Relacion 4.CONTINUIDAD Y LÍMITE FUNCIONAL 1 Demuestrese i) que si una función tiene límite, éste es único. ii) aplicando la de…nición de límite, que 1 a) limx!0 xsen x1 = 0 b) limx!1 (x¡1) 4 = 1 iii) que no existe limx!0 cos x1 2 Estúdiese la continuidad de la funcion f :R¡!R; de…nida por: f (x ) =

(

x si x2Q 1 ¡ x si x 2 R ¡ Q

3 Sean f y g funciones de R en R, continuas en todo R. Supongamos que f (x) = g(x); 8x 2 Q. Pruébese que f = g: En particular, si f :R ¡!R es continua en R y f restringida a Q es constante, entonces f es constante. 4 Sea A un conjunto no vacío de números reales : Sea f :R ¡!R la función de…nida por f (x ) := inf fj x ¡ a j; a 2 Ag : Pruébese que j f(x) ¡ f(y) j·j x ¡ y j; 8x; y 2 R: Dedúzcase que f es continua en todo R: 5 Estúdiese la continuidad de las funciones f; g :R¡!R de…nidas por: 1

2 8x 2 R

f (x) = E (x2 ) 8 <

xE

g (x) = : 1

µ ¶

1 x

si x 2 R¤ = R ¡ f0g si x = 0

6 Pruébese que toda función de N en R es continua, esto es, que las sucesiones de números reales son funciones continuas. 7 Pruébese que si A es un conjunto …nito no vacío de números reales, toda función real de…nida en A es continua en A. 8 Consideremos el conjunto de números reales: ½

¾

1 A= : n 2 N [ f0g. n Pruébese que toda función real de…nida en A es continua en

½

¾

1 :n2N : n

Dése un ejemplo de una función real f de…nida en A que no sea continua en 0. 9 Utilícese la caracterización " ¡ ± de la continuidad para probar que la función f : R¡!R dada por f (x) = x2 ; 8x 2R; es continua en R. 10 Compruébese la continuidad de las funciones i) f (x) = x2 ¡ 2x

ii) f (x) = Ln x + 1

(x > 0)

en un punto cualquiera x0, determinando para cada " > 0 un número ± > 0 tal que jf (x) ¡ f (x0 )j · " siempre que sea jx ¡ x0 j · ±. 11 Sean f1 y f2 funciones de R en R continuas en R. Estúdiese la continuidad de la función f : R ¡!R, de…nida por: ( f1(x); si x 2 R¡ f (x ) = f2(x); si x 2 R+ 0 12 Dado un número real positivo a, pruébese que existe x 2R+ tal que x = a: El tal x es único. (Existencia y unicidad de la raíz cuadrada para reales positivos). 13 Dése un ejemplo de una función continua cuya imagen no sea un intervalo. 2

3 14 Dése un ejemplo de una función de…nida en un intervalo cuya imagen sea otro intervalo y que no sea continua. 15 Dése un ejemplo de una función continua en todo R, no constante y cuya imagen sea un intervalo acotado. 16 Dése un ejemplo de una función continua de…nida en un intervalo abierto y acotado y cuya imagen sea un intervalo cerrado y acotado. 17 Dése un ejemplo de una función continua en [0; 1[ tal que f ([0; 1[) sea no acotado. 18 Pruébese que si I es un intervalo y f : I ¡!R es una función que veri…que f (I) ½ Q, entonces f es constante. 19 Sea A un conjunto no vacío de números reales. Supongamos que toda función continua de A en f0; 1g (es decir cuya imagen esté incluída en el conjunto f0; 1g) es constante. Pruébese que A es un intervalo. 20 Pruébese que todo polinomio de grado impar admite al menos una raiz real. 21 Sea f : [0; 1] ¡! [0; 1] una función continua en [0; 1]. Pruébese que f tiene un único punto …jo: 9x 2 [0; 1] tal que f(x) = x: 22. -Determínese un r 2R + tal que la función polinómica p; dada por p (x) := x 9¡100x 4+3x 3 ¡2 ; se anule en, al menos, un punto del intervalo [¡r; r]. 23 Determínense los valores del número real k para los cuales la función p(x) = x3 ¡ 3x + k se anula en algún punto del intervalo [¡1; 1] : 24 Suponiendo que la temperatura varía de manera continua a lo largo del Ecuador, pruébese que, en cualquier instante, existen dos puntos antípodas sobre el Ecuador que se hallan a la misma temperatura. 25 Sean f : ]0; 1[ ¡! R y g :R¡! R , de…nidas por: a) f (x) = x; 8x 2 ]0; 1[ 8 > > > > <

b) g (x) = > > > > :

x si x 2 R+ 0 1+x x si x 2 R¡ 1¡x

Compruébese que f y g son continuas y acotadas pero no tienen extremos absolutos.

4 26 Dése un ejemplo de función continua en un punto x0 ; que no tenga signo constante en ningún entorno ]x0 ¡ ±; x0 + ±[ ; con ± > 0; de dicho punto. 27 Pruébese que si f :R¡!R es una función continua en cero, entonces exsite un número real positivo ±; tal que la restricción de f al intervalo [¡±; ±] está acotada. 28 Sea I un intervalo cerrado y acotado y f : I !R una función continua en I . Supongamos que existe una sucesión (xn) de puntos de I, tal que f (xn ) =

1 , 8n 2N . n

Pruébese que 0 2 f (I) : Muéstrese con ejemplos que la hipótesis de que el intervalo sea cerrado y acotado no puede suprimirse. 29 Sea f : [¡1; 1] ! R , la función de…nida por: f (x ) =

x2 1 + x2

8x 2 [¡1; 1]

Determínese la imagen de f. 30 Sea f : [¡1; 1] ¡!R, la función de…nida por f (x) =

2x ; 8x 2 [¡1; 1] : 1 + jxj

Determínese la imagen de f: 31 Sea f :R¡!R una función continua en R. Pruébese que si la restricción de f a Q es monótona, entonces f es monótona. 32 Sea I un intervalo y f : I ¡!R una función inyectiva. Analícese la relación entre las siguientes a…rmaciones: a) f es continua b) f (I) es un intervalo. c) f es estrictamente monótona. d) f ¡1 es continua. 33 Pruébese que si A es un conjunto …nito no vacío de números reales, toda función de A en R es uniformemente continua. 34 Pruébese que la suma de dos funciones uniformemente continuas es uniformemente continua. 35 Pruébese que si f y g son funciones uniformemente continuas y acotadas, entonces fg es uniformemente continua. Póngase de mani…esto, con

5 un ejemplo, la necesidad de la condición de acotación de f y g. Basta que lo esté sólo una de ellas? 36 Sea f : A ¡!R una función real de variable real. Supongamos que existe un número real positivo k, tal que: jf (x) ¡ f (y)j · k jx ¡ yj ;

8x; y 2 A:

Pruébese que f es uniformemente continua.

1 37 Compruébese que la función f : R+ ¡!R dada por f (x) = x 8x 2R+ no es uniformemente continua. 38 Sea f : Q ¡!R, una función uniformemente continua. Pruébese que existe una función g :R¡!R, uniformemente continua, cuya restricción a Q coincide con f: 39 Sean a y b números reales con a < b y sea f : ]a; b[ ¡!R una función. Pruébese que f es uniformemente continua sí, y sólo si, f es la restricción al intervalo ]a; b[ de una función continua en el intervalo [a; b] : 40 Pruébese la siguiente versión del teorema de Bolzano: i) Sea f : A¡! R una función continua tal que limx!a+ f (x) < 0 y limx!b¡ f (x) > 0. Entonces, existe c 2 (a; b) tal que f (c) = 0: ii) Pruébese que la ecuación tgx = x tiene in…nitas soluciones. x 41 Pruébese que la función f(x) = ; con x 2R, es uniformemente 1 + x2 continua. 42 Sea A un conjunto no vacío de números reales y sea ® un número real. Pruébese que ® es un punto de acumulación de A si, y sólo si, existe una sucesión estrictamente monótona de puntos de A que converge a ®. 43 Sea A un conjunto de números reales no vacío, mayorado y que no tiene máximo. Pruébese que Sup(A) es un punto de acumulación de A. 44 Determínese el conjunto de puntos de acumulación de cada uno de los conjuntos siguientes: a) ;

b)R

c) N

d) Q e)R½¡ Q f) ]0; 1] ¾ 1 g) :n2N n 45 Sea f : A ¡!R y ® 2 A0 : Pruébese que f tiene límite en el punto ® sí, y sólo si, para toda sucesión (an ) de puntos de A, distintos de ®;

6 convergente a ®, la sucesión la sucesión (f (an )) es convergente. ¿Es cierto el mismo enunciado, pero considerando sólo sucesiones monótonas?. 46 Sea f : A ¡!R y ® 2 A0: Pruébese que las siguientes a…rmaciones son equivalente: a) f tiene límite en el punto ®: b) 8" 2R +, existe ± 2R + : x; y 2 A, 0 < jx ¡ ®j < ± 0 < jy ¡ ®j < ±

=) jf (x) ¡ f (y)j < "

47 Sea f : A ¡!R, ® 2 A0 y supongamos que limx!® f (x) = l 6= 0: Pruébese que existe un número real positivo ± tal que: x 2 A, 0 < jx ¡ ®j < ±=) lf (x) > 0 : (Otra versión del lema de conservación del signo). 48 Sea f : R ¡!R, ® 2R y consideramos la función g : R ¡!R, de…nida por g (x) = f (® + x) ¡ f (® ¡ x) para todo x en R . Pruébese que si f tiene límite en el punto ®, entonces limx!0 g (x) = 0: ¿Es cierto el recíproco?. 49 Consideremos el conjunto de números reales: ½

¾

1 A= : n 2 N [ f0g. n y sea f : A ¡!R función. Pruébese que f tiene límite en cero, si y sólo µ una µ ¶¶ 1 si, la sucesión f es convergente: Dedúzcase que f es continua en A, µ ¶ n 1 sí y sólo si, f ¡! f (0) : n 50 Sea f : ]¡1; 1[ ¡!R , de…nida por: 8 > > > <

1 si ¡1 < x < 0 1 + x f (x) = > a si x=0 > > : 1 + x2 si 0 > > > > > <

f (x ) = > > > > > > > :

1 1+x 0 1 1 + x2 E(x)

si

x < ¡1

si x = ¡1 si x=0 si 1 · x < 2 si 3 · x · 5

Estúdiese la existencia de límites y la continuidad de f clasi…cando sus discontinuidades. 55 Sea A un conjunto no vacío de números reales y f : A !R una función monótona. Pruébese que f tiene límites laterales en todo punto de A donde tenga sentido hablar de tales límites laterales. Por tanto todas las discontinuidades de una función monótona son evitables o de salto. dedúzcase que el conjunto de puntos de discontinuidad de una función monótona es numerable. 56 Sea f : ]0; 1] ¡!R la función de…nida por f (x) = 1=x. Estúdiese si f es uniformemente continua en ]0; 1] : 57 Demuéstrese que una función uniformemente continua en un subcto A de R; tb es continua en A. 58 Estudiese la continuidad uniforme de la función f : (0; 1) ! R de…nida por f (x) = senx=x: 59 Sea f : R ¡!R una función. Supongamos que existe un número real positivo ® tal que f (x) = f (® + x) para todo x en R . Pruébese que si f tiene límite en +1 ó en ¡1, entonces f es constante. 60 Pruébese que las sucesiones convergentes de números reales son las funciones de N en R que tienen límite en +1.

8 61 Sea A un conjunto de números reales no mayorado y f : A !R una función. Probar que f(x) ! ¡1 (x ! +1) , si y solo si, 8k 2R; 9 m 2R tal que si x 2 A y x > m ) f (x) < k. 62 Enúnciense y demuéstrense caracterizaciones análogas a las del ejercicio anterior para los casos siguientes: i) f(x) ! +1 (x ! ®; x > ®) ii) f (x) ! ¡1 (x ! ®) 63 Sea f : [0; 1[ ¡!R , una función continua y supongamos que f(x) ¡! 1 (x ¡! 1). Pruébese que la imagen de f contiene la semirrecta cerrada de origen f (0): 64 Sea f : ]0; 1[ !R , de…nida por: f(x) =

2x ¡ 1 x(x ¡ 1)

8x 2 ]0; 1[

Pruébese que f(x) ¡! 1 (x ! 0) y f(x) ¡! ¡1 (x ! 1) y dedúzcase que la imagen de f es todo R. 65 Sea f : R ¡!R una función polinómica no constante. Pruébese que f diverge en +1 y en ¡1: 66 Sea f : R ¡!R una función polinómica de grado impar. Pruébese que la imagen de f es todo R. 67 Sean f; g : R ¡!R funciones polinómicas no constantes. Sea B := fx 2 R : g (x) 6= 0g(Obsérvese que B no está mayorado ni minorado). Estúdiese el comportamiento en +1 y ¡1 de la función racional f : B ¡!R . g 68 Sea f : A ¡! R una función real de variable real, tal que f (x) 6= 0; para todo x en A. Sea ® un punto de acumulación de A. Pruébese que: limx!® f (x) = 0 ,

1 (x) ¡! 1 jfj

(x ¡! ®)

69 Estúdiese la existencia y la continuidad de la función inversa f ¡1 de la función

9 f(x) = (1 + 70 71 a) b) c) d) 72

p

3

x) ;con x ¸ 0.

1 ¡ x3 Idem para la función f(x) = ; x > 0. x3 Calcúlense los siguientes límites: p 3 x¡1 x2 (1 ¡ cos x) limx!1 e) limx!0 x¡1 sen4 x 2 p x ¡ 2x limx!1 ( 4 x4 + 1 ¡ x) f ) limx!2 2 x ¡ 4x + 4 µ 1 ¡ tg x 1 3 ¶ ¼ limx! 4 g) limx!1 ¡ cos 2x 1 ¡ x p 1 ¡ x3 p 2 x ¡ senx x¡ a limx!0 p h) limx!a 1 ¡ cos x x¡a Calcúlense los siguientes límites:

x2 ¡ 1 2x2 ¡ x ¡ 1 2x ¡ 1 (b) limx!1 2 (x ¡ 1)(x ¡ 4) senx (c) limx!1 x tan x ¡ senx (d) limx!0 sen 3x (a) limx!1

x (e) limx!0+ p 1 ¡ cos x cos x ¡ cos3 x (f) limx!0 2 p x p 1 + senx ¡ 1 ¡ senx (g) limx!0 x