C A P ÍTULOIX N Ú MEROS COMPLEJOS

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Conocimientos Previos Suponemos conocido que: a) El conjunto de números complejos está en correspondencia biunívoca con el conjunto de los puntos de un plano. b) Un número complejo expresado en forma binomial o rectangular es: N = a + bi = bi + a = ib + a = a + ib = (a, b)

a

siendo

a

y

b

dos números reales, e

i

un símbolo llamado unidad imaginaria.

es la parte real, bi la parte imaginaria.

c ) a rep resenta la abscisa y b la ordenada del punto P del plano que corresponde al número complejo N. d) La posición de un punto en el plano puede representarse en forma polar r θ

FIG. IX -1 donde

r

es el m ódulo (distancia al origen) y θ el argumento (ángulo x r) .

e) La correspondencia entre puntos del plano y coordenadas polares de los mismos ya no es biunívoca para -

∞

θ π (θ

<

<

∞

puesto que si r

θ

corresponde a un punto P, también r θ + 2K en radianes) o r θ + K x 360º (θ en grados) representa el mismo punto (si K es entero). A las diferentes coord enadas polares que representan un mismo punto las llamaremos equivalentes. f ) Dos números complejos son iguales si representan el mismo punto del plano: N1 = a + bi N2 = a' + b'i N1 = N 2 a = a'. ; b = b'

g ) Llamaremos

a

consideramos igual a exige que:

r

56

θ

a + bi

número

complejo

cos θ b = r sen θ ; a + bi = r (cos

a +b 2

2

;

θ

forma polar.

Lo

cuando representan el mismo punto, lo que

a=r

o también r =

en

= arc sen

θ

b

a 2 + b2

+ i sen ;

θ

θ

)

= arc tg

b a

h) Dos números complejos son conjugados cuando tienen partes reales iguales y partes imaginarias opuestas: a + bi , a - bi i) La suma y resta de números complejos en forma binomial se efectúa como si fueran expresiones algebraicas corrientes en que

i

fuera una

variable: (a + bi) +c + d i = a + c + (b + d)i j) La multiplicación de números complejos en forma binomial se efectúa de acuerdo a las reglas usuales del álgebra, consideran a variable, y substituyendo

i2

i

como una

por - 1:

(a + bi) (c + di) = ac + adi + bci + bdi 2 = = ac – bd + (ad + bc) i Corolario: el producto de 2 complejos conjugados sólo tiene parte real: (a + bi) (a - b i ) = a 2 - b2i 2 = a 2 + b 2 Corolario: al multiplicar 2 números complejos se obtiene otro número complejo ( q u e puede carecer de parte imaginaria o de pa rte real) k ) La división de números complejos es una operación inversa de la multiplicación; por tanto el cociente multiplicado por el di visor es igual al dividendo:

a + bi = x + yi c + di

(c + di) (x + yi) = a + bi

lo que permite obtener los valores de c x + cyi + dxi - dy = a + bi

cx −  cy +

dy = a   dx = b 

⇒

ac + bd c2 + d 2 bc − ad y= 2 c +d2

x=

x

e =y =

57 resultado al que también se llega multiplicando numerador y denomi nador por conjugado del denominador:

a + bi (a + bi)(c − di) ac + bd + (bc − ad )i = = c + di (c + di)(c − di) c2 + d 2

1) Además de representar un número complejo por un punto P del plano, puede representarse también por el vector OP, que une el origen con P. Por ello puede hablarse también del vector de un complejo.

Propiedades de las Operaciones con Complejos Teorema IX -1: La suma de dos o más complejos tiene un vector que es la suma vectorial de los vectores de los sumandos. Dem.: Sean dos complejos N1 = a + bi;

N2 = c + di

La suma vectorial, trasladando paralelamente el vector de N 2 de forma que su origen coincida con el extremo de N1, nos da el vector S cuyo complejo es (a + c) + (b + d)i o sea la suma de los comple jos. La demostración se extiende a 3 ó más complejos (lo dejamos a cargo del lector). Corolario: La diferencia de complejos tiene un vector que es la diferencia vectorial de los vectores de minuendo y substraendo,

58 o bien la suma vectorial del vector del minuendo con el opuesto del vector del substraendo. Teorema IX -2: El producto de dos o más complejos tiene como módulo el producto de los módulos de los factores; y como argumen to, la suma de argumentos de los factores (o un valor equivalente). Dem.: Supongamos 2 factores: N 1 = a + bi = r1 (cos

θ1

N 2 = c + di = r2 ( c o s N 1N 2 = r1r2 [cos θ1

θ1 ) isen θ2 )

+ isen

θ2

+

cos θ2 - sen θ1

= r1r2 [cos (θ

1

+

θ

2)

senθ2 + i(senθ1 cos

+ isen (θ

1

+

θ

2 ) = r1 r2

θ2

+ cos θ1

θ1

+

sen θ2)]

θ2

La demostración se extiende fácilmente a tres o más factores.

Corolario: El cociente de dos complejos tiene como módulo el cociente de los módulos y como argumento la diferencia de argumentos de dividendo y divisor.

Teorema IX -3: La potencia n- sima de un complejo (n real) es otro complejo, cuyo módulo es la potencia enésima del módulo de la base, y cuyo argumento es n veces el argumento de la base (u otro equivalente). Dem.: Si n es natural, en virtud del teorema anterior: (a + bi)n = (a + bi) (a + bi)...(a + bi) = rn

nθ

Admitiremos, sin demostración, que el teorema se cumple para cualquier valor real de n. Corolario: Porque

n

n

a + bi = n r nθ

a + bi = (a + bi)1 / n

Teorema IX - 4: Si n es un número natural, hay n raíces enésimas diferentes de un número complejo. Dem.: a + bi = r n

θ

(a + bi) = r θ / n

pero en lugar de

θ

puede haber cualquier valor equivalente

siendo K entero. El argumento de la raíz es:

θ=

θ + 2 Kπ θ K = + 2π n n n

(en radianes; en grados:

θ

59

+ 2K π

θ K + 360 º ) n n

el segundo sumando puede tomar los valores diferentes no equivalen tes o

2π

1 n

siguiente

2π 2π

n n

2 n

…

2π

n −1 n

o sea n valores. El valor

ya es equivalente a 0. Todos los demás valores posibles son

equivalentes a alguno de los expuestos. Ejemplo: raíces cuartas de -1

180º 4 raíz 1 = 1

- 1 = - 1 + Oi = 1 módulo de la

Argume ntos de la raíz

180 = 45º 4 180 + 360 = 45 º +90 º = 135 º 2º) 4 180 + 2 x360 3º) = 45º +2 x90 º = 225º 4 180 + 3x360 4º) = 45º +3x90º = 315 º 4 2 2 i + Raíz 1ª 1 45º = 2 2 2 2 i Raíz 2ª 1 135 º = + 2 2 − 2 2 Raíz 3 ª 1 225º = − i 2 2 2 2i Raíz 4ª 1 315º = − 2 2 1º)

Teorema IX - 5: Las n raíces enésimas del número real a (consi derado como complejo a + Oi ), se pueden obtener multiplicando la raíz enés ima real del valor absoluto de a, por cada una de las raíces enésimas de ± 1 (+ ó menos según el signo de a).

60 Dem.: Sea a posit ivo ; r

=n a

en el campo real

n

a

=

r n 1 lo que dará n raíces

enésimas diferentes. Si a es negativo, la demostración es análoga.

Teorema IX - 6: (Fórmula de Moivre): (cos x + i sen x) m = cos m x + i sen mx Dem.: el argumento de la base es x, el módulo es 1. La poten cia tiene (teor. IX -3) módulo 1m = 1 y argumento mx, por tanto en forma binomial es el 2º miembro de la igualdad.

Relación entre Función Exponencial y Funciones Trigonométricas Teorema IX -7: (fórmula de Euler): Xi exi = cos x + i sen x Admitiremos esta fórmula sin demostración. Puede comprobarse usando los desarrollos en serie de: exi ; senx y cos x.

Corolarios:

a) Si K es natural e 2 πKi = 1 b) e (2K + 1) π

i

-1

Ampliación de la definición de Logaritmo Como a + bi = r (cos x + i sen x) = rexi = e 1nr + xi y por otra parte N = e 1nN, podemos definir que 1n (a + bi) = 1nr + xi

siendo r el módulo y x el argumento del complejo a + bi.

61 Complejo elevado a complejo Estamos en condiciones de elevar un número complejo a + bi = r

x

a

un exponente complejo; obtenemos como resultado una potencia que es también un número complejo: (a + bi) c + di = (e1 nr + x i )(c + di) = e (1 nr + xi) (c + di) = em + ni = M + Ni

Ejercicios propuestos 1. Hallar las raíces sextas de 6 4 y de - 6 4 . (R: de 6 4 : de - 6 4 :

±

2; 1

± 2i;

± 3i ; -1 ± 3i ; 3 ± i ; - 3 ± i)

2. Haga los diagramas polares de las soluciones anteriores.

3. H allar todas las raíces de la ecuación x 4 - 4 x 2 + 1 6 = 0 y representarlas en el plano complejo.