Concepto de matriz. Igualdad de matrices Se llama matriz a una disposición rectangular de números reales, a los cuales se les denomina elementos de la matriz. Cada elemento tiene dos subindices, el primero indica la fila y el segundo la columna 2ª columna

3ª fila

 a11   a21  a31  ..   am1

a12 a22 a32 .. am2

a13 ...... a1n   a23 ...... a2n  a33 ...... a3n  = (aij) .. .. ..  am3 ...... amn  Dimensión de la matriz

m n

Dos matrices son iguales cuando tienen la misma dimensión y los elementos que ocupan la misma posición en cada una de ellas son iguales.

Definición de matríz Se llama matriz de orden m×n a todo conjunto rectangular de elementos aij dispuestos en m líneas horizontales (filas) y n verticales (columnas) de la forma:

 a11   a21 A = (ai,j)=  a31   a  n1

a12 a22 a32  an 2

a13  a1n   a23  a2 n  a33  a3n       an 3  ann 

Abreviadamente suele expresarse en la forma A =(aij), con i =1, 2, ..., m, j =1, 2, ..., n. Los subíndices indican la posición del elemento dentro de la matriz, el primero denota la fila ( i ) y el segundo la columna ( j ). Por ejemplo el elemento a25 será el elemento de la fila 2 y columna 5.

El orden es el número de filas y columnas que tiene la matriz, se representa por m x n.

Matriz: Ejemplo

Juan, Ana y Elena han ido a una tienda y han comprado lo siguiente: 1. Juan compró dos bocadillos, un refresco y un pastel.

2. Ana se llevó un bocadillo, un refresco y un pastel. 3. Elena compró un bocadillo y un refresco.

Estos datos se pueden agrupar en una matriz

    

2

1

1

1

1

1

1

1

0

    

Expresión matricial: ejemplo

2 x  5 y  3z  1  x - 4y  z  2

El sistema 

Tiene la siguiente matriz de los coeficientes: A =

   

2 5 –3  1 –4 1 

   

 2 5 –3 1  Tiene la siguiente matriz ampliada: A* = 1 –4 1 –2 

Tiene la siguiente expresión matricial:

   

 x   2 5 –3    1 y  1 –4 1   =  – 2  z     

   

Clasificación de matrices: Forma 

• Matriz simétrica: es una matriz cuadrada que verifica que:

Matriz fila: A = (1 3 5 7 9 )



2   Matriz columna: A =  4  6



 1 3 5  Matriz cuadrada:A=  2 4 6  1 1 1 Diagonal secundaria

Diagonal principal

aij  a ji

 A = AT

1 2 4    2 3 5   4 5 -1       

• Matriz antisimétrica: es una matriz cuadrada que verifica que:

aij  -a ji  A = –AT  0 2 -4     -2 0 3   4 -3 0   

Clasificación de matrices: Elementos • Matriz nula: es una matriz en la que todos los elementos son nulos. 0 0 0   O  0 0 0 0 0 0   3 3

0  O  0 0 

0  0 0 

3 2

• Matriz diagonal: es una matriz cuadrada, en la que todos los elementos no pertenecientes a la diagonal principal son nulos.  2 0 0   D   0  3 0 0 0 1  

• Matriz escalar: es una matriz diagonal donde todos los elementos de ella son iguales.  2 0 0   A  0 2 0  0 0 2  

• Matriz unidad o identidad: es una matriz escalar, cuya diagonal principal es 1. 1 0 0   I3   0 1 0  0 0 1  

• Matriz triangular superior: es una matriz donde todos los elementos por debajo de la diagonal son ceros. 1 3 6   T  0  2 3 0 0 4  

• Matriz triangular inferior: es una matriz donde todos los elementos por encima de la diagonal son ceros. 1 0 0   T  3  2 0 3 5 4  

Operaciones con matrices I 1.- Trasposición de matrices Dada una matriz de orden m x n, A = (aij), se llama matriz traspuesta de A, y se representa por At, a la matriz que se obtiene cambiando las filas por las columnas (o viceversa) en la matriz A. Es decir:

Propiedades de la trasposición de matrices: 1ª.- Dada una matriz A, siempre existe su traspuesta y además es única. 2ª.- La traspuesta de la matriz traspuesta de A es A. a (At)t = A.

Matriz traspuesta: ejemplo y propiedades

La traspuesta de una matriz A cualquiera se obtiene cambiando filas por columnas y se representa por At. Si A = (aij), entonces At = (aji). Si A es mxn, entonces At es nxm.

Ejemplo: Si A =

   

 1 1 2 3 t  entonces A =  2 4 5 6  3    

4 5 6

   

Propiedades:

I. Para la matriz A,

(At)t = A

II. Para las matrices A y B,

(A + B)t = At + Bt

III. Para la matriz A y el número real k, (k . A)t = k . At

IV. Para las matrices A y B,

(A . B)t = Bt . At

V. Si A es una matriz simétrica,

At = A

Operaciones con matrices II 2.- Suma y diferencia de matrices La suma de dos matrices A=(aij), B=(bij) de la misma dimensión, es otra matriz S=(sij) de la misma dimensión que los sumandos y con término genérico S = (aij + bij). La suma de las matrices A y B se denota por A+B. Ejemplo

Sin embargo,

no se pueden sumar.

Por tanto, para poder sumar dos matrices estas han de tener la misma dimensión.

La diferencia de matrices A y B se representa por A–B, y se define como la suma de A con la opuesta de B : A–B = A + (–B)

Démonos cuenta que no es posible sumar matrices de distinto tamaño, es decir, con distinto número de filas o columnas.

Suma de matrices: ej de orden 3

Para sumar dos matrices A y B con las mismas dimensiones se suman los correspondientes elementos: si A = (aij) y B = (bij) entonces A + B = (aij + bij)

 a11 a12 a13 a14   b11 b12 b13 b14    A + B = ( aij) + (bij) =  a21 a22 a23 a24  +  b21 b22 b23 b24  a31 a32 a33 a34   b31 b32 b33 b34

 a11 + b11  =  a21 + b21  a31 + b31

a12 + b12 a13 + b13 a14 + b14 a22 + b22 a23 + b23 a24 + b24 a32 + b32 a33 + b33 a34 + b34

   = 

  = (aij + bij ) 

Propiedades de la adición de matrices Sean A, B y C tres matrices del mismo orden.

• Asociativa: • Conmutativa:

A + (B + C) = (A + B) + C A+B=B+A

• Elemento neutro:

A + 0 = 0 + A = A donde 0 es la matriz nula.

• Elemento opuesto:

A + (– A) = (– A) + A = 0

La matriz –A (opuesta) se obtiene cambiando de signo los elementos de A.

Operaciones con matrices III 3.- Producto de un número por una matriz

Para multiplicar un número real por una matriz, se multiplican cada uno de los elementos de la matriz por dicho número.

Si A = (aij), entonces kA = (kaij)

 a11 a12 a13   ka11 ka12 ka13     a a a . . k A = k (aij) = k· 21 22 23  =  ka21 ka22 ka23  = (kaij)  a31 a32 a33   ka31 ka32 ka33 

Propiedades con la suma y el producto por un número Sean A y B dos matrices del mismo orden y k y h dos números reales.

• Distributiva I:

k(A + B) = kA + kB

• Distributiva II:

(k + h)A = kA + hA

• Elemento neutro:

• Asociativa mixta:

1·A=A

k(hA) = (kh)A

El conjunto de las matrices m x n con las operaciones suma y producto por un escalar antes definidas, tiene estructura de espacio vectorial

Operaciones con matrices IV

4.- Producto de matrices Dadas dos matrices A y B, su producto es otra matriz P cuyos elementos se obtienen multiplicando las filas de A por las columnas de B (por lo que deben coincidir estas). De manera más formal, los elementos de P son de la forma:

Pij =

a

ik

· bkj con k=1,….n

Es evidente que el número de columnas de A debe coincidir con el número de filas de B. Es más, si A tiene dimensión m x n y B dimensión n x p, la matriz P será de orden m x p, Ejemplos:

no se pueden multiplicar

¿Cuándo es posible el producto de matrices?

filas

(aij)m,n . (bij)n,p = (cij)m,p Posible

columnas

El producto de matrices es posible cuando coincide el número de columnas de una matriz con el número de filas de la otra matriz.

Producto de matrices: Desarrollo El producto de la matriz

A = (a ij) =

 a11 a  a21  31  ..  am1

a12 a22 a32 .. am2

a13 ...... a1n  a23 ...... a2n   a33 ...... a3n  .. .. ..  am3 ...... amn 

b12

b13

b 22

b 23

b 32

b 33

..

..

bn2

bn3

por la matriz  b11   b 21 B = (b ij) =  b 31   .. b  n1

b1 p   ...... b 2 p  ...... b 3p   .. ..  ...... b np  ......

es la matriz C = A · B, tal que el elemento que ocupa la posición ij es: cij = ai1. b1j + ai2. b2j + ... + ain. bnj

Ejemplo: producto de matrices

1. El producto de A =

  

2 1 –1 3 –2 0

  

1 2 0 por la matriz B =  1 0 –3  se obtiene multiplicando  0 1 –2 

cada fila de A por cada columna de B.

A ·B =

   

2 1 –1 3 –2

0

   

1 2 0   1 0 –3 . =  0 1 –2 

   

3 3 –1 1 6

6

2. ¿Qué dimensiones tiene la matriz producto?

(aij)2,3 . (bij)3,3 =

producto posible

(cij)

2, 3

   

Propiedades del producto de matrices (I) I. Propiedad asociativa. Para las matrices A de dimensión mxn, B de dimensión nxp y C de dimensión pxr. A . (B . C) = (A . B) . C

II. Elemento unidad. Si A es una matriz mxn, y

Im =

1  0 0   ..  0

0 1 0 .. 0

0 0 1 .. 0

...... ...... ...... .. ......

0 0 0 .. 1

       

e

I

n

1 0 = 0  .. 0

0 1 0 .. 0

0 0 1 .. 0

...... ...... ...... .. ......

0 0 0 .. 1

    

las matrices identidad de orden m y n, respectivamente, se tiene:

Im · A = A · In = A III. Propiedad distributiva a la izquierda. Para las matrices A de dimensión mxn, B de dimensión nxr y C de dimensión nxr. A . (B + C) = A . B + A . C IV. Propiedad distributiva a la derecha. Para las matrices A de dimensión mxn, B de dimensión mxn y C de dimensión nxp.

(A + B) . C = A . C + B . C

Propiedades del producto de matrices (II) I. La multiplicación de matrices no cumple la propiedad conmutativa: si una de las dos matrices no es cuadrada ni siquiera tiene sentido plantear el producto en un orden distinto al dado. II. Si A . B = 0 entonces no siempre ocurre que A = 0 ó B = 0.

Ejemplo: Aunque

   

0 2  .  0 –3   0 0  0 0   0 0  =  0 0  ninguno de los factores que

forman el producto es la matriz nula. III. Si A . C = B . C y C  0, entonces no necesariamente A = B.

IV. (A + B)2  A2 + 2A . B + B2 salvo que A y B conmuten.

V. (A – B)2  A2 – 2A . B + B2 salvo que A y B conmuten. VI. A2 – B2  (A – B) . (A + B) salvo que A y B conmuten.

Producto: Potencia de una matriz

Si A es una matriz cuadrada, las potencias de A, de exponente natural, se definen como en el caso de los números naturales: el exponente indica el número de veces que se multiplica la matriz por sí misma. n veces . A An = A . A . ...........

Ejemplo:

 1 1  A    0 1

 1 1 1 2   1 3       A  A  A    0 1 0 1   0 1  3

2

 1 1 1 1  1 2       A 2  A  A    0 1 0 1  0 1   1 1  1 3   1 4  3               A A A A A A A   0 1  0 1   0 1  4

 1 1 1 n  1  1 n  n-1          An  A A A A L3 12 1  0 1  0 1 0 n- veces

Operaciones con matrices V Inversa de una matriz, Matrices inversibles

Una matriz cuadrada que posee inversa se dice que es inversible o regular; en caso contrario recibe el nombre de singular. Dada una matriz cuadrada A de orden n, no siempre existe otra matriz B tal que A·B = B·A = In. Si existe dicha matriz B, se dice que es la matriz inversa de A y se representa por A -1

Propiedades de la matriz inversa I. Si las matrices A y B son inversibles (A . B)–1 = B–1 . A–1

II. Si A es una matriz inversible y k  0, (k . A)–1 = (1/k) . A–1 III. Si A es una matriz inversible, (A–1)–1 = A IV. La matriz unidad es inversible y además I–1 = I V. Si A es una matriz inversible, (A–1)t = (At)–1

Inversa de una matriz (directamente)

Si A es una matriz cuadrada, se dice que B es la inversa de A si A . B = B . A = I, siendo la matriz unidad. La matriz inversa se representa por A–1.    

  2 –1   x y  -1 Ejemplo: Dada A = 1 1  para obtener A =  z t  se ha de cumplir

   

2 –1   x y   1 0   .    1 1 z t=0 1

Y de aquí se deduce que:    

   

   

   

2x – z 2y – t 10  x+z y+t = 0 1

–z +z

2x x 2y y

 1  3 -1 Por tanto A = –1  3

=1 x = 1/3 =0 y = 1/3  –t=0 z = –1/3 +t=1 t = 2/3

1 3 2 3

   

Cálculo de la Matriz Inversa por el método de Gauss – Jordan IV: Ejemplo Queremos calcular la inversa de

1º.- Se escribe la matriz A junto a esta la matriz identidad, 2º.- Triangulamos la matriz A de arriba a abajo y realizamos las mismas operaciones en la matriz de la derecha.

Como podemos observar el rango de la matriz es máximo (en este caso 3), por tanto la matriz A es regular (tiene inversa), podemos calcular su inversa.

Cálculo de la Matriz Inversa por el método

de Gauss – Jordan V: continuación

3º.- Triangulamos la matriz de abajo a arriba, realizando las mismas operaciones en la matriz de la derecha.

4º.- Por último se divide cada fila por el elemento diagonal correspondiente.

Rango de una matriz • El rango por filas de una matriz es el número de filas linealmente independientes.

• El rango por columnas de una matriz es el número de columnas linealmente independientes. • Se puede demostrar que el rango por filas coincide con el rango por columnas en cualquier matriz. A este valor común se le llama rango de la matriz y se representa rg A. Operaciones que no modifican el rango de una matriz • Intercambiar dos filas (o columnas) entre sí. • Multiplicar una fila (o columna) por un número distinto de cero. • Sumar a una fila (o columna) una combinación lineal de otras filas (o columnas).

Dependencia e independencia lineal : filas Vectores fila de una matriz: Las filas de una matriz pueden ser consideradas como vectores. Es posible que sean linealmente Independientes (L.I.) y es posible que unos dependan linealmente de otros. Por ejemplo:

 2 3 2 5  A    1 3 4 2 1  2 B 0  3 

3  1 5  4 

3 1 5   C  9 0 2  8  5  1  

Sus dos filas son linealmente independientes

Las dos primeras líneas son L.I., las otras dos dependen linealmente de las primeras

F 3  2  F1  F 2

F 4  F1  F 2

Las dos primeras filas son L.I. la tercera depende linealmente de las dos primeras

F 2  F1  F 3

Se llama rango de una matriz al número de filas Linealmente Independientes

Determinantes de orden 2 y 3 a a12  11  A=  a a  21 22 

Dada una matriz cuadrada de segundo orden: se llama determinante de A al número real:

Det( A) = |A| = Ejemplo:

a 11 a 12 a 21 a 22

= a11 · a22 – a12 · a21

3 2 2 1 = 3·1 - 2·2 = 3 – 4 = -1

Dada una matriz cuadrada de orden 3

 a11 a12 a13  A =  a21 a 22 a23   a31 a32 a33 

Se llama determinante de A, det (A) o |A|, al número real siguiente:

a11 a12 a13 a 21 a22 a23 = a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 – a13 a22 a31 – a11 a23 a32 – a12 a21 a33. a31 a32 a33

Regla de Sarrus La regla de Sarrus permite recordar gráficamente los productos que aparecen en la expresión del determinante de orden 2 y 3 y sus signos. Los elementos de la diagonal principal y sus paralelas, con su signo y los de la diagonal secundaria y sus paralelas cambiadas de signo.

Aplicaciones a la regla de Sarrus

El determinante de la matriz A

   =  

3 5 4 –2 2 –3

1 –1 –4

    es  

det(A) = 3 . (–2) . (–4) + 4 . (–3) . 1 + 5 . (–1) . 2 – [1 . (–2) . 2 + (–1) . (–3) . 3 + 5 . 4 . (–4)] =

24 – 12 – 10 + 4 – 9 + 80 = 77

Cálculo de determinantes usando desarrollo por los elementos de una fila o columna • Se llama menor Mij de la matriz A al determinante de la matriz que se obtiene al suprimir en A la fila i-ésima y la columna j-ésima. • Se llama adjunto Aij del elemento aij de la matriz A al número Aij = (–1)i+jMij.

 a11 a12 a13    El determinante de una matriz A =  a21 a22 a23  es igual a la suma de los elementos  a31 a32 a33  de una fila o columna multiplicados por sus adjuntos: det (A) = ai1 . Ai1 + ai2 . Ai2 + ai3 . Ai3 sería el desarrollo por la i-ésima fila det (A) = a1j . A1j + a2j . A2j + a3j . A3j sería el desarrollo por la j-ésima columna

Ejemplos: desarrollos de un determinante de orden 3

Desarrollo por primera columna de un determinante de orden 3 a a

11

a

12

a

a

13

a

21 22 23 = a 11 a a a 31 32 33

.(-1)1+1

a

a 22 23 a a 32 33

+a

21

.(-1)2+1

a

a 12 13 a a 32 33

+a

31

.(-1)3+1

a

a 12 13 a a 22 23

Desarrollo por tercera fila de un determinante de orden 3

a 11 a 21 a 31

a 12 a 22 a 32

a 13 a 23 = a31.(-1)3+1 a 33

a 12 a 22

a 13 a 23

a a 11 13 . 3+2 + a (-1) 32 a a 21 23

a a 11 12 . 3+3 + a (-1) 33 a a 21 22

Determinante de cualquier orden El determinante de la matriz A de orden n se puede obtener multiplicando los elementos de una fila o columna por sus respectivos adjuntos: det (A) = ai1 . Ai1 + ai2 · Ai2 + ... + ain . Ain det (A) = a1j . A1j + a2j · A2j + .. .+ amj . Amj

2 1 Por ejemplo: 3 2

–1 6 –1 –1

1 1 –1 0

sería el desarrollo por la i-ésima fila sería el desarrollo por la j-ésima columna

2 2 1 2 –1 1 2 2+2 2+1 0 3 –1 3 + 6 · (–1) –1 –1 3 1 · (–1) + = 3 2 0 1 –1 0 1 1 5 –3 2 –1 2 2 –1 1 2+3 3 –1 3 + 0 · (–1)2+4 3 –1 –1 = + 1 · (–1) 2 –1 1 2 –1 0

–1 = 1 · 3 + 6 · 5 + 1 · 1 + 0 · (–1) =34

–1

Cálculo inmediato de determinantes (I)

I. El determinante de una matriz con dos filas o columnas proporcionales es cero. Ejemplos:

–1 4 –1     El determinante de una matriz A = 3 2 3   es igual a cero porque la tercera y  2 5 2 primera columnas son iguales.  2 4 –1     El determinante de una matriz A = 1 –2 3   es igual a cero porque la tercera fila  3 –6 9  es igual a la segunda multiplicada por 3.

II. El determinante de una matriz con una fila o columnas nulas es cero. Ejemplo: –1 0 –1    El determinante de una matriz A =  3 0 3  es igual a cero porque la segunda columna  2 0 2 es nula.

Cálculo inmediato de determinantes (II)

III. El determinante de una matriz en que una fila o columna depende linealmente de otras filas o columnas es cero. Ejemplo:

2 4 0    El determinante de una matriz A =  1 3 –1  es igual a cero porque la tercera columna es 3 1 5  igual al doble de la primera menos la segunda.

IV. El determinante de una matriz triangular es igual al producto de los elementos de su diagonal principal.

Ejemplo: El determinante de la matriz

–1 0 –1    A =  0 2 3  es igual –4. 0 0 2 

Cálculo inmediato de determinantes (III)

V. El determinante de la matriz unidad es 1

Ejemplos: 

1 0 0   El determinante de la matriz I3 =  0 1 0  es igual a 1. 0 0 1



1 0 El determinante de la matriz I5 =  0 0 0

0 1 0 0 0

0 0 1 0 0

0 0 0 1 0

0 0 0  es igual a 1. 0 1

Obtención de la matiz inversa mediante determinantes (I) • La matriz cuadrada A tiene inversa si y sólo si | A | ≠ 0. • Se llama “Adjunto Ai,j” del elemento “ai,j” al determinante del menor Mi,j multiplicado por (-1)i+j • Dada la matriz cuadrada A, se llama “matriz adjunta” de A y se representa la matriz que se obtiene al sustituir cada elemento aij por su adjunto Aij.

 2 -2 2    Ejemplo: Dada la matriz (A) =  2 1 0  , su adjunta sería:  3 -2 2 

 1  –2  –2 adj (A)=  – –2   –2  1

0 2

2 0 – 3 2

2 1 3 –2

2 2

2 2 3 2

2 –2 – 3 –2

2 0

2 2 – 2 0

2 –2 2 1

      

=

 2 –4 –7    0 –2 –2    –2 4 6 

adj (A), a

Obtención de la matiz inversa mediante determinantes (II) Si se cumple que | A | ≠ 0 entonces la matriz inversa A-1 es igual a: –1 t t 1 1 A = | A | adj(A ) = | A | [adj(A)] Esto es fácil probarlo puesto que sabemos que la suma de los productos de los elementos de una fila por sus adjuntos es el valor del determinante, y que la suma de los productos de los elementos de una fila por los adjuntos de otra fila diferente es 0

 2 –2 2    Ejemplo: Dada la matriz A =  2 1 0  , pretendemos encontrar su inversa:  3 –2 2  La matriz A tiene inversa ya que: det(A) = – 2  0

 2 –4 –7  Ya hemos visto que: adj (A) =  0 –2 –2   –2 4 6 

 2 0 –2    Entonces: [adj (A)] =  –4 –2 4   –7 –2 6  t

 2 0 –2   –1 0 1  1 1     t Por lo tanto: A = | A | [adj (A)] = –2  –4 –2 4  =  2 1 –2   –7 –2 6   7/2 1 –3  –1