Alberto Entero Conde Maite González Juarrero

La integral y sus aplicaciones EJERCICIOS

MATEMÁTICAS II

EJERCICIOS RESUELTOS 1. Calcula F ′ ( x ) en los siguientes casos: x

x

a) F ( x) = ∫ cos t dt

b) F ( x ) = ∫ ( t 2 + 1) dt

0

0

x2

d) F ( x ) = ∫ cos t dt

e) F ( x ) = ∫

0

g) F ( x ) =

∫

2 x

2

c) F ( x) =

t

e dt 2 t +1

h) F ( x) =

2x 0

∫

u ( x)

x

−3

t + 2 dt

x3

f) F ( x ) = ∫ et +1dt

( t + t ) dt

v( x)

∫

2

2

3

i) F ( x) =

f (t )dt

∫

2x

e cos t dt

x

x

a) F ( x) = ∫ cos t dt Como f ( t ) = cos t es continua en ℝ, F ( x ) es derivable en ℝ, siendo: 0

F ′ ( x ) = f ( x ) = cos x ∀x ∈ ℝ . x

2

f ( t ) =t +1 b) F ( x ) = ∫ ( t 2 + 1) dt  → F ′ ( x ) = f ( x ) = x 2 + 1 ∀x ∈ ℝ f ( t ) cont. en ℝ 0

x

f (t )= t + 2 c) F ( x ) = ∫ t + 2 dt  → F ′ ( x ) = f ( x ) = x + 2 ∀x ∈ ℝ f ( t ) cont. en ℝ −3

x2

d) F ( x ) = ∫ cos t dt 0

f ( t ) = cos t cont. en ℝ ⇒ F ′ ( x ) = f ( u ( x ) ) ⋅ u ′ ( x ) = cos ( x 2 ) ⋅ ( x 2 )′ ⇔ F ′ ( x ) = 2 x cos x 2 ∀x ∈ ℝ 2 u ( x ) = x deriv. en ℝ

e) F ( x ) = ∫

2x 0

( t + t ) dt 2

f ( t ) = t + t 2 cont. en ℝ 2 2 ⇒ F ′ ( x ) = f ( u ( x ) ) ⋅ u ′ ( x ) = 2 x + ( 2 x ) ⋅ ( 2 x )′ ⇔ F ′ ( x ) = 8 x + 4 x ∀x ∈ ℝ u ( x ) = 2 x deriv. en ℝ

(

x3

)

f) F ( x ) = ∫ et +1dt 2

3

2

2 f ( t ) = et +1 cont. en ℝ ( x3 ) +1 ⋅ x3 ′ ⇔ F ′ x = 3 x 2e x6 +1 ∀x ∈ ℝ ′ ′ ⇒ F x = f u x ⋅ u x = e ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) u ( x ) = x 3 deriv. en ℝ

x2 et et g) F ( x ) = ∫ 2 2 dt = − ∫ 2 dt 2 t +1 x t +1 2 2 et f (t ) = 2 cont. en ℝ −e x −2 xe x 2 ′ ⋅( x ) ⇔ F′( x) = 4 ∀x ∈ ℝ ⇒ F ′ ( x ) = − f ( u ( x ) ) ⋅ u′ ( x ) = t +1 2 2 x +1 2 x + 1 ( ) u ( x ) = x deriv. en ℝ

2

h) F ( x ) = ∫

v( x) u( x)

f (t )dt = ∫

a u ( x)

f (t )dt + ∫

v( x) a

f (t )dt =

∫

v( x) a

f (t )dt − ∫

u ( x)

f (t )dt ⇒

a

⇒ F ′ ( x ) = f ( v ( x ) ) ⋅ v′ ( x ) − f ( u ( x ) ) ⋅ u ′ ( x ) -1-

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i) F ( x) =

∫

2x x

a

2x

2x

a

a

e cos t dt F ( x ) = ∫ e cos t dt + ∫ ecos t dt = ∫ ecos t dt − ∫ x

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x

ecos t dt

a

f ( t ) = ecos t cont. en ℝ v ( x ) = 2 x deriv. en ℝ ⇒ F ′ ( x ) = 2e cos 2 x −

e cos x ∀x > 0 2 x

u ( x ) = x deriv. en ( 0, ∞ ) x2

2. Estudia monotonía y concavidad de F ( x) = ∫ e − t dt 2

0

Como para cualquier otra función, el estudio de la monotonía se hace analizando el signo de su primera derivada. Por el teorema fundamental del cálculo: 2 x2 2 4 −( x2 ) F ( x) = e −t dt ⇒ F ′ x = e ⋅ x 2 ′ ⇔ F ′( x) = 2 xe − x

∫

( )

( )

0

sig ( F ′ ( x ) ) = sig ( x )

−

0

+

Monotonía de F ( x )

4

4

F ′( x ) = 2 xe − x ⇒ F ′′ ( x ) = 2e − x (1 − 4 x 4 ) sig F ′′ ( x ) = sig (1 − x 4 )

−

Concavidad

+ − 2 2

− 2 2

de F ( x ) x2

F ( x ) = ∫ e − t dt 2

0

f ( x ) = e− x

2

3. Si la gráfica (I) corresponde a la función f ( t ) , ¿cuál o cuáles de las otras tres puede ser la de

F ( x) =

∫

x

0

f (t )dt ? Razona la respuesta.

(I)

( II )

-2-

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( III )

( IV )

Como F ′ ( x ) = f ( x ) , la gráfica (I) nos da información sobre el crecimiento y decrecimiento de F ( x ) .

sig ( F ′ ( x ) )

−

Monotonía

−1

+

2

−

de F ( x )

La monotonía de F ( x ) descarta la gráfica (II), mientras que las otras dos sí se ajustan al resultado obtenido. x

0

0

0

F ( x ) = ∫ f (t )dt ⇒ F ( 0 ) = ∫ f (t )dt = 0 ⇒ ( 0, 0 ) es un punto de la gráfica de F ( x ) , condición que no cumple la (IV). La gráfica de F ( x ) es la curva (III) 4. Halla los valores de las constantes: a, b, c, d y k sabiendo que: x

F ( x ) = ∫ ( t 3 − t + 1) et dt = e x ( ax 3 + bx 2 + cx + d ) + k 0

x

Si las funciones F ( x ) = ∫ ( t 3 − t + 1) et dt y G ( x ) = e x ( ax 3 + bx 2 + cx + d ) + k son iguales, sus 0

derivadas son iguales:  a =1  3a + b = 0 F ′ ( x ) = e ( x − x + 1) Identificando  coeficientes →  ⇒ G′ ( x ) = e x ( ax 3 + ( 3a + b ) x 2 + ( 2b + c ) x + c + d )  2b + c = −1  c + d = 1 x

3

a =1 b = −3 c=5 d = −4

Para determinar k imponemos que las dos funciones tengan el mismo valor en un punto. Como 0

F ( 0 ) = ∫ ⋯ dx = 0 ⇒ G ( 0 ) = 0 ⇔ d + k = 0 ⇒ k = 4 0

5. Determina, en función de b > 0 , el valor de la integral

∫

b

0

x − 1 cos x dx .

La presencia del valor absoluto implica una definición por intervalos. Buscamos esta definición para x > 0 que es lo único que nos interesa. (1 − x ) cos x 0 ≤ x ≤ 1 f ( x ) = x − 1 cos x =  x >1  (x − 1)cos x Vamos a necesitar una primitiva de estas dos expresiones, que se diferencian en el signo. u = x − 1 ⇒ du = dx ⇒ ∫ ( x − 1)cos x dx = ( x − 1)sen x − ∫ sen x dx = ( x − 1) sen x + cos x + C1 . dv = cos x dx ⇒ v = sen x

∫ (1 − x )cos x dx = (1 − x ) sen x − cos x + C -3-

2

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Si b ∈ [0,1] ⇒ F (b) = Si b > 1 ⇒ F (b) =

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b

∫ (1 − x )cos x dx = [(1 − x )sen x − cos x]

b 0

0

= (1 − b )sen b − cos b + 1

b

1

∫ (1 − x )cos x dx + ∫ (x − 1)cos x dx = 1 − cos1 + [(x − 1)sen x + cos x] 0

b 1

1

=

= ( b − 1) sen b + cos b − 2 cos1 + 1 . Con lo que la función pedida es: F (b) =

∫

b

0

0 ≤ x ≤1 (1 − b )sen b − cos b + 1 x − 1 cos x dx =  x >1 (b − 1)sen b + cos b − 2 cos1 + 1

6. Enuncia el teorema del valor medio del cálculo integral. Encuentra el punto o puntos en los la función f ( x ) = x 4 − x 2 alcanza este valor medio en el intervalo [1,2] . El teorema del valor medio del cálculo integral nos dice que si f : a , b  → ℜ es una función b

continua en a , b , entonces ∃α ∈ [a, b ]

∫

Se llama valor medio de la función f (x )

∫ en el intervalo [a, b ] a

a

f ( x)dx = f (α )(b − a ) . b a

que este valor medio se alcanza en algún punto de [a, b ] .

f ( x) dx .

b−a

El teorema afirma

En nuestro caso

∫

2

1

x 4 − x 2 dx =

3

12 −1 2 −2 x ) ( 4 − x 2 ) dx = ( ∫ 2 1

2

2 32  −1  ( 4 − x )  = = 3 2  32   1

∫ El valor medio de la función en [1,2] es

1

2

f ( x ) dx

= 3. 2 −1 Para encontrar el valor de x en el que se alcanza dicho valor hay que resolver la ecuación:

3

x 4 − x 2 = 3 ⇒ x 2 (4 − x 2 ) = 3 ⇒ x = 1, x = −1, x = 3 , x = − 3 . De estos cuatro valores, 1 ∧ 3 ∈ [1, 2] 7. Encuentra el valor medio de la función en el intervalo que en cada caso se indica, así como el punto en el que éste se alcanza. x−2 a) f ( x) = en el intervalo [0,2] b) f ( x ) = e x en el intervalo [0,2] 3 a) Como

∫

2

0

2

 x2 2x  x−2 −2 3 −1 dx =  −  = −2 3, el valor medio de la función en [ 0, 2] es = 3 3 0 2−0 3 6 −1 α − 2 −1 ⇔ = ⇒ α = 1∈ [ 0, 2] Este valor se alcanza en α f (α ) = 3 3 3 -4-

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∫

b)

2

0

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2

e x dx = e x  = e 2 − 1. El valor medio de la función en [ 0, 2] es 0

e −1 , que se alcanza cuando: 2 2

2

f (α ) =

2

e2 − 1 2

2

e −1 e −1 e −1 ⇔ eα = ⇒ α = ln ≈ 1,16 2 2 2

α

8. Halla los máximos y mínimos en el intervalo [2,10] de la función F ( x) = La función F ( x) =

∫

1

x

∫

1

x

ln t dt con x > 1 .

ln t dt es continu a en [2,10] , por lo que alcanza un máximo y un mínimo

relativo en este intervalo. Por el teorema fundamental del cálculo: F ′( x) = ln x > 0 ∀x ∈ [2,10] , por lo que F (x ) es estrictamente creciente en este intervalo, por lo que el mínimo absoluto es F ( 2) y el máximo absoluto F (10) . Para encontrar el valor de estos extremos absolutos tenemos que encontrar la expresión de F (x ) I = ∫ ln t dt se hace por partes:

1 u = ln t ⇒ du = dt ⇒ I = t ln t − ∫ dt = t ln t − t ⇒ t dt = dv ⇒ t = v 2 4 2 F (2) = ∫ ln t dt = [t ln t − t ]1 = 2 ln 2 − 1 = ln es el mínimo absoluto 1 e 10 1010 10 F (10) = ∫ ln t dt = [t ln t − t ]1 = 10 ln10 − 9 = ln 9 es el máximo absoluto. 1 e

9. a) Calcula la integral

∫

3

1

x 4 + 5 x 2 dx

b) Halla los valores mínimos absolutos de la función f ( x ) = 12 − 3x 2 a)

∫

1

x =3

2 2   1 1 3 1 3 1  ( 4 + 5x )  2 2 2 2 2 ′ x 4 + 5 x dx = ∫ 10 x 4 + 5 x dx = ∫ ( 4 + 5 x ) ( 4 + 5 x ) dx = = 10 1 10 1 10  3 2    x =1 3

3

 ( 4 + 5x2 ) 4 + 5x2  15  

b) f ( x ) = 12 − 3x 2 ⇒ D f = [ −2, 2] y f ′ ( x ) =

x =3

  = 316 15   x =1

−3x

si x ∈ ( −2, 2 ) . Los extremos absolutos 12 − 3x 2 pueden alcanzarse en los puntos de los extremos del intervalo: x = −2 , x = 2 , o en el punto crítico x =0. -5-

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f ( −2 ) = f ( 2 ) = 0

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El mínimo absoluto de la función es 0, que se alcanza en x = 2 y en x = 2 . El máximo absoluto es 2 3, que se alcanza en x = 0.

⇒ f ( 0 ) = 12 = 2 3

Calcula el área comprendida entre la curva y =

1 , el eje OX y las rectas verticales que pasan 1 + x2

por los puntos de inflexión de dicha curva.

−α

Esta curva conviene saber representarla, pues aparece con frecuencia, pero si no es así tampoco es imprescindible la gráfica para resolver el problema. Es fácil comprobar que la función es par, por lo que su gráfica es simétrica respecto del eje OY. Además, y > 0 ∀x, α 1 dx , siendo por lo que el área pedida será A = 2∫ 0 1 + x2 α > 0 la abscisa de uno de los puntos de inflexión.

α

Hallamos este valor de α igualando la segunda derivada a cero. 6x 2 − 2 1 − 2x f ( x) = ⇒ f ′( x ) = ⇒ f ′′( x ) = . 2 3 1 + x2 1 + x2 1+ x2

(

A = 2∫

)

3 3 0

(

)

f ′′( x) = 0 ⇒ α = 3 3

1 π 2 3 3 dx = 2 [arctg x ] 0 = u 2 1+ x 3

10. Halla el área del recinto limitado por la gráfica de f ( x ) = ln x , el eje OX y la recta tangente a dicha gráfica en el punto x = e . La recta tangente está determinada por:  A(e, f (e) ) = (e,1) t≡ ⇒ mt = f ′(e) = 1 e

A

1 x ⇒ t : y − 1 = ( x − e) ⇔ t : y = e e Representando las dos gráficas que limitan el recinto, observamos que el área pedida ( A) se obtiene fácilmente restando a la de un triángulo (e 2 ) la del recinto limitado bajo la curva y = ln x . ( A1 ) . Basta entonces calcular esta última.

A1

e

e

A1 = ∫ ln x dx . Recordando que ∫ ln x dx = x ln x − x + C ⇒ A1 = [x ln x − x ]1 = 1 , resulta: e

1

A=

e e−2 2 −1 = u 2 2

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11.

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Encuentra el área del recinto plano determinado por la elipse de ecuación

x2 y2 + = 1. a2 b2

Como caso particular, demuestra que el área del circulo de radio R es igual a π R 2 . Por las simetrías de la figura, bastará determinar el área A y multiplicar por 4. Esta área se obtiene por integración de la ecuación explícita de la curva: x2 y 2 + 2 = 1 ⇒ b 2 x 2 + a 2 y 2 = a 2b 2 ⇒ 2 a b b 2 a 2b 2 − b 2 x 2 2 a − x2 y = ⇒ y= 2 a a

b 2 2 f ( x) = a −x a

b

A a

A=

La integral I = ∫ x = sen t ⇒ a

a b a 2 b a 2 2 a − x 2 dx = ∫ a 1 − ( x a ) dx = b ∫ 1 − ( x a ) dx ∫ 0 a 0 a 0

2

1 − ( x a ) dx se obtiene con un cambio de variable:

dx = a cos t dt ⇒ I = a ∫ cos 2 t dt .  2  1 − (x a ) = cos t

La integral de cos 2 t se obtiene teniendo en cuenta las siguientes igualdades trigonométricas: cos 2 t − sen 2 t = cos 2t  Sumando 1 + cos 2t a → 2 cos 2 t = 1 + cos 2t ⇒ cos 2 t = I = ∫ (1 + cos 2t ) dt    2 2 2 2 cos t + sen t = 1  I =

a  sen 2t  t +  2 2 

 x = 0 ⇒ t = arcsen 0 = 0 Teniendo en cuenta este resultado y que en el cambio de variable:   x = a ⇒ t = arcsen 1 = π 2 t =π 2

A = b∫

x=a

x=0

a bπ 2 a b  sen 2t  1 − ( x a ) dx = = u t+   4 2  2  t =0 2

Por lo que el área del recinto pedido es abπ u 2 El área del círculo de radio R es un caso particular del anterior en el que a = b = R , por lo que su área es π R 2 u 2 .

-7-