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Ejercicios 1.- Simplificar: a) d)
a x2 a2 x5
x x2 x2 x3
b)
x 2 x 1 x x 1 x 1
e)
4 x2 x2
c)
x 2 5x x x 5 2
f)
9x 2 4 9 x 2 12 x 4
2.- Calcular: a)
c)
80
x x3 x2 x2 4 x2 x2 9
x 2 6x 9 x 2 4x 4
b)
d)
1 2
x 10 x 25 x 2 x 1 2
x 5x 6
y
1 x5
x2 x x2 9
3.7 Práctico: Expresiones Algebraicas Ejercicio 1: Expresar con un monomio el área de la parte sombreada.
x x
Ejercicio 2: a) Verificar que el área del trapecio de la figura es A = 2xy. x
b) Expresar la diagonal mayor del trapecio utilizando x e y.
y 3x
Ejercicio 3: Expresar el área de las figuras siguientes mediante un polinomio. a)
b)
3
x 2x
x
x 10 x
Ejercicio 4: Expresar el área lateral, el área total y el volumen de los siguientes cuerpos geométricos, mediante un polinomio. a)
b) 3x
x+3 x
x-1
x
x
Ejercicio 5: Hallar la suma y diferencia de los polinomios: P ( x ) Q( x )
4x 3 5x 2 6x 4 2x 3 4 x 2 x 5
Ejercicio 6: ¿Cuánto debe valer x para que al sustituirla en cada una de las casillas resulte un cuadrado mágico? x-1
3x - 2
4 - (1- x)
3x
10 -(x+2)
x-2
x+1
2x - 3
3x - 1
La suma de las filas, de las columnas y de las diagonales debe ser la misma.
Ejercicio 7: Efectuar con los siguientes polinomios las operaciones que se indican: A( x )
3x 4 8x 2 5 ;
D( x )
x3 8;
B( x ) E( x )
x 2 x 1;
C( x )
2x 3 x 2 5 x 3
x 2;
F( x )
x2
a) A + C - B
b) C - 2D
d) A B
e) A B – E F
1 B 2 f) E C + D F
g) A y C
h) D y B
i) B y E F
c) 3C - 4D +
Ejercicio 8: Determinar los valores de a y b para que el polinomio:
Q( x )
3a b 5 x 2 4a b 9 x
sea idénticamente nulo.
81
Ejercicio 9: ¿Existe un único polinomio del tipo P(x) = ax3 + bx + c , tal que satisface la condición que P(1) + P(-1) = 6? Ejercicio 10: Calcular:
a) x 2 2 x 1
2
b) x 3 x 2 x 1
2
Ejercicio 11: Encuentre, si es posible, los coeficientes a, b, c y d, de tal manera que los polinomios P(x) = x4 + 2x3 + ax2 + bx + 1 y Q(x) = (x2 + cx +d )2 sean iguales. Ejercicio 12: Calcular las siguientes divisiones y expresarlas en la forma r D C d d
c) x
2 x 3 y x
a) x 6 4 x 4 x 2 y x 3 2 x 2 3
x2
2
1 3 1· § b) ¨ 3 x 3 x 2 x ¸ y 2 x 4 2 4 2¹ ©
4 x 2 x 5 y el resto
Ejercicio 13: En una división de polinomios el cociente es C( x ) es R( x )
d) 8 x 5 16 x 2 8 x y 2 x 3 x 2 1
1
x 3 x 1?
3 x 7 . ¿Cuál es el dividendo, si el divisor es d ( x )
Ejercicio14: Encontrar m de modo que la siguiente división sea exacta: ( 6 x 2 mx 15 ) y ( 2 x 3 )
Ejercicio 15:
Aplicar la regla de Ruffini para calcular el cociente y el resto de las siguientes divisiones:
a) 3 x 3 x 2 x 1 y x 1
c)
x
4
x 2 2 y x 2
e) 2 x 4 x 3 3 x 5 y x 2
b) x 5 10 x 7 y x 3 1 3 1· § d) ¨ x 3 x 2 x ¸ y x 1 2 4 2¹ ©
f) x 5 243 y x 3
Ejercicio 16: En el polinomio A( x ) x 5 2 x 4 x 3 3 x 2 kx 3 ¿cuánto vale k, si A(-1) = -2? Ejercicio 17: Dado el polinomio Q( x ) 2 x 3 4 x 2 x 5 , calcular Q(1). ¿Cuál es el resto de dividir Q(x) por (x – 1)? Ejercicio 18: Determinar, sin efectuar la división, en que casos el dividendo es múltiplo del divisor:
c) x e) x g) x
y x a y x a y x a
a) x 5 a 5 y x a 5
a5
4
a4
4
a4
d) x a y x a f) x a y x a h) x a y x a b) x 5 a 5 y x a 5
5
4
4
4
Observa los resultados obtenidos, ¿puedes generalizarlos?
82
4
Ejercicio 19: Calcular los valores de m y n para que el polinomio x 3 6 x 2 mx n sea divisible por:
x 2 x 12
Ejercicio 20: Hallar a y b en el polinomio 3 x 4 2 x 3 5 x 2 ax b para que sea divisible por: x 2 y el polinomio cociente tenga por término independiente 4. Ejercicio 21: Al dividir un polinomio por x 1 se obtiene resto 5, y al dividirlo por x 2 el resto que se obtiene es –1. ¿Qué resto se obtendrá al dividir el
mismo polinomio por x 1 x 2 ? 2 son raíces del polinomio Ejercicio 22: Comprobar que 3, -3, -5 y 3
P ( x ) 3 x 4 13 x 3 37 x 2 117 x 90 y escribir su descomposición factorial. (Ayuda: Es muy laborioso determinar el valor numérico de P(x) para las raíces dadas, una manera menos complicada es aplicar la regla de Ruffini sucesivamente. Es decir, por ejemplo, para x = 3, si P(3) = 0, en el cociente de P(x) por (x – 3) se vuelve a aplicar Ruffini para x = -3 y así se continúa hasta terminar con todas las raíces)
Ejercicio 23: Escribir un polinomio cuyas raíces son: -3, 5 y –7. Ejercicio 24: Calcular las raíces de los siguientes polinomios: a) x 2 10 x 25
b) x 2 5 x 4
c) x 2 3
d) x x 3
e) x 3 1
f) 3 x 2 2 x
Ejercicio 25: Encontrar un polinomio P(x): a) de grado 3 tal que P(0) = 10 y cuyas raíces sean
2 ,1y5; 3
b) de grado 2 tal que P(2) = - 6 y cuyas raíces sean 2 2
y 2 2
Ejercicio 26: Factorear: a) x 3 7 x 2 16 x 12
b) 5 x 3 x 5
c) 4 x 4 13 x 2 9
d) 2 x 4 6 x 3 18 x 2 10 x
e) 6 x 2 18 x 12
f) 2 x 3 5 x 2 x 2
g) x 4 8 x 3 11x 2 32 x 60
h) x 3 2 x 2 x
i) 4 x 3 4 x 2 25 x 25
Ejercicio 27: Buscar dos polinomios divisibles por x 3 , x 5 y x 2 . Ejercicio 28: Si el lado x, de un cuadrado, aumenta en un 10 %, ¿en qué porcentaje aumenta la superficie?
x
x
83
Ejercicio 29: ¿Cuáles de las siguientes expresiones algebraicas racionales son irreducibles? 2x 3 x4
a)
x 2 16 x4
b)
x 3
c)
d)
x 2 6x 9
x3 1 x2 x 1
Ejercicio 30: Simplificar: a) d)
g)
j)
ax 3
15 x 3 y 4
b)
a2x 2
x 1
10 y 5 x 2 x 3 x 2 2
e)
x2 1 x3 x2 x
h)
5x 2 5x 5
4 x 2 12 x 9 9 x2 4
k)
8x 3
c)
x3 x2
f)
x 2 2x
x2 x
x x2 x2 x 2
i)
x 2 2x 1 x4 1
x2 x 6
x 3 3 x 2 4 x 12
l)
1 x 2
22 x 2
x 3 2 x 2 9 x 18
Ejercicio 31: Determinar, entre las siguientes expresiones, las que son equivalentes: x4y
a)
b)
x5y 2
x 2 3x 2
c)
d)
2
x x2
x 2 2x 1 x2 1 x y ( x 1) 3 2
x y x2y 2
Ejercicio 32: Reducir a común denominador: xy
a)
2
x y
y
;
2
3
x yx y
1
b)
2 2
2
x 2x 3
x2
;
2
x 4x 3
x
;
y x y 3 x 3
;
x2 9
Ejercicio 33: Calcular y simplificar: a)
c)
2( x 3 ) x 2 2x 3 x5 2
x 4x 3
x3 x 2 4x 3 2x 6
d)
2
x 3x
Ejercicio 34: Al simplificar la expresión x 1 y 1 a) x + y
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b)
xy xy
b)
c) xy
1
x x2 x 1 x2 1 x 2
x 1
1 2
x 2x 1
1
, es resultado que se obtiene es:
d)
1 xy
e)
xy xy
Ejercicio 35: Operar y simplificar: a)
x 2
x 4
x3 1 2x
b)
2
3x 1 x
5
x3
c)
2
9x 6x 1
x3 x
2
x2 4
x 5x 6 x 2 x
Ejercicio 36: Operar y simplificar: 1 1 y 2 x 2 3 x 12
a)
b)
x3 x2 4
y
x 2 x 12
c)
x3 8
x3 x x2 x 1
y
4x 2 4
x2 x 2
Ejercicio 37: Resolver: a) 3 x
x2 x3
b)
§ 1 2x c) ¨¨ 1 x 1 x 2 © e)
g)
· § § x2 x· d) ¨ y ¸ y ¨¨1 ¸¸ ¸ © ¨ y y ¹ ¹ ©
· § 1· ¸¸ ¨1 ¸ x ¹ ¹ ©
3· § 1 · § 1¸ ¨ 3 x ¸ f) ¨ x¹ © x 1 ¹ ©
x 1 2 x 5 x x 25 5 1 x 2 6x 9
1 x2 9
x · § x 1 · § 1 h) ¨ ¸¨ ¸ © x 1 x 1¹ © x 1 x 1¹
1 x 2 6x 9
ab c i) a(b c ) a
j)
§ y 2 ·¸ x 3 y 3 k) ¨ x y ¨ x y ¸¹ x 2 ©
m)
o)
y 2 6y 9 4y 2 4
y
x x 1 x 1 x
y2 9 2y 1 y 2
a1 1 a2 a 1 a3 1 a2 a 1
1
a( b 5 ) ab a 5
2x 3 · 25 § l) 26 x 6 ¨ 3 x ¸ 5 © ¹ 169 x 2 9
n)
p)
x 4 1 2ax 2 x 4 x 2 1 1 2x x 6 1 x 2 2 x 1 ax 5m 2
m 1 4
4 5 1 1 m 1 m 1 2 2
85
86