Ejercicios 1.- Simplificar: a) d)
a x2 a2 x5
x x2 x2 x3
b)
x 2 x 1 x x 1 x 1
e)
4 x2 x2
c)
x 2 5x x x 5 2
f)
9x 2 4
Story Transcript
1. f (x) =
x3 1 x2
2. f (x) =
x2 x2
3. f (x) =
x 3 x+2
4. f (x) =
x3 (x 1)2
5. f (x) =
x+5 x2 9
6. f (x) =
x2 x
7. f (x) =
9 4
3 2
x2 x
3 2
8. f (x) = x4 9. f (x) = p
18x2 + 20
x2 x2 1
10. f (x) =
x2 x + 1 x2 + x + 1
11. f (x) =
x2 2x
12. f (x) =
x2 (x 2)2
5 4
13. f (x) = x3 14. f (x) =
9x2 + 24x 1
(x
2)2
20
1. f (x) =
x3 Función racional con asíntota oblícua. 1 x2
Eliminamos los puntos que anulan en denominador 1 x2 = 0 =) x = 1 Dominio R-{1,-1} 8 03 > < =0 x = 0 =) f (0) = 1 02 (0; 0) Corte con los ejes: 3 > 3 : y = 0 =) x = 0 =) x = 0 =) x = 0 1 x2 x3 signo ; colocamos en la recta real las raíces del numerador y del denominador. 1 x2 y
5 4
+
-
+
-
3 2 1
-1
0
1
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
-1
5
x
-2 -3 -4 -5
Los puntos que anulan en denominador, nos indican dónde están las asíntotas verticales + + 8 x3 > < lim = -1 x3 Consultando el signo x!1+ 1 x2 = 1 =) -1 0 1 lim x3 x!1 1 > x2 : lim + = 1 x!1 1 x2 + + 8 3 x > < lim = -1 x3 Consultando el signo x! 1+ 1 x2 lim = 1 =) -1 0 1 3 2 x x! 1 1 > x : lim + = 1 x! 1 1 x2 y
-
-
5 4 3 2 1
-5
-4
-3
-2
-1
1 -1
2
3
4
5
x
-2 -3 -4 -5
Asíntotas verticales x = 1; x =
1
Sabemos que no hay asíntotas horizontales y si oblícua porque el grado del numerador supera en uno al grado del denominador. f (x) Recordemos que la asíntota oblícua era: y = mx + n; m = lim ; n = lim (f (x) mx) x! 1 x x! 1 8 3 x > > > x3 x3 > 1 x2 = lim > < lim = lim = 1 f (x) x!+1 x!+1 x (1 x x2 ) x!+1 x3 + x m = lim = 3 x! 1 x x > > > > 2 x3 > : lim 1 x = lim = 1 x! 1 x! 1 x x3 + x
Así que m = 1; n = 0 Asíntota oblícua y = x Para situar la función respecto la asíntota oblícua se estudiaba el signo(f (x) asíntota oblícua) x3 x3 x3 + x x3 x signo ( x) =signo + x =signo =signo 2 2 2 1 x 1 x 1 x 1 x2 + + -1 0 1 El signo negativo del +1, signi…ca que la función está por debajo de la asíntota; el signo positivo del signi…ca que la función está por encima de la asíntota. y
5 4 3 2 1
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
-1
5
x
-2 -3 -4 -5
Estudiemos la monotonía y los extremos relativos: 3x2 (1 x2 ) x3 ( 2x) x2 (3 x2 ) f 0 (x) = = 2 2 (1 x2 ) (1 x2 ) + + ! p p x2 (3 x2 ) signo 3 0 3 2 (1 x2 )
y
5 4 3 2 1
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
-1 -2 -3 -4 -5
Estudiemos la curvatura y los puntos de in‡exión:
3
p
p 3) =
p
3p 3 2 p p p 3p Máximo en 3; f ( 3) = 3; 3 2 p p Creciente en 3; 1 p[ ( 1;p 1) [ (1; 3) Decreciente en 1; 3 [ 3; +1
Mínimo en
4
5
x
3; f (
3;
1,
f 00 (x) =
2x x2 + 3 (x2
3
1)
+ signo
2x x2 + 3 (x2
3
1)
!
-1
+ 0
1
Punto de in‡exión (0; 0) Convexa en ( 1; 1) [ (0; 1) Concava en ( 1; 0) [ (1; +1)
2. f (x) =
x2 x2
9 Función racional con asíntota horizontal 4
Eliminamos los puntos que anulan en denominador x2 4 = 0 =) x = 2 Dominio R-{2,-2} 8 02 9 9 > < x = 0 =) f (0) = 2 = 9 0 4 4 0; ; (3; 0); ( 3; 0) Corte con los ejes: 2 x 9 > 4 : y = 0 =) = 0 =) x = 3; x = 3 x2 4 x2 9 signo 2 ; colocamos en la recta real las raíces del numerador y del denominador. x 4 y
5 4
+
-
+
-
+
3 2 1
-3
-2
2
3
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
-1
4
5
x
-2 -3 -4 -5
Los puntos que anulan en denominador, nos indican dónde están las asíntotas verticales + + + 8 x2 9 > < lim 2 = -1 x2 9 Consultando el signo x!2+ x 4 =1 =) -3 -2 2 3 lim 2 2 9 x!2 x > 4 : lim x + = 1 x!2 x2 4 + + + 8 2 x 9 > < lim = +1 x2 9 Consultando el signo x! 2+ x2 4 lim 2 =1 =) -3 -2 2 3 2 9 x! 2 x > 4 : lim x = 1 x! 2 x2 4 y
5 4 3 2 1
-5
-4
-3
-2
-1
1 -1
2
3
4
5
x
-2 -3 -4 -5
Asíntotas verticales x = 2; x =
2
x2 9 x2 9 = lim =1 x!+1 x2 4 x! 1 x2 4 Asíntota horizontal y = 1 Para situar la función respecto la asíntota horizontal se estudiaba el signo(f (x) + lim
asíntota horizontal) -
x2 9 x2 + 4 5 x2 9 1 =signo =signo 2 -2 2 2 2 x 4 x 4 x 4 El signo negativo del 1, signi…ca que la función está por debajo de la asíntota; el signo negativo del +1, signi…ca que la función está por debajo de la asíntota. signo
y
5 4 3 2 1
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
-1
5
x
-2 -3 -4 -5
Estudiemos la monotonía y los extremos relativos: x2 9 f (x) = 2 x 4 x x 10x 0 f (x) = 2 2 2 x2 9 = 2 2 2 2 x 4 (x 4) (x 4) signo
10x (x2
2
4)
!
-
+
+ 9 4 Creciente en (0; 2) [ (2; +1) Decreciente en ( 1; 2) [ ( 2; 0)
Mínimo en -2
0
y
2
0;
10 8 6 4 2
-5
-4
-3
-2
-1
1 -2
2
3
4
5
x
-4 -6 -8 -10
Estudiemos la curvatura y los puntos de in‡exión: 10 3x2 + 4 f 00 (x) = 3 (x2 4) + ! 10 3x2 + 4 Convexa en ( 2; 2) -2 2 signo 3 Concava en ( 1; 2) [ (2; +1) (x2 4)
3. f (x) =
x 3 Función racional con asíntota horizontal x+2
Eliminamos los puntos que anulan en denominador x + 2 = 0 =) x = 2 Dominio R-{-2} 8 3 0 3 > < x = 0 =) f (0) = = 3 0 + 2 2 Corte con los ejes: 0; ; (3; 0) x 3 > 2 : y = 0 =) = 0 =) x = 3 x+2 x 3 signo ; colocamos en la recta real las raíces del numerador y del denominador. x+2 y
12 10
-
+
8
+
6 4 2
-2
3
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
-2
3
4
5
x
-4 -6 -8 -10 -12
Los puntos que anulan en denominador, nos indican dónde están las asíntotas verticales
lim
x! 2
x 3 Consultando el =1 =) x+2
signo
12
y
10
8 > <
x 3 lim = -1 x! 2+ x + 2 x 3 > : lim = +1 x! 2 x + 2
+
-2
+ 3
8 6 4 2 -5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
-2
5
x
-4 -6 -8 -10 -12
x 3 x 3 = lim =1 x + 2 x! 1 x + 2 Asíntota horizontal y = 1 Para situar la función respecto la asíntota horizontal se estudiaba el signo(f (x) + lim
x!+1
asíntota horizontal)
x 3 x 3 x 2 5 1 =signo =signo -2 x+2 x+2 x+2 El signo positivo del 1, signi…ca que la función está por encima de la asíntota; el signo negativo del +1, signi…ca que la función está por debajo de la asíntota. signo
y
3
2
1
-5
-4
-3
-2
-1
1 -1
-2
-3
2
3
4
5
x
Estudiemos la monotonía y los extremos relativos: x 3 f (x) = x+2 5 0 f (x) = 2 ; siempre es positiva, por tanto creciente en todo su dominio. (x + 2) Estudiemos la curvatura y los puntos de in‡exión: 10 f 00 (x) = 3 (x + 2) + ! 10 Convexa en ( 1; 2) signo -2 3 Concava en ( 2; +1) (x + 2)
y
12 10 8 6 4 2
-5
-4
-3
-2
-1
1 -2 -4 -6 -8 -10 -12
2
3
4
5
x
4. f (x) =
x3 (x 1)2 2
Eliminamos los puntos que anulan en denominador (x 1) = 0 =) x = 1 Dominio R-{1} 8 03 > > =0 < x = 0 =) f (0) = (0x 1)2 (0; 0) Corte con los ejes: 3 x > > = 0 =) x = 0 : y = 0 =) (x 1)2 3 x =signo x3 signo (x 1)2 y
5 4
+
-
3 2 1
0
-5
-4
-3
-2
-1
1 -1
2
3
4
5
x
-2 -3 -4 -5
Los puntos que anulan en denominador, nos indican dónde están las asíntotas verticales + 8 3 x > > = +1 < lim 2 x3 Consultando el signo x!1+ (x 1) =1 =) lim 0 x3 x!1 (x > 1)2 > + 1 = : lim x!1 (x 1)2 y
5 4 3 2 1
-5
-4
-3
-2
-1
1 -1
2
3
4
5
x
-2 -3 -4 -5
Sabemos que no hay asíntotas horizontales y si oblícua porque del denominador. 8 x3 > > > > > x2 (x 1)2 > > = lim lim < 2 =1 x!+1 (x x!+1 f (x) x 1) = m = lim x3 x! 1 x > > > > > x2 (x 1)2 > > lim = lim : x! 2 =1 1 x! 1 (x x 1) 8 > x3 > > x = lim < lim x!+1 (x x!+1 1)2 n = lim (f (x) mx) = 3 x! 1 > x > > x =2 : lim x! 1 (x 1)2 Así que m = 1; n = 2 Asíntota oblícua y = x + 2 Para situar la función respecto la asíntota oblícua se estudiaba ! x3 3x 2 signo (x + 2) =signo =signo(3x 2) 2 (x 1)2 (x 1)
el grado del numerador supera en uno al grado
2x2 (x
x 2
1)
!
=2
el signo(f (x)
asíntota obícua)
-
+
2 3 El signo positivo del +1, signi…ca que la función está por encima de la asíntota; el signo negativo del signi…ca que la función está por debajo de la asíntota. y
5 4 3 2 1
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
x
-1 -2 -3 -4 -5
Estudiemos la monotonía y los extremos relativos: x3 f (x) = (x 1)2 x3 x2 (x 3) x2 2 f 0 (x) = 3 2 3 = 3 (x 1) (x 1) (x 1) + + + ! x2 (x 3) signo 0 1 3 3 (x 1)
y
27 4 Creciente en ( 1; 1) [ (3; 1) Decreciente en (1; 3) Mínimo en (3; f (3)) =
14 12 10 8 6 4 2
-4
-3
-2
-1
-2
1
2
3
4
x
-4 -6 -8 -10 -12 -14
Estudiemos la curvatura y los puntos de in‡exión: 6x f 00 (x) = 4 (x 1) + + ! Convexa en (0; 1) [ (1; +1) 6x Concava en ( 1; 0) signo 0 1 4 (x 1) Punto de in‡exión en (0; 0)