LIMITE ¿Qué se entiende por límite? De ordinario hablamos del precio límite, de la velocidad límite, del límite de nuestra propia resistencia, los límites de la tecnología moderna o de estirar un muelle hasta el límite. Todas esas frases sugieren que el límite es una especie de cota que a veces puede no ser alcanzable y otras no sólo es alcanzable sino superable. A través del límite se pueden visualizar los cambios en el rendimiento por pequeños números de unidades, podemos obtener acerca de la tasa de cambio instantánea, se convierte en el puente matemático de las tasas de cambio promedio a las tasas instantáneas. Se ha utilizado la notación f(c) para indicar el valor de una función f(x) en x=c. Si se tiene que analizar un valor al que se aproxime f(x) conforme x se aproxime a c se usa la idea de de limite (Técnicas de Aproximación) Si f(x)= x2-x – 6 = (x – 3) (x + 2) = x + 3 x+2 x+2 x = -2 no está en el dominio de f(x), es decir f(-2) no existe, si tomamos valores próximos a -2

x f(x)

-3 -6

-2.5 -5.5

-2.2 -5.2

-2.1 -5.1

-2

-1.9 -4.9

-1.8 -4.8

-1.5 -4.5

-1 -4

Suponga que f(x) es una función definida en un intervalo abierto que contiene a c excepto quizás a c, entonces: Lim f(x) = L x c Se lee “el límite de f(x) cuando x tiende a c es igual a L”. El limite L existe si podemos hacer que valores de f(x) estén tan cerca de L como lo deseemos, eligiendo valores de x suficientemente cercanos a c. Si los valores de f(x) no se aproximan a solo valor finito L cuando x tiende a c decimos que no existe el limite Límites Laterales Limite por la derecha:

Lim f(x) = L x c+

Significa que los valores de f(x) se aproximan al valor L cuando x Limite por la izquierda

Lim f(x) = M x cMis Notas de Clase – Cálculo Diferencial Lic. Esp. José F. Barros Troncoso 1

c, aunque x > c.

Significa que los valores de f(x) se aproximan al valor M cuando x

c, aunque x < c.

Consideraciones Especiales El límite de una función cuando x tiende a c es independiente del valor de la función en c, cuando existe Lim f(x) = L cuando x c, el valor de la función en c puede ser: Igual al límite, Indefinido o definido pero diferente al límite. Se dice que el límite existe solo si L es un valor finito (número real) Propiedades de los Límites Si k ε R,

Lim f(x) = L x c

Lim k = k x c-

y

Lim f(x) = M x cLim x = c x c

Lim [f(x) . g(x)] = L . M x c

Lim [f(x) ± g(x)] = L + M x c

Lim f(x) = ,M L ≠0 x c g(x) M

x

c

( ) x

( ( ) c

Ejercicios 20 Utilice las propiedades de límite y métodos algebraicos para encontrar los límites existentes lim (

)

lim (

)

lim

lim Limites Indeterminados Si Lim f(x) = Lim g(x) =0 cuando x tiende a c, entonces la expresión racional que tiene la forma en x=c. Podemos factorizar x – c en f(x) y g(x), simplificar la fracción para encontrar una función equivalente en la cual exista el límite.

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Si Lim f(x) ≠ 0 y Lim g(x)

( )

0 cuando x tiende a c, entonces

( )

no existe. En

este caso, los valores de f(x) / g(x) son ilimitados cerca de x=c.

Ejercicios 21 Calcule cada limite si existe lim x

lim x

lim

lim

lim

lim

lim x

lim

x x

lim

Continuidad en un punto La función f es continua en x = c si se satisfacen todas las condiciones siguientes 1. f(c): exista 2. Lim f(x) cuando x tienda a c exista 3. Lim f(x) = f(c), cuando x tienda a c exista

Si no satisface una de las tres condiciones decimos que la función es discontinua en c  

Toda función polinómica es continua para todos los números reales. Toda función racional es continua en todos los valores de x excepto en aquello cuyo denominador es cero.

Ejercicios 22 Encuentre los valores de x donde las siguientes funciones son discontinuas ( )

( )

( ) (

)(

)

( )

( )

( )

Ejercicio 23 Determine si cada función es continua o discontinua en el de x dada f(x)

x

,

0

f(x)

x

,

Mis Notas de Clase – Cálculo Diferencial Lic. Esp. José F. Barros Troncoso 3

f(x)

x

,

,

, ( )

0 ( )

4x - 7, x >2 x + 2, >0

Límite de las Funciones Definidas por Partes El límite de una función por partes o por trozos f(x) existe, si el límite de f(x) cuando x tiende a c por la izquierda es igual al límite f(x) cuando x tiende a c por la derecha. Es decir: Lim f(x) = L Lim f(x) = M = + x c x cDetermine si los límites de cada función existen (x + 2)3

Si x

-1

a. f(x) =

4 – x2 Si x < 2 b. g(x)=

1-x

Si x > -1

x–2

Si x ≥

Ejercicios 23 lim lim lim ( )

lim

lim

lim

lim

0

( )

, ,

lim

lim

( )

( )

≥

, ,

lim

lim

(

)

lim

(

)

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TALLER 1. Calcule el límite por tabulación de la función ( ) , cuando x toma valores cercanos (por izquierda y derecha) al punto donde la función se hace indeterminada 2. Calcule cada uno de los siguientes limites (si existen) lim

lim ,

lim

f(x)= ,

lim 3. De la gráfica de la función f(x)=-x2+4x obtenga el límite cuando x toma valores cercanos a: a. Cero (0) b. 2 c. 4 y = -x^2+4x y









x 







Problemas 11 Mis Notas de Clase – Cálculo Diferencial Lic. Esp. José F. Barros Troncoso 5





1. El número de libras de durazno p de buena calidad producidos por un árbol promedio depende del número de libras de insecticida x con el cual el árbol fue rociado, de acuerdo a la siguiente fórmula 00 00 a. Determine el límite de p cuando x tiende a 0 y a 3 b. ¿Qué significa cada expresión? ¿Qué encuentra? 2. El costo total de la producción de x litros de un determinado producto viene dado por ( ) 00 ( ), lim a. Encuentre lim ( )) b. ¿Cuál es el significado de cada expresión? c. Compare los resultados e interprételos 3. Como resultado de los avances tecnológicos en la producción de calculadoras cada vez más poderosas y compactas, cae el precio de las que existen en el mercado hoy en día. Si suponemos que dentro de “x” meses, el precio de cierto modelo será 0 ( ) 0 , dólares. ( ), lim a. Encuentre lim ( )) b. ¿Cuál es el significado de cada expresión? c. Compare los resultados e interprételos 4. Durante los primeros cuatro meses en su empleo; las ventas mensuales S (en miles de dólares) de un vendedor nuevo dependen del número de horas x de capacitación de la siguiente manera: ( ) a. Encuentre lim ( ) , lim ( ) b. ¿Cuál es el significado de cada expresión? c. Compare los resultados e interprételos

0

,x≥

5. Las ventas y ( en miles de dólares) se relacionan con los gastos de publicidad x ( en miles de dólares) según ( ) ,x≥ 0 a. Encuentre lim y(x) , lim y(x) b. ¿Cuál es el significado de cada expresión? c. Compare los resultados e interprételos 6. Suponga que la demanda de q unidades de un producto cuyo precio es $p por unidad se describe por medio de Mis Notas de Clase – Cálculo Diferencial Lic. Esp. José F. Barros Troncoso 6

00 000 ( ) a. Encuentre , b. ¿Cuál es el significado de cada expresión? c. Compare los resultados e interprételos 7. Suponga que la demanda de q unidades de un producto cuyo precio es $p por unidad se describe por medio de 00 a. b. c.

Encuentre , ¿Cuál es el significado de cada expresión? Compare los resultados e interprételos

8. Suponga que la demanda de q unidades de un producto cuyo precio es $p por unidad se describe por medio de 00 a. b. c.

Encuentre , ¿Cuál es el significado de cada expresión? Compare los resultados e interprételos

9. Suponga que el precio p (en dólares) de un producto se determina, mediante la función 00 0 00 , donde x son las unidades demandadas. a. Encuentre , b. ¿Cuál es el significado de cada expresión? c. Compare los resultados e interprételos 10. El cargo mensual en dólares por x kilovatio/hora de electricidad se obtiene por la función

C(x )=

10 + 0.094x Si 0 x 00 19.4 + 0.075(x – 100) Si 00 x 00 49.40 + 0.05(x-500) Si x < 500

Encuentre el límite del cargo mensual cuando el consumo tiende a 100 y a 500 Kilovatio/hora

Mis Notas de Clase – Cálculo Diferencial Lic. Esp. José F. Barros Troncoso 7

Limites Infinitos Al evaluar la función f(x) = 1 / x, para valores de x muy grandes, f(x) nunca se vuelve negativo, aunque ningún valor de x hace que 1 / x sea igual a cero, es fácil ver que 1 / x se aproxima a cero a medida que x se hace más grande, lo anterior se denota

Lim x

1=0 ∞ x

Propiedades Si c es cualquier constante entonces Lim c = c y

Lim c = c

x

x

+∞

Lim

-∞

c =0, donde p>0 xp

x

+∞

Lim

c =0, donde n>0 n -∞ x

x

Ejercicio 21 Evaluar cada límite

Problemas 12 1. El número de libras de durazno p de buena calidad producidos por un árbol promedio depende del número de libras de insecticida x con el cual el árbol fue rociado, de acuerdo a la siguiente fórmula 00 00 a. b. c.

2.

Determine el límite de p cuando x tiende a ¿Qué significa la expresión? Interprete el resultado

Se pronostica que la población de cierta ciudad pequeña t años a partir de ahora es Mis Notas de Clase – Cálculo Diferencial Lic. Esp. José F. Barros Troncoso 8

0 000

000

Determine la población a largo plazo 3. Suponga que el número promedio de minutos M que requiere un empleado nuevo para ensamblar una unidad de un producto está dado por 0 0

, donde t es el número de días en el trabajo. a. Encuentre lim b. ¿Cuál es el significado de la expresión? c. Interprete el resultado. 4. Suponga que la demanda de un producto se define mediante 00 000 Donde p es el precio y q es la cantidad solicitada a. Encuentre lim b. ¿Cuál es el significado de la expresión? c. Interprete el resultado. 5. El número de estudiantes por computador en las escuelas públicas de Estados Unidos se puede modelar con la función ( )

.

0.0 , donde x es el número de años que han transcurrido desde el año escolar que finalizo en 1981 a. Encuentre lim ( ) b. ¿Cuál es el significado de la expresión? c. Interprete el resultado. 6. El volumen de ventas, y (en miles de dólares), se relaciona con los gastos de publicidad x(en miles de dólares) según 00 a. Encuentre b. ¿Cuál es el significado de la expresión? c. Interprete el resultado.

0

7. El porcentaje p de impurezas que se puede eliminar de las aguas residuales de un proceso de fabricación con un costo C dólares se obtiene mediantes Mis Notas de Clase – Cálculo Diferencial Lic. Esp. José F. Barros Troncoso 9

00 00

a.

b.

Encuentre ¿Cuál es el significado de la expresión? Interprete el resultado.

8. Suponga que el costo C de eliminar el porcentaje p de impurezas de aguas residuales de un proceso de fabricación se obtiene con 00 ( ) 0 Encuentre ( ) a. ¿Cuál es el significado de la expresión? b. Interprete el resultado. 9. Como resultado de los avances tecnológicos en la producción de calculadoras cada vez más poderosas y compactas, cae el precio de las que existen en el mercado hoy en día. Si suponemos que dentro de “x” meses, el precio de cierto modelo será ( )

0

0

, dólares. ( ), lim a. Encuentre lim ( )) b. ¿Cuál es el significado de cada expresión? c. Interprete el resultado

TALLER TEMA: LÍMITES Mis Notas de Clase – Cálculo Diferencial Lic. Esp. José F. Barros Troncoso 10

1. Determine el límite de cada función tabulando los datos a.

lim

b.

lim

2. La gráfica muestra la función y= x3 - 1, use la gráfica para calcular el límite de f(x) cuando x toma valores próximos a 1 y a 0

3. La gráfica muestra la función y=x2+2x , Use la gráfica para calcular el límite de f(x) cuando x toma valores próximos a -2, -1 y 0

4. Calcule cada uno de los siguientes límites lim y

y

y

y

lim

x

x x

lim t 0

Mis Notas de Clase – Cálculo Diferencial Lic. Esp. José F. Barros Troncoso 11

t t

lim x 0

x x

2x+1, Si x>3

, Si x