Capítulo 9

TRANSFORMACIONES DE f (x) = x2

9.1.1 – 9.1.2

A fin de lograr un buen dominio de la modelación de datos y relaciones en situaciones cotidianas, los alumnos deben ser capaces de reconocer y transformar los gráficos de distintas funciones. Los alumnos comenzarán modelando datos obtenidos al pesar discos con distintos radios. Luego investigarán cómo transformar funciones cuadráticas y descubrirán formas de desplazar y estirar verticalmente parábolas modificando sus ecuaciones. También aprenderán a graficar una función cuadrática en forma de graficación sin crear una tabla. En cursos futuros, los alumnos transformarán otros tipos de funciones. Para más información, consulta el recuadro de Apuntes de matemáticas de la Lección 9.2.1.

Ejemplo 1 y 2

A la derecha, puedes ver el gráfico de f (x) = x . Explica en qué se diferenciarán los gráficos de las funciones dadas a continuación de este gráfico original. g(x) = –2x2

h(x) = (x + 3)2

j(x) = x2 – 6

k(x) = 41 x 2

l(x) = 3(x – 2)2 + 7

x

Todas las funciones anteriores tienen algo en común: todas son funciones cuadráticas, y todas formarán una parábola al graficarlas. La única diferencia estará en la dirección de apertura (arriba o abajo), la forma (comprimida o estirada verticalmente), y/o la ubicación del vértice. El “–2” en g(x) = –2x2 le hace dos cosas a la parábola. El signo negativo cambia la dirección de la parábola, que se abrirá hacia abajo. El “2” estira el gráfico y lo hace parecer más “delgado”.

y

El gráfico de h(x) = (x + 3)2 tendrá la misma forma que el de f (x) = x2, abierto hacia arriba, pero se encontrará 3 unidades a la izquierda.

x

El gráfico de j(x) = x2 – 6 también tendrá la misma forma que f (x) = x2, abierta hacia arriba, pero se desplazará 6 unidades hacia abajo. La función k(x) = 14 x2 no se desplaza, y también se abre hacia arriba, pero el la parábola verticalmente, y la hará parecer más “ancha”.

1 4

comprimirá

La última función, l(x) = 3(x – 2)2 + 7, combina todas estas transformaciones. El “3” estira el gráfico verticalmente (lo hace más delgado) y hace que se abra hacia arriba, el “–2” lo desplaza a la derecha 2 unidades, y el “+ 7” lo desplaza hacia arriba 7 unidades. Puedes ver todos estos gráficos a la derecha. Une cada función con la parábola correcta. Guía para padres con práctica adicional

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Ejemplo 2 ¿Cuál es el vértice de la parábola de cada una de las funciones cuadráticas dadas a continuación? f (x) = –2(x + 4)2 + 7

g(x) = 5(x – 8)2

h(x) =

3 2 5 x

–

2 5

En una función cuadrática, el vértice es el punto de ubicación. Nos da un punto de partida para graficar la parábola rápidamente. El vértice de la función cuadrática en forma de graficación, f (x) = a(x – h)2 + k, es el punto (h, k). En la función f(x) = –2(x + 4)2 + 7, h = –4 y k = 7, así que el vértice es (–4, 7). Ya que g(x) = 5(x – 8)2 también puede escribirse como g(x) = 5(x – 8)2 + 0, el vértice es (8, 0). Reescribe h(x) =

3 2 5 x

–

2 5

como h(x) =

3 5

(x – 0)2 –

2 5

y podrás ver que su vértice es (0, – 25 ).

Problemas Describe la transformación, grafica y halla el vértice de las siguientes funciones cuadráticas: 1.

y = –2(x – 1)2 + 3

2.

y = (x + 5)2 – 6

3.

y = (x + 2)2 – 25

4.

y = 2(x + 6)2 – 1

2.

Vértice: (–5, –6)

Respuestas 1.

Vértice: (1, 3)

y

Parábola abierta hacia abajo, estirada verticalmente, con su vértice desplazado 1 unidad a la derecha y 3 unidades hacia arriba. 3.

Vértice: (–2, –25)

Parábola con su vértice desplazado 5 unidades a la izquierda y 6 unidades hacia abajo.

x

4.

y

Parábola con su vértice desplazado 2 unidades a la izquierda y 25 unidades hacia abajo.

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x

y

Vértice: (–6, –1) Parábola estirada verticalmente, con su vértice desplazado 6 unidades a la izquierda y 1 unidad hacia abajo.

x

y

x

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Capítulo 9

FORMA DE GRAFICACIÓN Y COMPLETAR CUADRADOS

9.1.3

En la Lección 9.1.3, los alumnos aprenderán que, cuando la ecuación de una parábola está escrita en forma de graficación, f (x) = (x – h)2 + k, su vértice puede ser identificado como (h, k). Por ejemplo, en el gráfico de f (x) = (x + 3)2 – 1, el vértice de la parábola se encuentra en (–3, –1). Cuando la ecuación de la parábola se encuentra en forma estándar, f (x) = ax2 + bx + c, podemos usar el proceso de completar cuadrados para reescribir la ecuación en forma de graficación. Podemos usar azulejos algebraicos para visualizar el proceso. Para revisar este proceso, consulta la sección Resolver completando el cuadrado del Capítulo 5 de esta Guía para padres con práctica adicional.

Ejemplo 1 Completa cuadrados para reescribir f (x) = x2 + 5x + 2 en forma de graficación. Identifica el vértice y el punto de corte con el eje y, y grafica la parábola. Mueve el término constante al otro lado de la ecuación: f (x) – 2 = x2 + 5x Identifica el valor que debes sumar a ambos lados de la ecuación para convertir x2 + 5x en un cuadrado perfecto, elevando al cuadrado la mitad del coeficiente término x: Suma

25 4

( 52 )2 = 254

2 25 a ambos lados de la ecuación: f (x) − 2 + 25 4 = x + 5x + 4

(

5 Simplifica el lado izquierdo y factoriza el trinomio del lado derecho: f (x) + 17 4 = x+ 2

(

Esto puede reescribirse como: f (x) = x + 52

)2 − 174 .

(

)2

)

Ahora la función se encuentra en forma de graficación. El vértice es − 52 , − 17 4 o (–2.5, –4.25). El punto de corte con el eje y es el punto donde x = 0.

y

Substituye x por 0 en la ecuación original: f (0) = 02 + 5(0) + 2 = 2; el punto de corte con el eje y es (0, 2). x

Usa el vértice y el punto de corte con el eje y para graficar la función.

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Ejemplo 2 Completa cuadrados para reescribir f (x) = x2 + 8x + 15 en forma de graficación e identifica el vértice de la parábola. f (x) = x2 + 8x + 15 f (x) – 15 = x2 + 8x Mueve el término constante al otro lado. Suma el cuadrado de la mitad del ( )2 2 f (x) – 15 + 16 = x + 8x + 16 término x a ambos lados. f (x) + 1 = x2 + 8x + 16 Simplifica el lado izquierdo de la ecuación. 2 f (x) + 1 = (x + 4) Factoriza el lado derecho de la ecuación. 2 f (x) = (x + 4) – 1 Mueve el término constante de vuelta al lado derecho. Por lo tanto, la ecuación en forma de graficación es f (x) = (x + 4)2 – 1. El vértice se encuentra en (h, k) = (–4, –1).

Problemas Completa cuadrados para reescribir la ecuación de cada función en forma de graficación. Luego menciona el vértice de cada parábola. 1.

f (x) = x2 + 6x + 7

2.

f (x) = x2 + 4x + 11

3.

f (x) = x2 + 10x

4.

f (x) = x2 + 7x + 2

5.

f (x) = x2 – 6x + 9

6.

f (x) = x2 + 3

7.

f (x) = x2 – 4x

8.

f (x) = x2 + 2x – 3

9.

f (x) = x2 + 5x + 1

10.

f (x) = x 2 − 13 x

Respuestas 1.

f (x) = (x + 3)2 – 2; (–3, –2)

2.

f (x) = (x + 2)2 + 7; (–2, 7)

3.

f (x) = (x + 5)2 – 25; (–5, –25)

4.

f (x) = (x + 3.5)2 – 10.25; (–3.5, –10.25)

5.

f (x) = (x – 3)2; (3, 0)

6.

f (x) = x2 + 3; (0, 3)

7.

f (x) = (x – 2)2 – 4; (2, –4)

8.

f (x) = (x + 1)2 – 4; (–1, –4)

9.

5 21 f (x) = (x + 52 )2 − 21 4 ; (− 2 , − 4 )

10.

1 ; (1 , − f (x) = (x − 16 )2 − 36 6

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1 36 )

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Capítulo 9

RESOLUCIÓN DE DESIGUALDADES CUADRÁTICAS

9.2.1

Existen varios métodos para resolver desigualdades cuadráticas con una variable, pero un método que funciona con muchos tipos de desigualdades consiste en transformar la desigualdad en una ecuación, resolverla, y graficar las soluciones en una recta numérica. Las soluciones a la ecuación, llamadas puntos frontera, dividen la recta numérica en regiones. Al probar un número de cada región en la desigualdad original, podemos determinar si los números en esa región son soluciones. Los puntos frontera pueden ser parte de la solución (≥ o ≤) o no (> o 0

3.

y2 – 5y < 0

4.

x2 – 3x – 4 < 0

5.

–x2 – 9x – 14 < 0

6.

y2 ≤ 16

7.

3x2 + 7x – 6 ≥ 0

8.

x2 + 4x – 8 < 4

9.

y2 + 6y + 9 > 0

10.

x(7x – 26) ≤ 8

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Respuestas 1.

–4 < x < –2

2.

y5

3.

0