MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES I 1o Bachillerato Internacional. Grupo I. Curso 2009/2010. Hoja de ejercicios III Polinomios

E JERCICIO

1

Calcular el cociente y el resto en las siguientes divisiones:

1. (x4 − 4x2 + 12x − 9) : (x2 − 2x + 3) 2. (3x4 − x2 − 1) : (3x2 − 3x − 4)

E JERCICIO

2

Consideremos las fracciones algebraicas

3

siguientes:

(a)

4x2 − 4x + 1 2x + 1

(b)

6x3 + 5x2 − 9x 3x − 2

(c)

15x − 2x3 − 4 + x4 x−2

(d)

x7 − 2x4 + 2x + 1 x3 − x

reescribirlas de la forma

E JERCICIO

P (x) Q(x)

P (x) R(x) = C(x)+ , siendo R(x) un polinomio tal que deg(R) < deg(Q). Q(x) Q(x)

Utilizar la Regla de Ruffini para determinar el cociente y el resto de las siguientes

divisiones: 1. (x4 + x2 − 20x) : (x + 2) 2. (x4 − 81) : (x + 3)

E JERCICIO

4

Determinar P (−2) y P (5) siendo P (x) = x4 − 3x2 + 5x − 7.

E JERCICIO

5

En cada caso, determinar el valor de m ∈ R para que la división sea exacta:

1. (2x3 − 9x2 + 2x + m) : (x − 4) 2. (x4 − 3x3 + mx − 3) : (x + 3) 3. (4x3 + mx2 − 2x + 1) : (x + 1)

1

E JERCICIO

6

El resto de la división (7 + kx + 3x2 − x3 ) : (x + 2) es −7. Hallar el valor de k ∈ R.

E JERCICIO

7

Sea a ∈ R. Efectuar la división (x8 − a8 ) : (x − a)

E JERCICIO

8

Hallar el valor de k ∈ R para que el siguiente polinomio sea divisible por x + 2: P (x) = 3x3 − kx2 + 6k − 2

E JERCICIO

9

Escribe un polinomio de segundo grado P (x) = ax2 + bx + c, con a, b, c ∈ R y a 6= 0,

tal que: Sea divisible por x − 3. Sea divisible por x + 4. Su valor numérico en x = −1 sea 12.

E JERCICIO

10

E JERCICIO

11

La división de x3 + mx + 2 entre x − 2 da de resto 6. Hallar m ∈ R.

Halla el número que hay que sumar a P (x) = x3 − 2x2 − 5x para que sea

divisible por x − 3.

E JERCICIO

12

Determinar a, b ∈ R para que el polinomio x5 + ax3 + b sea divisible por x2 − 1.

E JERCICIO

13

Consideremos los siguientes pares de polinomios:

( (a)

Q(x) = x3 − 2x2 − x + 2 (

(c)

P (x) = x3 − 3x2 + 4

P (x) = x7 − x6 + 2x4 − 2x3 + x − 1 Q(x) = x4 − 2x2 + 1

( (b)

Q(x) = x5 − x4 − 2x3 (

(d)

P (x) = x6 − 2x5 − 3x4 + 4x3 + 4x2

P (x) = x4 − 7x3 + 13x2 + 3x − 18 Q(x) = x6 − 8x5 + 18x4 + 4x3 − 47x2 + 12x + 36

En cada caso, se pide: ³ ´ 1. Utilizando el Algoritmo de Euclides , hallar el m.c.d. P (x), Q(x) . ³ ´ 2. A partir del m.c.d. P (x), Q(x) hallado en 1. y teniendo en cuenta que: ³ ´ ³ ´ ³ ´ m.c.d. P (x), Q(x) ·m.c.m. P (x), Q(x) = P (x)·Q(x) ⇔ m.c.m. P (x), Q(x) = ³ ´ hallar m.c.m. P (x), Q(x) .

2

P (x) · Q(x) ³ ´ m.c.d. P (x), Q(x)

E JERCICIO (a)

(d)

x2

14

Descomponer en factores y simplificar:

x2 − 4 + 4x + 4

−2x4 + 5x3 − 5x + 2 2x4 + 7x3 + 3x2 − 8x − 4

E JERCICIO

15

(a)

(c)

E JERCICIO

(b)

x3 − x2 − 8x + 12 x2 + x − 6

(c)

x3 − 5x2 + 8x − 4 x3 − x2 − 8x + 12

(e)

x4 − 1 x4 − 2x3 + 2x2 − 2x + 1

(f)

x4 + 10x3 + 21x2 − 40x − 100 x4 + 3x − 10

Realizar las siguientes operaciones con fracciones algebraicas:

x+1 3 x−2 − + x − 1 x + 1 x2 − 1

x2

16

2x − 3 x2 − +3 + 2x + 1 x−1

(b)

(d)

1−x 2x x2 + 5x − 10 + − 2 x+3 x−2 x +x−6

x2

x2 + 1 x2 + + 2x + 1 x + 1

Factorizar los siguientes polinomios:

1. P (x) = 6x3 + 7x2 − x − 2 2. P (x) = x3 − 5x2 − x + 5 3. P (x) = x3 − 3x + 2 4. P (x) = x5 − 3x4 − 5x3 + 27x2 − 32x + 12 5. P (x) = x4 + 4x3 + 6x2 + 4x + 1 6. P (x) = 6 − 14x + 10x2 − 2x3 7. P (x) = x3 − 3x2 − 10x + 24 8. P (x) = x6 − 4x4 − x2 + 4 9. P (x) = 14 x4 + 34 x2 +

9 16

10. P (x) = 3 + x − 5x2 − x3 + 2x4 11. P (x) = 6x5 + 11x4 + 3x3 − 3x2 − x

E JERCICIO

17

Factorizar P (x) = x3 + bx2 − 3x sabiendo que x = 1 es una de sus raíces.

E JERCICIO

18

Determinar el valor de k ∈ R para que al simplificar la expresión: 3+ k−

x−9 x−1 x+1 x−1

resulte un polinomio de grado 1.

3

E JERCICIO A1 =

19 1 1+x

Consideremos las siguientes expresiones algebraicas: 1

A2 = 1+

1

1

A3 =

1

1+

1+x

1+

1

A4 =

1

1+

1

1

1+

1+x

1+

1 1+x

1. Simplicarlas, expresándolas como el cociente de polinomios de primer grado. 2. Hallar A1 + A2 + A3 + A4 .

E JERCICIO

20

(Transformaciones de polinomios ) Resolver los siguientes apartados:

1. Consideremos el polinomio P (x) = x2 − 12x + 35. Se pide: 1.1. Sean p1 y p2 las raíces de P (x). Determinar p1 y p2 . 1.2. Hallar el polinomio Q(x) = P (x + 2). 1.2.1. Sean q1 y q2 las raíces de Q(x). Determinar q1 y q2 . 1.2.2. ¿Qué relación hay entre las raíces de P (x) y las de Q(x)?. 1.3. Hallar el polinomio R(x) = P (x − 3). 1.3.1. Sean r1 y r2 las raíces de R(x). Determinar r1 y r2 . 1.3.2. ¿Qué relación hay entre las raíces de P (x) y las de R(x)?. 1.4. Determinar un polinomio M (x) de grado 2 cuyas raíces sean p1 − 1 y p2 − 1. 1.5. Determinar un polinomio N (x) de grado 2 cuyas raíces sean p1 + 5 y p2 + 5. 2. Consideremos el polinomio Pb(x) = x2 + 4x − 117. Se pide: 2.1. Sean pˆ1 y pˆ2 las raíces de Pb(x). Determinar pˆ1 y pˆ2 . b 2.2. Hallar el polinomio Q(x) = Pb(−x). b 2.2.1. Sean qˆ1 y qˆ2 las raíces de Q(x). Determinar qˆ1 y qˆ2 . b 2.2.2. ¿Qué relación hay entre las raíces de Pb(x) y las de Q(x)?. 2.3. Determinar un polinomio de grado 2 cuyas raíces sean −p1 y −p2 , siendo p1 y p2 las raíces del polinomio P (x) del apartado 1. 3. Consideremos el polinomio Pe(x) = x2 − x − 6. Se pide: 3.1. Sean p˜1 y p˜2 las raíces de Pe(x). Determinar p˜1 y p˜2 . ¡ ¢ e 3.2. Hallar el polinomio Q(x) = x2 · Pe x1 . e 3.2.1. Sean q˜1 y q˜2 las raíces de Q(x). Determinar q˜1 y q˜2 . e 3.2.2. ¿Qué relación hay entre las raíces de Pe(x) y las de Q(x)?. 3.3. Determinar un polinomio de grado 2 cuyas raíces sean del polinomio P (x) del apartado 1. 4

1 p1

y

1 p2 ,

siendo p1 y p2 las raíces

E JERCICIO

21

Resolver los siguientes apartados:

1. Consideremos el polinomio P (x) = x3 − x2 − 20x. Se pide: 1.1. Hallar las raíces de P (x). 1.2. Determinar un polinomio de grado 3 cuyas raíces sean las mismas que las de P (x) pero aumentadas 2 unidades. 1.3. Determinar un polinomio de grado 3 cuyas raíces sean las mismas que las de P (x) pero disminuidas 1 unidad. 2. Consideremos el polinomio Q(x) = x3 + 4x2 + x − 6. 2.1. Hallar las raíces de Q(x). 2.2. Determinar un polinomio de grado 3 cuyas raíces sean las opuestas de las de Q(x) 3. Consideremos el polinomio R(x) = x3 + 2x2 − 5x − 6. 3.1. Hallar las raíces de R(x). 3.2. Determinar un polinomio de grado 3 cuyas raíces sean las inversas de las de R(x)

22

E JERCICIO

Sea P (x) = x2 + 2x − 3. Determinar el valor de k ∈ R para que el polinomio

Q(x) = P (x + k) no tenga término de grado 1.

E JERCICIO

23

Sea P (x) = x3 + 3x2 − 2x + 1. Se pide:

1. Determinar el valor de k ∈ R para que el polinomio Q(x) = P (x + k) no tenga término de grado 2. 2. Determinar el valor de m ∈ R para que el polinomio R(x) = P (x + m) no tenga término de grado 1.

5