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9. LA LUZ EN LOS MEDIOS ABSORBENTES 9.1. Medios absorbentes Las substancias transparentes (dieléctricas) son aquellas que, desde un punto de vista óptico, pueden ser estudiadas a partir del análisis de la luz que atraviesa una lámina de aproximadamente 30µm de espesor. Hay otras substancias que no son suficientemente transparentes para ser analizadas de este modo, porque una lámina de 30µm no deja pasar suficiente luz a su través: son los denominados medios

opacos,

aunque

parece

preferible

la

denominación

absorbentes. En general, se corresponden con los materiales conductores de la electricidad, o al menos, con aquellos en que la conductividad eléctrica adquiere valores significativos. La división entre transparentes y absorbentes de basa en la potencial aplicación de un procedimiento experimental u otro para su estudio y, de hecho, es una división un tanto artificiosa, sobre todo porque existe una amplia gama de compuestos de propiedades intermedias, en los que una lámina de 30 µm deja pasar algo de luz. En realidad, no es posible afirmar que unos (los absorbentes) absorben la luz y los otros (los transparentes), no. Los minerales coloreados absorben parte de las radiaciones del espectro visible y dejan pasar las otras en mayor o menor proporción. Sin embargo, si dejan pasar suficiente luz para ser estudiados por transmisión, se dirá que son “transparentes”. A nadie se le ocurriría decir que los piroxenos, anfíboles, granates o micas son minerales opacos, a pesar de presentar cierta absorción para algunas de las frecuencias del visible.

Existe

una

teoría

óptica

general

para

explicar

el

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comportamiento de los compuestos absorbentes, según la cual los “menos absorbentes” pueden ser considerados un caso particular en que la absorción puede llegar a ser nula para ciertas frecuencias. En el capítulo anterior, al estudiar la dispersión de la velocidad de propagación de la luz en los medios transparentes, se dedujo la existencia de zonas del espectro para las cuales apenas hay absorción, separadas por otras (las llamadas anómalas) en las que cierta frecuencia es fuertemente absorbida. Por tanto, el concepto de “transparente” o “absorbente” depende, entre otras cosas, de la frecuencia aunque, en general, se aplica a la franja visible del espectro. En cualquier caso, que las substancias denominadas absorbentes no pueden ser estudiadas por transmisión y, por tanto, hay que analizarlas mediante el estudio óptico por reflexión sobre una superficie pulida. En consecuencia, se requiere una teoría óptica que sirva de base para este tipo de estudio. 9.2. Propiedades ópticas de los medios conductores Los metales no son los únicos medios absorbentes, la experiencia diaria sugiere que muchos sulfuros y óxidos son opacos y brillan (reflejan la luz) como los metales. Sin embargo, los compuestos típicamente absorbentes y, que en general, lo son para todo el rango de frecuencias del espectro visible, son los metales y el estudio de sus propiedades permite interpretar las de otros cristales absorbentes de comportamiento algo más “anómalo”. Los materiales conductores tienen cargas eléctricas libres (electrones no ligados a un espacio limitado, como ocurre en los cristales covalentes, por ejemplo) que son capaces de circular en presencia de una diferencia de potencial creada por un campo

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eléctrico externo. En los metales, estas cargas son electrones de enlace delocalizados, y en ellos la intensidad de corriente eléctrica y el campo eléctrico E que la provoca se relacionan mediante la conductividad eléctrica σ. El valor de esta propiedad es cero en los medios dieléctricos, mientras que en un conductor perfecto valdría infinito. En lo que concierne a la interacción de los electrones con una onda electromagnética, a partir de esta hipótesis podemos considerar que los electrones convertidos en osciladores por una onda harmónica, siguen las oscilaciones del campo eléctrico sin que exista una “fuerza de restauración”, ni rozamiento alguno, que implique pérdida de energía. En estas condiciones, la luz no sería absorbida, sino simplemente reemitida por los electrones convertidos en osciladores. En los conductores reales, los electrones de conducción colisionan entre sí, o interaccionan con la red cristalina sometida a vibraciones térmicas, o con imperfecciones del cristal. Por tanto, parte de la energía aportada por la onda luminosa incidente se convierte, irremisiblemente, en calor (ley de Joule), lo que implica la absorción parcial de la luz y, por lo tanto, que no es reeemitida en su totalidad. La onda que penetra en un medio conductor convierte parte de su elergía en calor y su amplitud se ve atenuada. En estas condiciones, el índice de refracción es un número complejo

n = nr − ini La ecuación de la onda que se propaga sobre el eje x es

 t x E = E0 cos 2π  −  , donde incorporando n queda, T λ nx   E = E0 cosω  t −   c -163-

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Substituyendo n por su expresión compleja, y aplicando la ley de Moivre − ω n x c ) iω ( t − n x c ) ( E = E 0e e , i

E = E0e

r

(

( − ωn x c ) cosω t − n x r c i

es decir

)

ésta es la ecuación de una onda que avanza en la dirección +x a una velocidad c n (n r es la parte real del índice de refracción) y que es r amortiguada según la expresión

E = E0 e

− ω ni x c

,

donde n i es la parte imaginaria del índice de refracción, y como ω = 2π T y c = λ T , substituyendo en la anterior expresión

E = E0 e

− 2π ni x λ

Donde la constante característica del medio es n i, y la parte imaginaria de la expresión general del índice de refracción, que se denomina coeficiente de absorción k, de modo que la expresión del índice de refracción se puede reescribir como

n = nr − ik En estos medios, la parte real del índice de refracción n r no representa la velocidad del tren de ondas en el interior del medio, sino la velocidad de la fase dentro del tren de ondas y ésta puede ser superior a c, lo cual implica que n r puede ser menor que la unidad. En términos de intensidad, la expresión de la absorción de una onda que ha atravesado un espesor x de un medio, teniendo en cuenta

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que la intensidad es proporcional al cuadrado de la amplitud, se puede escribir del siguiente modo

I = I 0e

− 4π ni x λ

Todas las ecuaciones deducidas en este apartado son de aplicación a medios absorbentes y los medios transparentes son una caso particular en el que k=0. En éstos, el término que representa la amortiguación de la amplitud de la onda está elevado a cero, lo que equivale a la unidad. Es decir, la onda no es absorbida. Y de igual modo, la expresión general del índice de refracción es aplicable a medios transparentes, donde k=0, y el índice sólo tiene parte real. Es posible deducir estas mismas expresiones de una manera más intuitiva, como se verá a continuación 9.3. Absorción de la luz Imaginemos que la luz penetra en un medio absorbente, que se puede suponerse dividido en finísimas láminas de idéntico espesor. La amplitud inicial E 0 disminuye progresivamente al ir atravesando la primera de las laminillas, y luego la segunda, y la tercera... Si cada lámina tiene un espesor infinitesimal, para una determinada longitud de onda λ 0, la reducción de la amplitud es un factor exponencial

E = e− µx E0 donde E es la amplitud de la onda tras atravesar un espesor x y µ una constante del medio Es mejor adoptar la unidad de absorción en una única

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revolución de la luz, es decir 2π λ (o 2π λ 0

si se considera la

longitud de onda en el interior del medio, ( λ = nλ0 ). Por lo tanto, la expresión anterior queda como la que ya se había deducido antes

E −2πk x λ 0 =e ,o E0

− 2 πκ x λ E =e E0

donde

k es el coeficiente de absorción, y κ (kappa) el índice de absorción (k = nκ) Y como la intensidad es proporcional al cuadrado de la amplitud, la expresión se convierte en una idéntica a la deducida anteriormente

T=

I − 4 πk x λ 0 =e I0

en la que T es la transmitancia interna de un espesor x del medio Se puede definir la profundidad de penetración (o piel) como el espesor que ocasiona una disminución de la intensidad equivalente a e -1=1/2.7, aproximadamente un tercio. En cierta medida, la profundidad de penetración representa una valoración de la capacidad absorbente de un medio. Para un dieléctrico (k=0) la profundidad de penetración es infinita, en cualquier caso, muy grande en relación a la unidad de medición (la longitud de onda de la luz que lo atraviesa). Pero para los metales, este parámetro es muy pequeño. Por ejemplo, el cobre tiene

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una profundidad de penetración de unos 0.6nm para el ultravioleta (λ=100nm), y alcanza los 6nm para el infrarojo (λ=10µm), lo cual sugiere que el coeficiente de absorción presenta una dispersión significativa a lo largo del espectro electromagnético. Ésta es el motivo de que los metales sean opacos: su profundidad de penetración es, generalmente, inferior a una micra.

Por otra parte, el brillo característico de los metales y los conductores en general (su elevada reflectancia), se debe a que la luz apenas penetra en el medio y pocos son los electrones que llegan a ser “tocados” por la radiación. Y a pesar de que cada uno de ellos disipa calor, la realidad es que una fracción muy pequeña de la energía luminosa se convierte en calor. En cambio, gran parte de la energía incidente reaparece como una onda reflejada debida a la reemisión causada por los electrones libres de la banda de conducción. Ésta es prácticamente

una

banda

contínua

de

energías

permitidas y los electrones de esta banda pueden absorber

cualquier

energía

de

la

radiación

electromagnética (especialmente del espectro visible) y reemitirla cuando vuelven al estado de reposo. Casi todos los saltos energéticos son posibles en el rango de energías del visible, porque se trata de una banda contínua de energías y los electrones son libres de oscilar, con mucha mayor libertad que si estuvieran confinados en orbitales de energías definidas. Según este modelo simple del comportamiento de los metales y los conductores en general, éstos Figure 1 Curvas de dispersión de la reflectancia en inmersión en aire y aceite, y del índice de refracción y coeficiente de absorción de la plata

tendrían una reflectancia elevada para todas las

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frecuencias del espectro, lo que es más o menos cierto para las frecuencias del visible. Por esta razón muchos metales, óxidos y sulfuros tienen un brillo “plateado”, de color blanco, porque como se ha descrito la totalidad del espectro visible es reemitido. No obstante, no es así para frecuencias elevadas. Por ejemplo la plata tiene una reflectancia elevada para la totalidad del espectro visible, pero los valores de reflectancia son muy bajos para algunas frecuencias del ultravioleta cercano. La explicación basada en la teoría cuántica es compleja, sin embargo, como en el caso de los materiales dieléctricos, se puede intentar una aproximación intuitiva. 9.4. Dispersión La realidad muestra que los valores de la reflectancia no son iguales para la totalidad de frecuencias del espectro visible, aun siendo éste el comportamiento teórico previsto en el modelo expuesto más arriba. Metales como el oro o el cobre no son de color blanco y son muchos los sulfuros y óxidos (los minerales mayoritariamente opacos) que presentan un color distinto del blanco. Se puede aproximar el comportamiento de los medios opacos imaginando que un conductor es un conjunto de osciladores, algunos de los cuales corresponden a electrones libres y otros a electrones vinculados a los átomos. En este modelo simple, se puede admitir que los electrones libres pueden oscilar libremente, sin fuerza alguna que lo impida, mientras que los otros se comportan como en los medios dieléctricos. Son los electrones libres los que contribuyen mayoritariamente a las propiedades ópticas de los medios conductores, porque son los que oscilan en la banda de conducción y

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pocos de los electrones asociados a átomos son “tocados” por la radiación electromagnética incidente. Como se ha dicho anteriormente, este modelo podrá explicar las propiedades ópticas de cualquier medio. Los dieléctricos, simplemente, no tienen electrones libres y toda la contribución la aportan los electrones de enlace vinculados a los átomos. El desplazamiento de un electrón vibrando es

qe

x (t ) =

me E (t ) (ω − ω 2 ) 2 0

donde q e y m e son la carga y la masa del electrón, respectivamente E el campo eléctrico aplicado, ω0 la frecuencia natural de vibración ω la frecuencia a la que vibra tras someterse al campo eléctrico E los electrones de enlace vibran a la frecuencia ω0 sin estar sometidos a campo eléctrico alguno y para los electrones libres no vinculados a un enlace concreto, ω0 adquiere el valor cero. Ésto implica que, para los electrones libres, el desplazamiento x(t) es opuesto al campo E(t) y la onda que producen tiene un desfase de 180º respecto de la incidente E(t). Ocurre al revés que en el caso de los medios dieléctricos en que los electrones oscilan en fase con la luz incidente. Asumiendo que la fuerza ejercida sobre un electrón es el campo eléctrico aplicado E(t) y extendiendo la ecuación de la dispersión desarrollada en el capítulo 2,

Nqe2 n (ω ) = 1 + ε 0me 2

 fe +  2  − ω + iγ eω

∑ j

  ω 02 j − ω 2 + iγ jω  fj

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en que n es el índice de refracción y N el número de átomos por unidad de volumen. El primer sumando entre corchetes es la contribución de los electrones libres f e, mientras que el segundo es la de los electrones de enlace. Si existe cierta absorción selectiva por parte de los electrones de enlace, además de la absorción propia de los electrones libres, la luz reflejada por el conductor adquiere determinado color. Un medio fuertemente absorbente para determinado rango de frecuencias, lo que realmente hace es reflejar selectivamente. Es decir, mayor absorción de cierta frecuencia, implica mayor reflexión de ésta. El cobre es rojizo porque el valor coeficiente de absorción k se incrementa con la longitud de onda y en el visible, las longitudes de onda largas (rojo) son más fuertemente reflejadas. Se

puede

hacer

una

aproximación

al

comportamiento óptico de los medios conductores a partir de la ecuación anterior, haciendo algunas suposiciones genéricas: a) despreciar la intervención de los electrones de enlace f j; porque pocos de ellos intervienen en la interacción con la luz; y b)

suponer

que,

amortiguamiento

para de

frecuencias

los

electrones

grandes,

el

libres

es

prácticamente nulo (γ e=0) porque a frecuencias muy altas, los electrones pueden llegar a efectuar un gran número de oscilaciones entre cada colisión con otros electrones o núcleos que las amortigüen. La ecuación queda simplificada de la siguiente manera

Nqe2 n (ω ) = 1 − ε 0meω 2 2

Figure 2 Curvas de dispersión de la reflectancia en inmersión en aire y aceite, y del índice de refracción y coeficiente de absorción del cobre.

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Los electrones libres de un conductor pueden ser imaginados como un plasma cuya densidad oscila a una frecuencia natural ωp (frecuencia de plasma), que se puede demostrar que vale

 Nqe2  ωp =    ε 0me 

1

2

con lo que la ecuación que expresa la dispersión de n, queda

 ωp  n (ω ) = 1 −    ω 

2

2

la frecuencia de plasma es un valor crítico, por debajo del cual el índice de refracción es un número complejo y la onda incidente es amortiguada exponencialmente, mientras que para frecuencias superiores a la de plasma, n es real, la absorción pequeña y el medio transparente. Por esto muchos metales son ligeramente transparentes a radiaciones de alta frecuencia, como los rayos X

Por ejemplo: la parte superior de la atmosfera está ionizada y contiene cierta cantidad de electrones libres, como los metales, que oscilan a cierta frecuencia (la de plasma). Por esto ciertas ondas de radio son reflejadas por la ionosfera. Si se desea hablar por radio con alguien en la Luna habrá que emplear frecuencias superiores a la de plasma de la ionosfera para que ésta sea transparente a la radiación. Por el contrario, es posible hablar por radio entre dos puntos de la Tierra (que nunca están unidos por una recta debido a la curvatura de la misma) utilizando un frecuencia baja (ondas cortas de radio) que se refleje en la ionosfera. 9.5. Reflexión de la luz en medios absorbentes

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Para analizar la reflexión de la luz sobre una superficie de un medio absorbente se puede hacer la misma aproximación que se hizo para los medios dieléctricos, aunque aquí sólo se considerará la reflexión. Se discutirá la intensidad de las componentes longitudinal (p) y transversal (s), así como sus diferencias de fase para distintos ángulos de incidencia entre 0º y 90º. En este caso se elude considerar las relaciones de amplitud por su complejidad y se analizan únicamente las intensidades de ambas componentes.

La Figura 3 muestra las curvas de intensidad de la onda reflejada en relación a los ángulos de incidencia para las componentes s y p de la plata, del oro y del diamante, para comparación con un medio transparente. Las curvas corresponden a una radiación monocromática, y serían ligeramente distintas para otras frecuencias o longitudes de onda.

Figure 3

En este caso, los respectivos ángulos de Brewster de la plata y del oro corresponden a los valores mínimos de las

curvas

de

las

componentes

longitudinales, que no llegan a anularse porque la diferencia de fase entre ambas es de 90º, en lugar de 180º como ocurre en el diamante, en que la componente p llega a ser nula para el correspondiente ángulo de Brewster (67º). El estado de Figura 4. El estado de la fase de las componentes s y p de la plata se fase, así como la diferencia de fase entre han representado en la figura, y la diferencia entre ellas se ha las dos componentes, se observa en las dibujado en color gris. Para el ángulo de Brewster, la diferencia entre ambas es de 90º.

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curvas del estado de fase (Figura 4) Se puede observar que el mínimo de intensidades de reflexión de la componente longitudinal p es más bajo en el oro que en la plata. Ésto se debe a que el coeficiente de absorción de la plata es mayor que el del oro, y la diferencia sería todavía más acentuada si se tratara de medios con coeficiente de absorción aún menor, de modo que, en los medios dieléctricos, como el ejemplo del diamante, el valor mínimo llega a ser cero. Sobre la base de las curvas de la figura anterior es posible deducir el estado de polarización de la onda reflejada para distintos ángulos de incidencia. - Para incidencia normal (i=0º) ambas componentes sufren un cambio de fase de 180º, pero la diferencia de fase entre ellas se mantiene a 180º, por lo que de la resultante es luz linealmente polarizada. La luz reflejada está desfasa 180º respecto de la incidente, pero su estado de polarización no ha variado. - Para ángulos de incidencia pequeños, inferiores al ángulo de Brewster ( 0 < i < i ) la diferencia de fase entre las dos componentes es menor de 180º y, por tanto, la onda resultante está elípticamente polarizada, con el eje mayor inclinado hacia la componente transversal s porque ésta es mayor que la longitudinal p. - Para la incidencia en el ángulo de Brewster ( i = i ) la componente longitudinal p adquiere el valor mínimo y, como la diferencia de fase entre ambas es de 90º, los ejes de la elipse resultante coinciden con las direcciones de s y p. - Cuando la incidencia ocurre en ángulos mayores que el de Brewster

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( i > i ), la componente p crece respecto del valor que tenía para el caso anterior y la diferencia de fase entre componentes se mantiene por debajo de 90º, con lo que la polarización de la onda resultante es elíptica con el eje mayor inclinado hacia la componente s. - Para el caso de incidencia rasante (i=90º), la diferencia de fase es cero y, por tanto, no varía el estado de polarización de la luz incidente. 9.6. Reflectancia Para la incidencia normal (reflectancia) la ecuación de Fresnel en los medios absorbentes se convierte en

(n − n1 )2 + k 2 R= (n + n1 ) 2 + k 2 en la cual n y k son las constantes del medio (parte real del índice de refracción y coeficiente de absorción, respectivamente) y n 1 es el índice de refracción del medio en el que se produce la reflexión. Para el caso del aire se puede considerar la unidad. Esta expresión general de la ecuación de Fresnel es aplicable a los medios dieléctricos en los que el coeficiente de absorción es nulo, o prácticamente nulo. Para valores muy bajos, también lo es la contribución de k porque la segunda potencia significa, muy a menudo, un valor insignificante.

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