)

3 x 2 − 6 x = 3 x ( x − 2)

Raíces = {0,2} Raíces = {0,4}

k) − 2 x 2 + 8 x = −2 x ( x − 4) l)

8  Raíz =   3

Raíces = {0 (doble), 3}

5 x 3 − 15 x 2 = 5 x 2 ( x − 3)

 7 Raíces ces = 0,   2

7  m) − 2 x 2 + 7 x = −2 x x −  2 

3  Raíces = 0 (triple),  5 

3  n) 5 x 4 − 3x 3 = 5 x 3  x −  5 

1 7   o) 14 x 2 + 7 x = 14 x x +  = 14 x x +  14  2   7  p) 6 x 2 + 7 x = 6 x x +  6 

1  Raíces = 0 , −  2 

 7 Raíces = 0,−   6

q) − 3 x 3 + 12 x 2 = −3 x 2 ( x − 4) r)

− 2 x 3 − 4 x 2 = −2 x 2 ( x + 2)

s)

1 4 2 3 1 3 x + x = x ( x + 2) 3 3 3

Raíc aíces = {0 (doble), 4} Raíce íces = {0 (doble), − 2} Raíces ces = { 0 (triple), − 2 }

1

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TEMA 3: POLINOMIOSS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS 4º ESO Matemáticas B

2. Factoriza los siguientes polinomio ios e indica las raíces en cada caso: a)

x 2 − 7 x + 10

1º) Hallamos las raíces del polinomio

7+3  x= ⇒ x=5 2  7 ± ( − 7 ) − 4 ⋅ ⋅ 1 10 7 ± 49 − 40 7 ± 9 7 ± 3  2 2 x − 7 x + 10 = 0 ⇒ x = = = = = 2 ⋅1 2 2 2 x = 7 − 3 ⇒ x = 2  2 2º) Factorización: x 2 − 7 x + 10 = ( x − 5)( x − 2)

Raíces = {5,2}

b) x 2 − 7 x − 18 1º) Hallamos las raíces del polinomio

7 + 11  ⇒x=9 x= 2  1 ( 18 ) ⋅ ⋅ − 7 ± ( − 7 ) − 4 7 ± 49 + 72 7 ± 121 7 ± 11  2 2 = x − 7 x − 18 = 0 ⇒ x = = = = 2 2 2 2 ⋅1  x = 7 − 11 ⇒ x = −2  2 2º) Factorización: x 2 − 7 x − 18 = ( x − 9)( x + 2)

Raíces = {9,−2}

c) 3x 2 − 6 x − 9 1º) Extraemos factor común 3 ⇒ 3x 2 − 6 x − 9 = 3( x 2 − 2 x − 3) 2º) Hallamos las raíces del polinomio ( x 2 − 2 x − 3)

2+4  x= ⇒ x=3 2  ⋅ − 2 ± ( − 2 ) − 4 ⋅ 1 ( 3 ) 2 ± 4 + 12 2 ± 16 2 ± 4  2 2 = = = = x − 2x − 3 = 0 ⇒ x = ⇒ 2 ⋅1 2 2 2  x = 2 − 4 ⇒ x = −1  2 2 ⇒ x − 2 x − 3 = ( x − 3)( x + 1) 3º) Factorización: 3 x 2 − 6 x − 9 = 3( x − 3)( x + 1)

Raíces = {3,−1}

d) 3x 2 − 5 x + 2 1º) Hallamos las raíces del polinomio

 x= 5 ± (−5) − 4 ⋅ 3 ⋅ 2 5 ± 25 − 24 5 ± 1 5 ± 1  2 = = = = 3x − 5 x + 2 = 0 ⇒ x = 6 6 6 2⋅3 x =  2

2  2º) Factorización: 3x 2 − 5 x + 2 = 3( x − 1) x −  3 

5 +1 ⇒ x =1 6 5 −1 4 2 = ⇒x= 6 6 3

 2 Raíces = 1 ,   3 2

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e)

TEMA 3: POLINOMIOSS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS 4º ESO Matemáticas B

2x 2 + x + 3

1º) Hallamos las raíces del polinomio 2x 2 + x + 3 = 0 ⇒ x =

− 1 ± (1) 2 − 4 ⋅ 2 ⋅ 3 − 1 ± 1 − 24 − 1 ± − 23 tie solución real = = = no tiene 4 4 2⋅2

reducible 2º) Factorización: (2 x 2 + x + 3) es irred

f)

x 2 + x − 20

1º) Hallamos las raíces del polinomio

−1+ 9  ⇒x=4 x= 2  − 1 ± ( 1 ) − 4 ⋅ 1 ⋅ − ( 20 ) − 1 ± 1 + 80 − 1 ± 81 − 1 ± 9  2 2 = x + x − 20 = 0 ⇒ x = = = = 2 ⋅1 2 2 2  x = − 1 − 9 ⇒ x = −5  2 2 Raíces = {4,−5} 2º) Factorización: x + x − 20 = ( x − 4)( x + 5) g) 6 x 2 + x − 1 1º) Hallamos las raíces del polinomio

4 1  ⇒x= x=  − 1 ± (1) − 4 ⋅ 6 ⋅ (−1) − 1 ± 1 + 24 − 1 ± 25 − 1 ± 5  12 3 = = = = 6x 2 + x − 1 = 0 ⇒ x = 12 12 12 2⋅6 x = − 6 ⇒ x = − 1  12 2 2

1 1   2º) Factorización: 6 x 2 + x − 1 = 6 x −  x +  2 3  

1 1 Raíces =  , −  2 3

h) 2 x 2 − 7 x − 15 1º) Hallamos las raíces del polinomio

7 ± (−7) − 4 ⋅ 2 ⋅ (−15) = 2⋅2 2

2 x 2 − 7 x − 15 = 0 ⇒ x =

3  2º) Factorización: 2 x 2 − 7 x − 15 = 2( x − 5) x +  2 

 x= 7 ± 49 + 120 7 ± 169 7 ± 13  = = = 4 4 4 x =  3  Raíces = 5 , −  2 

20 ⇒ x=5 4 3 −6 ⇒x=− 4 2

3

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i)

TEMA 3: POLINOMIOSS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS 4º ESO Matemáticas B

− 2x 4 + 6 x 3 + 8x 2

1º) Extraemos factor común − 2x 2 − 2 x 4 + 6 x 3 + 8 x 2 = − 2 x 2 ( x 2 − 3 x − 4) 2º) Hallamos las raíces y factorizamoss el e polinomio ( x 2 − 3 x − 4)

3+5  x= ⇒x=4 2  ⋅ − 3 ± ( − 3 ) − 4 ⋅ 1 ( 4 ) ± + ± ± 3 9 16 3 25 3 5  2 2 x − 3x − 4 = 0 ⇒ x = = = = = ⇒ 3 − 5 2 ⋅1 2 2 2 x = ⇒ x = −1  2 ⇒ x 2 − 3 x − 4 = ( x − 4)( x + 1) 3º) Factorización: − 2 x 4 + 6 x 3 + 8 x 2 = −2 x 2 ( x 2 − 3 x − 4) = −2 x 2 ( x − 4)( x + 1)

j)

R Raíces = {0 (doble), 4,−1}

3x 3 − 11x 2 − 4 x

1º) Extraemos factor común “ x ” 3 x 3 − 11x 2 − 4 x = x(3 x 2 − 11x − 4) 2º) Hallamos las raíces y factorizamoss el e polinomio (3 x 2 − 11x − 4)

3x 2 − 11x − 4 = 0 ⇒ x =

11 ± (−11) 2 − 4 ⋅ 3 ⋅ (−4) 11 ± 121 + 48 11 ± 169 = = = 2⋅3 6 6

11 + 13  ⇒x=4 x=  1 11 ± 13  6  = = ⇒ 3x 2 − 11x − 4 = 3( x − 4) x +  3 6   x = 11 − 13 ⇒ x = − 1  6 3

1 1   3º) Factorización: 3x 3 − 11x 2 − 4 x = x(3x 2 − 11x − 4) = x ⋅ 3 ⋅ ( x − 4) x +  = 3x( x − 4) x +  3 3   1  Raíces = 0,4 , −  3 

k) − 6 x 5 − 39x 4 − 45x 3 1º) Extraemos factor común “ − 3x 3 ” − 6 x 5 − 39 x 4 − 45 x 3 = −3 x 3 (2 x 2 + 13x + 15)

4

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TEMA 3: POLINOMIOSS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS 4º ESO Matemáticas B

2º) Hallamos las raíces y factorizamoss el e polinomio (2 x 2 + 13 x + 15)

− 13 ± (13) 2 − 4 ⋅ (2) ⋅ (15) − 13 ± 169 − 120 − 13 ± 49 2 x + 13x + 15 = 0 ⇒ x = = = = 2⋅2 4 4 − 13 + 7 3  x= ⇒x=−  3 − 13 ± 7  4 2  = = ⇒ 2 x 2 + 13x + 15 = 2( x + 5) x +  2 4   x = − 13 − 7 ⇒ x = −5  4 2

3 3   3º) Factorización: − 6 x 5 − 39 x 4 − 45 x 3 = −3x 3 (2 x 2 + 13x + 15) = −3x 3 ⋅ 2 ⋅ ( x + 5) x +  = −6 x 3 ( x + 5) x +  2 2  

3  Raíces = 0 (triple), − 5 , −  2 

l)

1 3 1 2 6 x + x − x 7 7 7

1 1º) Extraemos factor común “ x ” 7 1 3 1 2 6 1 x + x − x = x( x 2 + x − 6) 7 7 7 7 2º) Hallamos las raíces y factorizamoss el e polinomio ( x 2 + x − 6)

−1+ 5  x= ⇒x=2  − 1 ± (1) − 4 ⋅ 1 ⋅ (−6) − 1 ± 1 + 24 − 1 ± 25 − 1 ± 5  2 2 ⇒ x + x−6 = 0⇒ x = = = = = 2 ⋅1 2 2 2  x = − 1 − 5 ⇒ x = −3  2 ⇒ x 2 + x − 6 = ( x − 2)( x + 3) 2

3º) Factorización:

1 3 1 2 6 1 1 x + x − x = x( x 2 + x − 6) = x( x − 2)( x + 3) 7 7 7 7 7

Raíces = {0, 2,−3}

5

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TEMA 3: POLINOMIOSS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS 4º ESO Matemáticas B

3. Factoriza los siguientes polinomio ios: a)

x 3 − 3x 2 − 6 x + 8 Posibles raíces enteras = {divisores res de 8} = {±1, ± 2,±4,±8}

1

−3

−6

+8

1

−2 −5

+ 10 +4

−8 0

−2

⇒ −2 es raíz ⇒ ( x + 2) es factor y P( x) = ( x + 2) ⋅ ( x 2 − 5 x + 4) polinomio de 2º grado

f ( x 2 − 5 x + 4) (en caso de que las la tenga, porque podría ser Finalmente, para buscar las raíces y factorizar irreducible) resolvemos la ecuación dee 2º 2 grado:  x= 5 ± 25 − 16 5 ± 3  2 x − 5x + 4 = 0 ⇒ x = = = 2 2 x = 

8 =4 2 2 =1 2

⇒ x 2 − 5 x + 4 = ( x − 4)( x − 1)

Luego, el proceso que hemos seguidoo ha h sido, x 3 − 3 x 2 − 6 x + 8 = ( x + 2) ⋅ ( x 2 − 5 x + 4) = ( x + 2) ⋅ ( x − 4) ⋅ ( x − 1)

SOLUCIÓN

P( x) = ( x + 2)( x − 4)( x − 1) Raíces = {−2,4,1} b) x 3 − 6 x 2 + 5x + 12 Posibles raíces enteras = {divisores res de 12} = {±1, ± 2,±3,±4,±6,±12}

1

−6

+5

+ 12

1

−1 −7

+7 + 12

− 12 0

−1

⇒ −1 es raíz ⇒ ( x + 1) es factor y P( x) = ( x + 1) ⋅ ( x 2 − 7 x + 12) polinomio de 2º grado

Finalmente, para buscar las raíces y factorizar f ( x 2 − 7 x + 12) (en caso de que las la tenga, porque podría ser irreducible) resolvemos la ecuación dee 2º 2 grado:

6

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TEMA 3: POLINOMIOSS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS 4º ESO Matemáticas B

  x = 48 7 1 7 ± 49 − ± 2 x − 7 x + 12 = 0 ⇒ x = = = 2 2 x = 

8 =4 2 6 =3 2

⇒ x 2 − 7 x + 12 = ( x − 4)( x − 3)

Luego, el proceso que hemos seguidoo ha h sido, x 3 − 6 x 2 + 5 x + 12 = ( x + 1) ⋅ ( x 2 − 7 x + 12) = ( x + 1) ⋅ ( x − 4) ⋅ ( x − 3)

SOLUCIÓN

P( x) = ( x + 1)( x − 4)( x − 3) Raíces = {−1,4,3}

c)

x 3 + 4 x 2 − 3x − 18 Posibles raíces enteras = {divisores res de – 18} = {±1, ± 2,±3,±6,±9,±18}

1

+4

−3

− 18

1

+2 +6

+ 12 +9

+ 18 0

2

⇒ 2 es raíz ⇒ ( x − 2) es factor y P( x) = ( x − 2) ⋅ ( x 2 + 6 x + 9) polinomio de 2º grado

f ( x 2 + 6 x + 9) (en caso de que las la tenga, porque podría ser Finalmente, para buscar las raíces y factorizar irreducible) resolvemos la ecuación dee 2º 2 grado:  x= − 6 ± 36 − 36 − 6 ± 0  2 x + 6x + 9 = 0 ⇒ x = = = 2 2 x = 

−6 = −3 2 −6 = −3 2

⇒ x 2 + 6 x + 9 = ( x + 3) 2

Para factorizar ( x 2 + 6 x + 9) también po podemos utilizar las identidades notables: x 2 + 6 x + 9 = ( x + 3) 2

h sido, Luego, el proceso que hemos seguidoo ha x 3 + 4 x 2 − 3 x − 18 = ( x − 2) ⋅ ( x 2 + 6 x + 9) = ( x − 2) ⋅ ( x + 3) 2

SOLUCIÓN P( x) = ( x − 2)( x + 3) 2

Raíces = {2,−3 (doble)}

7

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TEMA 3: POLINOMIOSS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS 4º ESO Matemáticas B

d) 2 x 3 + 3x 2 − 11x − 6 Posibles raíces enteras = {divisores res de − 6 } = {±1, ± 2,±3,±6}

2

+3

− 11

−6

2

+4 +7

+ 14 +3

+6 0

2

⇒ 2 es raíz ⇒ ( x − 2) es factor y P( x) = ( x − 2) ⋅ (2 x 2 + 7 x + 3) polinomio de 2º grado

Finalmente, para buscar las raíces y factorizar f ( 2 x 2 + 7 x + 3) (en caso de que las la tenga, porque podría ser irreducible) resolvemos la ecuación dee 2º 2 grado:  x= − 7 ± 49 − 24 − 7 ± 5  2 2x + 7x + 3 = 0 ⇒ x = = = 4 4 x = 

1 −2 =− 4 2 − 12 = −3 4

1  ⇒ 2 x 2 + 7 x + 3 = 2( x + 3) x +  2 

Luego, el proceso que hemos seguido ha h sido, 1 1   2 x 3 + 3 x 2 − 11x − 6 = ( x − 2) ⋅ ( 2 x 2 + 7 x + 3) = ( x − 2) ⋅ 2( x + 3) x +  = 2( x − 2)( x + 3) x +  2 2  

SOLUCIÓN 1  P ( x) = 2( x − 2)( x + 3) x +  2  1  Raíces = 2,−3,−  2 

e)

x 3 + 3x 2 − 4 x − 12

Posibles raíces enteras = {divisores de – 12}= {±1, ± 2,±3,±4,±6,±12}

1

+3

−4

− 12

1

+2 +5

+ 10 +6

+ 12 0

2

⇒ 2 es raíz ⇒ ( x − 2) es factor y P( x) = ( x − 2) ⋅ ( x 2 + 5 x + 6) polinomio de 2º grado

Finalmente, para buscar las raíces y factorizar f ( x 2 + 5 x + 6) (en caso de que las la tenga, porque podría ser irreducible) resolvemos la ecuación dee 2º 2 grado:

8

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TEMA 3: POLINOMIOSS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS 4º ESO Matemáticas B

  x = 5 1 − ± − 5 25 24 − ± 2 = x + 5x + 6 = 0 ⇒ x = = 2 2 x = 

−4 = −2 2 −6 = −3 2

⇒ x 2 + 5 x + 6 = ( x + 2)( x + 3)

Luego, el proceso que hemos seguidoo ha h sido, x 3 + 3 x 2 − 4 x − 12 = ( x − 2) ⋅ ( x 2 + 5 x + 6) = ( x − 2)( x + 2)( x + 3)

SOLUCIÓN

P( x) = ( x − 2)( x + 2)( x + 3) Raíces = {2,−2,−3}

f)

3x 3 + 9 x 2 − 6 x − 18

Sacamos factor común “3” → 3( x 3 + 3 x 2 − 2 x − 6) Ahora continuamos factorizando el poli olinomio P( x) = x 3 + 3 x 2 − 2 x − 6 Posibles raíces enteras = {divisores dee – 6} = {±1, ± 2,±3,±6}

1

+3

−2

−6

1

−3 0

0 −2

+6 0

−3

⇒ −3 es raíz ⇒ ( x + 3) es factor y P( x) = ( x + 3) ⋅ ( x 2 − 2) polinomio de 2º grado

Finalmente, para factorizar ( x 2 − 2) utilizamos uti las identidades notables, en concreto eto, ( A − B)( A + B) = A 2 − B 2

( x 2 − 2) = ( x − 2 )( x + 2 )

Luego, el proceso que hemos seguidoo ha h sido,

3x 3 + 6 x 2 − 6 x − 18 = 3( x 3 + 3x 2 − 2 x − 6) = 3( x + 3)( x 2 − 2) = 3( x + 3)( x − 2 )( x + 2 )

SOLUCIÓN P ( x ) = 3( x + 3)( x − 2 )( x + 2 ) Raíces = {−3, 2 ,− 2}

9

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TEMA 3: POLINOMIOSS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS 4º ESO Matemáticas B

g) 2 x 3 − 3x 2 − 23x + 12 Posibles raíces enteras = {divisores dee 12} = {±1, ± 2,±3,±4,±6,±12}

2

−3

− 23

+ 12

2

−6 −9

+ 27 +4

− 12 0

−3

⇒ −3 es raíz ⇒ ( x + 3) es factor y P( x) = ( x + 3) ⋅ (2 x 2 − 9 x + 4) polinomio de 2º grado

Finalmente, para buscar las raíces y factorizar f ( 2 x − 9 x + 4) (en caso de que las la tenga, porque podría ser 2

irreducible) resolvemos la ecuación dee 2º 2 grado: 16  = =4 x 9 ± 81 − 32 9 ± 7  4 2 = 2x − 9x + 4 = 0 ⇒ x = = 4 4 x = 2 = 1  4 2

1  ⇒ 2 x 2 − 9 x + 4 = 2 ( x − 4 ) x −  2 

Luego, el proceso que hemos seguido ha h sido, 1 1   2 x 3 − 3 x 2 − 23 x + 12 = ( x + 3) ⋅ ( 2 x 2 − 9 x + 4) = ( x + 3) ⋅ 2( x − 4) x −  = 2( x + 3)( x − 4) x −  2 2  

SOLUCIÓN 1  P ( x) = 2( x + 3)( x − 4) x −  2  1  Raíces = − 3,4,  2 

h) 6 x 3 + 23x 2 − 38x − 15 Posibles raíces enteras = {divisores dee – 15} = {±1,±3,±5,±15}

6

+ 23

− 38

− 15

6

− 30 −7

+ 35 −3

+ 15 0

−5

⇒ −5 es raíz ⇒ ( x + 5) es factor y P( x) = ( x + 5) ⋅ (6 x 2 − 7 x − 3) polinomio de 2º grado

Finalmente, para buscar las raíces y factorizar f (6 x 2 − 7 x − 3) (en caso de que las la tenga, porque podría ser irreducible) resolvemos la ecuación dee 2º 2 grado: 18 3  x= =  7 121 7 11 ± ± 7 ± 49 + 72   12 2 = = = ⇒ 6 x 2 − 7 x − 3 = 6 x − 6x 2 − 7 x − 3 = 0 ⇒ x = 12 12 12  x = − 4 = − 1  12 3

3  1  x +  2  3

10

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TEMA 3: POLINOMIOSS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS 4º ESO Matemáticas B

Luego, el proceso que hemos seguido ha h sido, 3  1 3  1   6 x 3 + 23 x 2 − 38 x − 15 = ( x + 5) ⋅ (6 x 2 − 7 x − 3) = ( x + 5) ⋅ 6 x −  x +  = 6( x + 5) x −  x +  2  3 2  3  

SOLUCIÓN 3  1  P ( x ) = 6( x + 5) x −  x +  2  3  3 1  Raíces = − 5, ,−  2 3 

x 4 + x 3 + 5x 2 − x − 6

i)

Posibles raíces enteras = {divisores dee – 6} = {±1, ± 2,±3,±6}

1

1 1

−1 1

+1

+5

−1

−6

+1

+2

+7

+6

+2

+7

+6

0

−1

−1

−6

+1

+6

0

⇒ 1 es raíz ⇒ ( x − 1) es factor y P( x) = ( x − 1) ⋅ ( x 3 + 2 x 2 + 7 x + 6)

⇒ −1 es raíz ⇒ ( x + 1) es factor y P( x) = ( x − 1) ⋅ ( x + 1) ⋅ ( x 2 + x + 6) polinomio de 2º grado

Finalmente, para buscar las raíces y factorizar ( x 2 + x + 6) (en caso de que las tenga, porque podría ser irreducible) resolvemos la ecuación dee 2º 2 grado: x2 + x + 6 = 0 ⇒ x =

− 1 ± 1 − 24 − 1 ± − 23 ⇒ no tiene solución real ⇒ ( x 2 + x + 6) es irreducible = 2 2

Luego, el proceso que hemos seguido ha h sido,

x 4 + x 3 + 5 x 2 − x − 6 = ( x − 1) ⋅ ( x 3 + 2 x 2 + 7 x + 6) = ( x − 1)( x + 1)( x 2 + x + 6) SOLUCIÓN P( x) = ( x − 1)( x + 1)( x 2 + x + 6) Raíces = {1,−1}

11

IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas

TEMA 3: POLINOMIOSS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS 4º ESO Matemáticas B

x 4 − x 3 − 11x 2 + 9 x + 18

j)

Posibles raíces enteras = {divisores dee 118} = {±1, ± 2,±3,±6,±9,±18}

1

−1 1

2 1

−1

− 11

+9

+ 18

−1

+2

+9

− 18 0

−2

−9

+ 18

+2

0

− 18

0

−9

⇒ −1 es raíz ⇒ ( x + 1) es factor y P( x) = ( x + 1) ⋅ ( x 3 − 2 x 2 − 9 x + 18)

⇒ 2 es raíz ⇒ ( x − 2) es factor y P( x) = ( x + 1) ⋅ ( x − 2) ⋅ ( x 2 − 9)

0

polinomio de 2º grado

Finalmente, para factorizar ( x 2 − 9) utilizamos uti las identidades notables, en concreto eto, ( A − B)( A + B) = A 2 − B 2 ( x 2 − 9) = ( x − 3)( x + 3) h sido, Luego, el proceso que hemos seguidoo ha x 4 − x 3 − 11x 2 + 9 x + 18 = ( x + 1) ⋅ ( x 3 − 2 x 2 − 9 x + 18) = ( x + 1)( x − 2)( x 2 − 9) = ( x + 1)( x − 2)( x − 3)( x + 3) SOLUCIÓN

P( x) = ( x + 1)( x − 2)( x − 3)( x + 3) Raíces = {−1,2,3,−3}

k) x 4 + x 3 − 5 x 2 + x − 6 Posibles raíces enteras = {divisores dee – 6} = {±1, ± 2,±3,±6}

1

2 1

−3 1

+1

−5

+1

−6

+2

+6

+2

+6

+3

0

+3

+1

−3

0

−3

0

+1

0

⇒ 2 es raíz ⇒ ( x − 2) es factor y P( x) = ( x − 2) ⋅ ( x 3 + 3 x 2 + x + 3)

⇒ −3 es raíz ⇒ ( x + 3) es factor y P( x) = ( x − 2) ⋅ ( x + 3) ( x 2 + 1) polinomio de 2º grado

fac ( x 2 + 1) (en caso de que las tenga, porque po podría ser irreducible) Finalmente, para buscar las raíces y factorizar resolvemos la ecuación de 2º grado: x 2 + 1 = 0 ⇒ x 2 = −1 ⇒ x = − 1 ⇒ no tiene solución real ⇒ ( x 2 + 1) es irreducible

12

IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas

TEMA 3: POLINOMIOSS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS 4º ESO Matemáticas B

Luego, el proceso que hemos seguidoo ha h sido, x 4 + x 3 − 5 x 2 + x − 6 = ( x − 2)( x + 3)( x 2 + 1)

SOLUCIÓN P( x) = ( x − 2)( x + 3)( x 2 + 1) Raíces = {2,−3}

x 4 + x 3 − 9 x 2 + 11x − 4

l)

Posibles raíces enteras = {divisores dee – 4} = {±1, ± 2,±4}

+1

−9

+ 11

−4

+1

+2

−7

+4

+2

−7

+4

0

−4 1 −2

+8 +1

−4 0

1

1 1 −4

⇒ 1 es raíz ⇒ ( x − 1) es factor y P( x) = ( x − 1) ⋅ ( x 3 + 2 x 2 − 7 x + 4)

⇒ −4 es raíz ⇒ ( x + 4) es factor y P( x) = ( x − 1) ⋅ ( x + 4) ⋅ ( x 2 − 2 x + 1) polinomio de 2º grado

Finalmente, para buscar las raíces y factorizar ( x 2 − 2 x + 1) (en caso de que las la tenga, porque podría ser irreducible) resolvemos la ecuación dee 2º 2 grado: x = 1 2± 4−4 2± 0 2±0  = = = x − 2x + 1 = 0 ⇒ x = ⇒ x 2 − 2 x + 1 = ( x − 1) 2 2 2 2 x = 1  2

Para factorizar ( x 2 − 2 x + 1) también po podemos utilizar las identidades notables: x 2 − 2 x + 1 = ( x − 1) 2

Luego, el proceso que hemos seguidoo ha h sido,

x 4 + x 3 − 9 x 2 + 11x − 4 = ( x − 1)( x 3 + 2 x 2 − 7 x + 4) = ( x − 1)( x + 4)( x 2 − 2 x + 1) = ( x − 1)( x + 4)( x − 1) 2 = = ( x − 1) 3 ( x + 4)

SOLUCIÓN P( x) = ( x − 1) 3 ( x + 4) Raíces = {1 (triple),−4}

13

IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas

TEMA 3: POLINOMIOSS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS 4º ESO Matemáticas B

m) 2 x 4 − 12x 3 + 6 x 2 + 20x 1º) Extraemos “2x” factor común y tene enemos: P( x) = 2 x 4 − 12 x 3 + 6 x 2 + 20 x = 2 x ⋅ ( x 3 − 6 x 2 + 3 x + 10) 2º) Ahora tenemos que factorizar el pol olinomio Q( x) = ( x 3 − 6 x 2 + 3 x + 10) Posibles raíces enteras = {divisoress de d 10}= {±1, ± 2,±5,±10}

1

−6

+3

+ 10

1

+5 −1

−5 −2

− 10 0

5

⇒ 5 es raíz ⇒ ( x − 5) es factor y Q( x) = ( x − 5) ⋅ ( x 2 − x − 2) polinomio de 2º grado

Finalmente, para buscar las raíces y factorizar ( x 2 − x − 2) (en caso de que las tenga, porque podría ser irreducible) resolvemos la ecuación dee 2º 2 grado:  x= 1 ± 1 + 8 1 ± 9 1 ± 3  2 x −x−2=0⇒ x = = = = 2 2 2 x = 

4 =2 2 ⇒ x 2 − x − 2 = ( x − 2)( x + 1) −2 = −1 2

Luego, Q( x) = ( x 3 − 6 x 2 + 3 x + 10) = ( x − 5)( x − 2)( x + 1)

3º) Por tanto, 2 x 4 − 12 x 3 + 6 x 2 + 20 x = 2 x( x 3 − 6 x 2 + 3 x + 10) = 2 x( x − 5)( x − 2)( x + 1)

SOLUCIÓN

P( x) = 2 x( x − 5)( x − 2)( x + 1) Raíces = {0,5,2,−1}

n) − 2 x 5 − 2 x 4 + 2 x 3 + 2 x 2 1º) Extraemos “ − 2x 2 ” factor común y tenemos: P( x) = −2 x 5 − 2 x 4 + 2 x 3 + 2 x 2 = −2 x 2 ⋅ ( x 3 + x 2 − x − 1) 2º) Ahora tenemos que factorizar el pol olinomio Q( x) = ( x 3 + x 2 − x − 1) . Posibles raíces enteras = {divisoress de d – 1}= {±1}

14

IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas

1

+1

−1

−1

1

+1 +2

+2 +1

+1 0

1

TEMA 3: POLINOMIOSS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS 4º ESO Matemáticas B

⇒ 1 es raíz ⇒ ( x − 1) es factor y Q( x) = ( x − 1) ⋅ ( x 2 + 2 x + 1) polinomio de 2º grado

Finalmente, para buscar las raíces y factorizar ( x 2 + 2 x + 1) (en caso de que las la tenga, porque podría ser irreducible) resolvemos la ecuación dee 2º 2 grado: −2  = −1 x=  −2± 4−4 −2± 0 −2±0  2 2 = = x + 2x + 1 = 0 ⇒ x = = ⇒ x 2 + 2 x + 1 = ( x + 1)( x + 1) = ( x + 1) 2 2 2 2  x = − 2 = −1  2 2 Otra forma de factorizar ( x + 2 x + 1) es e darnos cuenta que es una identidad notable le x 2 + 2 x + 1 = ( x + 1) 2

Luego, Q( x) = ( x 3 + x 2 − x − 1) = ( x − 1)( x + 1) 2

3º) Por tanto, − 2 x 5 − 2 x 4 + 2 x 3 + 2 x 2 = −2 x 2 ( x 3 + x 2 − x − 1) = −2 x 2 ( x − 1)( x + 1) 2

SOLUCIÓN P( x) = −2 x 2 ( x − 1)( x + 1) 2

Raíces = {0 (doble), 1, − 1 (doble) }

1 6 11 6 o) − x 4 − x 3 − x 2 − x 5 5 5 5 1 1º) Extraemos “ − x ” factor común y tenemos: 5 1 6 11 6 1 P( x) = − x 4 − x 3 − x 2 − x = − x ⋅ ( x 3 + 6 x 2 + 11x + 6) 5 5 5 5 5

2º) Ahora tenemos que factorizar el pol olinomio Q( x) = ( x 3 + 6 x 2 + 11x + 6) . Posibles raíces enteras = {divisores dee 6} = {±1, ± 2,±3,±6}

15

IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas

1

+6

+ 11

+6

1

−1 +5

−5 +6

−6 0

−1

TEMA 3: POLINOMIOSS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS 4º ESO Matemáticas B

⇒ −1 es raíz ⇒ ( x + 1) es factor y Q( x) = ( x + 1) ⋅ ( x 2 + 5 x + 6) polinomio de 2º grado

Finalmente, para buscar las raíces y factorizar f ( x + 5 x + 6) (en caso de que las la tenga, porque podría ser 2

irreducible) resolvemos la ecuación dee 2º 2 grado:  x= − 5 ± 25 − 24 − 5 ± 1 − 5 ± 1  2 = x + 5x + 6 = 0 ⇒ x = = = 2 2 2 x = 

−4 = −2 2 ⇒ x 2 + 5 x + 6 = ( x + 2)( x + 3) −6 = −3 2

Luego, Q( x) = ( x 3 + 6 x 2 + 11x + 6) = ( x + 1)( x + 2)( x + 3)

3º) Por tanto,

1 6 11 6 1 1 − x 4 − x 3 − x 2 − x = − x( x 3 + 6 x 2 + 11x + 6) = − x( x + 1)( x + 2)( x + 3) 5 5 5 5 5 5

SOLUCIÓN

1 P( x) = − x( x + 1)( x + 2)( x + 3) 5

Raíces = {0,−1,−2,−3}

p) x 5 − 10 x 4 + 31x 3 − 30 x 2 tenemos: P( x) = x 5 − 10 x 4 + 31x 3 − 30 x 2 = x 2 ⋅ ( x 3 − 10 x 2 + 31x − 30) 1º) Extraemos “ x 2 ” factor común y ten 2º) Ahora tenemos que factorizar el pol olinomio Q( x) = ( x 3 − 10 x 2 + 31x − 30) Posibles raíces enteras = {divisoress de d – 30}= {±1,±2,±3,±5,±6,±10,±15,±30}

1

−10

+ 31

− 30

1

+5 −5

− 25 +6

+ 30 0

5

⇒ 5 es raíz ⇒ ( x − 5) es factor y Q( x) = ( x − 5) ⋅ ( x 2 − 5 x + 6) polinomio de 2º grado

Finalmente, para buscar las raíces y factorizar f ( x 2 − 5 x + 6) (en caso de que las la tenga, porque podría ser irreducible) resolvemos la ecuación dee 2º 2 grado:

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IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas

TEMA 3: POLINOMIOSS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS 4º ESO Matemáticas B

  x = ± ± ± − 1 5 1 5 5 25 24 2 = = x − 5x + 6 = 0 ⇒ x = = 2 2 2 x = 

6 =3 2 ⇒ x 2 − 5 x + 6 = ( x − 2)( x − 3) 4 =2 2

Luego, Q( x) = ( x 3 − 10 x 2 + 31x − 30) = ( x − 5)( x − 2)( x − 3)

3º) Por tanto, x 5 − 10 x 4 + 31x 3 − 30 x 2 = x 2 ( x 3 − 10 x 2 + 31x − 30) = x 2 ( x − 5)( x − 2)( x − 3)

SOLUCIÓN P( x) = x 2 ( x − 5)( x − 2)( x − 3)

Raíces = {0 (doble), 5, 2, 3}

q) x 6 + 2 x 5 − 13x 4 − 14 x 3 + 24 x 2 tenemos: 1º) Extraemos “ x 2 ” factor común y ten P( x) = x 6 + 2 x 5 − 13 x 4 − 14 x 3 + 24 x 2 = x 2 ⋅ ( x 4 + 2 x 3 − 13 x 2 − 14 x + 24)

2º) Ahora tenemos que factorizar el pol olinomio Q( x) = ( x 4 + 2 x 3 − 13 x 2 − 14 x + 24) Posibles raíces enteras = {divisoress de d 24}= {±1, ± 2,±3,±4,±6,±8,±12,±24}

+2

− 13

− 14

+ 24

+1

+3

− 10

− 24

1

+3

− 10

− 24

0

1

−4 −1

+4 −6

+ 24 0

1

1 −4

⇒ 1 es raíz ⇒ ( x − 1) es factor y Q( x) = ( x − 1) ⋅ ( x 3 + 3 x 2 − 10 x − 24)

⇒ −4 es raíz ⇒ ( x + 4) es factor y Q( x) = ( x − 1) ⋅ ( x + 4) ⋅ ( x 2 − x − 6) polinomio de 2º grado

Finalmente, para buscar las raíces y factorizar ( x − x − 6) (en caso de que las la tenga, porque podría ser 2

irreducible) resolvemos la ecuación dee 2º 2 grado: x = 3 1 ± 1 + 24 1 ± 25 1 ± 5  ⇒ x 2 − x − 6 = ( x − 3)( x + 2) x − x−6=0⇒ x = = = = 2 2 2  x = −2  2

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IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas

TEMA 3: POLINOMIOSS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS 4º ESO Matemáticas B

Luego, el proceso que hemos seguidoo ha h sido,

x 6 + 2 x 5 − 13x 4 − 14 x 3 + 24 x 2 = x 2 ( x 4 + 2 x 3 − 13x 2 − 14 x + 24) = x 2 ( x − 1)( x 3 + 3x 2 − 10 x − 24) = = x 2 ( x − 1)( x + 4)( x 2 − x − 6) = x 2 ( x − 1)( x + 4)( x − 3)( x + 2) SOLUCIÓN P( x) = x 2 ( x − 1)( x + 4)( x − 3)( x + 2) Raíces = {0 (doble) ,1,−4, 3,−2}

4 x 6 + 28x 5 + 63x 4 + 41x 3 − 16 x 2 − 12x

r)

1º) Extraemos “ x ” factor común y tene enemos: P( x) = 4 x 6 + 28 x 5 + 63 x 4 + 41x 3 − 16 x 2 − 12 x = x ⋅ (4 x 5 + 28 x 4 + 63 x 3 + 41x 2 − 16 x − 12)

olinomio Q( x) = (4 x 5 + 28 x 4 + 63 x 3 + 41x 2 − 16 x − 12) 2º) Ahora tenemos que factorizar el pol Posibles raíces enteras = {divisoress de d – 12}= {±1, ± 2,±3,±4,±6,±12}

+ 28

+ 63

+ 41

− 16

− 12

−8

− 40

− 46

+ 10

+ 12

4

+ 20

+ 23

−5

−6

4

−8 + 12

− 24 −1

+2 −3

+6 0

4

− 12 0

0 −1

+3 0

4

−2 −2

−3

0

Luego, Q( x) = ( x + 2) 2 ⋅ ( x + 3) ⋅ (4 x 2 − 1) polinomi mio de 2º grad rado

Finalmente, para buscar las raíces y factorizar (4 x 2 − 1) (en caso de que las tenga, porque podría ser irreducible) resolvemos la ecuación dee 2º 2 grado: 4x 2 − 1 = 0 ⇒ x 2 =

1 1  1 1  ⇒ x = ± ⇒ 4 x 2 − 1 = 4 x −  x +  2 2  4 2 

1 1  1 1    Luego,Q( x) = ( x + 2) 2 ⋅ ( x + 3) ⋅ 4 x −  x +  = 4 x −  x + ( x + 2) 2 ( x + 3) 2 2  2  2  

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IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas

TEMA 3: POLINOMIOSS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS 4º ESO Matemáticas B

3º) Por tanto,

1  1  P( x) = x ⋅ Q( x) = 4 x x −  x + ( x + 2) 2 ( x + 3) 2  2  SOLUCIÓN

1  1  P( x) = 4 x x −  x + ( x + 2) 2 ( x + 3) 2  2   1 1  Raíces = 0, ,− ,−2(doble),−3  2 2 

x 6 + x 5 − 17 x 4 − 50x 3 − 65x 2 − 47 x − 15

s)

Posibles raíces enteras = {divisores dee − 15 } = {±1, ± 3,±5,±15}

+1

− 17

− 50

− 65

− 47

− 15

−1

0

+ 17

+ 33

+ 32

+ 15

0

− 17

− 33

− 32

− 15

0

−1

−1 1 −1

+1 − 16

+ 16 − 17

+ 17 − 15

+ 15 0

5

+5 +4

+ 20 +4

+ 20 +3

+ 15 0

−3

−3

−3

+1

0

1

−1 1

1

−3 1

+1

Luego, P( x) = ( x + 1) 2 ⋅ ( x − 5) ⋅ ( x + 3) ( x 2 + x + 1) polinomio de 2º grado

Finalmente, para buscar las raíces y factorizar ( x 2 + x + 1) (en caso de que las tenga, porque podría ser irreducible) resolvemos la ecuación dee 2º 2 grado: x2 + x +1 = 0 ⇒ x =

−1± 1− 4 −1± − 3 = ⇒ no tiene solución real ⇒ ( x 2 + x + 1) 1 es irreducible 2 2

SOLUCIÓN

P( x) = ( x + 1) 2 ( x − 5)( x + 3)( x 2 + x + 1) Raíces = {−1 (doble) ,5,−3}

19

IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas

TEMA 3: POLINOMIOSS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS 4º ESO Matemáticas B

5 x 7 + 30 x 6 + 25x 5 − 120 x 4 − 180 x 3

t)

1º) Extraemos “ 5x 3 ” factor común y te tenemos: P( x) = 5 x 7 + 30 x 6 + 25 2 x 5 − 120 x 4 − 180 x 3 = 5 x 3 ⋅ ( x 4 + 6 x 3 + 5 x 2 − 24 x − 36)

olinomio Q ( x) = ( x 4 + 6 x 3 + 5 x 2 − 24 x − 36) 2º) Ahora tenemos que factorizar el pol Posibles raíces enteras = {divisoress de d –36}= {±1, ± 2,±3,±4,±6,±9;±12,±18,±36}

+6

+5

− 24

− 36

+2

+ 16

+ 42

+ 36

1 +8

+ 21

+ 18

0

−2 1 +6

− 12 +9

− 18 0

1

2 −2

Luego, Q( x) = ( x − 2) ⋅ ( x + 2) ⋅ ( x 2 + 6 x + 9) polinom omio de 2º grado gr

Finalmente, factorizamos ( x 2 + 6 x + 9) . Se trata de una identidad notable, ( x 2 + 6 x + 9) = ( x + 3) 2 Luego, Q( x) = ( x − 2) ⋅ ( x + 2) ⋅ ( x + 3) 2

3º) Por tanto, P( x) = 5 x 3 ⋅ Q( x) = 5 x 3 ( x − 2)( x + 2)( x + 3) 2 SOLUCIÓN P( x) = 5 x 3 ( x − 2)( x + 2)( x + 3) 2 Raíces = {0 (triple) ,2,−2,−3 (doble)}

u) − 2 x 5 + 10x 4 − 12x 3 − 8 x 2 + 16x 1º) Extraemos “ − 2 x ” factor común y ttenemos: P( x) = −2 x 5 + 10 x 4 − 12 x 3 − 8 x 2 + 16 x = −2 x ⋅ ( x 4 − 5 x 3 + 6 x 2 + 4 x − 8)

2º) Ahora tenemos que factorizar el pol olinomio Q ( x ) = ( x 4 − 5 x 3 + 6 x 2 + 4 x − 8) Posibles raíces enteras = {divisoress de d – 8}= {±1, ± 2,±4,±8}

20

IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas

−5

+6

+4

−8

+2

−6

0

+8

−3

0

+4

0

+2 1 −1

−2 −2

−4 0

1

2 1

2

TEMA 3: POLINOMIOSS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS 4º ESO Matemáticas B

⇒ 2 es raíz ⇒ ( x − 2) es factor y Q( x) = ( x − 2) ⋅ ( x 3 − 3 x 2 + 4)

⇒ 2 es raíz ⇒ ( x − 2) es factor y Q( x) = ( x − 2) ⋅ ( x − 2) ⋅ ( x 2 − x − 2) polinomio de 2º grado

Finalmente, para buscar las raíces y factorizar ( x − x − 2) (en caso de que las la tenga, porque podría ser 2

irreducible) resolvemos la ecuación dee 2º 2 grado: x = 2 1± 1+ 8 1± 9 1± 3  x −x−2=0⇒ x = ⇒ x 2 − x − 2 = ( x − 2)( x + 1) = = = 2 2 2  x = −1  2

3º) Luego, el proceso que hemos seguid uido ha sido,

− 2 x 5 + 10 x 4 − 12 x 3 − 8 x 2 + 16 x = −2 x( x 4 − 5 x 3 + 6 x 2 + 4 x − 8) = −2 x( x − 2)( x 3 − 3x 2 + 4) = = −2 x( x − 2)( x − 2)( x 2 − x − 2) = −2 x( x − 2)( x − 2)( x − 2)( x + 1) = −2 x( x − 2) 3 ( x + 1)

SOLUCIÓN P ( x) = −2 x( x − 2) 3 ( x + 1) Raíces = {0,2 (triple) ,−1}

v) ( x 2 − 4) ⋅ ( x 2 + 4 x + 4) Los dos polinomios son identidades es notables.
x 2 − 4 = ( x − 2)( x + 2)
x 2 + 4 x + 4 = ( x + 2) 2 Por tanto, ( x 2 − 4) ⋅ ( x 2 + 4 x + 4) = ( x − 2)( x + 2)( x + 2) 2 = ( x − 2)( x + 2) 3

w) ( x 2 + 10 x + 25) ⋅ ( x 2 + 6 x − 7)
x 2 + 10 x + 25 = ( x + 5) 2
x 2 + 6x − 7 = 0 ⇒ x =

− 6 ± (6) 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ (−7) − 6 ± 36 + 28 − 6 ± 64 − 6 ± 8  x = 1 = = ⇒ = = 2 2 ⋅1 2 2  x = −7

⇒ x 2 + 6 x − 7 = ( x − 1)( x + 7)

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TEMA 3: POLINOMIOSS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS 4º ESO Matemáticas B

Por tanto, ( x 2 + 10 x + 25) ⋅ ( x 2 + 6 x − 7) = ( x + 5) 2 ( x − 1)( x + 7)

x) ( x 2 + 3x + 2) ⋅ ( x 2 − 3x + 4) − 3 ± (3) 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ (2) − 3 ± 9 − 8 − 3 ± 1 − 3 ± 1  x = −1 = ⇒ = = =
x + 3x + 2 = 0 ⇒ x = 2 ⋅1 2 2 2  x = −2 2

⇒ x 2 + 3 x + 2 = ( x + 1)( x + 2)


x 2 − 3x + 4 = 0 ⇒ x =

3 ± (−3) 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ ( 4) − 3 ± 9 − 16 = = no tiene soluc lución real ⇒ 2 2 ⋅1

⇒ ( x 2 − 3 x + 4) es irreducible

Por tanto, ( x 2 + 3 x + 2) ⋅ ( x 2 − 3 x + 4) = ( x + 1)( x + 2)( x 2 − 3 x + 4)

y) ( x 2 + 36) ⋅ ( x 2 + x + 1) Los dos polinomios son irreducible les

z)

(2 x − 4) ⋅ ( x 2 + 25) ⋅ (2 x 2 + 5 x − 3)
(2 x − 4) = 2( x − 2) 2
( x + 25) es irreducible


2 x + 5x − 3 = 0 ⇒ x = 2

− 5 ± (5) 2 − 4 ⋅ 2 ⋅ ( −3) 2⋅2

1  − 5 ± 25 + 24 − 5 ± 49 − 5 ± 7  x = 2 ⇒ = = = = 4 4 4  x = −3 

1  ⇒ 2 x 2 + 5 x − 3 = 2 x − ( x + 3) 2  Por tanto,

1 1   (2 x − 4) ⋅ ( x 2 + 25) ⋅ (2 x 2 + 5 x − 3) = 2 ⋅ ( x − 2) ⋅ ( x 2 + 25) ⋅ 2 ⋅  x −  ⋅ ( x + 3) = 4( x − 2) x − ( x + 3)( x 2 + 25) 2 2  

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TEMA 3: POLINOMIOSS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS 4º ESO Matemáticas B

4. Factoriza los siguientes polinom omios extrayendo factor común y/o con n ayuda a de las identidades notables: a)

x 2 − 16 x + 64 = ( x − 8) 2

b) 5 x 3 + 40 x 2 + 80 x = 5 x( x 2 + 8 x + 16) = 5 x( x + 4) 2 c)

x2 −

16  4  4  2  2 =  x −  x +  =  x −  x +  100  10  10   5  5

16  4  4   d) 9 x 2 − 16 = 9 x 2 −  = 9 x −  x +  9 3  3  

e) 5 x 4 − 80 x 2 = 5 x 2 ( x 2 − 16) = 5 x 2 ( x − 4)( x + 4) f)

− 2 x 3 − 24 x 2 − 72 x = −2 x ( x 2 + 12 x + 36) = −2 x ( x + 6) 2

g) 2 x 5 − 12 x 4 + 18 x 3 = 2 x 3 ( x 2 − 6 x + 9) = 2 x 3 ( x − 3) 2 h)

1 5 6 4 9 3 1 3 2 1 x − x + x = x ( x − 6 x + 9) = x 3 ( x − 3) 2 7 7 7 7 7

i)

x 4 − 4 = ( x 2 − 2)( x 2 + 2) = ( x − 2 )( x + 2 )( x 2 + 2)

j)

9 x 6 − 225 x 2 = 9 x 2 ( x 4 − 25) = 9 x 2 ( x 2 − 5)( x 2 + 5) = 9 x 2 ( x − 5 )( x + 5 )( x 2 + 5)

k) − 15 x 4 + 60 x 3 − 60 x 2 = −15 x 2 ( x 2 − 4 x + 4) = −15 x 2 ( x − 2) 2 l)

5 2 5 5 5 5 x − x + = ( x 2 − 2 x + 1) = ( x − 1) 2 4 2 4 4 4

m) 3 x 2 − 6 x + 3 = 3( x 2 − 2 x + 1) = 3( x − 1) 2 n) − 3 x 3 − 24 x 2 − 48 x = −3 x( x 2 + 8 x + 16) = −3 x( x + 4) 2 o) − 5 x 5 + 405 x = −5 x( x 4 − 81) = −5 x( x 2 − 9)( x 2 + 9) = −5 x( x − 3)( x + 3)( x 2 + 9) p) x 4 − 16 = ( x 2 − 4)( x 2 + 4) = ( x − 2)( x + 2)( x 2 + 4) q)

3 3 3 4 12 3 4 x − = ( x − 4) = ( x 2 − 2)( x 2 + 2) = ( x − 2 )( x + 2 )( x 2 + 2) 5 5 5 5 5

r)

− 5 x 5 + 320 x = −5 x ( x 4 − 64) = −5 x ( x 2 − 8)( x 2 + 8) = −5 x ( x − 8 )( x + 8 )( x 2 + 8)

s)

x 4 − 1 = ( x 2 − 1)( x 2 + 1) = ( x − 1)( x + 1)( x 2 + 1)

t)

x 8 − 256 = ( x 4 − 16)( x 4 + 16) = ( x 2 − 4)( x 2 + 4)( x 4 + 16) = ( x − 2)( x + 2)( x 2 + 4)( x 4 + 16)

u) 2 x 4 − 50 x 2 = 2 x 2 ( x 2 − 25) = 2 x 2 ( x − 5)( x + 5) v) − 5 x 4 − 50 x 3 − 125x 2 = −5 x 2 ( x 2 + 10 x + 25) = −5 x 2 ( x + 5) 2 w) 2 x 3 + 32 x = 2 x( x 2 + 16)

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TEMA 3: POLINOMIOSS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS 4º ESO Matemáticas B

5. Factoriza completamente los sigui guientes polinomios: a) ( x 2 − 16) ⋅ ( x 2 − 10 x + 25) ⋅ ( x 2 + 1) = ( x − 4)( x + 4)( x − 5) 2 ( x 2 + 1) Los dos primeros polinomios son id identidades notables y el tercero es irreducible ble b) ( x 2 − 5 x + 4) ⋅ (−2 x 3 + 2 x) =

5+3  =4 x= 2  − ⋅ ⋅ 5 ± ( 5 ) 4 1 ( 4 ) ± − ± ± 5 25 16 5 9 5 3  2 2 = = = = ⇒
x − 5x + 4 = 0 ⇒ x = − 5 3 2 2 2 2 ⋅1 x = =1  2 ⇒ x 2 − 5 x + 4 = ( x − 4)( x − 1)
− 2 x 3 + 2 x = −2 x( x 2 − 1) = −2 x( x − 1)( x + 1) Por tanto, ( x 2 − 5 x + 4) ⋅ (−2 x 3 + 2 x) = ( x − 4)( x − 1)(−2 x)( x − 1)( x + 1) = −2 x( x − 1) 2 ( x − 4)( x + 1)

c)

( x 2 − 1) ⋅ ( x 2 − 8 x + 16) ⋅ ( x 4 − 25) = ( x − 1)( x + 1)( x − 4) 2 ( x 2 − 5)( x 2 + 5) = = ( x − 1)( x + 1)( x − 4) 2 ( x − 5 )( x + 5 )( x 2 + 5)

Para factorizar los tres polinomioss utilizamos u las identidades notables. d) ( x 2 − 4) ⋅ ( x 2 + 4) ⋅ ( x 2 + 7 x − 8) =
x 2 − 4 = ( x − 2)( x + 2)
x 2 + 4 Es irreducible − 7 ± (7) 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ (−8) − 7 ± 49 + 32 − 7 ± 81 − 7 ± 9  x = 1 = =
x + 7x − 8 = 0 ⇒ x = ⇒ = = 2 ⋅1 2 2 2  x = −8 2

⇒ x 2 + 7 x − 8 = ( x − 1)( x + 8) Por tanto, ( x 2 − 4) ⋅ ( x 2 + 4) ⋅ ( x 2 + 7 x − 8) = ( x − 2)( x + 2)( x 2 + 4)( x − 1)( x + 8)

e)

( x 2 + 1) ⋅ ( x 2 − 6 x + 5) ⋅ ( x 2 − 6 x + 9) =


( x 2 + 1) es irreducible 6 ± (−6) 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ 5 6 ± 36 − 20 6 ± 16 6 ± 4  x = 5 = = =
x − 6x + 5 = 0 ⇒ x = = ⇒ 2 2 2 2 ⋅1 x = 1 2

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TEMA 3: POLINOMIOSS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS 4º ESO Matemáticas B

⇒ x 2 − 6 x + 5 = ( x − 1)( x − 5)
x 2 − 6 x + 9 = ( x − 3) 2 Identidad ad notable Por tanto, ( x 2 + 1) ⋅ ( x 2 − 6 x + 5) ⋅ ( x 2 − 6 x + 9) = ( x 2 + 1)( x − 1)( x − 5)( x − 3) 2

f)

(−3 x 5 + 75 x 3 ) ⋅ ( x 4 − 49) =
− 3 x 5 + 75 x 3 = −3 x 3 ( x 2 − 25) = −3 x 3 ( x − 5)( x + 5)
x 4 − 49 = ( x 2 − 7)( x 2 + 7) = ( x − 7 )( x + 7 )( x 2 + 7) Por tanto,

(−3x 5 + 75x 3 )( x 4 − 49) = −3x 3 ( x − 5)( x + 5)( x − 7 )( x + 7 )( x 2 + 7) g) (−4 x + 8) ⋅ ( x 2 + x + 1) ⋅ (25 − x 2 ) =
− 4 x + 8 = −4 ( x − 2 )
x 2 + x + 1 Es irreducible x2 + x +1 = 0 ⇒ x =

− 1 ± (1) 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ 1 − 1 ± 1 − 4 − 1 ± − 3 ⇒ no tien iene solución real = = 2 2 2 ⋅1


25 − x 2 = (5 − x)(5 + x) = −( x − 5)( x + 5) Por tanto, (−4 x + 8) ⋅ ( x 2 + x + 1) ⋅ (25 − x 2 ) = −4( x − 2)( x 2 + x + 1)[−( x − 5)( x + 5)] = 4( x − 2)( x 2 + x + 1)( x − 5)( x + 5) h) (16 − x 2 ) ⋅ ( x 4 − 16) ⋅ (5 − x 2 ) =
16 − x 2 = (4 − x)(4 + x) = −( x − 4)( x + 4)
x 4 − 16 = ( x 2 − 4)( x 2 + 4) = ( x − 2)( x + 2)( x 2 + 4)
5 − x 2 = ( 5 − x)( 5 + x) = −( x − 5 )( x + 5 ) Por tanto, (16 − x 2 ) ⋅ ( x 4 − 16) ⋅ (5 − x 2 ) = −( x − 4)( x + 4)( x − 2)( x + 2)( x 2 + 4)[−( x − 5 )( x + 5 )] = = ( x − 4)( x + 4)( x − 2)( x + 2)( x 2 + 4)( x − 5 )( x + 5 )

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i)

TEMA 3: POLINOMIOSS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS 4º ESO Matemáticas B

( x 2 − 14 x + 49) ⋅ (−3 x 2 + 6 x − 3) =
x 2 − 14 x + 49 = ( x − 7) 2
− 3 x 2 + 6 x − 3 = −3( x 2 − 2 x + 1) = −3( x − 1) 2 Por tanto, ( x 2 − 14 x + 49) ⋅ (−3 x 2 + 6 x − 3) = ( x − 7) 2 (−3)( x − 1) 2 = −3( x − 7) 2 ( x − 1) 2

j)

( x 2 − 5) ⋅ ( x 2 + 13x + 12) ⋅ (6 x + 6) =
x 2 − 5 = ( x − 5 )( x + 5 )

 x = −1 − 13 ± (13) 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ 12 − 13 ± 169 − 48 − 13 ± 11 1  ⇒ = = =
x + 13x + 12 = 0 ⇒ x = 2 ⋅1 2 2  x = −12  2

⇒ x 2 + 13 x + 12 = ( x + 1)( x + 12)


6 x + 6 = 6( x + 1) Por tanto, ( x 2 − 5) ⋅ ( x 2 + 13 x + 12) ⋅ (6 x + 6) = ( x − 5 )( x + 5 )( x + 1)( x + 12)6( x + 1) = 6( x − 5 )( x + 5 )( x + 1) 2 ( x + 12)

x 3 − a 3 = ( x − a)( x 2 + ax + a 2 ) con a ∈ ℜ +  3 3 2 2 x + a = ( x + a)( x − ax + a ) k) x 3 − 1 = ( x − 1)( x 2 + x + 1) l)

x 3 + 1 = ( x + 1)( x 2 − x + 1)

m) x 3 − 8 = ( x − 2)( x 2 + 2 x + 4) n) x 3 + 8 = ( x + 2)( x 2 − 2 x + 4) o)

x 3 − 2 = ( x − 3 2 )( x 2 + 3 2 x + 3 4 )

p) x 3 + 5 = ( x + 3 5 )( x 2 − 3 5 x + 3 25 ) q) x 6 − 1 = ( x 3 − 1)(x 3 + 1) = ( x − 1)( x 2 + x + 1)( x + 1)( x 2 − x + 1) r)

x 6 − 64 = ( x 3 − 8)( x 3 + 8) = ( x − 2)( x 2 + 2 x + 4)( x + 2)( x 2 − 2 x + 4)

s)

2 x 4 + 250 x = 2 x( x 3 + 125) = 2 x( x + 5)( x 2 − 5 x + 25)

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TEMA 3: POLINOMIOSS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS 4º ESO Matemáticas B

6. Halla el m.c.d. y el m.c.m. de: a) P( x) = ( x − 1) 2 ( x + 2) y Q (x) = ( x − 1)( x + 2)( x − 3) m.c.d . = ( x − 1)( x + 2)

m.c.m. = ( x − 1) 2 ( x + 2)( x − 3) b) P ( x ) = ( x − 1)( x + 2) y Q( x) = ( x − 1)( x − 2) 2 m.c.d . = ( x − 1)

m.c.m. = ( x − 1)( x + 2)( x − 2) 2 c) P( x) = 6( x + 3) 2 ( x 2 + 1) y Q(xx) = 10( x + 3) 2 ( x − 1) m.c.d . = 2( x + 3) 2 m.c.m. = 30( x + 3) 2 ( x 2 + 1)( x − 1) d) P( x) = −2( x + 5) 2 ( x + 3) Q(x) = 8( x + 5) 3 ( x + 3) 2 y R( x) = 12( x + 5) 2 ( x + 3)( x − 2) m.c.d . = 2( x + 5) 2 ( x + 3) m.c.m. = 24( x + 5) 3 ( x + 3) 2 ( x − 2) e) P ( x ) = ( x + 2)( x − 3) Q ( x ) = ( x + 2)( x + 3) y R ( x ) = ( x − 2)( x + 3)

m.c.d . = 1 m.c.m. = ( x + 2)( x − 2)( x − 3)( x + 3)

P( x) = x 2 − 1

f)

y Q( x) = x 2 + 5 x − 6


Factorizamos los polinomios: P( x) = x 2 − 1 = ( x − 1)( x + 1) Q( x) = x 2 + 5 x − 6 = ( x − 1)( x + 6)

x = 1 − 5 ± 25 + 24 − 5 ± 7  ⇒ x 2 + 5 x − 6 = ( x − 1)( ) x + 6) x + 5x − 6 = 0 ⇒ x = = = 2 2  x = −6  2


Por tanto, m.c.d . = ( x − 1) m.c.m. = ( x − 1)( x + 1)( x + 6) 27

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g) P( x) = x 2 + 7 x − 8

TEMA 3: POLINOMIOSS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS 4º ESO Matemáticas B

y Q( x ) = x 3 − 1


Factorizamos los polinomios: •

P( x) = x 2 + 7 x − 8 = ( x − 1)( x + 8)

x = 1 − 7 ± 49 + 32 − 7 ± 9  ⇒ x 2 + 7 x − 8 = ( x − 1)( ) x + 8) x + 7x − 8 = 0 ⇒ x = = = 2 2  x = −8  2

•

1 1

Q( x) = x 3 − 1 = ( x − 1)( x 2 + x + 1)

0

+1 1 +1

0

−1

+1 +1

+1 0

⇒ 1 es raíz ⇒ ( x − 1) es factor y Q( x) = ( x − 1) ⋅ ( x 2 + x + 1) 14243 po polinomio de 2º grado

x2 + x +1 = 0 ⇒ x =

−1± 1− 4 −1± − 3 = ⇒ no tiene solución real ⇒ x 2 + x + 1 es irreducible 2 2


Por tanto, m.c.d . = ( x − 1)

m.c.m. = ( x − 1)( x + 8)( x 2 + x + 1) h) P( x) = x 4 − 16

y Q( x) = x 2 − 4 x + 4


Factorizamos los polinomios: P( x) = x 4 − 16 = ( x 2 − 4)( x 2 + 4) = ( x − 2)( x + 2)( x 2 + 4) Q ( x ) = x 2 − 4 x + 4 = ( x − 2) 2
Por tanto, m.c.d . = ( x − 2)

m.c.m. = ( x − 2) 2 ( x + 2)( x 2 + 4)

i)

P( x) = x 3 + 1

y Q( x) = x 3 + 4 x 2 − 4 x + 5


Factorizamos los polinomios: •

P( x) = x 3 + 1 = ( x + 1)( x 2 − x + 1)

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0

0

+1

−1 1 −1

+1 +1

−1 0

1 −1

TEMA 3: POLINOMIOSS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS 4º ESO Matemáticas B

⇒ −1 es e raíz ⇒ ( x + 1) es factor y P( x) = ( x + 1) ⋅ ( x 2 − x + 1) 14243 polinomio de 2º grado

x2 − x +1 = 0 ⇒ x =

•

1± 1− 4 1± − 3 = ⇒ no tiene solución real ⇒ x 2 − x + 1 es e irreducible 2 2

Q( x) = x 3 + 4 x 2 − 4 x + 5 = ( x + 5)( x 2 − x + 1)

1

+4

−4

+5

1

−5 −1

+5 +1

−5 0

−5

⇒ −5 es raíz ⇒ ( x + 5) es factor y Q( x) = ( x + 5) ⋅ ( x 2 − x + 1) 14243 polinomio de 2º grado

x2 − x +1 = 0 ⇒ x =

1± 1− 4 1± − 3 = ⇒ no tiene solución real ⇒ x 2 − x + 1 es e irreducible 2 2


Por tanto, m.c.d . = x 2 − x + 1

m.c.m. = ( x + 5)( x + 1)( x 2 − x + 1)

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