´N ACTIVIDADES DE AMPLIACIO

6

Figuras semejantes. Teorema de Tales

1.

La base y la altura de un recta ´ngulo miden, respectivamente, 12 y 8 cm. Sabemos que otro recta ´ngulo semejante al dado tiene un ´area de 54 cm2. ¿Cua´nto miden los lados del segundo recta ´ngulo?

2.

Si incrementamos un 20% la longitud de cada uno de los lados de un tria ´ngulo cualquiera obtenemos un nuevo tria ´ngulo. Averigua si ambos tria ´ngulos son semejantes y halla, en su caso, la razo´n de semejanza.

3.

En un tria ´ngulo cualquiera unimos los puntos medios de los lados, forma ´ndose cuatro tria ´ngulos. Demuestra que los cuatro son iguales y, a su vez, semejantes al tria ´ngulo inicial. Halla la razo´n de semejanza.

4.

Determina, utilizando los criterios de semejanza, en que´ casos son semejantes los siguientes tria ´ngulos: a) ABC y DEF

b) ABC y DBE C

C F

5.

D

B

C E

A A

c) ABC y ACD

D

B

A

D

B

E

Las bases de un trapecio iso´sceles miden 20 y 30 cm, respectivamente, y los lados iguales, 6 cm. Si prolongamos dichos lados hasta que se corten obtenemos un tria ´ngulo. a) ¿Que´ tipo de tria ´ngulo es? b) ¿Cua ´nto miden los lados de este tria ´ngulo?

6.

Calcula las dimensiones de un recta ´ngulo cuya diagonal mide 10 cm, sabiendo que es semejante a otro recta ´ngulo cuya base mide 4 cm y su altura 3 cm.

7.

Consideramos un recta ´ngulo. Trazando un segmento paralelo al lado menor, lo dividimos en un cuadrado y otro recta ´ngulo como muestra la figura.

¿En que´ condiciones los recta ´ngulos ABCD y EBCF son semejantes? Halla, en su caso, la razo´n de semejanza. ¿Sabes co´mo se llama este resultado?

A

E

B

D

F

C

8.

Divide gra´ficamente un segmento AB de 60 mm de longitud en dos partes que sean proporcionales a dos segmentos de longitudes 3 y 7 cm, respectivamente.

9.

Dados tres segmentos de longitudes a, b y c, respectivamente, se llama cuarto proporcional a los tres a un a c segmento de longitud x que verifica la proporcio´n ⫽ . Halla gra´ficamente el segmento cuarto proporcional b x a los segmentos de longitud a ⫽ 2 cm, b ⫽ 2,5 cm y c ⫽ 3 cm.

10.

Dados dos segmentos de longitudes a y b, respectivamente, se llama tercero proporcional a los dados a un a b segmento de longitud x que verifica la proporcio´n ⫽ . Explica co´mo se halla gra´ficamente el segmento b x tercero proporcional a los segmentos de longitud a ⫽ 10 mm y b ⫽ 16 mm.

Algoritmo 4.o ESO - Opcio´n B

Actividades de ampliacio ´n

SOLUCIONES 1.

冦

12 8 ⫽ x y xy ⫽ 54

x 2 ⫽ 81

y⫽

2x 3

7.

2x 2 ⫽ 54 3

x ⫽ 9 m, y ⫽ 6 cm

2.

Si los lados del primer tria ´ngulo miden a, b y c, los del segundo medira ´n 1,2a, 1,2b y 1,2c, con lo a b c 5 que ⫽ ⫽ ⫽ son tria ´ngulos se1,2a 1,2b 1,2c 6 5 mejantes, y la razo´n de semejanza es . 6

3.

En los cuatro tria ´ngulos los lados miden lo mismo, la mitad de cada uno de los lados del tria ´ngulo inicial y, por el teorema de Tales, los ´angulos tambie´n son iguales, luego los cuatro tria ´ngulos son iguales. Adema ´s, son proporcionales al tria ´ngulo dado por la misma razo´n, los ´angulos son iguales, 1 siendo la razo´n de semejanza . 2

4.

a) Los tria ´ngulos ABC y DEF tienen los lados paralelos, por lo que los ´angulos correspondientes son iguales. Por tanto, son tria ´ngulos semejantes. b) Los tria ´ngulos ABC y DBE tienen un ´angulo comu ´n, Bp , y otro igual, Ep ⫽ Cp ⫽ 90⬚. Por tanto, son tria ´ngulos semejantes. c) Los tria ´ngulos recta ´ngulos ABC y ACD tienen un a´ngulo comu ´n, Ap, y otro igual, Dp ⫽ Cp ⫽ 90⬚. Por tanto, son tria ´ngulos semejantes.

5.

6.

6 cm a) Iso´sceles, ya que dos D ´ngulos Dp , Ep , son a iguales. A b) Los tria ´ngulos ABC y DEC son semejantes, luego: AC BC AB ⫽ ⫽ ; DC EC DE 6 ⫹ DC 6 ⫹ EC 30 ⫽ ⫽ DC EC 20 DC ⫽ EC ⫽ 12 cm

冦

冢

8.

30 cm

D 3 cm

9.

2 3 ⫽ 2,5 x

D' 6 cm

6–x

B

x ⫽ 3,75 cm

Para resolverlo gra ´ficamente, trazamos dos semirrectas de origen A y sobre una de ellas se llevan consecutivamente los segmentos a y c, y sobre la otra el segmento b; uniendo los extremos no comunes B y C. Se traza una paralela a BC por D, extremo del segmento c. El segmento CE es el segmento buscado.

B

D c B a A

10.

Actividades de ampliacio ´n

x

A

6 cm

x 2 ⫹ y 2 ⫽ 102 9x 2 3x x2 ⫹ ⫽ 100 y⫽ 16 4 25x 2 ⫽ 100 x ⫽ 8 cm, y ⫽ 6 cm 16

x 3 ⫽ x ⫽ 1,8 cm. Los segmentos me6⫺x 7 dira ´n 1,8 cm y 4,2 cm. Gra ´ficamente, trazamos una semirrecta de origen A y sobre ella se llevan dos segmentos consecutivos de 3 y 7 cm. El extremo C se une con B y por D se traza una paralela a la recta CB. El segmento AB queda dividido en dos segmentos proporcionales a 3 y 7. C

E

4 3 ⫽ x y

冣

7 cm

C 20 cm

Para que sean semejantes debe verificarse que AD DC ⫽ . Llamando x ⫽ AE , h ⫽ ED , tenDC ED x⫹h x dremos: ⫽ x 2 ⫺ hx ⫺ h 2 ⫽ 0, que, x h resuelta, considerando x como la inco´gnita, se ob1 ⫹ 兹5 x 1 ⫹ 兹5 tiene x ⫽ h ⫽ . Es decir, 2 h 2 los recta ´ngulos son semejantes si los lados esta ´n en proporcio´n ´aurea.

10 16 ⫽ 16 x

b

C

E

x ⫽ 25,6 mm

Gra ´ficamente, trazamos dos semirrectas de origen A y sobre una de ellas se llevan consecutivamente los segmentos a y b, y sobre la otra el segmento b. El extremo B se une con C y se traza por D una paralela a BC . El segmento CE es el segmento buscado. Algoritmo 4.o ESO - Opcio´n B

´N PROPUESTAS DE EVALUACIO

6

Figuras semejantes. Teorema de Tales

CRITERIOS

ACTIVIDADES

A. Utilizar la razo´n de semejanza de dos figuras semejantes.

1. Un tria´ngulo cuyos lados miden 6, 8 y 12 cm es semejante a otro cuyo perı´metro es 78 cm. a) Halla la medida de los lados del segundo tria´ngulo. b) Halla la razo´n de semejanza. 2. Los lados homo´logos de dos penta´gonos miden 16 y 24 cm, respectivamente. Sabiendo que el a´rea del primero es de 180 cm2, calcula el a´rea del segundo penta´gono. C

3. Calcula la medida del segmento DE de la figura sabiendo que BE ⫽ 4 cm, EC ⫽ 6 cm y AC ⫽ 20 cm, y que la recta AC es paralela a DE.

B. Reconocer figuras semejantes aplicando el teorema de Tales.

E A

A

4. Sobre los lados iguales AB y AC de un tria´ngulo iso´sceles se toman segmentos iguales BM y CN. Prueba que los tria´ngulos BCM y CBN son iguales y, por tanto, CM ⫽ BN.

C. Aplicar los criterios de semejanza de tria´ngulos.

B

D

M

N

B

D. Interpretar representaciones planas utilizando la escala y obtener informacio´n sobre las mismas.

C

5. La distancia entre dos pueblos es de 24 km. En un plano de carreteras hemos medido la distancia entre ambos y hemos obtenido 1,2 cm. a) ¿Cua´l es la escala del mapa? b) Si la escala del mapa fuese de 1 : 500 000, ¿cua´l serı´a la distancia sobre el papel entre ambos pueblos?

E. Resolver problemas relacionados con la semejanza de figuras geome´tricas.

6. Marı´a mide 1,62 m. En el momento en que su sombra mide 196 cm, la sombra de la torre de la iglesia de su pueblo mide 24 m. ¿Cua´nto mide la torre?

SOLUCIONES 1. a)

冦

3.

6 8 12 ⫽ ⫽ x y z

Los tria´ngulos ABC y DBE son semejantes, luego:

BE DE ⫽ BC AC

x ⫹ y ⫹ z ⫽ 78

8x 12x ⫹ ⫽ 78 6 6 x ⫽ 18 cm, y ⫽ 24 cm, z ⫽ 36 cm

4 DE ⫽ 4⫹6 20

DE ⫽ 8 cm

x⫹

6 8 12 1 ⫽ ⫽ ⫽ o tambie´n 18 24 36 3 6 ⫹ 8 ⫹ 12 26 1 k⫽ ⫽ ⫽ 78 78 3

4.

Los tria´ngulos BCM y CBN son iguales porque tienen un lado comu´n, BC; dos lados iguales, BC y CN, y dos a´ngulos iguales, CBM r ⫽ BCN r .

5.

a) k ⫽

b) k ⫽

2.

冦

16 24 180 k2 ⫽ x

k⫽

x⫽

冢23冣

2

⫽

180 x

1,2 1 ⫽ 2 400 000 2 000 000 La escala es 1 : 2 000 000

b) k⬘ ⫽

9 · 180 ⫽ 405 cm2 4

6.

Algoritmo 4.o ESO - Opcio´n B

1 x ⫽ 500 000 2 400 000

162 x ⫽ 196 24

x ⫽ 19,84 m

Propuestas de evaluacio ´n

x ⫽ 4,8 cm

6

Figuras semejantes. Teorema de Tales

Nombre .......................................................... Grupo .......... Fecha ....../....../......

1.

Un tria ´ngulo cuyos lados miden 6, 8 y 12 cm es semejante a otro cuyo perı´metro es 78 cm. a) Halla la medida de los lados del segundo tria ´ngulo. b) Halla la razo´n de semejanza.

2.

Los lados homo´logos de dos penta ´gonos miden 16 y 24 cm, respectivamente. Sabiendo que el ´area del primero es de 180 cm2, calcula el ´area del segundo penta ´gono.

3.

Calcula la medida del segmento DE de la figura sabiendo que BE ⫽ 4 cm, EC ⫽ 6 cm y AC ⫽ 20 cm, y que la recta AC es paralela a DE. C E A

4.

B

D

Sobre los lados iguales AB y AC de un tria´ngulo iso´sceles se toman segmentos iguales BM y CN. Prueba que los tria ´ngulos BCM y CBN son iguales y, por tanto, CM ⫽ BN. A M B

5.

N C

La distancia entre dos pueblos es de 24 km. En un plano de carreteras hemos medido la distancia entre ambos y hemos obtenido 1,2 cm. a) ¿Cua ´l es la escala del mapa? b) Si la escala del mapa fuese de 1 : 500 000, ¿cua ´l serı´a la distancia sobre el papel entre ambos pueblos?

6.

Marı´a mide 1,62 m. En el momento en que su sombra mide 196 cm, la sombra de la torre de la iglesia de su pueblo mide 24 m. ¿Cua ´nto mide la torre?

Propuestas de evaluacio ´n

Algoritmo 4.o ESO - Opcio´n B

ACTIVIDADES DE REFUERZO

6

Figuras semejantes. Teorema de Tales

1.

Los lados de un cuadrila ´tero ABCD miden 4 cm, 6 cm, 10 cm y 15 cm, y los lados de otro cuadrila ´tero A’B’C’D’ miden 5 cm, 7,5 cm, 12,5 cm y 18,75 cm. ¿Son semejantes ambos cuadrila ´teros? Si lo son, calcula la razo´n de semejanza.

2.

Un tria ´ngulo de lados 5, 6 y 8 cm es semejante a otro cuyo lado menor mide 7 cm. Halla sus otros dos lados.

3.

Los lados de un tria ´ngulo miden 10, 15 y 20 cm, y otro tria ´ngulo semejante al dado tiene un perı´metro de 54 cm. Halla la medida de sus lados.

4.

Un tria ´ngulo ABC es semejante a otro A’B’C’, siendo 2 la razo´n de semejanza. A su vez, el tria ´ngulo A’B’C’ es semejante a otro tria ´ngulo A⬙B⬙C⬙, siendo 5 la razo´n de semejanza en este caso. ¿Son semejantes ABC y A⬙B⬙C⬙? ¿Cua´l es la razo´n de semejanza?

5.

El a´ngulo desigual de dos tria ´ngulos iso´sceles mide 42⬚. a) Calcula la medida de los otros ´angulos. b) ¿Son semejantes ambos tria ´ngulos? c) Sabiendo que el lado desigual del tria ´ngulo mayor mide 20 cm y el del menor 12 cm, halla la razo´n de las ´reas de ambos tria a ´ngulos.

6.

La distancia en un mapa entre dos ciudades que se encuentran en realidad a 950 km es de 19 cm. a) ¿Cua ´l es la escala de representacio´n del mapa? b) ¿Cua ´l sera ´ la distancia entre otras dos ciudades que en el mapa se encuentran a 4,2 cm?

7.

En el instante en que una estaca de 1,2 m clavada en el suelo proyecta una sombra de 80 cm, la sombra de una torre cercana mide 16 m. ¿Cua ´l es la altura de la torre?

8.

En un mapa de escala 1:1 500 000, el pueblo de Villablanca esta ´ separado del pueblo de Villaverde 1,12 cm. a) ¿Cua ´l es la distancia real entre ambos pueblos? b) Si hacemos una fotocopia reducida al 50 % del mapa, ¿cua ´l sera ´ la escala del mapa fotocopiado?

9. 10.

Los lados de una finca cuadrangular miden 40, 60, 80 y 90 m. Su duen ˜o tiene una parcela semejante cuyo lado mayor mide 120 m. ¿Cua ´ntos metros de alambre necesita para vallarla? ¿Que´ superficie ocupa en un mapa un paı´s de 8 650 km2 si la escala del mismo es de 1:5 000 000?

Algoritmo 4.o ESO - Opcio´n B

Actividades de refuerzo

SOLUCIONES 1.

Son semejantes, porque ⫽

2.

3.

4 6 10 ⫽ ⫽ ⫽ 5 7,5 12,5

15 ⫽ 0,8, que es la razo´n de semejanza. 18,75

b) 4,2 k ⫽ 4,2 · 5 000 000 ⫽ 21 000 000 cm ⫽ ⫽ 210 km

7.

Para calcular la altura de la torre utilizamos la 1,2 x 16 · 1,2 proporcio´n ⫽ x⫽ ⫽ 24 m 0,80 16 0,80

冦

8.

a) d ⫽ 1,12 · 1 500 000 ⫽ 1 680 000 cm ⫽ 16,8 km

10 15 20 ⫽ ⫽ x y z x ⫹ y ⫹ z ⫽ 54

x⫹

15x 20x ⫹ ⫽ 54 10 10

b) 1:3 000 000

x ⫽ 12

Los lados miden x ⫽ 12 cm; y ⫽

z⫽

5.

19 1 ⫽ 95 0000 000 5 000 000 La escala es 1:5 000 000.

a) k ⫽

5 6 8 ⫽ ⫽ 7 x y 6·7 8·7 x⫽ ⫽ 8,4 cm, y ⫽ ⫽ 11,2 cm 5 5

45x ⫽ 540

4.

6.

15 · 12 ⫽ 18 cm, 10

9.

20 · 12 ⫽ 24 cm 10

Sı´ son semejantes y la razo´n de semejanza es k ⫽ 2 · 5 ⫽ 10. a) ␣ ⫽

Otro me´todo ma ´s directo para resolver el problema serı´a calcular el perı´metro de la primera parcela, 270 m, y multiplicarlo por la razo´n de semejanza, 120 4 ; el resultado serı´a 270 · ⫽ 360 m. 90 3

180⬚ ⫺ 42⬚ ⫽ 69⬚ 2

b) Sı´, porque tienen sus ´angulos iguales. 12 ⫽ 0,6 la razo´n de semejanza entre 20 las ´areas es k2 ⫽ 0,36.

c) k ⫽

Actividades de refuerzo

40 60 80 90 40 · 120 ⫽ ⫽ ⫽ x⫽ ⫽ 53,3 v m, x y z 120 90 60 · 120 80 · 120 y⫽ ⫽ 80 m, z ⫽ ⫽ 106,6 vm 90 90 Necesita 53,3 v ⫹ 80 ⫹ 106,6 v ⫹ 120 ⫽ 360 m de alambre.

10.

1 5 000 000 ⫽ 3,46 cm2

k ⫽

Algoritmo 4.o ESO - Opcio´n B

S ⫽ k2 · 8 650 · 1010 cm2 ⫽