Matemáticas Aplicadas a la Biología

Ejercicios Tema 1: Repaso de resultados conocidos

6. Resuelve las siguientes ecuaciones exponenciales:

Operaciones con expresiones fraccionarias.

a) 32x+2 − 28 · 3x + 3 = 0

1. Opera y simplifica: a) b) c) d) e)

b) 9x − 2 · 3x+2 + 32 = 0

2x 3x + 1 1−x + − 2 x−1 x−1 x −1 4 x+1 x + + 2 1+x 1−x x−1 3 1 x + 10 + − 2x − 4 x + 2 2x2 − 8    1+x 1−x 3 x + − −x 1−x 1+x 4x 4     x x : x− x+ x−1 x−1

c) 52x − 6 · 5x + 5 = 0 d ) 4x − 5 · 2x + 4 = 0 e) 9x − 2 · 3x − 3 = 0 7. Resuelve las siguientes ecuaciones exponenciales: x ! −

a) 12 1 − e 100

=1

b) 70 + 200 e−x/2 = 80 c) 20 + 15ex = 37

Resolución de ecuaciones de segundo grado

d ) 200 + 50e−x/20 = 230 3x − 1 125 e) 1 − e = 2

2. Resuelve las siguientes ecuaciones: a) 4(2x − 1) + 15 = 6 − 2(−5 + x) b) 2x − 2(x − 2) + 3(x − 1) = 4(2x − 2)

8. Obtener explícitamente la expresión de y en función de t:

c) x(x + 5) − 8x = 0

1 ln(2y + 1) = t2 + 1 2 b) − ln(20 + y) = 3t − 2

d ) 3(x2 − 1) + 5 = x2 + 2

a)

e) 2(x − 1) + x(x + 1) = x2 − 1 3. Resuelve las siguientes ecuaciones: a) b) c) d) e)

c) ln(2 − 3y) = 1 + t2 1 d ) ln(1 − y) = ln t 3 e) ln(5 − 3y) = t − t2

5x + 4 5x − 4 13 + = 5x − 4 5x + 4 6 x+1 x−1 2x + 1 + = x+2 x−2 x+1 2 2 x − 16 = x2 − 9 72 x−2 x+2 + =1 x+2 x−2 2x + 1 2x − 1 + =4 2x − 1 2x + 1

4. Resuelve las siguientes ecuaciones con radicales y comprueba las soluciones: √ a) x + 4 = 7 √ b) x + 3 = 15 + x √ c) 4 x − 2 = x + 2 √ d ) x − 169 − x2 = 17 √ e) x + 5x + 10 = 8

9. Obtener explícitamente la expresión de y en función de t:   y 1 a) ln =t+1 2 2−y   y b) ln =t+2 1 − 3y   y 1 = 2t − 1 c) ln 3 3 − 2y   1 y d) ln = 3t − 1 10 10 − y   y+2 e) 2 ln =1−t y 10. Obtener explícitamente la expresión de y en función de t:

Ecuaciones logarítmicas y exponenciales

12t

y =1 1 − e 100
b) t 70 + 200e−y/2 = 80

a) 5. Resuelve las siguientes ecuaciones logarítmicas:

−

1 1 x ln 32 = ln 2 2 2 3 b) 3 ln x = ln(5x) − 6  x 2 c) − ln + 2 ln x = ln 32 2 d ) 2 ln x − ln(x − 16) = 2 a) ln x −

c) 20t + 15ey = 30 d ) 200 + 50e−y/20 = 150t t 1 e) 3y = − 2 1 − e 125

e) − ln x + ln(2 − x) = 0

Dpto. EDAN - 2 de noviembre de 2016

—1—

Curso 2016/17

Matemáticas Aplicadas a la Biología

Ejercicios Tema 1: Repaso de resultados conocidos

k son constantes positivas y t es el tiempo medido en años. Se estima que el tamaño límite de la población es l´ım N (t) = 1.24 × 106 y que en el instante

Determinación de parámetros 11. La temperatura de congelación del agua es 0◦ C o 32◦ F, mientras que su temperatura de ebullición es 100◦ C o 212◦ F. Utiliza esta información para determinar una relación lineal entre la temperatura en ◦ F y la temperatura en ◦ C. ¿Qué incremento de temperatura en ◦ F corresponde con un incremento de temperatura de 1◦ C?

t→+∞

t = 5 el número de individuos de la población es la mitad del tamaño límite. Utiliza esta información para calcular a y k. 18. El crecimiento de los peces se puede modelar mediante la función L(x) = λ(1 − e−px ), x ≥ 0 donde L(x) es la longitud a la edad x y λ y p son dos constantes positivas características de cada especie. Determina los valores de λ y p de una determinada especie sabiendo que la longitud límite es l´ım L(x) = 18 y que a la edad x = 1 la longitud

12. Se supone que el número de semillas que produce una determinada planta depende linealmente de la temperatura media durante el mes de marzo. Se ha observado que cuando la temperatura media es T = 15.3◦ C la planta produce unas 215 semillas, y que cuando aquélla es T = 17.1◦ C produce unas 278 semillas. Determina la función que proporciona el número de semillas en función de la temperatura media. ¿Qué número de semillas cabe esperar que produzca la planta un año en que la temperatura media sea de T = 16.6◦ C?

x→+∞

de un pez de esa especie es L = 6. 19. Se sabe que el número de bacterias en una placa de Petri viene dada por B(t) = B0 eλt donde t mide el número de horas y B0 y λ son dos constantes positivas. Si se estima que el número inicial de bacterias es 100 y que transcurridas 24 horas el número es 10000, determina los valores de B0 y λ.

13. Las ballenas azules recién nacidas miden aproximadamente 73 dm de largo. A los 7 meses, cuando se destetan, las ballenas jóvenes tienen una sorprendente longitud de 162 dm. Sea L la longitud (en dm) de una ballena de t meses de edad. Suponiendo que es lineal, determina la función que expresa L en función de t. ¿Cuál es el incremento diario de la longitud? (1 mes= 30 días)

T (t) = a + t(t − b)(t − 24),

Interpretación de gráficas

15. Los productos farmacéuticos deben especificar las dosis recomendadas para adultos y para niños. Para un determinado medicamento la dosis de adulto recomendada es de 100 mg. Determina (suponiendo que es lineal) una función que proporcione la dosis adecuada para un niño de edad t (en años), sabiendo que la dosis para un recién nacido es de 20 mg y que para un niño de 16 años coincide con la de un adulto. 16. Según la ley de Monod, la velocidad de crecimiento R de un organismo depende de la concentración x de determinado nutriente, según la relación ax R(x) = k+x donde a y k son dos constantes positivas. Determina los valores de a y k sabiendo que la velocidad de crecimiento límite del organismo es l´ım R(x) = 3.5 y x→+∞

que, cuando la concentración del nutriente es x = 10, la velocidad de crecimiento es 2. 17. Se supone que el número de individuos de una poat blación viene dado por N (t) = donde a y k+t Dpto. EDAN - 2 de noviembre de 2016

t ∈ [0, 24]

donde t es el tiempo medido en horas y a y b son constantes. Se sabe que la temperatura a las 0:00 horas era de 8◦ C y que a las 7:00 horas era de 5◦ C. Se pide determinar la función que da la temperatura en función de la hora.

—2—

21. Se sabe que la concentración en sangre de un cierto tipo de anestesia viene dada por la gráfica siguiente: 100

Concentracion (mg/l)

14. Se sabe que para un gas a presión constante, la relación entre su volumen V (en cm3 ) y su temperatura T (en ◦ C) está dada por V = α + βT para ciertas constantes α y β positivas. Determina los valores de α y β sabiendo que a 30◦ C el volumen es de 111 cm3 y que a 90◦ C es de 133 cm3 .

20. Se ha estimado que, en determinado lugar, la temperatura T a lo largo de un día varía según la siguiente ley:

80 60 40 20 0

0

10

20

30

40

50 Tiempo (min)

60

70

80

90

100

a) ¿Cuál es la variable independiente? ¿Y la variable dependiente? b) ¿Cuál es la dosis inicial? c) ¿Qué concentración hay aproximadamente al cabo de 10 minutos? ¿Y al cabo de una hora? d ) A medida que pasa el tiempo, ¿la concentración en sangre de la anestesia aumenta o disminuye? e) Si la concentración aceptable para operar al paciente debe estar por encima de 15 mg/l ¿de cuánto tiempo se dispone para la operación? Curso 2016/17

Matemáticas Aplicadas a la Biología

Ejercicios Tema 1: Repaso de resultados conocidos

22. Una embarazada se hace la curva de azúcar en el cuarto mes de gestación. La concentración de glucosa en sangre viene dada por la gráfica siguiente:

24. El volumen de agua en un lago sigue la siguiente gráfica 1 Volumen de agua (hm3)

300

Glucosa (mg/l)

250 200 150 100

0.8 0.6 0.4 0.2 0

50 Ene

0

0

10

20

30 Minutos

40

50

Feb

Mar

Abr

May

Jun Jul Tiempo (meses)

Ago

Sep

Oct

Nov

Dic

60

a) ¿Qué mes tiene el lago más cantidad de agua?

a) ¿Cuál es la variable independiente? ¿Y la variable dependiente?

b) Una determinada especie de microorganismo sólo puede vivir en ese lago si el volumen de agua es superior a 0.4 hm3 , ¿entre qué meses del año se puede encontrar dicha especie?

b) ¿Cuál es la concentración inicial? c) ¿Qué concentración hay aproximadamente al cabo de 15 minutos? ¿Y al cabo de una hora?

c) ¿Hay peligro de que el lago se seque? ¿Por qué?

d ) A medida que pasa el tiempo, ¿la concentración aumenta o disminuye? e) Se considera que debe aplicarse tratamiento si su concentración de glucosa está por encima de 120 mg/l al cabo de cuarenta minutos ¿se le debe aplicar el tratamiento a esta embarazada?

25. La cantidad de lobos en un monte de la Sierra de Gredos sigue la siguiente gráfica en función del número de conejos 140 120

aN , r(N ) = k+N

80 60 40 20 0

0

100

200

300

400

500 Conejos

600

700

800

900

1000

N ≥ 0,

siendo a y k constantes positivas. La figura siguiente muestra la velocidad de crecimiento del mosquito de la Malaria (a = 10, k = 5). 12

Velocidad de crecimiento

100 Lobos

23. La velocidad de crecimiento (cuánto cambia la población en un intervalo de tiempo pequeño) de un organismo respecto a la concentración de nutrientes viene dada por una función conocida como función de Monod, y su expresión es

a) ¿Cuál es la variable independiente? ¿Y la variable dependiente? b) ¿Para qué número de conejos se alcanza el mínimo? c) ¿Hay peligro de que la especie desaparezca?

10 8

d ) ¿A qué cantidad de lobos tiende la población cuando hay muchos conejos?

6 4 2

26. La gráfica de una función viene dada por

0 0

100

200

300 400 Concentracion de nutrientes

500

600

Y

20

10

a) ¿Cuál es la variable independiente? ¿Y la variable dependiente? b) ¿Cuál es la velocidad de crecimiento límite? ¿Se alcanza? A este valor se le conoce como velocidad de saturación. c) ¿Se incrementa la velocidad de crecimiento con la concentración de nutriente? d ) Si doblamos la concentración de nutriente, ¿dónde tiene un efecto mayor, para valores pequeños de N o para valores grandes? e) ¿Para qué valor de N la velocidad r(N ) es la mitad de la velocidad de saturación? (Este valor se conoce como constante de semisaturación).

Dpto. EDAN - 2 de noviembre de 2016

—3—

0

X

−10

−20 −1

−0.5

0

0.5

1

a) ¿Cuántas soluciones tiene f (x) = 0 y cuáles son? b) ¿Dónde es la función positiva y dónde negativa? c) ¿Hay máximo y mínimo? ¿Son absolutos? d ) ¿Dónde crece y dónde decrece la función? e) ¿Tiene solución la ecuación f(x)=8?

Curso 2016/17

Matemáticas Aplicadas a la Biología

Ejercicios Tema 1: Repaso de resultados conocidos

27. La gráfica de una función viene dada por

30. La gráfica de una función viene dada por

4

Y

Y

0.6

3

0.4

2

0.2

1

0

0

−0.2

X

X −0.4

−1

−0.6

−2 −6

−4

−2

0

2

4

6

a) ¿Cuántas soluciones tiene f (x) = 0 y cuáles son?

−6

−4

−2

0

2

4

a) ¿Cuántas soluciones tiene f (x) = 0 y cuáles son? b) ¿Dónde es la función positiva y dónde negativa?

b) ¿Dónde es la función positiva y dónde negativa?

c) ¿Hay máximo y mínimo? ¿Son absolutos?

c) ¿Hay máximo y mínimo? ¿Son absolutos?

d ) ¿Dónde crece y dónde decrece la función? e) ¿Tiene solución la ecuación f(x)=-2?

d ) ¿Dónde crece y dónde decrece la función? e) ¿Tiene solución la ecuación f(x)=-1? 28. La gráfica de una función viene dada por Y

2

1.5

1

0.5

0

X −2.5

−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

6

2

2.5

a) ¿Cuántas soluciones tiene f (x) = 0 y cuáles son? b) ¿Dónde es la función positiva y dónde negativa? c) ¿Hay máximo y mínimo? ¿Son absolutos? d ) ¿Dónde crece y dónde decrece la función? e) ¿Tiene solución la ecuación f(x)=20? 29. La gráfica de una función viene dada por

31. Construye una gráfica que describa la distancia a la que se encuentra Eva de su casa, según el siguiente enunciado: Esta mañana, Eva fue a visitar a su amiga Leticia y tardó 20 minutos en llegar a su casa, que se encuentra a 800 metros de distancia. Estuvo allí durante media hora y regresó a su casa, tardando en el camino de vuelta lo mismo que tardó en el de ida. 32. Construye una gráfica que represente la evolución del caudal de un río durante un año, según los siguientes datos: Al comienzo de enero el caudal era de 40 hm3 y fue aumentando hasta mediados del mes de abril, en que era de 60 hm3 , el máximo del año. A partir de este momento, el caudal fue disminuyendo hasta que a final de agosto alcanzó su mínimo, 10 hm3 . Desde ese momento hasta finales de año, el caudal fue aumentando, volviendo a ser, aproximadamente, el mismo que cuando comenzó el año. 33. Construye una gráfica que describa la distancia recorrida por Pablo, según el siguiente enunciado (expresa el tiempo en horas y la distancia en Kilómetros):

10

Y

Esta mañana Pablo salió a hacer una ruta en bicicleta. Tardó media hora en llegar al primer punto de descanso, que se encontraba a 25 Km de casa. Estuvo parado durante 30 minutos. Tardó 1 hora en recorrer los siguientes 10 Km y tardó otra hora en recorrer los 20 Km que faltaban para llegar a su destino.

8 6 4 2 0

X −6

−4

−2

0

2

4

6

a) ¿Cuántas soluciones tiene f (x) = 0 y cuáles son? b) ¿Dónde es la función positiva y dónde negativa? c) ¿Hay máximo y mínimo? ¿Son absolutos? d ) ¿Dónde crece y dónde decrece la función? e) ¿Tiene solución la ecuación f(x)=3?

Dpto. EDAN - 2 de noviembre de 2016

—4—

34. Construye una gráfica que describa la audiencia de una determinada cadena de televisión durante un día, sabiendo que: A las 0 horas había aproximadamente 0.5 millones de espectadores. Este número se mantuvo prácticamente igual hasta las 6 de la mañana. A las 7 de la mañana alcanzó la cifra de 1.5 millones de espectadores. La audiencia descendió de nuevo hasta que a las 13 horas había 1 millón de espectadores. Fue aumentando hasta las 21 horas, momento en el que alcanzó el máximo: 6.5 millones de espectadores. A partir de Curso 2016/17

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Ejercicios Tema 1: Repaso de resultados conocidos

ese momento, la audiencia fue descendiendo hasta las 0 horas, que vuelve a haber, aproximadamente, 0.5 millones de espectadores. 35. Construye una gráfica que describa la distancia a la que se encuentra Lorena de su casa, según los siguientes datos: Esta mañana Lorena salió de su casa a comprar el periódico, tardando 10 minutos en llegar al quiosco, que está a 400 m de su casa. Allí estuvo durante 5 minutos y se encontró con su amiga Elvira, a la que acompañó a su casa (la casa de Elvira está a 200 m del quiosco y tardaron 10 minutos en llegar). Estuvieron durante 15 minutos en la casa de Elvira y después Lorena regresó a su casa por el mismo camino sin detenerse, tardando 10 minutos en llegar.

39. Estudia las asíntotas de las siguientes funciones:

a) y =

1 x2 − 1

b) y =

x 1 − x2

c) y =

2x2 − 8 x2 − 16

d) y =

2x 2 − x2

e) y =

x2 − 1 x3

40. Estudia las asíntotas de las siguientes funciones:

Cálculo diferencial y aplicaciones a) y = 36. Determina el dominio de definición de las funciones: r 1−x a) f (x) = 1+x p b) f (x) = (x + 2)(x − 1) p x(x − 1) c) f (x) = x−2 1 d ) f (x) = √ x x2 − 1 x−1 e) f (x) = p 2 (x + 1)(x − 3)

b) y =

x3 1 − x2 x3 −8

2x2

c) y =

x(x2 − 4) x2 − 1

d) y =

x2 − 2x − 8 x

e) y =

3x2 − x + 4 2(x − 1)

41. Calcula las derivadas de las siguientes funciones: 37. Determina el dominio de definición de las funciones: 1 x e −1 √ x b) f (x) = e − 1

√

3 − x2

a) f (x) =

a) f (x) =

1 e2x − 1 x−2 √ d ) f (x) = x (2 − 4) x

b) f (x) = ln(x2 − x + 1) x c) f (x) = cos sen(x) 2 r 1−x d ) f (x) = x

c) f (x) = √

√

e) f (x) = e

1−x2

e) f (x) = e−x

2

+3

38. Determina el dominio de definición de las funciones: 42. Calcula las derivadas de las siguientes funciones: a) f (x) = ln(x(2 − x)(x + 3)) √ x b) f (x) = ln(x − 1)

a) f (x) = sen2

1 ln(2x2 + x)   x−2 d ) f (x) = ln x2 − 1 ln(x2 )

2 − 3 ln x + 1

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x+2 x+1



b) f (x) = sen(1 − x) cos3 (x) p c) f (x) = cos3 (x2 ) p d ) f (x) = 1 − cos(x3 ) p e) f (x) = 3 sen2 (5x)

c) f (x) =

e) f (x) =



—5—

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Matemáticas Aplicadas a la Biología

Ejercicios Tema 1: Repaso de resultados conocidos

43. Calcula las derivadas de las siguientes funciones:

48. Estudia los máximos y mínimos de las siguientes funciones en el intervalo que se indica en cada caso:

2

a) f (x) = esen(x ) ex b) f (x) = 1 − ex

b)

1+x

c) f (x) = e 1−x d ) f (x) = etg(x √

e) f (x) = e

2

c)

)

d)

1−x2

e)

44. Calcula las derivadas de las siguientes funciones: a) f (x) = 2x

3

−3x2

49. Representa gráficamente las siguientes funciones, estudiando previamente su dominio de definición, asíntotas, intervalos de crecimiento/decrecimiento y de convexidad/concavidad, máximos, mínimos y puntos de inflexión:

b) f (x) = 5x x5 c) f (x) = 2x (x2 + x) √

d ) f (x) = 3

1−x

e) f (x) = cos 2x+1




a) y =

45. Estudia los intervalos de crecimiento / decrecimiento y de concavidad / convexidad de las siguientes funciones: a) b) c) d) e)

x3 f (x) = 2 x +3 x2 − 2 f (x) = 2 x +1 f (x) = ln(x2 + 1) 1 f (x) = x e +1 f (x) = x2 ex

d) e)

c) y =

e) y =

1 −1 x 1 − x2 2x2 − 8 x2 − 16 2x 2 − x2 x2 − 1 x3 x2

50. Representa gráficamente las siguientes funciones, estudiando previamente su dominio de definición, asíntotas, intervalos de crecimiento/decrecimiento y de convexidad/concavidad, máximos, mínimos y puntos de inflexión:

x3 x2 − 3 x2 + 2 f (x) = 2 x −1 f (x) = ln(x2 − 4) 1 f (x) = x e −2 ln(x) f (x) = x2

a) y = b) y =

a) f (x) =

c)

b) y =

d) y =

46. Estudia los intervalos de crecimiento / decrecimiento y de concavidad / convexidad de las siguientes funciones:

b)

x+1 en [−5, 0] x2 + 3 f (x) = x3 ex en [−4, 1] ln x f (x) = 3 en [1/2, 3] x f (x) = x2 e−x en [−1, 3] x−2 f (x) = 2 en [0, 10] x +5

a) f (x) =

c) y = d) y = e) y =

47. Estudia los máximos y mínimos de las siguientes funciones en sus dominios de definición: x+1 x2 + 3 b) f (x) = x3 ex

x3 1 − x2 x3 2 2x − 8 x(x2 − 4) x2 − 1 2 x − 2x − 8 x 3x2 − x + 4 2(x − 1)

51. Representa gráficamente las siguientes funciones, estudiando previamente su dominio de definición, asíntotas, intervalos de crecimiento/decrecimiento y de convexidad/concavidad, máximos, mínimos y puntos de inflexión:

a) f (x) =

a) y = ln(x2 + 4) b) y = ln(x2 − 1)

ln x x3 d ) f (x) = x2 e−x x−2 e) f (x) = 2 x +5

c) y = x2 ex ln x d) y = x ex e) y = 1+x

c) f (x) =

Dpto. EDAN - 2 de noviembre de 2016

—6—

Curso 2016/17

Matemáticas Aplicadas a la Biología

Ejercicios Tema 1: Repaso de resultados conocidos

52. Se supone que una determinada población de peces sigue la siguiente ley: et/a N (t) = , t+1

b) ¿Para qué valores de la concentración, x, alcanza la velocidad el máximo? ¿Cuánto vale ese máximo?

t ≥ 0,

donde N (t) es el número de peces en el instante t (en meses) y a es una constante positiva. Calcula el valor de a sabiendo que pasados 2 meses dicha población es mínima. 53. Se supone que una determinada población de peces sigue la siguiente ley: N (t) = te−t/a ,

t ≥ 0,

54. El número de bacterias presentes en un recipiente viene dado por

55. La población de una determinada especie sigue la siguiente ley: t+8 , N (t) = 2 t +b donde t se mide en años y b es una constante positiva. Calcula el valor de b sabiendo que el número de individuos de dicha especie es máximo transcurridos 2 años. 56. El número de individuos de una determinada población viene dado por t2

t , +a

donde t se mide en años, N (t) se mide en millones y a es una constante positiva. Determina el valor de a si el número máximo de individuos es 5 millones.

−→

AB

en la que dos reactivos moleculares, A y B, dan lugar a otro producto molecular, AB. La velocidad de esta reacción, R, se puede expresar como la función R(x) = k(a − x)(b − x) donde x es la concentración del producto AB, a y b son las concentraciones iniciales de A y B respectivamente y k es una constante de proporcionalidad. Obsérvese que x varía en [0, m´ın(a, b)], ya que cuando se termina uno de los dos reactivos se detiene la reacción. Supongamos que k = 2, a = 9 y b = 7. Dpto. EDAN - 2 de noviembre de 2016

siendo W (t) la cantidad de C 14 en el instante t, W0 la cantidad inicial y λ > 0 la velocidad de desintegración. Supongamos que W0 = 2 y λ = 0.01. b) ¿Qué le ocurre a la cantidad de C 14 cuando pasa mucho tiempo? c) ¿En qué momento, tˆ, es W (tˆ) = 1? 59. El número N de bacterias en un determinado cultivo viene dado, en función del tiempo t expresado en minutos por la función para t ∈ [0, 35]

¿En qué instante el número de bacterias es máximo? ¿Y mínimo? Esbozar la gráfica de la función N (t). 60. La virulencia de cierta bacteria se puede medir en una escala de 0 a 50 y viene dada por la siguiente función V (t) = 40 + 15t − 9t2 + t3 donde t es el tiempo, medido en horas, transcurrido desde el comienzo del estudio. Analizar los períodos de tiempo en los que la virulencia crece o decrece. Calcular los instantes, en las 6 primeras horas, en que la virulencia es máxima y mínima. Esbozar la gráfica de la función en el intervalo [0, 6]. 61. La velocidad de crecimiento de un cierto organismo depende de la concentración x de un nutriente según la función 5x . R(x) = 1+x a) ¿Para qué concentración x la velocidad de crecimiento vale 4? b) ¿Para qué valores de x la velocidad de crecimiento es creciente? ¿y decreciente?

57. Se considera la reacción química A + B

W (t) = W0 e−λt , t ≥ 0,

N (t) = 500 + 50t − t2

t ≥ 0,

donde t es el tiempo medido en horas y a es una constante positiva. Determina el valor de a sabiendo que el número máximo de bacterias es 800.

N (t) =

58. La desintegración del carbono 14, C 14 , sigue la ley

a) Comprueba que W es una función decreciente.

donde N (t) es el número de peces en el instante t (en meses) y a es una constante positiva. Calcula el valor de a sabiendo que pasados 3 meses dicha población es máxima.

B(t) = ate−t/90 ,

a) ¿Para qué valores de la concentración, x, la velocidad es creciente? ¿y decreciente?

—7—

c) Según esta ley, ¿qué le ocurre a la velocidad de crecimiento cuando hay abundancia de nutrientes? 62. La velocidad de crecimiento de una población se puede expresar como  2 ! N f (N ) = N 1 − K donde N es el tamaño de la población, K es una constante positiva que indica la capacidad de alojamiento del ecosistema. Calcular para qué tamaño de la población es máxima la velocidad de crecimiento. Curso 2016/17

Matemáticas Aplicadas a la Biología

Ejercicios Tema 1: Repaso de resultados conocidos

63. Los gusanos de yema de abeto son una plaga importante que desfolia los pinos de Canadá. Sus depredadores son los pájaros. Un modelo que da la velocidad de depredación es ax f (x) = k + x2 siendo x la densidad de gusanos, y a y k dos constantes positivas que dependen de las circunstancias de cada caso. ¿Para qué cantidad de gusanos es máxima la velocidad de depredación? 64. Sea f (N ) la cosecha de una explotación agrícola de maíz en función del nivel de nitrógeno en el suelo, N . Una posibilidad viene dada por f (N ) =

N . 1 + N2

71. La población de una especie sigue la siguiente función t+1 P (t) = a + t/3 , t ≥ 0 e donde P (t) es el número de individuos de la población (medida en miles) y t el tiempo (medido en meses). a) Calcular a sabiendo que inicialmente había 3000 individuos. b) ¿En qué momento alcanza la población un máximo? ¿Cuánto es el valor de dicho máximo? c) ¿A qué tiende la población en el futuro? d ) Esbozar la gráfica de la función.

Calcula el nivel de nitrógeno que maximiza la cosecha. 65. En un terreno semicircular de radio 1 se desea colocar una zona rectangular de juegos. ¿Qué dimensiones debe tener para que el área de recreo sea máxima? 66. Un biólogo de campo desea cercar un campo de estudio rectangular, limitado en uno de sus lados por un río. Dispone para ello de 500 metros de cerca. ¿Qué dimensiones tendrá el campo de estudio de área máxima que puede vallar? (No es necesario cercar el lado que forma la orilla del río). 67. Si el mismo biólogo del ejercicio anterior quisiera cercar una superficie de 8000 m2 , ¿qué dimensiones debería tener el campo para utilizar la mínima cantidad posible de cerca? 68. Calcular la longitud que deben tener los lados de un triángulo isósceles de 24 cm de perímetro para que el área de dicho triángulo sea máxima. 69. Se ha estudiado que ciertos animales efectúan sus desplazamientos tratando de minimizar su gasto de energía. Para un cierto tipo de peces migratorios que nadan a contracorriente, se tiene la siguiente expresión para la energía necesaria para recorrer una distancia d en función de su velocidad de desplazamiento: dv 3 E(v) = v−u donde u es la velocidad de la corriente y se considera constante. Encontrar el valor de v que hace mínima la energía consumida en el desplazamiento. Esbozar la gráfica de E(v) para v > u. 70. Un productor dispone de 600 hectáreas para sembrar y sabe que la ganancia total G (en euros) que obtendrá de su producción depende del número x de hectáreas sembradas, viniendo dada por la siguiente expresión: G(x) = 2000x − 2x2 Dpto. EDAN - 2 de noviembre de 2016

Calcula cuántas hectáreas debería sembrar para obtener la máxima ganancia posible. ¿Cuánto ganaría si sembrara las 600 hectáreas de las que dispone?

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72. Un lago es repoblado con 100000 alevines de cierta especie de peces, con el objeto de restaurar la fauna autóctona. Es conocido que la evolución de una población de dicha especie en tal hábitat viene dada por una función de la forma P (t) = A + (t − 10)e−t/40 donde P (t) es el número de individuos de la población (en miles) en el instante t (medido en meses) y A es una constante. a) Calcular razonadamente el valor que debe tener la constante A si antes de la repoblación la especie estaba extinguida en el lago. b) Calcular razonadamente si la población alcanza un valor máximo y en caso positivo, en qué instante lo hace. c) ¿En algún momento el número de individuos de la población desciende por debajo del número de individuos con que se repobló el lago? Razónese la respuesta. d ) Esbozar la gráfica de la función. 73. La población de cierta especie que habita en una isla sigue la siguiente función P (t) = a +

t2

t , +1

t≥0

donde P (t) es el número de individuos de la población (medido en miles) y y t el tiempo (medido en meses). a) Calcular a sabiendo que inicialmente había 1000 individuos. b) ¿En qué momento alcanza la población un máximo? ¿Cuál es el valor de dicho máximo? c) ¿A qué tiende la población en el futuro? d ) ¿En algún momento la población decrece por debajo de la población inicial? e) Esbozar la gráfica de la función.

Curso 2016/17

Matemáticas Aplicadas a la Biología

Ejercicios Tema 1: Repaso de resultados conocidos

74. Es conocido que, durante una cierta epidemia, el número de personas (medido en miles) que contrajeron la enfermedad viene dado por P (t) =

2 3e−0.8t + 1

,

75. La población de cierta especie que habita en un parque protegido sigue la siguiente función P (t) = A + 2

t≥0

donde t es el tiempo (medido en semanas). a) ¿Cuántas personas tenían la enfermedad al principio?

ln(t + 1) , t+1

t≥0

donde P (t) es el número de individuos de la población (medida en miles) y t el tiempo (medido en meses).

b) ¿Cuántas personas habían contraído la enfermedad al final de la segunda semana?

a) Calcular A sabiendo que inicialmente había 3000 individuos.

c) ¿Crece o decrece el número de personas contagiadas?

b) ¿En qué momento alcanza la población un máximo?

d ) Cuántas personas contraerán en el futuro la enfermedad?

c) ¿A qué tiende la población en el futuro?

e) Esbozar la gráfica de la función.

d ) Esbozar la gráfica de la función.

Dpto. EDAN - 2 de noviembre de 2016

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