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1. [2014] [C-MA] [JUN-B] Se considera la función f(x) =

|x|-t

si x  2

2

x -6x+8 si x > 2

a) Halla el valor de t para que f sea continua en x = 2. b) Para t = 1, representa gráficamente la función f. x2+2x si x < -1 t si -1  x  1

2. [2014] [C-MA] [EXT-A] Se considera la función f(x) =

x2-2x si

x>1

a) Halla el valor de t para que f sea continua en x = 1. b) Para t = 0, representa gráficamente la función f.

3. [2014] [MADR] [JUN-B] Se considera la función real de variable real definida por f(x) =

x2 . x-2

a) Determínense sus asíntotas. b) Determínense el dominio y los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f.

4. [2014] [RIOJ] [JUN] Determinar, si existen, las asíntotas verticales y horizontales de la función f(x) =

5. [2014] [RIOJ] [EXT] Calcular el siguiente límite

2x+1

lim

2

x +x-2

x-2

-

x2-4 x2-1

.

1 . x+2

6. [2013] [C-LE] [JUN-B] El rendimiento físico de cierto deportista de élite durante un tiempo de 60 minutos, viene dado a través -t(t-20) si 0  t < 15 75 si 15  t < 30 de la función f(x) = 5t si 30  t  60 100 6 a) Representa gráficamente dicha función. b) A la vista de la gráfica obtenida, identifica en qué momentos del tiempo el deportista alcanza su máximo rendimiento físico, mantiene su rendimiento físico y disminuye su rendimiento físico.

7. [2013] [C-MA] [JUN-A] Se considera la función f(x) =

|-x-1| - t si x  2 x-5 si x > 2

a) Halla el valor de t para que f sea continua en x = 2. b) Para t = 2, representa gráficamente la función f.

8. [2013] [C-MA] [EXT-A] Se considera la función f(x) =

x+t

si x  2

(x-4)2+1 si x > 2

a) Halla el valor de t para que f sea continua en x = 2. b) Para t = 0, representa gráficamente la función f.

9. [2013] [MADR] [EXT-B] Se considera la función real de variable real definida por f(x) =

ax2-3 si x  1 ln(2x-1) si x > 1

a) Calcúlese a para que la función f sea continua en todo . b) Represéntese gráficamente la función para el caso a = 3. Nota: ln x denota el logaritmo neperiano del número x.

10. [2013] [RIOJ] [JUN] Calcula el siguiente límite: lim

x1

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2x2+4 2

x -1

-

3 . x-1

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11. [2012] [C-MA] [JUN-B] Se considera la función f(x) =

x2-x+t si x  2 (x-3)2+1 si x > 2

. Se pide:

a) Halla el valor de t para que f sea continua en x = 2. b) Para t = 0, representa gráficamente la función f.

12. [2012] [C-MA] [EXT-A] Se considera la función f(x) =

(x+1)2-t si x  0 . Se pide: |x-2|-3 si x > 0

a) Halla el valor de t para que f sea continua en x = 0. b) Para t = 3, representa gráficamente la función f. 13. [2012] [EXTR] [JUN-B] En una granja dedicada a la cría de pollos, el peso de los mismos en función de la edad viene representado -x2+bx si 0  x  21 , donde x representa la edad en días y P el peso en gramos. Se sabe que la c si x > 21 función es continua y a los 14 días un pollo pesa 2198 gramos. a) Determinar las constantes b y c. Justificar la respuesta. b) Representar gráficamente el peso en función de x. por la siguiente función: P(x) =

14. [2012] [EXTR] [EXT-A] Una pieza es sometida a un proceso de modificación durante 4 horas. La temperatura T, en grados centígrados, que adquiere la pieza en función del tiempo x, en horas, viene dado por la expresión: T(x) = Ax-Bx2, 0  x  4. Se sabe que al acabar el proceso (x = 4) la pieza está a 0 grados centígrados y que a las dos horas la temperatura es de 40 grados centígrados. a) Determinar las constantes A y B. Justificar la respuesta. b) Representar gráficamente la temperatura en función del tiempo.

15. [2012] [MURC] [JUN-A] Dada la función f(x) =

3x+1 x-1

si x < -1 si -1  x < 2

ax2-6ax+5 si

2x

a) Estudiar la continuidad en x = -1. b) Hallar a para que la función sea continua en x = 2. c) Para a = 1 hacer una representación gráfica de la función.

16. [2012] [RIOJ] [JUN] Sea la función f(x) =

17. [2012] [RIOJ] [EXT] Calcula lim

x3

1 16-x2

. Calcula asíntotas horizontales y asíntotas verticales.

6 3x+9 . x-3 x2-3x

18. [2011] [ARAG] [JUN-B] Estudios realizados han permitido determinar que el nivel medio diario de monóxido de carbono, CO2, en el aire en partes por millón (ppm), en una ciudad está relacionado con la población p expresada en miles de habitantes, por la siguiente expresión: C(p) =

p2 +17. La evolución del tamaño de población en esta ciudad en t años se estima que está dada por 2

la relación p(t) = 3,1+0,1t2 en miles de habitantes. ¿Con qué rapidez estará variando la concentración de CO2 en esta ciudad dentro de 3 años?

19. [2011] [C-MA] [JUN-B] Se considera la función f(x) =

-x2-6x-8 si x  -2 0 si -2 < x  2 . x2-6x+8 si

x>2

a) Límites laterales de la función f en el punto x = -2. b) Representación gráfica de la función f.

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4 -2x

20. [2011] [C-MA] [EXT-B] Se considera la función f(x) =

si x  -2 si -2 < x  0 . Se pide:

-x2+4x si x>0 a) Límites laterales de f en el punto x = 0. ¿Es continua la función en x = 0? b) Representación gráfica de la función f. x2

21. [2011] [MURC] [JUN-A] Dada la curva de ecuación f(x) =

2

x -x-6

, calcular:

a) El dominio de definición. b) Las asíntotas.

22. [2011] [MURC] [EXT-B] Dada la curva de ecuación y =

3x2+4 x2-3x+2

, calcular:

a) El dominio de definición. b) Las asíntotas.

23. [2011] [RIOJ] [EXT] La distancia de un móvil y su puesto de control viene dada por la función D(t) =

100t2+100

t2+5 distancia D(t) se mide en kilómetros y la variable t representa los segundos transcurridos desde la puesta en marcha. a) ¿A cuántos kilómetros se encuentra el móvil en el momento de ponerlo en marcha? b) ¿A qué valor tiende la distancia cuando el tiempo tiende a infinito?

, donde la

3x-1 . x+2 a) Determine sus asíntotas horizontales y verticales, si existen. b) Si f'(x) > 0 en todo el dominio de la función f, calcule los límites laterales cuando x tiende a –2 y esboce la gráfica de la función f.

24. [2010] [CATA] [JUN] Considere la siguiente función: f(x) =

x2

. x2-1 a) Determine su dominio y los valores de x para los que el signo de la función f es negativo. b) Determine las asíntotas horizontales y verticales de la función f.

25. [2010] [CATA] [EXT] Dada la siguiente función: f(x) =

26. [2010] [EXTR] [JUN-A] El porcentaje de alumnos que asistena a un curso de inglés, durante los 10 meses de duración del mismo, At2+Bt+C si 0  t  3 . 28 si 3 < t  10 Sabiendo que inicialmente el 100% de los alumnos asisten al curso, que transcurrido un mes desde su inicio hay un 60% de asistencia y que al cumpirse el tercer mes la asistencia se reduce a un 28%: a) Determinar las constantes A, B y C. Justificar la respuesta. b) Representar gráficamente la evolución del porcentaje de asistencia a dicho curso durante los 10 meses de su duración. viene dado a través de la función P(t) =

27. [2010] [MURC] [JUN-A] Dada la curva de ecuación y =

x-2 x2+2x-3

, calcular:

a) Dominio. b) Asíntotas.

28. [2010] [MURC] [EXT-A] Dada la curva de ecuación y =

3x2-5x-6 x2-x-2

, calcular:

a) Dominio. b) Asíntotas.

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x-1

29. [2010] [RIOJ] [JUN] Consideramos la función f(x) =

, con b un número real. x -3x+b a) Calcula el valor de b para que f(x) tenga como asíntota vertical la recta x = 2. b) Para el valor de b obtenido en a), calcula el límite lim f(x). 2

x+1

30. [2010] [RIOJ] [EXT] La distancia entre un móvil y su puesto de control viene dada por la función D(t) =

100t2+100

t2+5 distancia D(t) se mide en kilómetros y la varaible t representa los segundos transcurridos desde la puesta en marcha. a) ¿A cuántos kilómetros se encuentra el móvil en el instante de ponerlo en marcha? b) ¿A qué valor tiende la distancia cuando el tiempo tiende a infinito?

31. [2009] [MURC] [JUN] Dada la curva f(x) =

x+1 2

x +x-2

, donde la

, calcular:

a) El dominio. b) Las asíntotas. c) Hacer una representación gráfica de la misma.

32. [2008] [C-LE] [JUN-B] Sea f(x) =

ax2+bx+c xi x  3 . La representación gráfica es la siguiente: mx+n xi x > 3

Calcula la expresión de la función f(x) sabiendo que el punto A es el vértice de la parábola. 33. [2008] [CATA] [EXT] La siguiente gráfica representa una función polinómica de segundo grado (parábola). a) Halle el vértice de la parábola y las intersecciones con los ejes. b) Determine la ecuación de la parábola.

Y

4 3 2 1 -1

X

1 2 3 4 5 6 7 8

2x-1 , calcular: x+1 a) Los puntos de corte con los ejes coordenados. b) Las asíntotas. c) Hacer una representación gráfica de la misma.

34. [2008] [MURC] [JUN] Dada la curva y =

35. [2008] [MURC] [EXT] Dada la curva de ecuación y =

1 , determinar: 2(x+1)

a) Los puntos de corte con los ejes coordenados. b) Las asíntotas. c) Hacer una representación gráfica aproximada de la curva.

36. [2008] [RIOJ] [JUN] ¿Cuántas asíntotas verticales tiene la función f(x) =

37. [2008] [RIOJ] [EXT] Calcula el siguiente límite: lim

x2

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x+4 x2-16

?

5 2x+6 x-2 x2-2x

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38. [2007] [ASTU] [JUN] La profundidad de la capa de arena de una playa se verá afectada por la 2+t2 , 0  t  1 construcción de un dique. En una zona de la playa, esa profundidad vendrá dada por la siguiente P(t) = 8t2-t-1 función (P es la profundidad en metros y t el tiempo en años desde el inicio de la construcción). Si la , t>1 2t2 profundidad llegara a superar los 4 metros, se debería elevar la altura del paseo marítimo. a) ¿Es la profundidad una función continua del tiempo? b) ¿Disminuirá alguna vez la profundidad? Por mucho tiempo que pase, ¿será necesario elevar la altura del paseo por causa de la profundidad de la capa de arena? c) Dibuja la gráfica de la función. 39. [2007] [ASTU] [EXT] La cantidad que ingresa mensualmente una empresa en una entidad bancaria depende del saldo quepresente su cuenta a fin de mes, y la calcula de acuerdo con la siguiente función. I(x) es el ingreso cuando el saldo es x (ambascantidades 4-0'025x , 0  x  60 . en miles de euros): I(x) = 750+3x , x > 60 20+10x a) ¿Es la cantidad ingresada una función continua del saldo a fin de mes? b) ¿Decrece alguna vez la cantidad ingresada al aumentar el saldo a fin de mes? Aunque el saldo a fin de mes crezca mucho, ¿ingresara alguna vez la empresa menos de 100 euros? ¿Y menos de 400? c) Dibuja la gráfica de la función. -4x+a si 40. [2007] [CATA] [JUN] Considere la siguiente función definida a trozos: f(x) =

x  -2

x2-5 si -2 < x < 1 bx+3 si 1  x

a) Calcule los valores de a y de b para que f (x) sea continua para todo x. b) Haga un gráfico de la función obtenida en el apartado anterior.

41. [2007] [MADR] [EXT-A] Dada la función real de variable real definida por f(x) =

x2-x x2-3x+2

a) Especificar su dominio de definición. b) Estudiar su continuidad. c) Calcular sus asíntotas, si las hubiera. 42. [2007] [MURC] [JUN] Cierto artículo se vende a un precio u otro según la cantidad comprada, de acuerdo con los siguientes datos: a 10 euros el kg. si 0  x < 5 a 9 euros el kg. si 5  x 2 . 3 si x = 2

a) Representarla gráficamente. b) Estudiar su continuidad y en caso de que exista algún tipo de discontinuidad, decir de qué tipo de discontinuidad se trata.

44. [2007] [RIOJ] [JUN] Calcula los valores de a, b para que la función f(x) =

x+a si x  0 1+x- 1-x si 0 < x < 1 sea continua en todo 3x bx si x  1

punto.

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45. [2007] [RIOJ] [EXT] El número de individuos, en millones, viene dado por la función f(t) =

18+t2

, donde t es el tiempo medido en (t+3)2 años, desde t = 0. Calcula la población inicial y el tamaño de la población a largo plazo, cuando el tiempo tiende a .

46. [2006] [CATA] [EXT] En los seis primeros meses, desde que abrió, una librería ha ido anotando el número de compradores decada 1000x-600 , donde x es el número del mes contado desde la mes. Dicho número N(x) se puede ajustar por la función N(x) = x apertura. a) ¿Cuántos compradores tuvieron el segundo mes? ¿En qué mes, contado a partir de la apertura, tuvieron 900 compradores? b) Supongamos que la fórmula dada sirve para predecir el número de compradores en el futuro. ¿Podemos asegurar que dicho número siempre irá en aumento? Explique detalladamente el porqué de la respuesta.

47. [2006] [MADR] [EXT-A] Dada la función real de variable real definida por f(x) =

x2-16 x2-4

a) Encontrar las asíntotas de la función. b) Especificar el signo de la función en las distintas regiones en las que está definida. 2t2+3t+4

, donde t es el tiempo en t2+2t+5 horas. Calcula la temperatura inicial, la temperatura cinco horas más tarde y la temperatura que puede alcanzar el objeto si se deja transcurrir mucho tiempo.

48. [2006] [RIOJ] [JUN] La temperatura (en ºC) de un objeto viene dado por la función f(t) = 10

49. [2006] [RIOJ] [EXT] Halla el valor de k para que la sigueinte función sea continua en todo punto: f(x) =

50. [2005] [MADR] [EXT-A] Se considera la curva de ecuación y =

x3-8 si x  2 . x-2 k si x = 2

x3

. Se pide: x2+1 a) Hallar la ecuación de la recta tangente a dicha curva en el punto de abscisa X = 1. b) Hallar las asíntotas de la curva.

51. [2005] [RIOJ] [JUN] ¿Cuál es el dominio de la función f(x) =

52. [2004] [CATA] [JUN] Sea f(x) =

ex-1

si x < 1 2

(x+a) si x  1

ln x x2-4

?

. ¿Para qué valores del parámetro a la función es continua?

53. [2004] [CATA] [EXT] Una empresa de alquiler de coches ofrece la posibilidad de escoger entre dos tarifas: A: 20 € por día más 0,2 € por kilómetro recorrido B: 40 € por día a) Exprese, para cada tarifa, el coste del alquiler en función del número t de días de duración del viaje y del kilometraje x. b) Si se han de hacer 1000 km en 8 días, ¿a qué tarifa conviene acogerse? ¿Y si el viaje de 1000 km ha de durar 12 días? c) Si hay que hacer 1000 km, ¿para qué duración del viaje el coste es el mismo con las dos tarifas? Explique qué tarifa nos interesa escoger en función del número de días que dure el viaje.

54. [2004] [MADR] [JUN-B] Se considera la función real de variable real f(x) =

x2-4 x2-1

.

a) Determinar su dominio de definición. b) Obtener sus asíntotas.

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55. [2004] [MURC] [JUN] Calcular a, b, c y d para que sea continua la función f(x) y representarla gráficamente. 1 x si x < 2 2 3x-a si 2  x < 3 f(x) = b si 3  x < 5 -x+c si 5  x < 7 d si 7  x 56. [2004] [MURC] [EXT] Cierto artículo se vende a un precio u otro según la cantidad comprada, de acuerdo con los siguientes datos: A 100 euros el kilo, si 0  x < 5 A 90 euros el kilo, si 5  x < 10 A 75 euros el kilo, si 10  x < 20 A 55 euros el kilo, si 20  x , donde x representa el peso en kilos. Escribir la función que representa la ganacia obtenida por el vendedor, representarla gráficamente y estudiar su continuidad

57. [2004] [RIOJ] [EXT] Calcula el valor de k para que la siguiente función sea continua en todos sus puntos: f(x) =

58. [2003] [MADR] [EXT-B] Sea la función f(x) =

-x3+1 2x2+2x-12

1 x si x < 2 . 2 2x+k si x  2 -

. Se pide:

a) Especificar su dominio de definición. b) Estudiar su continuidad. c) Calcular las asíntotas si las hubiera. 59. [2003] [MURC] [JUN] Suponga que en su casa hay un cuarto de baño con ducha y otro con bañera. Los caudales de agua que salen por la ducha y por el grifo de la bañera son, respectivamente, de 12 litros/minuto y 9.6 litros/minuto. Si decide bañarse necesita tener abierto el grifo de la bañera durante 10 minutos para que se llene. El agua caliente del baño proviene de un termo eléctrico y calentarla hasta la temperatura que le gusta cuesta 0.01 euro por litro. El agua de la ducha se calienta con un calentador de gas y calentarla a esa temperatura sale por 0.8 céntimos de euro por litro. ¿Cuánto tiempo puede durar una ducha para que le salga más barato que darse un baño? 60. [2003] [MURC] [EXT] Un vendedor puede elegir entre dos tipos de contrato. Al mes cobraría: > Con el de tipo A, 900 euros fijos, más el 1% de lo que exceda de 6000 euros el valor de sus ventas. > Con el de tipo B, 500 euros fijos, más el 2% de lo que exceda de 12000 euros el valor de sus ventas. a) Para cada tipo de contrato, escriba las expresiones que dan el sueldo del vendedor en función de lo que venda. b) Represente gráficamente esas dos funciones. c) ¿Cuánto debe vender para que sea más ventajoso el contrato B?

61. [2003] [RIOJ] [JUN] Calcula la constante k para que la siguiente función sea continua en todos los puntos: f(x) =

x2 si x < 3 x+k si x  3

Soluciones Y

3 2 1

11. a) t = 0 b) -1

Y

Y

12. a) 2 b) X

1 2 3 4

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-2 -1

1 2 3 -2 -3

Y

X

13. a) 171, 3150 b)

14. a) 40, 10 b) X

10 20 30 40

15. a) cont b)

1 c) 2

X

1 2 3 4

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MasMates.com Colecciones de ejercicios 1 Y -1

Y

X

1 2 3 4 5 6

-2 -3 -4

Y

1

X

16. y = 0; x = -4, x = 4 17. 1 18. 5 ppm 19. a) 0 b) -4 -3 -2 -1

1 2 3 4

3

20. a) 0; si b)

-2 -3

21. a) -{-2,3} b) x

1 -3

-1

X

1 2 3 4 5

Y

6

= -2, x = 3, y = 1 22. a) -{1,2} b) x = 1, x = 2, y = 3 23. 20, 100 24. a) x = -2; y = 3 b) -6 50 b)

-2

X

2 4 6

Y

27. a) -{-3,1} b) x = -3; x = 1; y = 0

30 10

28. a) -{-1,2} b) x = -1; x = 2; y = 3

29. 2; -1

30. 20; 100

31. a) - {-2,1} b) x = -2; x = 1; y = 0 c)

X

-10 10 2 Y

Y

1 -2 -1

25. a) -{-1,1}; (-1,1) b) x = -1; x = 1; y = 1 26. a) 8, -48, 100

2

X

1 2

32.

x2-4x+5 xi x  3 1 - x+3 xi x > 3 3

33. a) (4,1); (0,3), (2,0), (6,0) b) f(x) =

1 2 x -2x+3 4

34. a)

1 ,0 , 0,-1 2

3 b) x = -1; y = 2 c)

1 -3 -1

-2 5 Y

1

b) x = -1; y = 0 c) -2 -1

X

1

36. 1

37.

3 2

38. a) si b) no, no c)

3

1 2

X

2 4 6

41. a) - {1,2} b) - {1,2} c) x =2; y = 1 42. a)

-8

3

-1 10x 9x 7x 5x

Y

30 39. a) Disc. en 60 b) si, no, si c)

1

-2 -2 -4

1

35. a) 0,

-3 2 Y

2 Y

X

X

40. a) -9, -7 b)

10

X

-10 10 30 50 70

1 2 3 4 5

si 0  x < 5 si 5  x < 10 c) -{5,10,20} 43. a) si 10  x < 20 si x  20

b) -{2}; salto 44.

2, 6 b) tiende a 1000 47. a) x = -2; x = 2; y = 1 b) pos: (-,-4)(-2,2)(4,+) 48. 8, 17'25, 20 49. 12 50. a) y = xY

-1 1

X

3

5

7

45. 2, 1 46. a)

1 b) y = x 51. (0,2)(2,+) 52. 0, 2 53. a) 2

3 20t+0'2x; 40t b) B, A c) 10; t 12000

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